广东省东莞市七校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省东莞市七校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以.故选：A.2.下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（）A.梯形四边形 B.，C.， D.存在一个实数x，使【答案】A【解析】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确；对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误；CD选项都为存在量词命题，不合题意.故选：A.3.“”成立的一个充分不必要条件是（）A.或 B. C. D.【答案】B【解析】解不等式可得，解得或，所以不等式的解集为或，因此不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围是解集的真子集，即是或的真子集.故选：B.4.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以函数定义域是.故选：C.5.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对A，函数是偶函数，当时，，在区间上单调递增，A选项不合题意；对B，函数的定义域为，是非奇非偶函数，B选项不合题意；对C，设，定义域为，关于原点对称，且，则函数是偶函数，当时，，在区间上单调递减，C选项正确；对D，设，其定义域为，关于原点对称，且，则函数，是奇函数，D选项不合题意.故选：C.6.设，，，则a、b、c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】指数函数在R上单调递减，对数函数在上单调递增，则有，即，又，所以.故选：C.7.已知函数（且）在上具有单调性，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】（且）在上具有单调性，当在上单调递减时，，解得；当在上单调递增时，，解得，所以实数的取值范围是.故选：B.8.已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，在上单调递减，则（）A.是偶函数 B.是奇函数C. D.【答案】D【解析】由，得是奇函数，且定义域（全体实数）关于原点对称，由，且定义域（全体实数）关于原点对称，得为偶函数，故A，B选项均错误．由题易知函数在R上单调递减，函数在上单调递增，由，得，从而，即C选项错误；由，得，从而，即D选项正确．故选：D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选错或不选得0分，部分选对的得部分分．）9.下列各组函数中是同一函数的是（）A.与 B.与C.与 D.【答案】CD【解析】对于A，定义域为，定义域为，A错；对于B，定义域为，定义域为，B错；对于C，和定义域都是，，C正确；选项D，两函数定义域、对应关系、值域相同，正确.故选：CD.10.下列说法正确的是（）A.若，则B.若不等式的解集为，则C.当时，的最小值是D.函数（，且）过定点【答案】BCD【解析】对于A，当，时，有，但，故A错误；对于B，因为不等式的解集为，所以为方程的根，从而，即，故B正确；对于C，当时，有；而当时，有，所以的最小值是，故C正确；对于D，由于a>0，故恒有，所以函数过定点，故D正确.故选：BCD.11.下列说法正确的是（）A.若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是B.已知，，则C.记表示x，y中最大的数，则的最小值为1D.函数，，其中表示不超过x的最大整数，则函数的最大值为1【答案】BC【解析】对于A，，，则有，解得，A选项错误；对于B，，，则，所以，B选项正确；对于C，时，有，则有，由一次函数和二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，时，的最小值为1，C选项正确；对于D，，使得，从而恒成立，故D选项错误.故选：BC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空3分，第二空2分．把答案填在答题卡中的横线上．）12.计算的结果是______．【答案】【解析】.13.已知函数在上是减函数，则的取值范围是______.【答案】【解析】当时，在R上递减，符合题意；当时，由二次函数的性质可知，且对称轴，解之得.综上：的取值范围是.14.若，且函数与的图象若只有个交点，则写出一个符合条件的集合______；若有两个交点，则满足条件的不同集合有______个．【答案】（答案不唯一）【解析】函数与的图象分别有个，个，个交点；函数与的图象都有个交点；函数与的图象有个交点，所以函数与的图象若只有个交点，则或；函数与的图象若只有个交点，则或或或.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知全集为R，集合（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.解：（1）解不等式，即，得，则，当时，，所以.（2）依题意，，，由存在实数使""是""的充分不必要条件，转化为是A的真子集，因此，其中等号不能同时取到，解得，所以实数的取值范围是.16.已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）证明在区间上单调递减；（3）解不等式.解：（1）∵是奇函数，∴，则，经验证此时为奇函数.（2）∵，∴，设，则，，∵，∴，，则，则，则，即y=fx在区间1,+∞（3），∵y=fx在区间1,+∴不等式等价为，即，解得或，即不等式的解集为.17.某公司打算在2023年度建设某型手机芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本V（x）（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出．（1）设2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式；（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，要产出多少万枚芯片才能使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润．解：（1）由题意可得，，所以，即.（2）当时，；当时，，在上单调递增，；当时，由基本不等式有，当且仅当，即时等号成立，此时.综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.18.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求函数的解析式；（2）在给定的直角坐标系内画出的图象，并指出的单调区间（不必说明理由）；（3）求在上的最大值和最小值（不必说明理由）；（4）求不等式的解集．解：（1）函数是定义在的奇函数，当时，，可得时，，即有，即有，综上可得.（2）函数的图象如图，由图可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（3）由图可知，，.（4）当时，，由，得，解得；当时，，由，得，解得.综上所述，不等式的解集为．19.我们知道，函数的图象关于原点中心对称的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于中心对称的充要条件是为奇函数.（1）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴对称的充要条件是为偶函数”的一个推广结论；（2）直接写出函数的图象的对称中心，并证明你的结论；（3）已知函数，函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为其中为正整数，求(结果用表示)解：（1）推论：函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数；或函数的图象关于成轴对称的