广东省广州市三校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市三校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题５分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为实数集，集合或，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由Ven图可知，阴影部分表示为，因为，或，所以，所以，故选：C.2.设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】依题意有，且，故，.故选：C.3.计算×－＋lne2－2lg2－lg25＝（）A.20 B.21 C.9 D.11【答案】B【解析】原式.故选：B.4.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得的函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到：，将的图象向右平移个单位长度得到：，所以.故选：B.5.已知函数，则的单调递增区间是（）A. B.C D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以的定义域为，由复合函数的单调性可知，的单调递增区间即为：函数在区间上的单调递减区间，令，解得，所以的单调递增区间为．故选：D．6.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，又，所以，，因此：.故选：C.7.已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为为奇函数，且当时，，所以，解得：，即当时，，又因为的图象关于直线对称，所以，且，则，即函数是以为周期的周期函数，故.故选：B.8.已知函数，在下列结论中：①是的一个周期；②的图象关于直线对称；③在区间上无最大值.正确结论的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】因为，所以不是的一个周期，故①错误；，所以的图象不关于直线对称，故②错；，，令，则，，，在上单调递增，所以无最大值，即函数在上无最大值，故③正确.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是()A.命题“，”的否定是“，”B.已知，则“”是“”的必要不充分条件C.函数的单调增区间是D.，【答案】AB【解析】对于，命题“，”的否定是“，”，故A正确；对于，由得，∴“”是“”的必要不充分条件，故B正确；对于C，由得函数的定义域为，由在时单调递增及在时单调递增可知，的增区间为，故C错误；对于，作出函数和的图象，∵，故在上，恒成立，∴，不成立，不正确.故选：AB．10.已知，，则下列结论正确的是（）A.为第二象限角 B.C. D.【答案】ABD【解析】由同角三角函数平分关系可得，，因为，所以，解得，，因为，所以是第二象限角，故选项，正确，有同角三角函数商数关系可得，，故选项错误，因为，故选项正确.故选：.11.已知函数，其图象的两个相邻的对称中心间的距离为，且，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的定义域C.函数的图象的对称中心为D.函数的单调递增区间为【答案】CD【解析】由正切函数的性质可知，相邻对称中心的距离是半个周期，所以，得，，由，所以，则，函数的最小正周期为，故A错误；，，得，，所以函数的定义域为，故B错误；令，得，，所以函数的对称中心为，故C正确；令，，解得：，所以函数的单调递增区间是，故D正确.故选：CD.12.关于函数下列说法正确的有（）A.B.不等式的解集是C.若方程有3个实数根，则D.若存在实数满足，则的最小值为8【答案】ABD【解析】函数，作出图像如图所示：，故选项A正确；当时，若，则，即，解得或，当时，若，则，即，解得，结合的图像可得，不等式的解集是，故选项正确；由函数可知，与的图像有三个不同的交点时，，故选项错误；设存在实数满足，则函数与的图像有三个不同的交点，其中和关于的对称轴对称，故，当时，，故c的取值范围是，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故选项正确.故选：.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的对称轴方程是_______________.【答案】【解析】因为的对称轴为，对于函数，由，可得，因此，函数的对称轴方程是.故答案为：.14.已知函数在上为奇函数，且当时，，当时______________.【答案】【解析】当时，，因为是奇函数，所以，所以．故答案为：.15.函数的定义域为__________．【答案】【解析】函数有意义，则需，由，，则，所以函数定义域为.故答案为：.16.已知函数，若____________；若，则实数的取值范围是__________________.【答案】【解析】∵，∴；因为，所以或，即或，所以或或或，解以上四个不等式组得解集分别：，，，，所以，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知.（1）化简，并求；（2）若，求的值.解：（1），则（2）由（1）知，，则18.已知，函数的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值.解：（1），因为的最小正周期为，所以，即，所以，由，，可得，，所以函数的单调递增区间为，.（2）由（1）知，所以，所以，又，所以，所以，所以.19.已知函数（，且）过定点A，且点A在函数，的图象上．（1）求函数的解析式；（2）若定义在上的函数恰有一个零点，求实数k的取值范围．解：（1）函数（，且）过定点，函数的图象过点，即，解得，函数的解析式为.（2）函数定义在上，在上恒成立，可得，令，得，设，函数在上恰有一个零点，等价于在上恰有一个零点，函数图像抛物线开口向上，对称轴，若，无解，不成立；若，解得，满足题意；若，无解，不成立；若，解得，满足题意，所以实数k的取值范围为.20.塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：）（1）塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？（2）为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年）解：（1）由题可知，所以，所以，所以残留量为初始量的，大约需要207年.（2）根据题意当时，，，解得，所以，若残留量不足初始量的，则，，两边取常用对数，，所以至少需要21年.21.如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数，的图像，图象的最高点为.边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧.（1）求曲线段FGBC的函数表达式和半径OD的长度；（2）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值.解：（1）由已知条件，得，又∵，，∴，又∵当时，有，且，∴，∴曲线段FGBC的解析式为，，，，∴.（2）如图：，，，∴，作轴于点，在中，，在中，，，，；当时，即时，，所以平行四边形面积有最大值为（平方千米）.22.设，函数，.（1）若函数的值域是，求的取值范围；（2）当时，记函数，讨论在区间内零点的个数.解：（1），因为函数的值域是，所以是函数的值域的子集，所以，解得，所以的取值范围为.（2）在区间内零点的个数，即方程在区间内实数根的个数，当时，令，则，则，因为，所以，即，又，所以，即，所以；当时，，对称轴为，而，当，即时，函数在上无零点，，当，即时，此时，则可取，故方程在上有个实数根，所以当时，函数在有个零点；当，即时，此时，则可取，故方程在上有个实数根，所以当时，函数在有个零点；当，即