贵州省黔东南州2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省黔东南州2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.1.已知等比数列的前两项分别为1，－2，则该数列的第4项为（）A.4 B.－4 C.8 D.－8【答案】D【解析】依题意可得该等比数列的公比为，首项为1，所以该数列的第4项为．故选：D2.椭圆的焦距为（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】因为，所以．故选：B3.在空间直角坐标系中，已知向量是平面的一个法向量，且，则直线与平面所成角的正弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线与平面所成角的正弦值等于.故选：B4.若数列满足，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】因为，令，可得，则；令，可得，则.故选：D.5.已知椭圆的焦点为，为上一点，且点不在直线上，则“”是“的周长大于”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，所以，又，所以的周长为．若，则．若，则．所以“”是“的周长大于”的必要不充分条件．故C正确.故选：C.6.如图，在三棱锥中，点满足，则（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】，所以，故．故选：C.7.已知，C是抛物线上的三个点，F为焦点，，点C到x轴的距离为d，则的最小值为（）A.10 B. C.11 D.【答案】B【解析】因为M的准线方程为，所以由抛物线焦半径公式得，故，所以,当且仅当C，D，F三点共线且C在线段DF上时，等号成立，所以的最小值为．故选：B8.已知双曲线的离心率为，当时，在数列中，满足为有理数的的最大值为（）A.959 B.960 C.961 D.963【答案】A【解析】双曲线的离心率．因，所以当时，为有理数，且，所以满足条件的的最大值为959．故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若直线，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】设的斜率分别为，结合题意易得：，因为，所以因为且，所以.故选：BD.10.已知是空间的一个单位正交基底，则（）A. B.构成空间的一个基底C. D.构成空间的一个基底【答案】ACD【解析】因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，所以，A正确．因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误．，C正确．因为不存在实数，使得，所以构成空间的一个基底，D正确．故选：ACD11.已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（）A.B.当时，C.D.当，且取得最小值时，只能等于6【答案】ABC【解析】由题意，，在正项等比数列中，，A项，，A正确；B项，当时，因为，所以，可得，B正确；C项，，C正确．D项，当时，因为，所以，则的最小值为或，D错误．故选：ABC.12.已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，与交于两点，分别为的中点，若，则的离心率可能为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由，消元得，结合示意图，所以，又，分别是的中点，所以，又，所以，有，即，则，所以，即，则，即，有，由，解得，即椭圆离心率的取值范围为.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.双曲线的虚轴长为______．【答案】6【解析】因为，所以，所以该双曲线的虚轴长为6．故答案为：614.抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】因为，所以，所以抛物线的准线方程为．故答案为：15.某阶梯大教室座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为____________．【答案】38【解析】该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为5，公差为3，所以，设该阶梯大教室共有排，则，整理得，因为，所以，所以该阶梯大教室最后一排的座位数为．故答案为：38.16.已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为________，直线的方程为__________.【答案】；【解析】的标准方程为，其圆心为，半径为2.如图，由题意可知，则，所以当最小时，最小，此时与直线垂直，所以直线的方程为，即.联立，解得，所以点的坐标为，.在Rt中，，同理.以为圆心，为半径作圆，如图，则线段为与的公共弦，的方程为，即，两圆方程相减得，即直线的方程为.故答案为：；四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点．（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆相交于两点，求．解：（1）设圆的方程为，则．因为圆与轴相切于点，所以，所以，故圆的标准方程为．（2）由（1）知，圆心为,半径为4，因为圆心到直线的距离为，所以．18.在数列中，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解：（1）由，即，可知数列是以1为公差的等差数列．因为成等比数列，所以，所以，解得，所以，故数列的通项公式为.（2），则所以数列的前n项和.19.已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上．解：（1）因为，所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，由，得，所以的方程为．（2）设两点的坐标分别为，则两式相减并整理得，，设，依题意可得所以，即，所以，即，所以点在直线上．20.如图，在直四棱柱中，．（1）证明：.（2）若，四边形的面积为，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）连接，设与相交于点，因为，所以≌，所以，又，所以≌，所以，又，所以，即．因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以.（2）由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,由题意可知，四边形的面积为，解得，所以，由题意知为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则，则，取，得，则，所以，故平面与平面夹角的余弦值为.21.已知数列的前项和为，且为定值．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）因为，且为定值，所以．当时，，又，所以，即，即，所以是首项为1，公比为的等比数列，故．（2）由（1）知，，则，所以，所以，即，故．22.已知点在抛物线上，点在第一象限，过点且与相切的直线与轴交