数字信号处理-课件 第2章 离散时间信号与系统

2024/12/2213:28第2章离散时间信号与系统2024/12/2213:28

概述

2.1离散时间信号-序列1.信号及其分类(1)信号信号是传递信息的函数,它可表示成一个或几个独立变量的函数.如，f(x);f(t);f(x,y)等.(2)连续时间信号与模拟信号在连续时间范围内定义的信号；幅值为连续的信号称为模拟信号；2024/12/2213:28

(2)连续时间信号与模拟信号（续）

连续时间信号

要点：要求时间连续，对幅值没有要求；

模拟信号：

要点：要求时间连续，同时要求幅值连续；

因此，连续时间信号和模拟信号是不同的概念。

但通常，连续时间信号与模拟信号常常通用。2024/12/2213:28

(3)离散时间信号与数字信号时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号.nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-10122024/12/2213:282.序列的基本概念

离散时间信号又称作序列。通常，离散时间信号的抽样间隔为T，且是均匀的，故应该用x(nT）表示序列在nT时刻的值.可以用x(n)表示x(nT),即第n个离散时间点的值.这样x(n)就形成了一个序列,即序列﹛x(n)﹜。为方便，常用x(n)表示序列﹛x(n)﹜2024/12/2213:28

3.序列的表示序列有几种方法表示?1/21/41/81x(n+1)n0-1-21

(1)序列的集合表示法

x(n)

={1,2,3,4,5,4,3,2,1}

(2)序列的公式表示法

(3)序列的图形表示法

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2.1.1几种典型序列1-2-101mnMatlab实现x=zeros（1，N）；x(1)=1；1.单位抽样序列(单位冲激)δ(n)

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2.单位阶跃序列u(n)Matlab实现x=ones（1，N）；2024/12/2213:28

3.矩形序RN(n)Matlab实现x=[ones（1，N）zero(N1-N)]；N表示矩形的宽度，N1表示序列的长度2024/12/2213:28

4.实指数序列anu(n)实指数序列（0<a<1）Matlab实现

n=0：N-1；

x=a.^n；

%a需先给定或赋值

a为实数，当2024/12/2213:28

5.正弦型序列Matlab实现

n=0：N-1；

x=sin（ωn）；%ω需先给定或赋值其中，ω0为数字频率。2024/12/2213:28

6.复指数序列Matlab实现

n=0：N-1；x=exp(σ+jω*n）；%σ、ω需先给定或赋值ω0是复正弦的数字域频率。2024/12/2213:28

2.1.2

序列的基本运算

在数字信号处理中，序列的基本运算包括：相加、相乘、移位、翻转、累加、差分、尺度变换、卷积和、序列的能量和功率等。卷积和又称为线性卷积，由于该运算比较重要，单独列出。2024/12/2213:28

1.和两序列的和是指同序号(n)的序列值逐项对应相加得一新序列。2024/12/2213:28

x(n)11/21/41/8n-2-1012…y(n)1231/21/4-2-1012n

例12024/12/2213:28

-2-10121/43/23/29/425/8z(n).……2024/12/2213:28

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2.乘积是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。以上例序列为例:2024/12/2213:28

3.移位

当m为正时，

x(n-m)表示依次右移m位；

x(n+m)表示依次左移m位。当m为负时，则相反。序列x(n)及其左移位1位的波形如下图所示：2024/12/2213:28

-1012x(n)11/21/41/8...-2n例22024/12/2213:28

1/21/41/81x(n+1)n0-1-212024/12/2213:28

4.翻褶(折迭)

如果有x(n),则x(-n)是以n=0为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。（a）序列x(n)的波形（b）序列x(-n)的波形序列x(n)及其翻转序列x(-n)2024/12/2213:28

...-2-10121/81/41/21x(-n)n-1012x(n)11/21/41/8...-2n例32024/12/2213:285.累加设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列

y(n)定义为

即表示n以前的所有x(n)的和。Matlab实现：

s=sun(x(n1:n2)；%序列x，求和区间n1、n2需先给定或赋值2024/12/2213:28

6.差分前向差分（先左移后相减）：后向差分（先右移后相减）：2024/12/2213:28

7.尺度变换（1）抽取：x(n)x(mn),m为正整数。例如，

m=2，

x(2n)，相当于两个点取一点；以此类推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n2024/12/2213:28

（2）插值：x(n)x(n/m),m为正整数。例如，

m=2，

x(n/2)，相当于两个点之间插一个点；以此类推。通常，插值用

I倍表示，即插入（I-1）个值。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n。。2024/12/2213:28

8.序列的能量和功率序列能量用E表示，序列x(n)的能量定义为该序列所有抽样值之平方和，即信号的功率定义如下Matlab实现：

E=sum(abs(x).^2)；%序列x需先给定或赋值

P=sum(abs(x).^2)/length(x(n))；%序列x需先给定或赋值2024/12/2213:28

2.1.3线性卷积有限长序列线性卷积的计算方法很多，包括公式法、图表法、列表法。其中公式法计算线性卷积一般分为四步：翻褶(翻转)、移位、相乘、相加。1.定义

设序列x(n),h(n),它们的线性卷积(卷积和)y(n)定义为:2024/12/2213:28

求：例42.线性卷积的计算实例2024/12/2213:28

解：1.翻褶.以m=0为对称轴，折迭h(m)

得到h(-m)，对应序号相乘、相加得y(0)；2.位移一个单元，对应序号相乘、相加得y(1)；3.重复步骤2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

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x(m)01231/213/2m012m1h(m)在亚变量坐标m上作出x(m),h(m)2024/12/2213:28

01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得

y(0)得

y(1)x(m)翻褶位移1对应相乘、相加2024/12/2213:28

以此类推可得2024/12/2213:28

-1012345y(n)n1/23/235/23/2

3.列表法计算线性卷积有限长序列的线性卷积计算，也可以采用表格法进行计算，将序列x(n)和h(n)分别列为下所示的表格：

，

，，

然后按序号分别相乘，各对角线上方的数值就是卷积计算结果：

4.线性卷积计算的简单方法

虽然有限长序列的线性卷积计算方法很多，但任何一种计算方法，数学原理相同，都来源于卷积计算的公式。已知序列x(n)=[1,2,3,4]，h(n)=[1,1,1,1]，1,2,3,411,1,1,1h(n)翻褶3610974因此，y(n)=[1,3,6,10,9,7,4]计算y(n)=x(n)*h(n)解：默认序列序号n从0开始右移相乘相加例52024/12/2213:28

5.用单位抽样序列表示任意序列

(1)任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和.2024/12/2213:28

例6

用单位抽样序列的位移加权和表示如下序列.解：序列x(n)可表示为单位抽样序列的移位加权和，即2024/12/2213:286.线性移不变系统的性质(1)交换律

(2)结合律2024/12/2213:28(3)对加法的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)

h2(n)⊕y(n)x(n)2024/12/2213:28

2.1.4序列的周期性如果存在一个最小的正整数N,满足x(n)=x(n+N),则序列x(n)为周期性序列,N为周期。2024/12/2213:28

周期信号（如正弦信号）经抽样以后一定是周期序列吗？2.1.4序列的周期性2024/12/2213:28

2.2离散线性时不变系统2.1.1线性系统x(n)离散时间系统

T[x(n)]y(n)y(n)=T[x(n)]所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即系统实际上表示对输入信号的一种运算;

2024/12/2213:28

设系统具有：

那么该系统就是线性系统，即线性系统具有均匀性和迭加性。*加权信号和的响应=响应的加权和。*先运算后系统操作=先系统操作后运算。2024/12/2213:28陈天华·北京工商大学计算机计算机与人工智能学院

课堂作业（先做后讲解）

解：设输入x1(n)=2,x2(n)=3

则y1(n)=20；y2(n)=26y1(n)+y2(n)=46而系统对x3(n)=x1(n)+x2(n)=5的输出是：y3(n)=38

y3(n)=y1(n)+y2(n)?

设有如下系统：

y(n)=6x(n)+8

试判断该系统是否线性系统？2024/12/2213:28

2.2.2时不变（移不变）系统

如T[x(n)]=y(n),则T[x(n-m)]=y(n-m),满足这样性质的系统称作时不变（移不变）系统。即系统参数不随时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。

*时（移）不变2024/12/2213:28

分析y(n)=3x(n)+4是否时不变系统？解：因为T[x(n)]=y(n)=3x(n)+4

所以

T[x(n-m)]=3x(n-m)+4

又

y(n-m)=3x(n-m)+4

所以

T[x(n-m)]=y(n-m)

因此，y(n)=3x(n)+4是时不变系统.

*系统操作=函数操作例72024/12/2213:28

y(n)=nx(n)解：因为T[x(n)]=y(n)=nx(n)

所以

T[x(n-m)]=nx(n-m)

又

y(n-m)=(n-m)x(n-m)

所以

T[x(n-m)]≠y(n-m)

因此，y(n)=nx(n)不是时不变系统.

例82024/12/2213:28

2.2.3因果系统某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入的系统称作因果系统。*实际系统一般是因果系统；*对图象、已记录数据处理以及平均处理的系统不是因果系统；

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因果系统举例及判据

y(n)=x(-n)非因果系统因n<0的输出决定n>0时的输入;

y(n)=x(n)sin(n+2).因果系统因果系统判据:线性移不变因果系统的充要条件为

h(n)=0，n<0。例9例102024/12/2213:28

2.2.4稳定系统有界的输入产生有界的输出系统。线性移不变稳定系统的充要条件是2024/12/2213:28

设LTI系统的单位系统脉冲响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。例112024/12/2213:28

习题(先练习后讲解)

以下序列是LTI系统的单位序列响应h(n)，判断系统的因果性和稳定性。答案

:（1）非因果、稳定（2）非因果、不稳定例122024/12/2213:28

求下列信号的周期例13非周期信号2024/12/2213:28

2.3线性系统输入输出关系♦应用卷积求系统输出

♦应用卷积求系统输出

离散线性系统的输入输出关系一般可以用如下两种方法进行描述：2024/12/2213:28

(1)单位抽样响应h(n)T[δ(n)]2.3.1应用卷积求系统输出

δ(n)h(n)

当线性时不变系统的输入为δ(n)，

其输出h(n)称为单位抽样响应，即

h(n)=T[δ(n)]2024/12/2213:28

线性移不变系统[LSI]h(n)x(n)y(n)（2）应用线性卷积求系统输出

y(n)=x(n)*h(n)试证明卷积和公式例14y(n)=x(n)*h(n)2024/12/2213:28

证:2024/12/2213:28

已知两线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为

h1(n)=δ(n)-δ(n-4);h2(n)=anu(n),|a|<1,当输入x(n)=u(n)

时，求输出。h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)w(n)=x(n)*h1(n)=∑x(m)h1(n-m)=∑u(m)h1(n-m)=∑u(m)[δ(n-m)-δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)y(n)=w(n)*h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)]*h2(n)=h2(n)+h2(n-1)+h2(n-2)+h2(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)例15解:?2024/12/2213:28

2.3.2线性系统输入输出关系离散变量n的函数x(n)及其位移函数x(n-m)线性叠加而构成的方程.离散线性移不变系统（LSI）x(n)y(n)1.表示法与求解法

(1)表示法

2024/12/2213:28

常系数：

a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM

均是常数（不含n）.

阶数：y(n)变量的最大序号与最小序号之差，如N=N-0.线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项(2)求解法时域：迭代法，卷积和法;变换域：Z变换法.2024/12/2213:28

2.用迭代法求解差分方程(1)“松弛”系统初始状态为零的系统，这种系统用的较多，其输出就是

因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以，必须知道h(n)的求法.2024/12/2213:28

(2)迭代法（以求h(n)为例）已知常系数线性差分方程为

y(n)-ay(n-1)=x(n)试求单位抽样响应h(n).

解：因果系统有h(n)=0,n<0;方程可写作:

y(n)=ay(n-1)+x(n)例162024/12/2213:28

2024/12/2213:28

2024/12/2213:28

设差分方程如下，求输出序列y(n)。

非因果系统例172024/12/2213:28

(1)一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。(2)教材讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。注意：2024/12/2213:28(1)指系统输入/输出的运算关系的表述方法。(2)由差分方程可直接得到系统结构。3.系统结构y(n)=b

x(n)-ay(n-1),根据差分方程绘出系统结构图例18解:

用⊕表示相加器；用

表示乘法器；

用z-1

表示一位延时单元。2024/12/2213:28

因此差分方程y(n)=bx(n)-ay(n-1)表示的系统结构为：2024/12/2213:28

例192024/12/2213:28

例20

将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示。2024/12/2213:28

例21设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下几种情况，分别求输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)

解：（1）{1，2，3，4，4，3，2，1}

（2）{2，2，0，0，-2，-2}2024/12/2213:28

例22若用单位序列及其移位加权和表示x(n)=____________________。解答:2024/12/2213:28

2.4连续时间信号的抽样2.4.1信号的采样P(t)T抽样物理模型1.信号抽样的物理模型

p(t)为脉冲序列实际抽样2.理想抽样（a）模拟信号xa(t)理想抽样过程可视为一个脉冲调幅过程，xa(t)为调制信号，被调制的调脉冲载波是周期为T、宽度为τ的周期脉冲串。当脉冲宽度τ持续时间很小时，就是实际抽样。当脉冲宽度τ→0时，则得到理想抽样，此时抽样脉冲序列p(t)则为理想的冲激函数序列δT(t)，而各冲激函数准时出现在抽样点上，冲激函数积分面积为1，信号经理想抽样后，输出值等于输入信号xa(t)在抽样时刻的幅值。

理想抽样：p(t)为脉冲序列2024/12/2213:28

2.4.2抽样定理t10定义:1.预备知识（1）冲激信号及其抽样特性2024/12/2213:28

取样特性：2024/12/2213:28

(2)抽样信号(SamplingSignal)

性质：①②③④⑤偶函数2024/12/2213:28

(3)频域卷积定理若抽样数学模型2024/12/2213:28

抽样信号及其傅里叶变换2024/12/2213:28

(4)冲激函数序列的傅氏变换......0Tt冲激函数序列的波形如下：

?傅立叶变换的性质冲激函数序列的傅里叶变换：2024/12/2213:28

0……冲激序列的傅里叶变换仍为冲激序列。结论

2.抽样信号的频谱抽样信号的数学表达式：

(取样特性)抽样信号的傅里叶变换：2024/12/2213:28

抽样信号频谱之结果公式需理解、记忆！2024/12/2213:28

Ωh为最高频率分量…………原信号频谱抽样信号频谱K=0K=1K=-1K=21/T2024/12/2213:28

结论:抽样以后的信号其频谱为周期信号，其周期为：2024/12/2213:28

0,

如果xa(t)的最高频率Ωh不超过Ωs/2,即满足以下条件:那么,原信号的频谱和各次延拓分量的频谱彼此不重叠这时,如果采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器就可以得到不失真的原信号,即还原出原连续信号.