奥数课程不定方程教案

不定方程适用学科小学数学适用年级小学六年级适用区域北京课时时长（分钟）120知识点等式的意义方程的意义列表枚举（一一列举）教学目标不定方程的定义、常见题型教学重点理解不定方程的定义并能解答相关问题教学难点对于不定方程的一些需要辨析内容的训练教学过程一、复习预习当方程中未知数的个数比方程的个数多时，我们就称这样的方程为不定方程。比如：3x-4y=6，方程只一个，但未知数却有两个，这就是不定方程。古希腊著名数学家丢番图曾在其著作《算术》中介绍过关于不定方程，所以不定方程又叫丢番图方程。很明显，在不定方程3x-4y=6中，x、y的取值有无数个，不定方程的解往往有无数个。我们这里介绍的不定方程，一般都会有条件限制，比如说上述不定方程中的x、y只能是自然数，这样我们可以根据限制的条件来求出不定方程的解。所以，解答这类方程，一定要找出题中明显或隐含的限制条件。同时，我们这里介绍的不定方程，最主要是介绍不定方程在解答应用题方面的作用。二、知识讲解考点1系数上的考虑如7x+11y=276，我们有两种解法，一是变形为：x=（276-11y）÷7；二是变形为：y=（276-7x）÷11。我们对照下这两种解法中的取值情况。第一种：Y有0---25种取值可能；而第二种X有39种取值可能，很明显，第一种解法比第二种解法相对来说速度会更快些。但我们换个角度，由于X、Y都是自然数，由上述两种变形可知，X应是7的倍数，Y应是11的倍数，而1---276中7的倍数有39个，11的倍数有25个，那么，很明显，从倍数上考虑，第二种解法比第一种解法相对来说速度更快些。所以，在解不定方程时，一定要注意未知数前面的系数，选择恰当的变形来解不定方程。考点2尾数上的考虑例如解不定方程5X+4Y=59的自然数解。和的个位数是9，说明5X的个位数字一定是5，那么X一定取奇数；4Y的个位数字一定是4，那么Y只能是1、4、6、11、14。这样解的过程就容易多了，速度也上来了。考点3奇偶性上的考虑上道例题还可以从数的奇偶性入手考虑。59是一个奇数，4Y一定是个偶数，那么，5X就一定是个奇数，那么X取值只能取奇数，如1、3、5、、、、等等，也能起到简便解题过程的作用。考点4倍数关系上的考虑例如解不定方程2X+3Y=21的自然数解。我们注意到，21是3的倍数，3Y肯定也是3的倍数，2X=21-3Y，那么2X也应是3的倍数，这样X只能取是3的倍数的数了，如：0、3、6等等，这样就能起到简化解题过程的作用了。三、例题精析【例题1】【题干】一天，张明问李军的生日，李军说：“将我生日的月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347。”你知道李军的生日是几月几日吗？【答案】解：设李军生日的月份数为x，生日的日期数为y，列方程：31x+12y=347变形后得：y=………………（1）即y=29-3x+∵x、y为整数，且1≤x≤12，5x-1能被12整除x=5y=16∴x=5y=16把x=5代入（1），得所列方程的整数解为:答：李军的生日是5月16日。【解析】如果设李军生日的月份数为x，生日的日期数为y，则原题实际上就是求不定方程31x+12y=347的正整数解。【例题2】【题干】我国古代有一位著名的数学家张丘建，曾经提出并解决了“百钱买鸡”这个有名的数问题：“一百元买一百只鸡，公鸡五元钱一只，母鸡三元钱一只，小鸡一元钱三只，公鸡、母鸡、小鸡各买几只？”【解析】该题共有三个未知数，若设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡z只，根据题意可以建立方程则然后进行分析解答。【答案】解：设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡（100-x-y）只，可得方程5x+3y+×（100-x-y）=100化简整理得：7x+4y=100由此有：1≤x≤即1≤x≤14注意到100和4y都是4的倍数，而7和4互质，所以x也应是4的倍数，x就是三种可能：4、8、12。x=4时，y=18；x=8时，y=11；x=12时，y=4。所以此题有三个答案：1.买公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；2.买公鸡8只，母鸡11只，小鸡84只；3.买公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。【例题3】【题干】红旗剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16，从第二排起，每排比前一排多一个座位。问：居场共有多少排座位？【解析】设剧声共有x排座位，要找到总座位数与排数的关系，还必须设第一排有座位m个，那么第二排有座位（m+1）个，第三排有座位(m+2)个，……，第x排有座位（m+x-1）个，剧场共有座位m+·x个（想一想，这是怎样得到的）。因剧场总座位数已知，所以就可以得到有关x和m的一个不定方程。【答案】解：设剧场共有x排座排，第一排有m个座位，则第x排有座位(m+x-1)个，根据题意列方程得：m+·x=1000将方程变为：因为x,m均为整数，所以x为奇数，且x是1000的约数∵1000=23×53∴1000的奇约数只有5，25，125∵x＞16，∴x=5不合题意又当x=125时，m=8-62，不合题意当x=25时，m=28，符合题意答：剧场共有25排座位。【例题4】【题干】（《小学生数学报》第九届数学竞赛决赛试题）新世纪学校的学生总数是一个三位数，平均每个班36个。统计员提供的学生总数却比实际总人数少180人。原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位、十位上的数字对调了。这个学校学生总数最多是多少人？【答案】解：设这个学校学生总人数是abc,则abc-bac=180即（100a+10b+c）－(100b+10a+c)=180化简得a-b=2这个学校的总人数只能是：20□，31□，42□，53□，64□，75□，86□，97□。又知道总人数是36的倍数，直接除以36，可知：总人数只能是648、756、864或972。答：这所学校的学生总人数最多是972人。【解析】假设这个学校总人数是abc,那么abc-bac=180，化简a－b=2，根据这个不定方程，结合数的整除性，就可以确定这个学校学生的总人数。四、课堂运用【基础】1.求不定方程7x+11y=276的自然数解【答案】题中不定方程的限制条件就是x、y都是自然数将不定方程7x+11y=276变形为x=（276-11y）÷7由于x、y都是自然数，说明276-11y应该是7的倍数，y可以从最小的自然数1开始试验经过试验，y可取6、13、20相对应，x=30、19、82.大客车有48个座位，小客车有30个座位。现有306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位，需要大、小客车各多少辆？【答案】方法（一）列举法通过画表列举的方法，一一尝试，最终把答案找出来。方法（二）假设法假设全部用小客车，需要10辆，另空出6个座位由于题目要求不能有空位，所以首先要弄清楚的是换几辆小客车挪出的空位正好能换成大客车，即是48的倍数。经过尝试，退出3辆小客车，就有3×30+6=96人没座位，正好可乘两辆大客车。所以，需要大客车2辆，小客车7辆方法（三）不定方程由于旅客人数、车辆数都是自然数，所以我们可以列出符合题意的不定方程，并求出它的自然数解。设需要大客车x辆，小客车y辆则48x+30y=306即8x+5y=51Y=（51-8x）÷5由于y是自然数，所以51-8x应该是5的倍数我们不难找出：x=2；y=7（另注：在解这个不定方程时，我们还可以从奇偶数的角度来解。8x是一个偶数，51是个奇数，那么5y肯定是个奇数。那么5y的个位数字一定是5，由于和是51，可见8x的个位数字一定是6，即x=2或7，把它代入不定方程中，很容易得出：x=2；y=7）【巩固】1.学校里共有12间宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，问中、小宿舍共有多少间？【答案】设中宿舍x间，小宿舍y间，那么大宿舍就有（12-x-y）间则8（12-x-y）+7x+5y=80即x+3y=16解得：y=1、x=13或y=2、x=10或y=3、x=7或y=4、x=4或y=5、x=1由于总的宿舍间数是12间，所以前两种答案不符题意。即y=3、x=7或y=4、x=4或y=5、x=12.某地水费，不超过10吨时，每吨0.45元;超过10吨的,超过部分按每吨0.80元收费;张家比李家多交水费3.30元,如果两家的用水量都是整数吨,问张家和李家各交水费多少元?(两家所用水量均为整数吨)【答案】为了便于理解,题中所有单位为元的数字全部转化成以分为单位,这样就没有小数了由于张家比李家多交水费330分,而330分既不是45的整数倍,也不是80的整数倍,说明一定是张家的用水量超过10吨,而李家的用水量不到10吨.设张家用水x吨,李家用水y吨,且x>10,y<10,x,y均为自然数则(x-10)×80+10×45-45y=330即16x-9y=136x=(136+9y)/16=8+(8+9y)/16y可取1、2、3、、、、9，经尝试，只有y=8时，x才是整数，x=13所以，张家交水费：10×45+3×80=690（分）=6.9元李家交水费:6.9-3.3=3.6元【拔高】1.今年,祖父的年龄是小明的6倍,几年后,祖父的年龄将是小明的5倍.又过几年后,祖父的年龄是小明的4倍.求祖父今年多少岁?【答案】设小明今年x岁,祖父今年就是6x岁,y年后,祖父的年龄是小明的5倍则5(x+y)=6x+y即x=4y又设m年后,祖父的年龄是小明的4倍,则4(x+y+m)=6x+y+m即2x=3y+3m把x=4y代入2x=3y+3m,得8y=3y+3m即5y=3my=(3/5)m由于y是整数,所以m=5、10、15、20、、、可算出y=3、6、9、12、、、、那么x=12、24、36、48、、、那祖父的年龄就是72、144、、、、很明显，只有当m=5，y=3，x=12时，祖父的年龄是72岁才符合实际。2.某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？【答案】设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。则6x+3y+2z＝22=1\*GB3①9x+4y+z＝22=2\*GB3②由=2\*GB3②×2－=1\*GB3①，得12x+5y＝22y＝EQ\F(22－12x,5)x＝1x只能取1。y＝2，代入=1\*GB3①得z＝5，原方程的解为y＝2z＝5故一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。课程小结1、在一个问题中，如果未知数的个数多与题目中所给的条件，就会列出未知数比方程的个数多的方程，这样的方程叫做不定方程。2、不定方程的解题思路是：给出一个未知数的值，代入求另一个的值。3、解题步骤：先根据题目中的条件缩小未知数的范围，再逐个去试验。课后作业【基础】求下面方程组的自然数解。1.4x+3y－2z＝72.7x+9y+11z＝683x+2y+4z＝215x+7y+9z＝52【答案】1.x＝1y＝3z＝32.x＝3x＝4y＝4y＝2z＝1z＝2【巩固】1.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是多少？【答案】设电话号码的前三位为x,后三位y,第四位为a(a≠0).由题意有①②①②①-②,化简得.当a=1时,x=837,y=692;当a≥2时,y<0,不合题意.所以电话号码为8371692.2.某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工多少人？【答案】设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子人.这个条件说明3|x+y.由已知即由12|4(x+y),12|72.所以12|y,又≤.所以，y=12,x=3.即有女职工3人.【拔高】1.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?【答案】设获一、二、三等奖的人数分别为,根据题意有:①②①②2×②得③③-①得④解④求得整数解为x=1,y=2.代入②可求得z=5.答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.2.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买