数字信号处理-课件 第9章 有限字长效应

第9章有限字长效应§9-2有限字长运算的误差效应§9-1量化与量化误差目录§9-4IIR滤波器的极限环震荡§9-3系数量化对滤波器的影响本章目录数字信号处理系统，通常存在如下三种有限字长因素而产生的误差源：概述

（1）输入为模拟信号时，对输入模拟信号的量化误差，即因A/D的精度或位数的影响而产生的输入量化误差；

（2）对滤波器系统各系数的量化误差，即因计算机存贮器的有限字长而产生的系数量化误差；（3）计算过程中的误差，如舍入、截尾、溢出和误差累积等因素产生的运算量化误差。误差产生的原因数字滤波器为什么产生误差？为了加深理解，现在从一道数字滤波器的实际系统说起。设滤波器的系统函数如下：误差产生的原因(1)A/D转换量化误差(3)系数量化误差但因为有限字长，将产生如下几项误差设数字滤波器的系统函数如下：(2)乘积运算量化误差例1有限字长的存储单元会产生哪些误差？解：若为无限字长，理论上不会产生任何误差9.1量化与量化误差9.1.1二进制数的表示1．定点二进制数如果在信号处理的整个运算中，二进制小数点在数码中的位置固定不变则称为定点二进制数，简称为定点制。定点二进制数特点：定点二进制数的范围在（-1,1）之间；最高位为符号位，0为正，1为负；数的本身只有小数部分，称为“尾数”；定点数进行加减运算时结果可能会超出±1,称为“溢出”乘法运算不会溢出，但字长要增加一倍。为保证字长不变，乘法运算后，应对增加的尾数作截尾或舍入处理，将产生运算误差。定点二进制数的表示包括原码、反码、补码三种形式。设有一个b+1位（b位字长，1位符号位）的定点二进制数x，即x包含1位符号位，b位尾数，故二进制数为β0β1β2┄βb，则（1）原码表示例：1.111→-0.875,0.110→0.75（2）反码表示反码表示,正数同原码，负数则将原码中的尾数按位求反.例：正数表示：0.101，其反码为：1.010（3）补码表示例：x=-0.75

正数表示为：0.110，取反为：1.001，则补码为：1.0102．浮点二进制浮点制将数表示为尾数和指数两部分，其表示方法如下：式中，M为x的尾数部分，2c为x的指数部分，c为阶数或阶码。（1）浮点制运算规律

加法运算：对阶、相加、归一化,并对尾数进行截尾或者舍入处理。

乘法运算:尾数相乘,阶码相加,再作截尾或舍入处理。（2）浮点制的特点优点:动态范围大,一般不会产生溢出。缺点:加法运算和乘法运算都要对尾数进行量化处理。9.1.2定点制的量化误差定点二进制的乘法运算，运算完成后会使字长增加，例如原来是b位字长，运算后增长到b1位（b1>b），需对尾数进行处理，使b1位字长降低到b位。由于存储器和寄存器都是b位字长，可以表示的最小数为2b，称为量化步长或量化阶，通常用q表示，即q=2b量化处理方式包括截尾和舍入两种方式。

截尾：保留前b位，直接舍弃因乘法运算产生的多余位数的尾数；

舍入：按最接近的值取b位码。1．截尾处理：（1）正数用QT[x]表示对x进行截尾处理，则有截尾误差为正数的截尾误差为（2）负数由于负数的三种码表示方式不同，所以误差也不同。

原码（β0=1）：

补码（β0=1）：反码（β0=1）补码的截尾误差均为负值，原码和反码的截尾误差取决于数的正负，正数时为负，负数时为正。根据对原码、反码和补码的误差分析，其截尾量化误差特性如图所示。2.舍入处理通过对数的b+1位进行加1运算后作截尾处理实现舍入处理，即数学中常用的四舍五入法，按最接近的数进行量化处理，所以不论正数、负数，还是原码、补码、反码，误差总是正负q/2之间，以QR[x]表示对x作舍入处理，其舍入处理的误差特性如下图所示。由上述分析可知，无论采用原码、反码还是补码表示，舍入处理的量化特性均相同，其误差比截尾处理的误差小，所以对信号进行量化时通常采用舍入处理。9.1.3A/D量化效应对一个采样数据x(n)作截尾和舍入处理，则截尾量化误差：舍入量化误差为：A/D量化误差的统计模型如下图所示。

上两式给出了量化误差的范围，欲精确确定量化误差的具体数值存在一定的困难，但可以通过分析量化噪声的统计特性来描述量化误差。其中e(n)为量化误差，根据e(n)的统计特性，作如下假定：

①e(n)是平稳随机序列；

②e(n)与信号x(n)不相关；

③e(n)任意两个值均不相关，即白噪声；

④e(n)具有均匀等概率分布。由上述假设可知量化误差e(n)表现为一个与信号x(n)完全不相关的白噪声序列，称为量化噪声。量化误差e(n)具有加性白噪声特性，其概率分布如图所示。（1）截尾量化噪声（2）舍入量化噪声同理，根据误差e(n)的等概率分布模型，可得定义量化信噪比：用对数表示：由上式可知，字长b每增加1位，量化信噪比增加6.02dB；信号能量越大，量化信噪比越高。【例】已知输入信号A/D量化误差服从-1至1之间的均匀分布，分别求8、12位A/D转换器的SNR。解：由于量化误差服从均匀分布，因此可得：当b=8位时当b=12位时例29.1.4量化噪声通过线性系统单独分析量化噪声通过系统的影响，系统可视为近似理想的线性移不变系统（LSI系统），即暂不考虑系统实现的误差以及运算误差，因此，量化误差通过线性系统的原理可表示为如图所示。输出噪声为则输出噪声的方差为：由Parseval定理，可得由留数定理可得：若e(n)为补码截尾噪声，则输出噪声中还有一直流分量9.2有限字长运算的误差效应数字滤波器包含大量的相乘与求和两种运算。定点制运算中，每一次乘法运算之后都要作一次舍入（截尾）处理，因此，可以将舍入误差作为独立噪声e(n)迭加在信号上，因此，基于定点制乘法运算的理想乘法运算如图（a）所示，实际乘法运算可用如图（b）所示的模型进行统计分析。根据舍入噪声e(n)的特性，对e(n)作如下假设：1.e(n)

为平稳随机噪声序列；2.e(n)

与输入序列x(n)不相关，各噪声之间也互不相关。3.e(n)

为白色噪声；4.在量化间隔上均匀分布,即每个噪声都是均匀等概率分布.

根据这些条件，分析运算舍入误差就可按线性系统进行处理，每一个噪声可用线性离散系统的理论求出其输出噪声，所有噪声经线性迭加得到总的噪声输出。9.2.1IIR滤波器的有限字长效应以一阶IIR滤波器为例，可用差分方程表示：该差分方程的乘积运算将引入一个舍入噪声，如下图所示：系统函数为由e(n)造成的输出误差为

输出噪声的方差为这说明，字长越大，输出噪声越小，同样的方法可分析其它高阶IIR数字滤波器的输出噪声。

IIR滤波器的有限字长效应与滤波器的网络结构有关：（1）直接型网络结构的所有舍入误差都经过全部网络的反馈环节，反馈过程中形成误差积累，故输出误差很大。（2）级联型网络结构，每个舍入误差只通过该误差源后面的反馈环节，而不通过它前面的反馈环节，因而累积误差小，故误差小于直接型。（3）并联型网络结构，每个并联网络的舍入误差只通过自身子网络的反馈环节，与其它并联子网络无关，误差的积累作用最小，因而误差最小。该结论对IIR数字滤波器具有普遍意义。因此，从有限字长效应看，直接型（包括直接Ⅰ和Ⅱ型）结构引起的误差最大，阶数越高，运算误差越大，一般尽量少采用，高阶系统不宜采用；级联型结构的误差比直接型小，但比并联型误差大；并联型结构运算误差最小。9.2.2FIR滤波器的有限字长效应以横截型结构为例分析FIR的有限字长效应。IIR的分析方法同样适用于FIR滤波器，FIR滤波器无反馈环节，不会造成舍入误差的积累，舍入误差的影响比同阶IIR滤波器小，不会产生非线性振荡。1.舍入噪声N-1阶FIR的直接型为：有限精度运算时输出噪声为：因此，FIR卷积型结构的舍入误差可表示为如图所示形式因此，可得输出噪声方差与字长有关，也与点数N有关，N越大，运算误差越大，或者在运算精度相同的情况下，N越大的滤波器需要的字长越长。2.动态范围：对于定点运算，由于动态范围的限制，可能导致FIR滤波器的输出发生溢出，利用比例因子（标度因子），压缩信号的动态范围，可避免产生溢出。定点数不产生溢出的条件：FIR输出：而对于正弦型类的窄带信号，输入信号的标度因子以滤波器的频率响应的峰值来表示，由此确定标度因子A的值，即为了避免FIR滤波器产生溢出，对x(n)引入标度因子A，使9.3系数量化对滤波器的影响在有限精度条件下，系统函数的系数也是通过有限位二进制数表示，系数的量化表示也将引起一定的误差。由于滤波器的所有系数必须以有限长度的二进制形式存放在存储器中，因此，必然对系数的理论值进行量化处理，使得实际系数值与理论系数值存在一定的误差，从而使系统函数的零点和极点位置产生一定的偏离，可能影响到滤波器的性能。1.极点位置灵敏度指每个极点位置对各系数偏差的敏感程度。极点位置的变化可以直接影响系统的稳定性，而极点位置灵敏度可以反映系数量化对滤波器稳定性的影响。设系数量化后的系统函数为：系数量化后，极点变为zi+Δzi，极点位置偏差Δzi是由于系数ai的误差Δai所引起的。（1）Δai对Δzi的影响（2）极点灵敏度与A(z)的关系对系统函数的分母多项式进行偏微分运算可得：经推到可得：（1）若这些矢量(zi-zk)的模越大，即极点彼此间的距离越远，则极点位置灵敏度越低；（2）若这些矢量的模(zi-zk)越小，极点位置灵敏度就越高；上式中分母(zi-zk)的每个因子是一个由极点zk指向当前极点zi的矢量，乘积是所有极点指向极点zk的矢量积，根据该式可得如下结论：（3）即极点位置灵敏度与极点间距离成反比。（4）该式仅适应于单极点系统，对于重极点系统，依据偏导数的概念可进行类似的推导。2.影响极点位置灵敏度的几个因素：（1）与零极点的分布状态有关，极点位置灵敏度大小与极点间距离成反比；（2）与滤波器结构有关，直接型极点位置灵敏度高，系统阶数越大，灵敏度越高；并联或级联型，系数量化误差对极点位置的影响小；（3）高阶滤波器避免用直接型，尽量分解为低阶网络的级联或并联，以降低极点对系数量化误差的位置灵敏度。9.4IIR滤波器的极限环震荡特殊情况下，在IIR滤波器的定点运算中，可能产生如下两种情况的极限环（limitcycle）振荡现象。（1）零输入极限环振荡零输入极限环振荡是指对于稳定的IIR数字滤波器，当输入停止以后，若系统的输出并没有逐渐衰减到0，而是一直维持等幅振荡或者等幅输出。【例】极限环现象示例。一阶IIR数字滤波器系统函数如下设输入信号x(n)及边界条件如下：试求若采用定点制算法，且b=4（不计符号位）时该系统的输出y(n)。解：根据系统函数H(z)可知，该滤波器系统的极点为z=0.5，系统函数的极点在单位圆内，故系统稳定。若用无限精度表示，则系统的输出为例3随着n的增加，输出逐渐衰减至0。若b=4，需要对运算结果进行舍入处理，由于a=0.5，若用4位二进制表示，则为a=0.1000根据系统函数可得系统的差分方程为：由于系统的输入为：由此可得即虽然n>0时刻以后未给系统施加激励，但由于误差效应，系统的输出并没有衰减到0，当时n≥4，系统输出一直稳定为1/16，产生了极限环振荡现象。