福建省厦门市2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省厦门市2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等比数列满足，，则（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】因为数列是等比数列，所以，所以或，因为，，所以.故选：C.2.已知直线的倾斜角为，直线过点，若，则在轴上的截距为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】由题意得直线的斜率为，故直线的方程为，即，令得，故在轴上的截距为.故选：D3.点到双曲线的渐近线的距离为（）A B. C. D.【答案】A【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，即，则点到双曲线的渐近线的距离为.故选：A4.在四棱锥中，底面为平行四边形，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由于点满足，可得：，即.故选：C.5.已知数列的前项和为，若，则的最大值为（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】由题意知，故时，，当时，，，则，即，故，又，所以an为首项是，公比为的等比数列，故，随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值，故时，取最大值，最大值为，故选：C6.已知椭圆的左、右焦点为,，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A为线段的中垂线与的交点，所以，，三角形的周长为，所以，又，所以，又，所以,故选：B.7.已知梯形中，，，，，.如图，将沿对角线翻折至，使得，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以,因为所以.所以即所以异面直线与CD所成角的余弦值为.故选：C.8.抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方法1：如图，由光学性质可知：入射光线，反射光线轴，所以，又，所以，因为轴，，则有，所以，即，由三角不等式可得，即；方法2：设，，易求得，所以，，联立方程可求得，所以，即.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，.若，则实数可以为（）A.0 B. C.1 D.2【答案】ABC【解析】由题意，，即圆在圆的内部或圆上，则，即.故选：ABC10.如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是和的中点，则（）A.B.C.点到平面的距离为D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】BC【解析】建系如图：由题得，，，因为与不共线，所以不平行，所以A错误；因为，所以，B正确；设平面的法向量为，，取，所以点F到平面的距离为，所以C正确；直线与平面所成角的正弦值为：，所以D错误；故选：BC.11.已知曲线，其中，则（）A.存在使得为圆B.存在使得为两条直线C.若为双曲线，则越大，的离心率越大D.若为椭圆，则越大，的离心率越大【答案】ABC【解析】A选项，当时，，即，此时为圆，A正确；B选项，当时，，即，为两条直线，B正确；C选项，若为双曲线，则，即，所以，此时离心率，由于在上单调递增，故单调递增，即越大，的离心率越大，C正确；D选项，若为椭圆，由于，故，所以，所以，当时，，此时，，离心率，当时，，此时，，此时离心率，不满足越大，的离心率越大，D错误.故选：ABC12.若数列满足，则（）A.数列是等比数列B.当时，的所有可能取值的和为6C.当时，的取值有10种可能D.当时，【答案】BCD【解析】选项A：取，则，故选项A错误；当时，，则或，所以，其中，，，，…，，化简可得：，其中，，，，…，，当时，的取值共有种，故C正确；其和，对于选项B：，，，，所以之和为，故B正确；由可得，即，所以，累加可得，故选项D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，三点共线，则______.【答案】1【解析】,,由题得，所以，解得1，故答案为：1.14.已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则______.【答案】5【解析】由题意，F1,0，，，，所以，则，由抛物线的定义知，.故答案为：5.15.已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为______.【答案】【解析】如图，连接，因，与圆相切，所以，设，所以，整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动，，当且仅当在时等号成立，所以答案为：.16.已知直线与直线，点是与轴的交点.过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，依此方法一直继续下去，可得到一系列点，，则______；设的坐标为，则数列的前项和为______.【答案】8；（或）【解析】，，则，当时易得，，则，即，所以，而，故，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，，所以，所以的前项和为.故答案为：8；（或）.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，满足，.（1）求；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设等差数列an的首项为，公差为，据题意，，所以①又因为，当时，，即②由①②可知，，，即.经检验，满足，所以.（2）因为，所以，因为，所以数列bn为等比数列，首项，公比，所以，所以数列bn的前项和为18.在平面直角坐标系中，点，，动点满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与交于，两点，，求的方程.解：（1）设，因为，点，，所以，化简得，所以点的轨迹的方程为；（2）因为，，则，所以圆心到直线的距离①当直线的斜率不存在时，的方程为，与圆无交点，舍去；②当直线的斜率存在时，设，即所以，解得所以的方程为或19.已知双曲线的左顶点为A，为上（异于A）一点.（1）已知点，求当取得最小值时直线的方程；（2）若直线与直线交于点，证明：为定值.解：（1）设，其中，所以当时，取得最小值为，此时，此时，所以直线：，化简得或（2）设，，则直线的方程为：，所以所以，所以为定值.20.某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加0.01.（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多；（2）求该工厂今年全年生产合格产品的数量.参考数据：，.解：（1）记从今年1月起，第月的产量为，第月的产品合格率为.由题可知，数列为等比数列，首项，公比，数列为等差数列，首项，公差，所以，，所以今年2月份生产的不合格产品数为；设第月生产的不合格产品数为，则，所以，当时，；当时，；当时，，所以，即5月或6月生产的不合格产品数最多；（2）设今年前个月生产的合格产品总数为，则，由于，，所以①，②，①－②得所以，即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个.21.如图，平行六面体中，平面，，，.（1）求证：；（2）线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.解：（1）解法一：因为平面，平面，所以，所以因为，所以又因为，所以，化简得所以，所以解法二：在平面内过点作的垂线，垂足为，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，设，则，所以，由得，所以，又因为，所以，解得，所以，，，，所以，所以；解法三：在平面中，过作的垂线，垂足为，连结交于.因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，则，所以，所以，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，所以，所以；（2）由（1）得平面一个法向量为，假设存在点满足条件，设，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，，所以，所以，因为平面与平面的夹角为，即，解得，又因为，所以舍去，所以线段上不存在点使得平面与平面的夹角为.22.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上不同两点A，满足，当时，.（1）求的方程；（