广东省部分学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省部分学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册第一章至第二章.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为，倾斜角为.故选：C.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以故选：C.4.已知直线与.若，则（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由于，所以，此时两直线方程分别为，不重合，符合题意，所以.故选：B.5.已知向量，，.若，，共面，则（）A.11 B. C.9 D.3【答案】A【解析】依题意，，，共面，所以存在，使得，即，所以，解得.故选：A.6.直线截圆所得的弦长为（）A. B.1 C.4 D.2【答案】D【解析】根据题意可得圆心，圆的半径为3，点到直线的距离，故所求弦长为.故选：D.7.刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意得，，所以，又，，所以设异面直线AE与BD所成的角为，则故选：A8.已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，则，，因为，所以，即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.点在直线上，所以直线与圆有公共点，则，解得故选:B.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线过定点则下列结论正确的是（）A.P的坐标为B.当时，l在y轴上的截距为C.若l与直线垂直，则D.点P在圆的外部【答案】ABD【解析】对于A，由题意得直线，即，由，解得，故A正确；对于B，当时，直线l为，令x=0，，所以在y轴上的截距为，故B正确；对于C，由，解得，故C错误；对于D，因为，所以点P在圆的外部，故D正确.故选：ABD.10.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（）A. B.C.在上单调递增 D.在上恰有10个零点【答案】ABD【解析】由图可知，，，即，又，则，故A正确；此时，又，且，则，故B正确；此时，当时，，因为函数在上不单调，所以在上不单调，故C错误；当时，，因为函数在上有10个零点，所以在上恰有10个零点，故D正确.故选：ABD.11.若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，，分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（）A.若，则B.存在点H，使得平面C.线段长度的最小值是D.存在点H，使得【答案】ABC【解析】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，则，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四点共面，若，则，解得，A正确；对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，则，，，，故，，，，易得是平面的一个法向量，若平面，则，即，解得，符合题意，所以存在点H，使得平面，B正确，对于C：，当时，取得最小值，最小值为，C正确.对于D：若，则，得，无解，所以不存在点H，使得，D错误.故选：ABC.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆，则圆的半径为_____________.【答案】4【解析】根据题意圆，可得圆的半径为.故答案为：413.某校高三年级男生共600人，女生共400人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，则被抽取的女生人数为_____________.若从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1个男队长的概率为_____________.【答案】①2②【解析】根据题意易得被抽取的这5人中女生的人数为，则男生的人数为3，女生人数为2，设被抽取的这5人中男生分别为A，B，C，女生分别为a，b，则从被抽取的这5人中抽取2人的所有情况有，，共10种情况，其中恰有1个男队长的情况有6种，故所求概率为.故答案为：2；.14.已知球是棱长为的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体表面上的动点，则的最大值为______.【答案】【解析】如下图所示：正四面体的棱长为，设其内切球球心为点，连接并延长交底面于点，则为正的中心，且平面，连接并延长交于点，则为的中点，且，，，因为平面，平面，则，可得，的面积为，正四面体的体积为，设正四面体的内切球的半径为，则，即，解得，可得，因为，，可得，当点位于正四面体的顶点时，取最大值，所以.故答案为：.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为且.（1）求的大小;（2）求的面积.解：（1）由及正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由题意可得的面积为.16.已知在中，.（1）求直线AB的方程;（2）求外接圆的标准方程;（3）过点B作的外接圆的切线，求该切线方程.解：（1）由已知可得，所以直线AB的方程为，即.（2）设的外接圆的标准方程为，则解得故的外接圆的标准方程为.（3）由（2）得外接圆的圆心为.因为，所以切线的斜率为，故所求切线方程为，即.17.如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分别是EG，BC的中点.（1）证明：平面ABCD.（2）若，求点N到平面AMF的距离.解：（1）因为，，都垂直于平面，则.取的中点，连接，，则，且，所以且，所以四边形为平行四边形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）连接.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A2,0,0，，，，可得，，.设平面的法向量为n=x,y,z，则，取，得，，可得.故点到平面的距离.18.如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面（1）证明：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值.（3）棱BC上是否存在一点P，使得二面角余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由.解：（1）因为底面ABCD是正方形，所以又因为平面ABCD，平面ABCD，所以因为，且，平面，所以平面（2）因为平面，平面，所以，，又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直，以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为（3）若存在点P满足题意，则可设点，其中，则，设平面的法向量为，则，令，则，故易得平面的一个法向量为，所以，解得或舍去)，故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为19.古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为.（1）求的方程；（2）若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，