2025版高考数学一轮总复习专题检测4.4解三角形

.4解三角形一、选择题1.(2024届河北神州智达省级联测,3)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠B=135°,b=15,c=3,则a=()A.2B.6C.3D.26答案B由余弦定理得b2=a2+c2+2ac,即15=a2+6a+3,解得a=6(舍负).故选B.2.(2024江西九江重点中学调研,4)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=26,b=4,则B=()A.45°或135°B.135°C.45°D.以上都不对答案C依题意,得26sin60°=4sinB,所以sinB=4×3226=22,又因为0°<B<180°,所以B=45°或135°,又因为3.(2024届北京一零一中学统练一,3)△ABC中,若c=2acosB,则△ABC的形态为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三角形答案B由题意得sinC=2sinAcosB,所以sin(A+B)=2sinAcosB,所以sinAcosB-sinBcosA=0,即sin(A-B)=0,因为A,B,C是三角形内角,所以A=B.所以△ABC为等腰三角形.4.(2024届豫南九校联考(二),7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asinB+3bcosA=0,则tanA=()A.3B.13C.-13答案D由asinB+3bcosA=0,结合正弦定理得sinAsinB+3sinBcosA=0,即sinB(sinA+3cosA)=0,因为0<B<π,所以sinB≠0,所以sinA+3cosA=0,所以tanA=-3.故选D.5.(2024届四川南充调研,5)在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的状况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定答案C在△ABC中,b=40,c=20,C=60°.由正弦定理得bsinB=csinC,∴sinB=bsinCc=40×3220=3>1,与sinB≤1相冲突,∴∠6.(2024届河北邢台“五岳联盟”10月联考,4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+b)(sinA-sinB)=csinC+b(1+cosA)·sinC,则cosA=()A.-13B.-23C.13答案A由题意及正弦定理可得(a+b)(a-b)=c2+bc(1+cosA),整理得a2=b2+c2+bc(1+cosA),因为a2=b2+c2-2bccosA,所以-2cosA=1+cosA,解得cosA=-137.(2024届陕西名校联盟10月联考,9)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,A=π3,b+c=2a,△ABC的面积为23,则△ABC的周长为(A.6B.8C.62D.63答案C因为A=π3,S△ABC=23,所以12bcsinπ3=23由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-8,又知b+c=2a,∴a2=(b+c)2-2bc-8=4a2-24,解得a=22,所以b+c=42.故三角形的周长l=a+b+c=62.故选C.8.(2024届江苏徐州期中,9)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满意cos2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC,且sinA+sinC=1,则△ABC的形态为()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.顶角为120°的非等腰三角形D.顶角为120°的等腰三角形答案D因为cos2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC,所以sin2A+sin2C-sin2B=-sinAsinC,由正弦定理可得a2+c2-b2=-ac,所以a2+c2-b22ac=-12,由sinA+sinC=1得sinA+sin(60°-A)=1,得sinA+sin60°cosA-cos60°sinA=1,即12sinA+32cosA=1,所以sin(A+60°)=1,因为A为三角形的内角,所以A=30°,则C=30°,所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形.故选9.(2024届百师联盟9月一轮复习联考(一),10)如图,设△ABC的内角∠BAC,∠B,∠ACB所对的边分别为a,b,c,若b2=ac,∠B=π3,D是△ABC外一点,AD=3,CD=2,则四边形ABCD面积的最大值是(A.1332+6B.C.1336+4D.答案B因为cos∠B=a2+c2-b22ac=12,b2=ac,所以a2+c2-ac=ac,则(a-c)2=0,a=c,又∠B=π3,所以△ABC是等边三角形.在△ADC中,由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD,由于AD=3,CD=2,所以b2=13-12cosD,所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12b2sinπ3+12·6sinD=34b210.(2024届广东深圳福田外国语高级中学调研,7)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了闻名的海伦公式,利用三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边长分别为a,b,c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)A.1721B.17C.56D.5答案D∵a+b=7,c=5,∴p=a+b+c2=6,∴S2=6×(6-5)×(6-b)(6-a)=6[ba-6(b+a)+36]=6(ba-6)≤6×b+a22-6=150二、填空题11.(2024届昆明质检(一),15)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,若bsin2A-asinB=0,2b=c,则sinAsinC答案3解析由bsin2A-asinB=2bsinAcosA-asinB=0及正弦定理,得cosA=12,即b2+c2-a22bc=12,又2b=c,则a2=3412.(2024届黑龙江六校联考,15)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,3c=4b,a=13,A=60°,则△ABC的面积为.

答案33解析由cosA=b2+c2-a22bc及已知得12=b2+c2-132bc,得b13.(2024届山东烟台莱州一中开学考,14)在△ABC中,已知C=120°,sinB=2sinA,且△ABC的面积为23,则AB的长为.

答案27解析设角A,B,C的对边分别为a,b,c.由sinB=2sinA及正弦定理可得b=2a,∴S△ABC=12absinC=12a×2a×32=23,∴a=2,b=4,由余弦定理可得c2=4+16-2×2×4×-三、解答题14.(2024届北京牛栏山一中10月月考,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=1,b=2.(1)若c=2,求△ABC的面积S;(2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,并求sinA的值.条件①:B=2A;条件②:A+B=π3条件③:C=2B.解析(1)cosB=a2+c2-b2因为B∈(0,π),所以sinB=1-cos所以△ABC的面积S=12acsinB=12×1×2×144(2)选择条件①.由asinA=bsinB和B=2A,得1sinA=2sin2A=22sinAcosA,因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosA=1,因为选择条件②.由asinA=bsinB得1sinA=2sinπ3-A=232cosA-12所以sinA=2114因为bsinA=217<a<b,所以△ABC有两解又A+B=π3,所以B为锐角,所以△ABC唯一.sinA=21选择条件③.由bsinB=csinC和C=2B,得2sinB=csin2B=c2sinBcos由b2=a2+c2-2accosB,得4=1+16cos2B-2×1×4cos2B,解得cosB=±64因为C=2B,所以B为锐角,故cosB=64,sinB=10所以sinC=2sinBcosB=154,cosC=2cos2B-1=-1所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=104×-14+64×15.(2024届合肥8月联考,18)已知△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且bsin(1)若a=2,求△ABC外接圆的面积;(2)若(b+a)(b-a)+c2+6=0,求△ABC的面积.解析(1)由正弦定理及已知得sinBsinC+sinCsinB则asinA=4=2R,即R=2(R为△ABC故△ABC外接圆的面积S=πR2=4π.(2)(b+a)(b-a)+c2+6=b2+c2-a2+6=0,故b2+c2-a2=-6,则cosA<0.由(1)知sinA=12,所以cosA=-3因为cosA=b2+c2-a22bc,所以-32=-62bc,得bc=23,所以S16.(2024届北京一零一中学统练一,18)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3a=b(sinC+3cosC).(1)求角B的大小;(2)若A=π3,D为△ABC外一点,DB=2,CD=1,求四边形ABDC面积的最大值解析(1)∵3a=b(sinC+3cosC),∴3sinA=sinB(sinC+3cosC),在△ABC中,sinA=sin(B+C),则3sin(B+C)=sinBsinC+3sinBcosC,即3cosBsinC=sinBsinC,∵C∈(0,π),∴sinC≠0,∴3cosB=sinB,即tanB=3,∵B∈(0,π),∴B=π3(2)由题意可知,点A和点D在直线BC的两侧.在△BCD中,BD=2,CD=1,∴BC2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD,∵B=π3,A=π3,∴△ABC∴S△ABC=12BC2×sinπ3=53又S△BDC=12·BD·DC·∴S四边形ABDC=534+sinD-3cosD=53∴当D-π3=π2,即D=5π6时,四边形ABDC的面积取得最大值,17.(2024届豫东豫北十校联考(二),20)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3cosC+sinC=3b且a=1.(1)求△ABC的外接圆的半径;(2)求2b-c的取值范围.解析(1)由3cosC+sinC=3b且a=1可得a(3cosC+sinC)=3b,依据正弦定理可得3sinB=3sinAcosC+sinCsinA.∵A+B+C=π,∴sinB=sin(A