广东省佛山市南海区2024-2025学年高一上学期学业水平测试12月数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市南海区2024-2025学年高一上学期学业水平测试12月数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，则.故选：B.2.设命题：，，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，为，.故选：D.3.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据指数函数、对数函数单调性知，在0,+∞上的单调递增，又因为f1且函数图象连续不间断，则根据零点存在性质定理知的零点所在的区间是.故选：C.4.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，则，所以.故选：A.5.已知函数，则（）A.5 B.0 C. D.4【答案】B【解析】.故选：B.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】当时，，故排除CD；而的定义域为，且，所以是奇函数，所以排除A.故选：B.7.人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）A.108dB B.81dB C.72dB D.63dB【答案】D【解析】设一般两人小声交谈时声音强度，则，即，所以，即老师声音的等级约为63dB.故选：D.8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则满足的的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，由，可知，，即，设函数，函数在上是增函数，且是奇函数，所以，是上的奇函数，因为，所以，，，即，即，则.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.或【答案】ACD【解析】设该条件所表示的集合为，因为其是“”的一个必要不充分条件，则，对比选项知ACD，符合题意，B不合题意.故选：ACD.10.已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A、D：当时，且，错；B：由，则，整理可得，对；C：由单调递增，且，故，对.故选：BC.11.若存在两个不相等的实数，，使，，均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A选项，定义域为R，且，对任意的、且，，即，A选项中函数不满足条件；对于B选项，的定义域为R，取，，则，而，即存在，B选项中的函数满足条件；对于C选项，假设具有性质，则存在，使得，则，即，若同号，则，即，所以，得，显然不成立；若异号，则，即，将上述方程看作关于的二次方程，解得，此时满足，C选项中的函数满足条件；对于D选项，因为，取，所以，，则存在，所以D选项中的函数满足条件.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.______.【答案】6【解析】.13.已知函数，在上单调递增，写出满足条件的实数的一个值______.【答案】3（答案不唯一）【解析】因为函数，在0,+∞上单调递增，所以2m-3>0m当时，此时，满足题意.14.已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则______.【答案】【解析】由于函数满足，所以函数的图象关于对称，设，则，则函数的图象关于对称，故和的交点关于对称，则，设.两式加，可得，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，，，得，则，或，所以，.（2）若，则，当时，，得，当时，，解得：，综上可知，.16.给定函数，.（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；（2），用表示，中最大者，记为，求不等式的解集.解：（1）如图.（2）因为，所以Mx=当时，，即，所以，当时，，即，所以，当时，，即，所以，所以不等式的解集为.17.已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明;（3）解不等式.解：（1）由题设，即恒成立，所以.（2）在上的单调递增，证明如下：由（1）知，令，则，由，故，故在上的单调递增，得证.（3）由题设及（2）知：，则或，所以或，解集为.18.学校和学校相距20km，现计划在学校外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造一家污水处理厂.其对学校的影响度与所选地点到学校的距离有关，对学校的影响度与所选地点到学校的距离的平方成反比，比例系数为1；对学校的影响度与所选地点到学校的距离的平方成反比，比例系数为.对学校和学校的总影响度为学校和学校的影响度之和.记点到学校的距离为km，建在处的污水处理厂对学校和学校的总影响度为.统计调查表明：当在的中点时，对学校和学校的总影响度为0.085.（1）将表示成的函数；（2）判断半圆弧（不含，两点）上是否存在一点，使得建在此处的污水处理厂对学校和学校的总影响度最小？若存在，求出该点到学校的距离，以及总影响度的最小值；若不存在，说明理由.解：（1）由为直径，得，所以，由已知得，又当垃圾处理厂是的中点时，对城和城的总影响度为，即时，，代入上式得，解得，所以表示成的函数为：.（2），令，，则，又，当且仅当时，即时，等号成立，所以，当时，等号成立，所以弧上存在一点，该点到城的距离为km时，建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总影响度最小为.19.已知正实数集，定义称为的商集，用来表示集合中元素的个数.（1）若，求集合；（2）若，求的最小值；（3）试判断与的大小关系，并证明你的结论.解：（1）由，结合商集的定义有.（2）设，当时，，当时，有个，所以的个数最多为.但是，在这些比值中，有的可能相等，如时，中存在，也可能互不相等，如时，中没有相同的元素.所以中元素个数不大于，即，所以，即