平面向量的数量积（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第22讲平面向量的数量积

（6类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算

2024年天津卷，第14题,5分

律数量积的坐标表示

余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式

2023年天津卷，第14题,5分

求积的最大值

2022年天津卷，第14题,5分用基底表示向量向量夹角的计算

2021年天津卷，第15题,5分数量积的运算律

2020年天津卷，第15题,5分已知向量共线（平行）求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握向量的数量积公式

2.能掌握向量的模长，垂直于投影公式

3.具备数形结合的思想意识，会借助直角坐标系，求解向量的数量积与夹角模长等问题

4.会解借助点坐标解决最值与取值范围问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，要求线性表示与数量积，模长与角度问

题。

I2•考点梳理•

L知识点一.向量的夹角|｛考点三、角度问题

知识点二.平面向量的数量积-<考点一、平面向量数量积的计算

知识点三.平面向量数量积的几何意义考点二、模长问题

平面向量的数量积」f

知识点四.向量数量积的运算律

考点四、向量垂直的应用

考点五、投影问题

｛考点六、数量积求最值取值范围问题

知识点六.常用结论

知识讲解

知识点一.向量的夹角

已知两个非零向量a,b,。是平面上的任意一点，作况="，协="则兴兀)叫做向量a与b

的夹角.

知识点二.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为仇我们把数量同向cos9叫做向量a与b的数量积，记作她.

知识点三.平面向量数量积的几何意义

设。，〜是两个非零向量，它们的夹角是仇e是与》方向相同的单位向量，硅=a,社)=b,过油的起点A

和终点8,分别作乱所在直线的垂线，垂足分别为4,囱，得到石后，我们称上述变换为向量a向向量6

投影,再耳叫做向量a在向量方上的投影向量.记为lalcos。e.

知识点四.向量数量积的运算律

(T)ab=ba

(2)(4a)•方=入(ab)=〃•(劝).

(3)(a+b)c=ac+bc.

知识点五.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(xi，>1)，)=(%2，")，〃与万的夹角为夕

几何表示坐标表示

数量积a-b=\a\\b\cos0a-b=xiX2+yiy2

模\a\=y[a^a|a|=y君+式

八ab八为—+乃”

夹角COSu—I|i»।CS

1all臼°y/xi+yiylxi+yl

a±b的充要条件ab=0同四+丫/2=0

|a创与⑷|臼的关系|a-Z»|<|a||*l\xiX2+yiyo\<\l(xi+yi)(pi+y2)

知识点六.常用结论

1.平面向量数量积运算的常用公式

(t)(a+b)-(a-b)=a*2~b2；

(2)(a±/>)2=a2±2a/>+b1.

2.有关向量夹角的两个结论

(1)若“与〜的夹角为锐角，则”£>0；若a£>0,则a与方的夹角为锐角或0.

(2)若a与分的夹角为钝角，则a仍<0；若a-b<0,则。与占的夹角为钝角或兀

考点一、平面向量数量积的计算

典例引领

1.(2024.河南濮阳•模拟预测)已知向量m=2,3在2方向上的投影向量为-32,则2不=()

A.12B.-12C.6D.-6

【答案】B

【分析】由题意得同cos值仍=-6,结合数量积的公式即可求解.

【详解】因为B在五方向上的投影向量为-3Z

所以(问cos值,1)瑞=-3d,

而同=2,@W0,所以历|cos(]㈤=—6,

所以五•b=|训用cos值㈤=—12.

故选：B.

2222

2.(2024.海南.模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C嗫+琶=l(a〉b>0),点叭亍,小),％(亍,几),

若以MN为直径的圆过椭圆C的右焦点F(c,0),且(而一加?)•(丽+7^亦)=。访•丽，则椭圆C的离心

率为()

【答案】c

【分析】根据给定条件，结合圆的性质及数量积的运算律列式，化简可得2a2=3C2,进而求出离心率.

【详解】由以MN为直径的圆过椭圆C的右焦点F(c,O),得两1前，即丽•丽=0,

222222

而前=(巴甘,爪),前=(三J,n),则(三3)2+nm=0,又丽=(0,zn—n),

由(丽-V2OF)-(OM+V2OF)=OM-~NM,得丽2_赤2=旃.而,

贝！］(亍)2+——2c2=77i(m—n),即»—2c2=—nm,因此%—2c2='.；),

整理得2a2=3C2,解得?=当，所以椭圆C的离心率为当

故选：C

即时年

1.(2024•山西太原•一模)在AaBC中，BC=6,AB=4,NCB4=会设点D为AC的中点，E在BC上，且荏•丽=

0,则阮.版=()

A.16B.12C.8D.-4

【答案】A

【分析】以B为原点，建立如图坐标系，结合向量的坐标运算即可.

【详解】因为在AABC中，BC=6,4B=4,=泉以B为原点，建立如图坐标系，

则4(4,0),B(0,0),C(0,6),0(2,3),设E(0,b),则族=(—4")，丽=(2,3),BC=(0,6)

由题意可知荏・丽=0.即(一4,匕)•(2,3)=0,即-8+3b=0,所以b=:

所以E(0,§,.•.版=(一4,§.所以荏.瓦=16.

故选：A.

2.(2024・湖北•模拟预测)直线y="与圆(x-I)2+(y—l)2=1交于M、N两点,0为坐标原点，则丽-ON=

【答案】c

【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出/%2，为内，根据向量数量积可求答案.

【详解】联立八2七-C2.M(l+k2)x2-2(k+l)x+l=0,

((%-l)z+(y-l)z=1

则△>(),即4(攵+1)2—4(1+1)>0,所以k>0,

2

设M(Xi，yJ,N(X2，y2)，则:XiX2=—,yry2=kxrx2=―,

__>__>]

2

~0M-ON=%1%2+=(1+fc)-r2..­=1.

+1

故选：C

3.(2024•河南周口•模拟预测)已知AaBC中，AC=2内/-C=-,AD为BC上的高，垂足为D,点E为

4

AB上一点，5.AE=2EB,则而•荏=()

4488

A.--B.-C.--D.-

3333

【答案】A

【分析】利用向量的线性关系及数量积的运算律得CESD=[C4SD+|CBSD可得答案.

【详解】如图所示，

由题意可知，AC=2V2,/.ADC=Z.ACD=故2D=2,

24

因为力E=2EB,

所以丽=刀+族=刀+|屈=?!+［（3-丽=河+|荏，

则近•AD=QcX+|CB）-AD=|cX-AD+|CS-AD

127r4

=1\CA\•\AD\cos^=-^.

故选：A.

4.（2024•四川凉山•三模）在中，已知Z8=LZC=3,点G为的外心，点O为重心,

贝廊•.

【答案】1

【分析】设BC的中点为。，根据三角形外心性质，得GDL8C,由重心性质得砺=；（同+阮），再根据数

6

量积运算即可求解.

【详解】设BC的中点为。，连接4D,GD,

由点G为△ABC的外心，可得GC_LBC,

由点O为AABC重心，可得砺=二同=工（屈+芯），

故冠•BC=（0D+碉-BC

^OD-BC+O

]

=-（AB+AC）•（AC-AB）

6

=1（ZC2-AB2）=iX（9-1）=i

故答案为：

5.（2024•天津河西•二模）在四边形4BCD中，ABLAD,CB1CD,^ABC=60°,AB=2,AD=A/3,E、F分

别为线段AB、CD的中点，若设诟=a,BC=b,则而可用落3表示为-,EF-CD=.

【答案】—|

Z28

【分析】利用向量的加法可以求出第一个空；通过转化确定I丽I及而与而，配的夹角，代入数量积的计算

公式即可求出第二个空.

【详解】

由题意得，EF=~EA+AD+~DFjF=EB+JC+CF,

由E、F分别为线段4B、CD的中点，知丽+丽=6,DF+CF=0,

因此，2£T=EA+AD+DF+EB+~BC+CF=AD+~BC

EF=-a+-b-,

22

延长力D、BC交一点G,由4B1AD,^ABC=60。，AB=2,AG=28，且NDGC=30。.

•••AD=V3,.-.£)G=V3

又「CB1CD,•••乙GCD=90°,.-.CD=g/GDC=60°,贝此C£M=120"

.：EF-CD=l(AD+BCyCD=lAD.CD+lBC-CD=lAD.CD=||XD|.|CD|cosl20»=|xV3xx

故答案为：—|

ZZo

考点二、模长问题

典例引领

1.（2020・全国.高考真题）设2,3为单位向量，且4+阴=1,则惊―山=.

【答案】V3

【分析】整理已知可得：恒+同=］（五+犷,再利用五是为单位向量即可求得2ai=一1,对恒一同变形

可得：归一同=评一2五彳+/『，问题得解.

【详解】因为五花为单位向量，所以同=|b|=1

所以|五+同=J（五+1）2=五|2+2五.J+同2_52+2五.3=1

解得：2ab=-l

所以|五一可=］（五一1）=^|a|2—2a-b+\b\=V3

故答案为：V3

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

2.（2024.河南.二模）若向量匕石满足同=1,R+均1+伍+2区）1出贝I同=（）

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】A

【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解.

【详解】因为向量2,办满足|山=1,（a+K）1b,（a+2b）1a,

所以0+b）-b=a-b+\b\2=a-b+1=0,即2-b=—1,

所以（N+2b）-a-|a|2+2a-b-0,则同=V2.

故选：A.

1.(2024.河南濮阳.模拟预测)已知4(1,0),8(0,1),C(cosa,sina),ae(0,K),若|/C|=|BC|,则a的值为

A.-B.-C.-D.-

4246

【答案】c

【分析】根据向量模长公式结合同角三角关系可得tana=1,即可得结果.

【详解】由题意可得：i4C=(cosa-l,sina)t^C=(cosa^sina—1),

若14cl=\BC\,则J(cosa-1)2+sin2a=Jcos2a+(sina—1尸,

可得2—2cosa=2—2sina,贝！Jtana=1,

且a6(0,7i),所以a=

4

故选：c.

2.(2024.河北.三模)已知非零向量2,方的夹角为+2=(—/,£),怔―同=1,则怔+司=()

A.1B.yC.V2D.V3

【答案】D

【分析】分析可知同=1,向量窗的夹角为%根据a+3=2N-伍-研结合数量积的运算求解.

【详解】因为m，则⑷=1,

且非零向量2,3的夹角为或怔一回=1,可知向量3,53的夹角为泉

则鼠(2-司=1x1x|=%

所以忖+b\=\2a—(a—b)|=J4a2—4a-(a—b)+(a—b)2=V3.

故选：D.

3.(2024•陕西西安•三模)已知向量N=(2,m),b=(1,1),\a+b\=|a|,则m=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【分析】结合平面向量的数量积运算，即可求解.

【详解】因为向量,=(2,771),3=(1,1),由恒+同=|五|,可得+22•3+源=五2,所以2(2+7H)+2=0,

解得771=-3.

故选：A

4.(2018.辽宁朝阳.三模)已知向量不与石的夹角为60°,\a\=2,\b\=3,则|34一2司=.

【答案】6

【分析】根据模长公式结合数量积的定义和运算律即可求解.

【详解】由题意，向量d与前勺夹角为60。，同=2,问=3,

所以(3B-2司之=9a2-12a-b+4h2=9x22-12x2x3cos60°+4x32=36,

所以|3之一2同=6,

故答案为：6

5.(2024.四川资阳.二模)已知向量优3的夹角为150。，且⑷=2,\b\=2,则怔一次同=(J

A.1B.2-V3C.2+V3D.277

【答案】D

【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得.

【详解】因为(a-Wb)=|a|2-2V3a-b+s|b|=4一2百x2X2X(-?)+3x4=28,

所以只一次回=2V7.

故选：D

6.(24-25高三上•广东•开学考试)已知力=(sin%,—1),6=(cosxg),若/1亍，贝！||万一矶=.

【答案】I

【分析】借助向量垂直可得其数量积为0,利用向量数量积公式与模长公式计算后结合三角函数基本关系即

可得解.

【详解】由万1则有/,]=sinxcosx—[=0,即sinxcosx=[,

又/—q—(sin久—cosx,—|),

贝1JI万一[『=(sinx—cos%)2+£=sin2%+cos2%—2sinxcosx+'=1—1+：='，

故归一训=1.

故答案为：I

7.(24-25高三上•湖北•阶段练习)若平面内不共线的向量宓瓦0两两夹角相等，且⑷=1,同=2,同=3,

贝！J|日+3+引=.

【答案】V3

【分析】把向量的模转化为数量积，再应用数量积运算律计算求解.

【详解】因为平面内不共线平面向量3两两的夹角相等，

即匕3,乙两两的夹角为120。，

T—TJ(a+h+c)2=/—>——>———>—>T-

a+b+cy/a2+/++2。•b+2a•c+2b•c

同2+向2+©2+2a-b+2a-c+2b-c

l2+22+32+2xlx2x|)+2X1X3X(-|+2x2x3x(—-

=V3.

故答案为：V3.

考点三、角度问题

典例引领

1.(2020・浙江.高考真题)设瓦，瓦为单位向量，满足|2瓦—瓦|WVL五=瓦+瓦，3=3瓦+瓦，设五，3的

夹角为氏贝！Ros?。的最小值为.

【答案】K

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得瓦•瓦2再根据向量夹角公式求COS?。函数关系式,

根据函数单调性求最值.

【详解】•••|2瓦一名|wVL

4—4瓦-+1<2,

—、—、、3

••61-

、2口_@母2—(4+4瓦总)2_4(1+可・功

五2.匕2(2+20•3)(10+6%•。2)5+3e1-e2

—4门2、>4228

毛(15+3X?一兀.

故答案为：||.

【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合

分析求解能力，属中档题.

2.(24-25高三上•贵州•开学考试)若向量2=(—2,2),4=(—1,3)的夹角为州则cos。=()

A.-巫B.遇C.延D.-四

5555

【答案】c

【分析】由向量夹角公式，数量积及模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题可知，cos。==等,

|a|-|D|2V2XV105

故选：C.

即时检测

1.（2024.山西太原.二模）已知同=|同=1,同=遮，a+b+c^0,则N与石的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【分析】依题意可得m=-他+司，将两边平方，由数量积的运算求出益i,再由夹角公式计算可得.

【详解】因为|&|=\b\—1,|c|=V3,a.+b+c—0,

所以3=—（a+fa）,则群=a.2+2d-b+b2,即（百）？=I2+2a-b+I2,

解得/

设2与石的夹角为0,贝Ijcos。=普』=工，又0。W8W180。，

所以e=60°,即d与石的夹角为60。.

故选：C

2.（2024•甘肃兰州三模）已知向量江=（1,一2）1=（一1,一2）,设2与3的夹角为仇贝Ijsin8=（）

3344

A.--B.-C.--D.-

5555

【答案】D

【分析】用夹角公式计算出余弦值后，再根据同角三角函数平方关系即可算出正弦值.

【详解】因为2=（1,-2）1=（一1,一2）,

所以a-b=3,\d\=yj5,\b\=V5,

所以cos。=券&=I，

l+l

因为。为a与3的夹角，所以sin。=Vl-cos20=1

故选：D

—>TTT——

3.（23-24高三上•湖北十堰•开学考试）已知平面向量a,6满足港R+6）=3,且|a|=2,6=1,则向量a与

力夹角的正弦值为（）

A.△B.—如C.D.农

2222

【答案】D

【分析】运用数量积性质和定义计算夹角，再结合同角三角函数关系可解.

【详解】a-（^a+b'）-3a2+a-b-3a-b——1—|a||b|cos（a,b）今cos{a,b）—.

因为值%)6[0,7t],sin(a,b)=Jl-cos2(a,b)=Jl-^-0=y.

故选：D.

4.（24-25高三上・贵州贵阳•开学考试）已知向量㊂是满足同=4,同=10,且石在3上的投影向量为-笆，则

向量日与向量3的夹角为（）

A.-B.-C.-D.-

6336

【答案】c

【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案.

【详解】依题意，N在]上的投影向量为给另=一与，则之不=一9评=一20,

\b\z55

于是cos〈a,B)=瑞/=急=-%而(2后6[0,可，贝！|优力=会

所以向量2与向量3的夹角为

故选：C

5.(24-25高三上•浙江•开学考试)已知向量五=(1,2)石=(2—4,4),若江与石的夹角为锐角，贝设的取值范围

是.

【答案】(-2,Jug+8)

【分析】根据题意列出不等式即可.

->一

【详解】因为a,6的夹角为锐角，

T—TT

所以a-b>。且a,b不能同向共线，

所匚匚以I”「(2—A2X+(22AT>)0，

解得4>一2且力丰

故答案为:(-2t)呜+8〉

考点四、向量垂直的应用

典例引领

1.(2021.全国.高考真题)已知向量五=(1,3)石=(3,4),若(五一焉)13,贝"2=.

【答案】|

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为五一高=(1,3)-2(3,4)=(1-32,3-44),所以由伍一焉),3可得，

3(1-32)+4(3-4A)=0,解得2=|.

故答案为：

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设五=(不,%)石=Cx2,y2),

alfe«d-h=0<=>=0，注意与平面向量平行的坐标表示区分.

2.(23-24高三下•山东青岛•开学考试)已知向量,=(log43,sinF),b=(log38,m),若五13,则m=()

A.-2A/3B.-V3C.A/3D.2百

【答案】C

【分析】根据向量数量积的坐标表示结合对数的运算即可求解.

【详解】由2_L另，可知log43•log38+msin,=0,

即log48—fzn=|—苧m=0,解得m=V5.

故选：C

即时检测

I______________________

1.(22-23高三下•安徽池州•阶段练习)已知点”(1,-1)和抛物线C:y=；/,过C的焦点且斜率为k的直线与

4

C交于4B两点.若AM1贝必=()

A.—B.--C.-D.--

171722

【答案】C

【分析】设4(勺,%),B(x2,y2),直线4B方程y=kx+l,然后由直线方程与抛物线方程联立，消去y,利

用根与系数关系，表示出的+犯，久1久2，从而可表示出月+进而由询•前=0求出A的值.

【详解】抛物线标准形式/=4y,焦点坐标(0,1),设力B(x2,y2)>

直线4B方程y=kx+l,代入抛物线方程得一一4收一4=0,

所以△=16k2+16>0,久1+亚=4k,x1x2=-4,

2

yi+y2=kg+x2)+2=4k+2,yry2=2好据=1，

所以^4M-W=(1--1-yj-(1-x2l-1-y2)=(1-%i)(l-x2)+(-1-yJC-l-y2)=2+

X1X2+7172-Oi+%2)+Oi+无)=°，

得4k2—4/c+l=0=>fc=|.

故选：C.

2.(2023・河南•模拟预测)已知向量d=(2cos75°,2sin75°),b=(cosl5°,-sinl5°),且(2d+另)1(2—焉)，

则实数4的值为()

A.8B.-8C.4D.-4

【答案】A

【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.

【详解】因为江-b=2cos75°cosl5°-2sin75"sinl5°=2cos(15°+75°)=0,

\a\-2,\b\=1.

所以(22+b)-(a-Ab)=2d2-Ab2=8-A=0.

所以4=8.

故选：A

3.（2024-西藏•模拟预测）已知向量五=^cos（a+,sin（a+§）,b=9os（a+"）,sin（a+:.若

（2d+b）1（a+xb）,则实数久的值是（）

1i

A.-2B.—C.—D.2

22

【答案】A

【分析】利用三角函数的和差公式和同角三角函数的平方公式得到同=|同=1,a-6=0,

再依据向量垂直的条件建立方程求解即可.

【详解】由题意得同=\b\=1,a-b=cos（a+：）xcos（a+高+sin（axsin[a+g）.

-cos（a+——cc——=cos（—J=0,因为（2/+b）-L,

所以（2,+•（五+xb）=0,所以2同2+x|K|2=0,所以24-%=0,解得％=—2.

故选：A.

4.（2024•山东荷泽・模拟预测）已知向量记=（sin（a+5）,1）,五二（cos（7i+a）,»其中ae（°（）'若布1元，

则cosa的值为（）

A.—B.-C.—D.-

2244

【答案】B

【分析】由沅1元，所以沅,元=0,代入条件化简得cos2a=%结合已知ae（0,§得解.

【详解】由沆_L元，所以沆•元=0,即sin（a+/）cos（7i+a）+[=0,

化简得cos2a=%由ae（0（）得cosa=

故选：B.

5.（2024•江西新余•模拟预测）己知焦点在x轴上的椭圆C的左右焦点分别为&、F2,经过F2的直线I与C交于

4B两点，若瓦彳•瓦豆=16,丽•屈=9,瓯•瓦5=0,则C的方程为：（）.

A.史+艺=1B.次+”=1C.次+”=1D.^+y2=l

【答案】A

【分析】由题意可知：841B6,根据数量积的几何意义可得|瓦同=4,|屈|=3,进而结合椭圆的定义

求a,b,c,即可得方程.

【详解】因为瓯•瓦？=0,可知B41B0,

则瓦1-F\B=F^B2=16,AB-AF[=AB2=9,

可得|瓦司=4,|荏|=3,即|&例=4,\AB\=3,则NF/==5,

由椭圆定义可得4a=\AFr\+\FrB\+\AB\=12,即a=3,

且外阿=20-\FrB\=2,则回引=+|&B|2=2遥，

即2c=2A/5,可得C=A/5,b=Va2—c2=2,

22

所以椭圆C的方程为三+一=1.

94

故选：A.

考点五、投影问题

典例引领

1.（24-25高三上•湖北武汉•开学考试）己知同=l,\b\=2,\a^b\=V3,贝嗫在不上的投影向量为（）

A.-bB.-aC.-bD.-a

2244

【答案】c

【分析】先根据数量积的运算律求出。丸再根据投影向量的定义即可得解.

【详解】由口-司=百，得0-b）=a2+b2-2a-b=5-2a-b=3,

所以1,

所以N在另上的投影向量为雪-l=^b.

\b\.4

故选：C.

2.（2023•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知向量d1满足|团=2,b=（3,0）,|a-fa|=V10,则向量旨在向量方方向

上的投影向量为（）

A.g,0）B.（|,0）C.Q,0）D.（1,0）

【答案】c

【分析】将「-b\=VTU两边平方求出d-b,然后由投影向量公式可得.

【详解】因为同=2,同=3,怔一同=VTU,

所以,—同=a2—2d-b+b2=22—2d-b+32=10,得2.b=|,

所以向量旨在向量反方向上的投影向量为器-b=lb=i（3,0）=Q,oY

\b\96\2,

故选：c

♦♦即时啊

1.（2024•浙江绍兴三模）若非零向量洒不满足同=|同=口+山，贝皈+2方在B方向上的投影向量为（）

->R——»1->

A.2bB.-bC.bD.-b

22

【答案】B

【分析】利用向量的模长关系可得五小=-1加|,再由投影向量的定义即可求出结果.

【详解】根据题意|d|=\b\=|d+3可得向2=|h|2=\d+K|2,

所以，则

所以五|2=_(同，

则五+23在另方向上的投影向量为用等3=硬学坂=岩如3=1b.

回\b\\b\2

故选：B

2.(2024.湖北•模拟预测)已知向量,=(1,0),3=(0,l),aV=31,则向量2在向量上的投影向量为()

【答案】A

【分析】设出^的坐标，利用给定条件得到落再利用投影向量公式求解即可.

【详解】设3=(x,y)，因为2=(1,0),b=(0,1),a-c—b-c=1,

所以1晨二葭1I,解得｛MJ

即向量旨在向量，上的投影向量为萼.1+.缪=弓3)・

|c||c|V2v222

故选：A.

3.(2024高三•全国•专题练习)已知平面向量2=(2,m),b=(n,1),c=(m+1,-1),若2，3,b//c,则

另在a+5方向上的投影数量为()

A.-2V2B.一早C.誓D.2V2

【答案】B

【分析】根据垂直和平行向量的坐标表示求出小，n,得到3和2+3的坐标，即可利用向量投影的公式进行

求解.

【详解】由五13得m+2n=0.

由物浮得m+n+1=0,所以m=—2,n=1.

所以b=(1,1),CL-(2,—2),c—(—1,—1)»2+3=(L—3),

所以3在a+乙方向上的投影数量为号苧=/21r=T

\a+c\V12+(-3)25

故选：B.

4.(23-24高三下•湖南娄底•阶段练习)在三角形4BC中，若笳.前=0屈=2前,则向量而在向量四上

的投影向量为.

【答案】|而

【分析】由题意可得。为线段BC的中点，ZB4C=90°,则AAOB为等腰三角形，然后根据投影向量的定义

求解即可.

【详解】因为阮=2团，所以。为线段BC的中点，

因为荏•前=0,所以屈_L前，所以NB2C=90。，

所以。4=OB=OC,

所以AAOB为等腰三角形，

所以向量而在向量荏上的投影向量为

AO-ABAB丽.\AB\cos^BAOAB

\AB\\AB\一\AB\\AB\

二网国镖》一而

\AB\\AB\2'

故答案为：

5.（2023•天津和平•三模）已知AABC中，点。是4C中点，点M满足前=2MC,记瓦？=a,BD=b,请用落

另表示前=；若瓦？•丽=-5,向量前在向量而上的投影向量的模的最小值为.

【答案】笆-软y

【分析】由题意可得福=：就一瓦?，BC=2BD-BA,可求得病=（加一|2；向量前在向量而上的投

影向量的模为嚅包=瘦常理，计算可求得最小值.

但叫\b\

【详解】根据题意，可得病=前—瓦5=|BC-BA,

所以前=前一函=|品一函=|（2前一明）一雨=［丽一|胡=［另一?^

向量前在向量而上的投影向量卷器■矗，

因为瓦？•丽=一5,所以心另=一5,

所以向量前在向量丽上的投影向量的模为：

\BD\\b\3四十3|所一yj3''3|S|3'

当且仅当g\b\=箫，即而=I时取等号，

所以向量前在向量前上的投影向量的模的最小值为争

故答案为：①—|a；②g.

考点六、数量积求最值取值范围问题

典例引领

1.（2023•天津•高考真题）在ATlBC中，BC=1,乙4=60。，AD=^AB,CE=^CD,记48==b,用

3%表示4后=；若而=|BC,则荏•衣的最大值为

【答案】-a+-b-

4224

【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用d1表示出赤，结合上一空答

案，于是版•标可由乙另表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

【详解】空1：因为E为CD的中点，则说+前=6,可得［竺+处=”，

两式相加，可得至U2荏=15+旅，

即2版=工之+氏则版=工/+3石；

242

空2：因为加=工就，贝1|2而+同=6,可得［竺+生=4£,

3MF+FB=AB

得到方+FC+2（AF+FB）=4C+2AB,

即3族=2d+B,即通=|a+（3.

于是族.都=（扣+翔.（|<+割=^（2a2+5a-6+2b2）.

记ZB=x,AC=y,

则ZE.AF=卷（2a2+5五•b+2h2）=*（2x2+5xycos60°+2y2）=*（2x2+m+2y2）,

在4中，根据余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60°=%2+y2—xy=1,

于是被力与（2町+争+2）=3（等+2）,

由％2+y2_%y=i和基本不等式，x2+y2—xy=1>2xy-xy=xy,

故%y〈l,当且仅当％=y=1取得等号，

则x=y=1时，AE-都有最大值

故答案为：+1□；

2.(2022.天津.高考真题)在A/IBC中，点D为AC的中点，点E满足？5=2丽.记81=2,荏=3,用匕3表

示朝=,若则N4CB的最大值为

【答案】缄一凳9

ZZo

【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出赤，以｛五，成为基底，表示出荏，尻，由28LDE

可得3京+五2=4几出再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),8(1,0),C(3,0),2(%y),由ZB1DE可得点4的轨迹为以

为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(x+I)2+y2=4,即可根据几何性质可知，当且仅当C4与OM

相切时，NC最大，即求出.

【详解】方法一：

DE=CE-CD=1b-\a,

AB=CB-CA=b-afABIDE

(3b-a)-(h-D)=0,

3b2+a2=4a-b=cos乙4cB=言巳==f，当且仅当同=V5b时取等号，而0V

\a\\b\［41a一l回篇>?4\%a\\纲b\2II

^ACB<71,所以44cB6(0,-1.

6

故答案为：jb—j五；g

ZZ6

方法二：如图所示，建立坐标系：

y

F(0,0),B(l,0),C(3,0)M(x,y)，DE=(一等,一今,荏=(1—

x,—y)，

DELAB(^)(x-1)+^=0=0+1)2+y2=4,所以点a的轨迹是以“(-1,0)为圆心，以「=2为半

径的圆，当且仅当C4与。”相切时，NC最大，此时sinC=£=；=；,NC=£

CM426

故答案为：=五；7

口呷投圆

1.(2024.天津.高考真题)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=^DE,BE=ABA+

liBC,贝/+〃=;F为线段BE上的动点，G为4尸中点，则Q・诂的最小值为.

【答案】

【分析】解法一：以｛瓦I左｝为基底向量,根据向量的线性运算求而，即可得4+II,设丽=kBE,求而，丽,

结合数量积的运算律求而•丽的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求宝，即可得2+〃,

设F(a,-3a),ae[-jo],求肝，加，结合数量积的坐标运算求衣•说的最小值.

【详解】解法一：因为CE=1DE,即则族=炭+胃=(瓦I+就，

可得4=[,〃=1,所以2+〃=]；

由题意可知：|阮|=|瓦?|=1,瓦？•就=0,

因为尸为线段BE上的动点，设方=kBE=[而+kBC,ke[0,1],

则衣^AB+BF=AB+kBE=(^k-1)BA+kBC,

又因为G为4F中点，则丽=DA+AG=-BC+^AF=|Q/c-1)^4+Qfc-1)BD,

可得加.而=[Qfc-l)Bl+fcBC]■l)BX+Q/c-l)BC]

=Hife-1?+fcQfc-i)=|(fc-|)2-^

又因为ke[0,i],可知：当k=i时，江而取到最小值-*

解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则4(-1,0),B(0,0),C(O,1),D(-1,1),E(.I),

可得瓦？=(-