2024届山东省德州市夏津一中高三下期中数学试题试卷

2023届山东省德州市夏津一中高三下期中数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）A．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一2．已知向量，，，若，则（）A． B． C． D．3．设，，则（）A． B． C． D．4．已知集合，，则的真子集个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知P是双曲线渐近线上一点，，是双曲线的左、右焦点，，记，PO，的斜率为，k，，若，-2k，成等差数列，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．6．记等差数列的公差为，前项和为.若，，则（）A． B． C． D．7．定义运算，则函数的图象是（）．A． B．C． D．8．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（）A． B． C． D．9．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（）A．2 B．3 C．-2 D．-310．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）A．-2 B．2 C．4 D．711．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，则双曲线的焦距为______.14．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．15．若，则的展开式中含的项的系数为_______.16．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知a,b∈R，设函数f(x)=(I)若b=0，求f(x)的单调区间：(II)当x∈[0,+∞)时，f(x)的最小值为0，求a+5b的最大值.注：18．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.19．（12分）如图，已知三棱柱中，与是全等的等边三角形.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为3，其中．（1）求的值；（2）若，，，求证：21．（12分）已知a>0，b>0，a+b=2.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）证明：22．（10分）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

通过图表所给数据，逐个选项验证.【详解】根据图示数据可知选项A正确；对于选项B：，正确；对于选项C：，故C不正确；对于选项D：，正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.2．A【解析】

根据向量坐标运算求得，由平行关系构造方程可求得结果.【详解】，，解得：故选：【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则.3．D【解析】

集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】，，则故选【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．4．C【解析】

求出的元素，再确定其真子集个数．【详解】由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个．故选：C.【点睛】本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集．5．B【解析】

求得双曲线的一条渐近线方程，设出的坐标，由题意求得，运用直线的斜率公式可得，，，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值．【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，且，由，可得以为圆心，为半径的圆与渐近线交于，可得，可取，则，设，，则，，，由，，成等差数列，可得，化为，即，可得，故选：．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．6．C【解析】

由，和，可求得，从而求得和，再验证选项.【详解】因为，，所以解得，所以，所以，，，故选：C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.7．A【解析】

由已知新运算的意义就是取得中的最小值，因此函数，只有选项中的图象符合要求，故选A.8．C【解析】

在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.，又..∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为..，注意到故的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.9．B【解析】

根据求出再根据也在直线上，求出b的值，即得解.【详解】因为，所以所以，又也在直线上，所以，解得所以.故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．B【解析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差.【详解】在等差数列的前项和为，则则故选：B【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.11．A【解析】

将整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.【详解】解：，所以所对应的点为在第一象限.故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把当成进行计算.12．D【解析】

由可得，所以，由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知在上单调递增，注意到，再利用函数单调性即可解决.【详解】因为在上是奇函数.所以，解得，所以当时，，且时，单调递增，所以在上单调递增，因为，故有，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【解析】

由双曲线的渐近线，以及求得的值即可得答案．【详解】由于双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，所以，即①，把代入，得，即②又③联立①②③，得．所以．故答案是：1．【点睛】本题考查双曲线的性质，注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即，容易只计算到，就得到结论．14．.【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.详解：由题意可知了，比赛可能的方法有种，其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.15．【解析】

首先根据定积分的应用求出的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.【详解】，根据二项式展开式通项：，令，解得，所以含的项的系数.故答案为：【点睛】本题考查定积分，二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.16．【解析】试题分析：由坐标系可知考点：复数运算三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(I)详见解析；(II)2【解析】

(I)求导得到f'(x)=ex-a，讨论a≤0(II)f12=e-12a-5【详解】(I)f(x)=ex-ax当a≤0时，f'(x)=e当a>0时，f'(x)=ex-a=0，x=lna当x∈lna,+∞时，综上所述：a≤0时，fx在R上单调递增；a>0时，fx在-∞,ln(II)f(x)=ex-ax-bf12=现在证明存在a,b，a+5b=2e取a=3e4，b=f'(x)=ex-a-故当x∈0,+∞上时，x2+1f'x在x∈0,+∞上单调递增，故fx在0,12上单调递减，在1综上所述：a+5b的最大值为【点睛】本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．（1）；（2）【解析】

（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.【详解】解：（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为.转换为，转换为直角坐标方程为.（2）直线的参数方程为（为参数），转换为标准式为（为参数），代入圆的直角坐标方程整理得，所以，..【点睛】本题属于基础本题考查的知识要点：主要考查极坐标，参数方程与普通方程互化，及求三角形面积．需要熟记极坐标系与参数方程的公式，及与解析几何相关的直线与曲线位置关系的一些解题思路．19．（1）证明见解析；（2）．【解析】

（1）取BC的中点O，则，由是等边三角形，得，从而得到平面，由此能证明（2）以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.【详解】（1）取BC的中点O，连接，，由于与是等边三角形，所以有，，且，所以平面，平面，所以．（2）设，是全等的等边三角形，所以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，又平面的一个法向量为，所以二面角的余弦值为,即二面角的余弦值为．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.20．（1）（2）见解析【解析】

（1）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（2）将所证不等式转化为2ab≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．【详解】（1）∵，∴.∴当时，取得最大值.∴.（2）由（Ⅰ），得，.∵，当且仅当时等号成立，∴.令，.则在上单调递减.∴.∴当时，.∴.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.21．（Ⅰ）最小值为；（Ⅱ）见解析【解析】

（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.【详解】（Ⅰ）则当且仅当，即，时，所以的最小值为．（Ⅱ）要证明：，只需证：，即证明：，由，也即证明：．因为，所以当且仅当时，有，即，当时等号成立．所以【点睛】本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.22．（1）见解析；（2）【解析】

(1)取的中点,连接,根据中位线的方法证明四边形是平行四边形.再证明与从而证明平面,从而得到平面即可.(2)以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,再求得平面的法向量与平面的法向量进而求