平行线解答题压轴（原卷版）

专题02平行线解答题压轴

1.某学习小组发现一个结论：已知直线。〃儿若直线。〃°,则。〃6.他们发现这个结论

运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：

已知直线点E在/8、。之间，点尸、。分别在直线/8、CD上,连接尸£、

EQ.

(1)如图1,运用上述结论，探究/PE。与//PE+/CQE之间的数量关系.并说明理

由；

(2)如图2,PF平分NBPE,QF平分/EQD,当乙?£。=130°时，求出/PFQ的度

数；

(3)如图3,若点£在CD的下方，PF平分NBPE,QH平分NEQD,0〃的反向延长

线交P尸于点R当/尸£0=80°时，请直接写出NP尸。的度数.

2.【问题情景】如图1,若AB〃CD,ZAEP=45°,ZPFD=nO°.过点P作尸“〃49,

则/£尸尸=

【问题迁移】如图2,AB//CD,点尸在43的上方，点E,尸分别在48,CD上，连接

PE,PF,过尸点作PN〃/2,问/PEN,ZPFC,NEP尸之间的数量关系是

，请在下方说明理由;

【联想拓展】如图3所示，在(2)的条件下，已知NE7/=36°,/尸£/的平分线和/

PFC的平分线交于点G,过点G作GH//AB,则/EGF=

图1图2

3.已知：如图，直线尸0〃〃N,点C是P0,之间（不在直线P。，MN上）的一个动

点.

（1）若N1与N2都是锐角，如图1,请直接写出NC与Nl,N2之间的数量关系.

（2）若小明把一块三角板（N/=30°,NC=90°）如图2放置，点。，E,尸是三角

板的边与平行线的交点，若N4EN=/A,求N8O尸的度数.

（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3,直角顶点C始终在两条平行线之间，点

G在线段CD上，连接EG,且有/CEG=NCEM,给出下列两个结论：

①孕里的值不变；

ZBDF

②NGEN-N8D尸的值不变.

其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少.

4.对于平面内的和/N,若存在一个常数左>0,使得NM+上NN=360°,则称NN为

的左系补周角.如若NM=90°,NN=45°,则NN为的6系补周角.

（1）若/"=120°,则/〃的4系补周角的度数为0

（2）在平面内48〃CO,点E是平面内一点，连接DE.

①如图1,ZZ>=60°,若N3是/£的3系补周角，求乙8的度数.

②如图2,N/2E和NCDE均为钝角，点尸在点£的右侧，且满足

NCDF=n/CDE（其中〃为常数且〃>1）,点尸是N/2E角平分线2G上的一个动点,

在尸点运动过程中，请你确定一个点尸的位置，使得/2尸。是/尸的左系补周角，并直

接写出此时的左值（用含"的式子表示）.

5.如图1,AD//BC,DE平分/ADB,ZBDC^ZBCD.

(1)求证：ZDEC+ZECD=90°；

(2)如图2,2厂平分NNAD交CD的延长线于点尸，若N/2C=100°,求/尸的大小;

(3)如图3,若〃是2c上一动点，K是A4延长线上一点，KH交BD于点、M,交AD

于点。，KG平分/BKH,交。£于点N,交8c于点G,当点〃在线段8c上运动时(不

与点2重合)，求/BAD+/DMH的

ZDNG

6.已知：直线E尸分别交直线CD于点G,H,且N/G8+/O〃F=180°.

(1)如图1,求证：AB//CD；

(2)如图2,点跖N分别在射线GE,HFN,点、P,。分别在射线GN,HC上,连接

MP,NQ,且/MPG+/NQH=90°,分别延长MP,N。交于点K,求证：MK1NK；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接KT/,KH平分/MKN,且HE平分NKHD,若

ZDHG=y-ZMPG-求NKMV的度数.

图1图2图3

7.在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角

形中的位置关系与数量关系.(其中N/=30°,Z5=60°,ZC=Z£>=45°)

(1)将三角尺如图1所示叠放在一起.

①N40D与/BOC大小关系是,依据是.

②280。与//OC的数量关系是.

(2)小亮固定其中一块三角尺△C。。不动，绕点。顺时针转动另一块三角尺，从图2

的CM与0C重合开始，到图3的。/与0C在一条直线上时结束，探索△NOB的一边与

△COD的一边平行的情况.

①求当时，如图4所示，N/OC的大小；

②直接写出/NOC的其余所有可能值.

8.已知：直线£尸分别交直线团9,CD于点G,H,且乙4G〃+/£>〃/=180°.

(1)如图1,求证：AB//CD；

(2)如图2,点跖N分别在射线GE,HF上，点、P,0分别在射线GN,HC上,连接

MP,NQ,且N〃PG+/NQ¥=90°,分别延长MP,N。交于点K,求证：MKLNK-,

(3)如图3,在(2)的条件下，连接KH,若KH平分~/MKN,且HE平分/KHD,若

ZDHG=5ZMPG,请直接写出NKMV的度数.

9.已知直线a〃b,直线c分别与直线a,6相交于点K,F,点、A,8分别在直线a,6上，

且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E,F重合），设NPAE=Z1,NAPB=Z

2,ZPBF=Z3.

（1）如图，当点P在线段斯上运动时，试探索Nl,Z2,N3之间的关系，并给出证

明;

（2）当点尸在线段斯外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是

否还成立？若不成立，请你探索Nl,N2,N3之间的关系（不需要证明）.

10.问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线。和一块含60°角的直角三角

尺EFG（/EFG=90°,NEG尸=60°）”为主题开展数学活动.

操作发现

（1）如图（1）,小明把三角尺的60°角的顶点G放在上，若N2=2/l,求/I的

度数；

（2）如图（2）,小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在N2和8上，请你探

索并说明N/EF与/尸GC之间的数量关系；

结论应用

（3）如图（3）,小亮把三角尺的直角顶点尸放在CO上，30°角的顶点£落在N8

上.若NN£G=a,则NCFG等于（用含a的式子表示）.

图⑴图(2)图(3)

11.【阅读与思考】

如图，已知加0〃3N,ZA=64°.点尸是射线4W■上一动点（与点/不重合），BC、BD

分别平分N4B尸和NP3N,分别交射线⑷/于点C,D.

【思考与探究】

（1）①ZABN的度数是；

②,:AM//BN,：.NACB=Z；

③/CBD的度数是；

【猜想与探究】

（2）当点尸运动时，N/P8与/AD8之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，

请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；

（3）当点P运动到使时，//8C的度数是多少？

12.课题学习：平行线的“等角转化”功能.

（1）阅读理解：如图1,已知点/是8c外一点，连接49、AC,求/8+/8/C+NC的

度数.阅读并补充下面推理过程.

解：过点/作£D〃2C,：.4B=,NC=,VZEAB+ZBAC+

/D/C=180°,Z.ZB+ZBAC+ZC=180°.

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将N2/C、

/B、/C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

（2）方法运用：如图2,已知求/5+/2CD+ND的度数；

（3）深化拓展：已知N3〃Cr>,点C在点。的右侧，ZADC=50°,BE平分/ABC,

DE平分N/DC,BE,DE所在的直线交于点E,点、E在直线AB与CD之间.

①如图3,点8在点/的左侧，若N/8C=36°,求/BED的度数.

②如图4,点2在点/的右侧，^.AB<CD,AD<BC.若乙45C="。,求/BED度

数.（用含"的代数式表示）

图1图2图3图4

13.如图1,AM//NC,点B位于4M,CN之间，/A4M为钝角，AB1BC,垂足为点也

(1)若NC=40°,则；

(2)如图2,过点2作交M4的延长线于点。，求证：N4BD=NC；

(3)如图3,在(2)问的条件下，BE平分NDBC交AM于点、E,若NC=NDEB,求

NDEB的度数.

14.已知：AB//CD,E、G是上的点，F、，是CD上的点，Z1=Z2.

(1)如图1,求证：EF//GH；

(2)如图2,过尸点作月0_LG"交G”延长线于点M,作/BEGNDRW■的角平分线

交于点N,EN交G”于点尸，求证：NN=45°；

(3)如图3,在(2)的条件下，作N4G”的角平分线交CD于点0,若3/FEN=4/

直接写出区姐的值.

HFM,

ZMPN

15.已知，DE■平分N4D2交射线2C于点E,ZBDE^ZBED.

(1)如图1,求证：AD//BC；

(2)如图2,点尸是射线。/上一点，过点尸作尸G〃5D交射线8C于点G,点N是尸G

上一点，连接NE,求证：/DEN=/ADE+NENG；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接DV,点P为AD延长线上一点，DM平分/BDE

交BE于点、M,若DN平分/PDM,DELEN,^DBC-ZDNE=ZFDN,求/EDN的度

数.

Dfr-----------2FA

BECEGC

图1图2

BMEGC

图3

16.将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起(如图①)，其中N/=30°,NB=

60°,ZD=ZE=45°.

(1)猜想/3C。与//CE的数量关系，并说明理由；

(2)若NBCD=4NACE,求/BCD的度数；

(3)若按住三角板4BC不动，绕顶点C转动三角板DCE,试探究N2CD等于多少度时

CE//AB,并简要说明理由.

备用图10B备用图2

17.已知：直线即分别与直线48,CD相交于点G,H,并且N/GE+NDLE=180°.

EEE

(1)如图1,求证：AB//CD；

(2)如图2,点M在直线48,CD之间，连接GM,HM,求证：ZM^ZAGM+Z

CHM；

(3)如图3,在(2)的条件下，射线G8是N2GM的平分线，在Affi■的延长线上取点

N,连接GN,若/N=NAGM,/M=/N+L/FGN,求/M/G的度数.

2

18.【探究结论】

(1)如图1,AB//CD,£为形内一点，连结/£、CE得至U//EC,则//EC、乙4、ZC

的关系是(直接写出结论，不需要证明)：

【探究应用】利用(1)中结论解决下面问题：

(2)如图2,AB//CD,直线MV分别交/8、CD于点E、F,EGi和EG2为48£尸内满

足N1=N2的两条线，分别与NEFD的平分线交于点Gi和G2，求证：ZFG1E+ZG2^

180°.

(3)如图3,已知N8〃CD,F为CD上一点、,ZEFD=60°,ZAEC=3ZCEF,若8°

<ZBAE<20°,NC的度数为整数，则/C的度数为.

19.已知，直线所分别与直线48、8相交于点G、H,并且N/GE+NDLE=180°.

(1)如图1,求证：AB//CD.

(2)如图2,点M在直线/8、CD之间，连接MG、HM,当/4GAf=32°,AMHC=

68°时，求NGMZ的度数.

(3)只保持(2)中所求/GM/的度数不变，如图3,GP是/4GM的平分线，HQ是

NAffiD的平分线，作EW〃尸G,则NQEW的度数是否改变？若不发生改变，请求出它

的度数.若发生改变，请说明理由.(本题中的角均为大于0°且小于180。的角)

20.如图，AD//BC,/氏4。的平分线交2C于点G,NBCD=90°.

(1)试说明：ZBAG=ZBGA；

(2)如图1,点尸在/G的反向延长线上，连接CF交4D于点£,若/BAG-NF=

45°,求证：CF平分/BCD.

(3)如图2,线段/G上有点尸，满足NABP=3/PBG,过点C作CH〃/G.若在直线

NG上取一点M,使/PBM=/DCH,求4ABM的值.

ZGBM

21.如图1,已知直线P0〃儿W,点/在直线尸。上，点C、。在直线〃N上，连接NC、

AD,NP/C=50°,NADC=30°,4E平分NP4D,CE1平分N/CD,4E1与CE相交于

E.

(1)求N/EC的度数；

(2)若将图1中的线段ND沿儿W向右平移到小)如图2所示位置，此时小£平分/

AAiDi，CE平分//CDi，小£与CE相交于E,NPAC=50°,ZAlDlC=30°,求/

4EC的度数.

(3)若将图1中的线段AD沿向左平移到小口如图3所示位置，其他条件与(2)

相同，求此时//i£C的度数.

22.如图1所示：点E为2c上一点，/A=ND,AB//CD.

(1)直接写出//C3与N2ED的数量关系；

(2)如图2,AB//CD,BG平分/4BE,BG的反向延长线与4ED尸的平分线交于/7点，

若比NG//D大60°,求NDE8的度数；

(3)保持(2)中所求的NDE5的度数不变，如图3,BM平分NEBK,DN平分/CDE,

炸BP〃DN,求NP2M的度数.(本题中的角均为大于0°且小于180°的角)

图1图2图3

23.如图，射线。2〃O4,/C=/OAB.

(1)求证：AB//OC；

(2)若点、E,F在CB上,且/FOB=/AOB,0E平分/COF.

①当NC=110°时，求/£08的度数；

②如果平移/比那么夕2的值是否随之发生变化？若不变，求出这个值；若变化,

ZOBC

请说明理由.

24.已知，AB//DE,点C在48上方，连接2C、CD.

(1)如图1,求证：NBCD+NCDE=NABC；

(2)如图2,过点。作《广，2C交研)的延长线于点尸，探究N4BC和/尸之间的数量

关系；

(3)如图3,在(2)的条件下，NCED的平分线交CD于点G,连接G5并延长至点

H,若BH平分NABC,求NBG。-NCG/的值.

图।

图2图3

25.如图1,G,E是直线上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直

线EP交于点、P.直线PE交直线。于点〃，满足点£在线段P4上，ZPGB+ZP=Z

PHD.

(1)求证：AB//CD；

(2)如图2,点。在直线AB,CD之间，PH平■%/QHD,GF平分/PGB,点、F,G,

。在同一直线上，且2/。+/尸=120°,求NQTO的度数；

(3)在(2)的条件下，若点M是直线PG上一点，直线Affi■交直线48于点N,点、N

在点8左侧，请直接写出7vB和/P7W的数量关系.(题中所有角都是大于0°且小于

180°的角)

图1备用图

26.已知4B〃CD,尸是截线MN上的一点，MN与CD、分别交于E、F.

(1)若NEFB=50。,NE。尸=35°,求/的度数；

(2)如图1,当点尸在线段斯上运动时，NCDP与/4BP的平分线交于。，问：.Q

ZDPB

是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；

(3)①如图2,当点尸在线段EE的延长线上运动时，NCDP与N/2尸的平分线交于

Q,则*的值为___________________；

ZDPB

②当点尸在直线EF上运动时，NCDP与N4BP的〃等分线交于0,其中/。。=工/

n

CDP,N4BQ=L/ABP,设/DPB=a,求/。的度数(直接用含小a的代数式表示,

n

27.如图，直线CD与EF相交于点O,ZCOE=60°,将一直角三角尺/O8的直角顶点与

。重合，平分NCOE.

(1)求NBOD的度数；

(2)将三角尺以每秒3°的速度绕点。顺时针旋转，同时直线斯也以每秒9°的

速度绕点。顺时针旋转，设运动时间为/秒(0W/W40).

①当f为何值时，直线斯平分//。2；

②若直线所平分N2。。，直接写出/的值.

28.实验证明，平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜

所夹的锐角相等.如图1,一束光线加射到平面镜。上，被a反射后的光线为"，则入射

光线加、反射光线"与平面镜a所夹的锐角N1=N2.

(1)如图2,一束光线加射到平面镜。上，被a反射到平面镜6上，又被6反射.若被

6反射出的光线"与光线加平行，且Nl=50°,则N2=°,Z3=

o

(2)请你猜想：当射到平面镜。上的光线小，经过平面镜a、6的两次反射后，入射光

线加与反射光线〃平行时，两平面镜。、6间的夹角/3的大小是否为定值？若是定值,

请求出N3,若不是定值，请说明理由.

(3)如图3,两面镜子的夹角为a。(0<a<90),进入光线与离开光线的夹角为0°

29.(1)如图1,已知直线/1〃勿且6和A，办分别交于4，8两点，点尸在线段N8上,

则Nl,N2,N3之间的等量关系是；如图2,点/在2处北偏东40°

方向，在C处的北偏西45°方向，则NA4C=

(2)如图3,和/5DC的平分线交于£,BE交CD于点、F,Zl+Z2=90°,试

说明：AB//CD；并探究/2与/3的数量关系.

30.如图，AB//CD,定点、E,尸分别在直线45,CD上,在平行线/瓦CD之间有一动点

P,满足0°<ZEPF<1S0°.

(1)试问N/EP,ZEPF,NP尸C满足怎样的数量关系？

解：由于点尸是平行线N8,CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论:

如图1,当尸点在£尸的左侧时，ZAEP,ZEPF,/尸尸C满足数量关系为

,如图2,当尸点在E尸的右侧时，ZAEP,ZEPF,/尸FC满足数量关系为

(2)如图3,QE,QF分别平分/PE8和ZPFD,且点P在EF左侧.

①若N£PF=60°,则.

②猜想/£尸尸与/E0P的数量关系，并说明理由；

③如图4,若N2E。与/。尸。的角平分线交于点Q,N2EQ与/DFQ的角平分线交

于点。2，/BEQ»与乙DZR的角平分线交于点。3；此次类推，则/E尸尸与/因2018尸

满足怎样的数量关系？(直接写出结果)

DD

图3图4

31.如图1,2C_L/F于点C,N/+Nl=90°.

(1)求证：AB//DE；

(2)如图2,点尸从点/出发，沿线段/尸运动到点尸停止，连接尸2,PE.贝UN4BP,

ADEP,28PE三个角之间具有怎样的数量关系(不考虑点尸与点),D,C重合的情

况)？并说明理由.

32.如图，己知N2〃CD,现将一直角三角形尸AW放入图中，其中/尸=90°,PM交AB

于点E,PN交CD于氤F

(1)当△尸AW所放位置如图①所示时，则NPFO与的数量关系为

(2)当△PMN所放位置如图②所示时，求证：ZPFD-ZAEM^90°；

(3)在(2)的条件下，若