四川省2024-2025学年高一数学上学期第三次质量检测试题含解析

Page15四川省2024-2025学年高一数学上学期第三次质量检测试题满分:150分时间：120分钟一、单项选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.函数y＝的定义域为（）A.(1,2) B.[1,2)C.(1,2] D.[1,2]【答案】A【解析】【分析】依据详细函数的定义域建立不等式组，解之可得选项.【详解】解：由题意得，解得1<x<2，所以所求函数的定义域为(1,2)．故选：A.2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】C【解析】【分析】依据指数式与对数式互化公式干脆得到答案.【详解】由可得,C不正确故选：C【点睛】本题考查指数式与对数式互化公式：且.属于基础题.3.对于，且，下列说法中，正确的是（）①若，则;②若，则;③若，则;④若，则.A.①③ B.②④ C.② D.①②④【答案】C【解析】【分析】依据对数的含义以及性质一一推断各选项，即可推断出答案.【详解】对于①，当时，都没有意义，故不成立;对于②，，则必有，故正确;对于③，当互为相反数且不为0时，也有，但此时，故错误;对于④，当时，都没有意义，故错误.综上，只有②正确.故选：C4.已知，，则（）A. B. C.10 D.1【答案】B【解析】【分析】依题意首先求出，再依据指数与对数的关系计算可得；【详解】解：因为，，所以，因为则．故选：B．5.函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，则a的值是（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】由题意可得，从而可求出a的值，【详解】解：因为，所以函数在区间[1，3]上为增函数，因为函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，所以，解得，故选：C6.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式推断.【详解】A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B.在上单调递减，故错误；C.因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确；D.因为，所以函数是偶函数，故错误；故选：C．7.若，且，则的值可能为（）A. B. C.7 D.10【答案】D【解析】【分析】设，把指数式改为对数式，利用对数的运算求解．【详解】设，则且，，，，所以．故选：D．8.若关于的方程（且）有两个不等实根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】问题转化为函数交点问题，依据不同取值，结合指数型函数的性质分类探讨求解即可.【详解】设，关于的方程（且）有两个不等实根，转化为函数与函数有两个交点，当时，在同始终角坐标系内，函数与函数的图象如下图所示：明显函数与函数的图象只有一个交点，不符合题意；当时，在同始终角坐标系内，函数与函数的图象如下图所示：函数与函数有两个交点，则有，故选：D【点睛】方法点睛：方程有解问题转化为函数交点问题，利用数形结合思想进行求解.二、多项选择题（本题共4道小题，每小题5分，共20分．漏选得2分，错选得0分）．9.已知实数，，满意，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】依据指对幂函数的性质，即可比较各选项中函数值的大小.【详解】A选项：为单调减函数，所以；B选项：与，当时，当时，所以；C选项：在时，而在时，所以；D选项：在上单调递增，所以；故选：BC.【点睛】本题考查了利用指对幂函数的性质比较数、式的大小，应用了函数思想，属于基础题.10已知函数，则（）A.是偶函数 B.值域为C.在上递增 D.有一个零点【答案】BD【解析】【分析】画出的函数图象即可推断.【详解】画出的函数图象如下：由图可知，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；值域为，故B正确；在单调递减，在单调递增，故C错误；有一个零点1，故D正确.故选：BD.11.已知函数，下面说法正确的有（）A.的图象关于轴对称B.的图象关于原点对称C.的值域为D.，且，恒成立【答案】BC【解析】【分析】推断的奇偶性即可推断选项AB，求的值域可推断C，证明的单调性可推断选项D，即可得正确选项.【详解】的定义域为关于原点对称,，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选项A不正确，选项B正确；，因为，所以，所以，，所以，可得的值域为，故选项C正确；设随意的，则，因为，，，所以，即，所以，故选项D不正确；故选：BC【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设是该区间内的随意两个值，且；（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于推断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：推断，依据定义作出结论.即取值作差变形定号下结论.12.已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3，则下列说法正确的是（）A.f(4)=-3B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点C.函数y=f(x)的最小值为-4D.函数y=f(x)的最大值为4【答案】ABC【解析】【分析】利用对数运算，即可求得；令，求得方程的根，即可求得与轴交点的个数；利用换元法即可求得该函数的最值.【详解】因为f(x)=(log2x)2-log2x2-3=(log2x)2-2log2x-3，故f(4)=(log24)2-2log24-3=22-2×2-3=3，故A正确.令f(x)=0得log2x1或log2x=3，故x=或x=8，即方程f(x)=0有两个不等实根，则函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点，故B正确.令log2x=t，则y=t2-2t-3=(t-1)2-4(t∈R)，此函数有最小值4，无最大值.故函数y=f(x)有最小值4，无最大值.故C正确，D错误.故选：.【点睛】本题考查对数运算以及对数方程的求解，涉及二次项对数复合函数值域的求解，属综合基础题.三填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）．13.已知logx27＝3，则x＝________.【答案】3【解析】【分析】利用指对数互化即可求出x.【详解】因为x3=27，而33=27，所以x=3.故答案为：314.已知函数，则___________.【答案】8【解析】【分析】由函数解析式，代入求值.【详解】由，则故答案为：815.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】依据函数是上的增函数，则每一段都是增函数且左侧的函数值不大于右侧的函数值.【详解】函数是上的增函数，函数，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于基础题.16.已知函数，，则________．【答案】【解析】【分析】发觉，计算可得结果.【详解】因，，且，则.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发觉是关键，属于中档题.四．解答题（本题共6道小题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）17.求下列各式的值：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依据对数运算法则计算即可得答案；（2）依据对数运算与指数运算法则运算求解即可.【详解】解：（1）；（2）.18.设，求证:（1）;（2）.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）依据，利用指数幂的运算化简，即可证明结论.（2）求出，再求出的结果，即可证明结论.【小问1详解】证明：，故;【小问2详解】证明：，又，所以.19.已知函数（且），．（1）若，求取值范围；（2）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）依据求出的值，由得出的范围，由对数函数的性质可得结果；（2）由对数的性质可得，进而可得的范围.【详解】（1）函数（且），，，函数．若，，故的取值范围为．（2）不等式，即，，解得，故不等式的解集为．20.已知函数；（1）推断函数的奇偶性；（2）推断函数的单调性；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或【解析】【分析】（1）求出，比较与的关系即可得稀奇偶性；（2），则，利用复合函数的单调性推断；（3）利用函数单调性解不等式即可．【详解】解：（1）由得，或，又，故函数是奇函数；（2）令，其在上单调递增，又在上单调递增，依据复合函数的单调性可知在上单调递增，又依据（1）其为奇函数可得在上单调递增，所以函数的单调增区间为，；（3），且函数在上单调递增得，解得或．21.已知函数在区间上有最大值4和最小值1，设.（1）求的值（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）推断函数在上的单调性，即可依据最值列出方程，解得答案.（2）由（1）可得的表达式，将不等式在上有解，转化为在上有解，即在上有解，分别参数，结合二次函数学问，即可求得答案.【小问1详解】由题意图象的对称轴为,在上单调递增，，解得.【小问2详解】由（1）知，当时，，令，则在上有解，即上有解，由，，因为，则在时取得最大值，最大值为，，即的取值范围是.22.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值;（2）用定义证明在上为减函数;（3）若对于随意，不等式恒成立，求的范围.【答案】（1），.（2）证明见解析.（3）【解析】【分析】（1）依据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案.（2）依据函数单调性的定义即可证明结论.（3）利用函数的奇偶性和