广东省佛山市H7教育共同体2024-2025学年高二上学期12月联考数学数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市H7教育共同体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列直线中，倾斜角最大的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，直线的斜率，则倾斜角；对于B，直线的倾斜角；对于C，直线的斜率，则倾斜角；对于D，直线的倾斜角，所以直线的倾斜角最大.故选：C2.已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（）A.0.06 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】D【解析】因为B与C互为对立，，所以，因为A与B互斥，所以.故选：D.3.已知向量，，若，则（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】由题意可设，即，即，解得，所以.故选：A4.若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】圆化为标准方程为，则圆心为，半径，由题意得，解得.故选：C.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，为坐标原点，直线与椭圆交于两点.A. B. C. D.【答案】B【解析】由椭圆的对称性可得，则，则不妨取，将点的坐标代入得：，所以，所以的离心率.故选：B.6.已知，，，，，若从A，B，C，D，E这五个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆外的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得点在圆外，由可得点在圆内，由可得点在圆外，由可得点在圆外，由可得点在圆上，从A，B，C，D，E这五个点中任意选择两个点，则基本事件总数有,共10种，两个点都落在圆外包含基本事件个数有共3种，设事件表示从五个点中任意选择两个点，两个点都落在圆外，则.故选：C7.一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（）A.4 B.5 C. D.【答案】C【解析】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线.根据的定义，有到直线的距离相等，且其连线与其垂直，故，.从而，，故，即或.但不重合，故，所以，从而，即.而，，故.根据对称性，光线经过的路程即为.故选：C.8.在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，经过点且法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系中，经过点的直线的方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】经过点的直线方程为，即，故直线的一个方向向量为，又经过点的平面的方程为，即，故的一个法向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线，则下列结论正确的有（）A.若，则C是焦点在轴上的椭圆 B.若，则C是圆C.若，则C是焦点在轴上的椭圆 D.若，则C是两条平行于y轴的直线【答案】ABD【解析】对于A，若，则，所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则曲线，所以C是圆，故B正确；对于C，若，则，所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误；对于D，若，则，所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确.故选：ABD.10.在四棱锥中,,,,，，则下列结论正确的有（）A.四边形为正方形B.四边形的面积为C.在上的投影向量的坐标为D.点到平面的距离为【答案】BCD【解析】对于A，，则，所以，与不垂直，所以四边形为平行四边形，故A错误；对于B，，所以，所以四边形的面积为，故B正确；对于C，，则在上的投影向量为，故C正确；对于D，设平面的法向量为，则有，可取，所以点到平面的距离为，故D正确.故选：BCD.11.已知,,是曲线上的任意一点,若的值与无关，则（）A.m的取值范围为B.n的取值范围为C.的最大值为7D.的最小值为【答案】ACD【解析】由曲线，得，则（），所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）.设直线：与：，由，得表示点到直线和的距离和的2倍，对于AB，若的值与无关，则该曲线在两平行直线：与：之间，当与该曲线相切时，，解得，则的取值范围为，当经过点时，，解得，则的取值范围为，故A正确，B错误；对于C，由图知，当点的坐标为时，点到直线的距离最大，为，所以的最大值为7，故C正确；对于D，由图可知，当与该曲线相切，且经过点时，点到直线和的距离和最小，此时，则点到直线和的距离和最小值为，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则m的值为_______.【答案】或【解析】令，则，令，则，则，即，解得或.故答案为：或.13.在四棱锥中，底面是平行四边形，点E满足，点F满足，若四点共面，则_______.【答案】【解析】因为，所以，则，因为四点共面，所以，解得.故答案为：.14.已知P是椭圆的一点，，分别为C的左、右焦点，且P满足，.若的角平分线与x轴交于点，则椭圆C的长轴长为_______.【答案】【解析】因为，所以，即，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，又因为的角平分线与x轴交于点，则，又因为，所以，所以，即，解得，所以，即椭圆C的长轴长为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆经过点，，.（1）求圆的标准方程；（2）若倾斜角为的直线经过点，且l与圆M相交于E，F两点，求.解：（1）设圆的标准方程为，则，解得，所以圆的标准方程为；（2）直线的斜率，所以直线的方程为，即，圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以.16.如图，在正方体中，分别为和的中点.（1）证明：直线平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，则，故，设平面的法向量为，则有，可取，则，所以，又平面，所以直线平面；（2）A0,0,0故，设平面的法向量为，则有，可取，所以，即平面与平面夹角的余弦值.17.某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为，乙每门合格的概率分别是，，，甲、乙面试合格的概率分别是，.（1）求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率；（2）求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率.解：（1）由题意甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率为：；（2）由题意乙能够代表年级组参加全校的决赛的概率为：，所以甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率为：.18.设，分别是椭圆的左、右焦点，P为C上一点.（1）已知，且点在C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最大值.（2）若为坐标原点，，且的面积等于9，求的值和的取值范围.解：（1）（Ⅰ）由题意得，所以，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设，则，则，所以当时，取得最大值，所以的最大值为；（2）取得中点，连接，则，因为为的中点，所以，所以，则，所以，由，得，即，所以，即，所以，因为P为C上一点，且，则的最大值要大于等于，当取得最大值时，点位于椭圆的上下顶点，设椭圆的上顶点为，则，所以，则，所以，所以，所以.19.图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2．（1）求证：平面平面ABED；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由．解：（1）在图1中，连结AE，由已知条件得，∵且，∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F，∴，又∵在中，，∴，在图2中，，∵，∴，由题意知，且∴平面A