广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二上学期期末数学试题一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的斜率为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为直线方程为，化为斜截式为：，所以直线的斜率为：.故选：D.2.抛物线的焦点到准线的距离为（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】B【解析】由抛物线方程，得，故抛物线焦点到准线距离为，故选：B.3.已知两条直线：，：，且，则的值为()A.－2 B.1 C.－2或1 D.2或－1【答案】B【解析】：，：斜率不可能同时不存在，∴和斜率相等，则或，∵m＝－2时，和重合，故m＝1.另解：，故m=1.故选：B.4.信宜市是广东省首个“中国慈孝文化之乡”．为弘扬传统慈孝文化，信宜某小学开展为父母捶背活动，要求同学们在某周的周一至周五任选两天为父母捶背，则该校的同学甲连续两天为父母捶背的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令周一至周五的5天依次为1，2，3，4，5，则周一至周五任选两天的样本空间，共10个样本点，连续两天事件，共4个样本点，所以该校的同学甲连续两天为父母捶背的概率为.故选：C5.若，则“”是“方程表示椭圆”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【答案】D【解析】若方程表示椭圆，则，解得或，因为或，因此，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：D.6.平行六面体中，，则（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由平行六面体可得，又，所以，则.故选：B.7.若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设与直线平行的直线的方程为，∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，设切点，，所以，，，，点，直线的方程为，两点间距离的最小值为平行线和间的距离，两点间距离的最小值为.故选：.8.已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（）A.1678 B.1666 C.1472 D.1460【答案】B【解析】第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差是4和6的最小公倍数12，则新数列的公差为12，首项为2，其通项公式为，令，得，故，则，故选：B.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A：，所以，A正确；B：，所以，B错误；C：，，所以，C正确；D：，不存在实数，使得，故与不平行，D错误．故选：AC．10.△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（）A.边BC与直线平行B.边BC上高所在的直线的方程为C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)【答案】BD【解析】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错；边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确；过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错；过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D正确．故选：BD．11.若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（）A.过点F的最短的弦长为 B.双曲线C的离心率为C.双曲线C上的点到点F距离的最小值为2 D.双曲线C的渐近线为【答案】BCD【解析】依题知，，则，所以双曲线的方程为，且对于A，当直线的斜率为零时，该直线截双曲线的弦长为，故A错误；对于B，双曲线的离心率，故B正确；对于C，设双曲线上任意一点，则，则，又的对称轴为，故当时，，故C正确；对于D，双曲线方程知，渐近线方程为，故D正确；故选：BCD.12.材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（）A.平面与垂直B.平面与所成角的余弦值为C.直线与平面平行D.直线与是异面直线【答案】AD【解析】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量；对于A，，，则平面与垂直，A正确；对于B，，平面与所成角的余弦值为，B错误；对于C，，，直线平面或直线平面，直线过点，又满足，直线平面，C错误；对于D，与不平行，直线与直线相交或异面，由得：，此时无解，直线与直线无交点，直线与直线是异面直线，D正确.故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知等比数列满足，，则______．【答案】12【解析】等比数列an满足，，由，得.故答案为：1214.长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为______．【答案】【解析】如图所示，建立如下空间直角坐标系，依题可得，,则,所以,故直线与直线所成角的余弦值为,故答案为：.15.写出与圆和圆都相切的一条直线的方程________.【答案】（答案不唯一，或均可以）【解析】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，易得切线的方程为；因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以；可知和关于对称，联立，解得在上，在上取点，设其关于的对称点为，则，解得，则，所以直线，即，综上，切线方程为或或.故答案为：（答案不唯一，或均可以）16.已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为_________．【答案】【解析】设椭圆的左焦点为,连接，,由几何关系可知，则，即，由椭圆的定义可知，即且，整理得，解得，.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线与垂直且经过点.（1）求的方程;（2）若与圆相交于两点,求.解：（1）由直线，可得斜率，因为，所以直线的斜率为，又因为直线过点，所以直线的方程为，即.（2）由圆，可得圆心，半径，则圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得弦长.18.记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．解：（1）由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.（2）由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.19.“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对概率为，求n的值．解：（1）设“甲猜对灯谜”事件A，“乙猜对灯谜”为事件B，“任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C，由题意得，，，且事件A、B相互独立，则，所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为；（2）设“丙猜对灯谜”为事件D，“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E，则由题意，，解得．20.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小．解：（1）解法一：因为底面是正方形，侧棱底面，以D为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，依意得，，，，所以，，因为，所以，由已知，且，平面，平面，所以平面．解法二：底面是正方形，，底面，且平面，，，平面，平面，平面，平面，，，E为中点，，，平面，平面，平面，平面，，由已知，且，平面，平面，所以平面.（2）解法一：依题意得，且，，设平面的一个法向量为，则，即取，因为，，设平面的一个法向量为，则即取，设平面与平面的夹角为，则，又，所以，所以平面与平面的夹角为．解法二：由（1）知平面，，又，平面，平面，为平面与平面所成角，，E为中点，，，平面，平面，，直角三角形中，，所以，所以平面与平面的夹角为21.记数列an的前项和为，已知.（1）证明：数列bn为等比数列，并求数列a（2）设，求数列的前项和.解：（1）因为，当时，，解得；当时，由，得，两式相减得，即，则，即，又，故，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即，所以．（2）由（1）得，所以,所以，则，两式相减，得，所以．22.已知椭圆的左､右焦点分别为，且.过