抛物线【九大题型】（新高考专用）（解析版）-2025年高考数学一轮复习

抛物线【九大题型】专练

►热点题型归纳

【题型1抛物线的定义及其应用】..............................................................3

【题型2抛物线的标准方程】...................................................................5

【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】........................................................6

【题型4抛物线的轨迹方程】...................................................................7

【题型5抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................9

【题型6抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】.........................................II

【题型7抛物线的焦半径公式】................................................................14

【题型8抛物线的几何性质】..................................................................16

【题型9抛物线中的三角形（四边形）面积问题1.......................................................................18

►考情分析

1、抛物线

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考I卷：第22题，

抛物线是圆锥曲线中的重要内容，

12分

抛物线及其性质是高考数学的热点问

（1）掌握抛物线的定义、几2023年新高考I［卷：第10题，

题.从近几年的高考情况来看，主要考查

何图形、标准方程5分

抛物线的定义、标准方程、几何性质、

⑵掌握抛物线的简单几2023年全国乙卷（文数）：

面积问题等内容，在选择、填空、解答

何性质（范围、对称性、第13题，5分

题都可能出现，解题思路和解题步骤相

顶点、离心率）2023年北京卷：第6题，4分

对固定，强调通性通法，选择、填空题

（3）了解抛物线的简单应2024年新高考n卷:第10题，

中难度不大，解答题中难度偏大，一般

用6分

以第一小问考查抛物线的方程或轨迹问

2024年北京卷：第11题，5

题，需要灵活求解.

分

►知识梳理

【知识点1抛物线及其性质】

1.抛物线的定义

(1)定义：平面内与一个定点厂和一条定直线/(/不经过点乃的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫

作抛物线的焦点，直线/叫作抛物线的准线.

(2)集合语言表示

设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线/的距离为d,则抛物线就是点的集合P={M\\MF\=d}.

2.抛物线的标准方程与几何性质

标准

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py[p>0)x2=-2py(p>0)

方程

1I1

-----/

图形・一・1■

--------

)1AF〃X叭

顶点(0,0)(0,0)

轴对称轴y=0对称轴x=0

F(

焦点F(i°)。4)F(。，/)

_Pp

准线X~2X=2y=-2y=2

离心率e=1e=l

开口开口向右开口向左开口向上开口向下

\MF\=x+^\MF\=-x+^\MF\=y+^\MF\=-y+%

焦半径0000

范围x>0x<0y>0底0

3.抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异

抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是双曲线的离心率范围是e>l,抛物线的离心率是

e=l；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.

【知识点2抛物线标准方程的求解方法】

1.抛物线标准方程的求解

待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方

程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

【知识点3抛物线的焦半径公式】

1.焦半径公式

设抛物线上一点P的坐标为（死,%），焦点为F.

⑴抛物线：了2=2/(0>0),\PF\=x0+x0+^；

(2)抛物线：必=—2px(p>0),|PF|=x0—y=-x0+y；

(3)抛物线：无2=2勿5>0),\PF\=Vo+y=Vo+y；

(4)抛物线：x?=—2加(p>0),|PF|=Vo-y=—Vo+y.

注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半

径公式.

【知识点4与抛物线有关的最值问题的解题策略】

1.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略

（1）转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”

“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.

（2）转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用”与直线上所有点的连线中

垂线段最短”原理解决.

【方法技巧与总结】

1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2P

2.抛物线必=2Px（p>0）上一点尸（X。,为）到焦点尸（刍,0）的距离出产|=X。+§,也称为抛物线的焦

半径.

►举一反三

【题型1抛物线的定义及其应用】

【例1】（2024・贵州贵阳•二模）抛物线产=位上一点M与焦点间的距离是10,则M至次轴的距离是（）

A.4B.6C.7D.9

【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.

【解答过程】抛物线V=4%的准线为x=-1,

由抛物线定义可得+1=10,故=10-1=9,

则仗“1=J4XM=A/4x9=6,即M到x轴的距离为6.

故选：B.

【变式1-1]（2024•河北•模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平

面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解.

【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，

当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，

故甲是乙的充分条件但不是必要条件.

故选：A.

【变式1-2]（2024•北京大兴•三模）已知抛物线产=4%的焦点为R过尸且斜率为一1的直线与直线》=—

1交于点力,点〃在抛物线上，且满足|M*=|MF|,则|MF|=（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【解题思路】由题意先求出过尸且斜率为一1的直线方程，进而可求出点4接着结合点M在抛物线上且

\MA\=|MF|可求出从而根据焦半径公式附F|=xM+1即可得解.

【解答过程】由题意可得尸（1,0）,故过/且斜率为—1的直线方程为y=—（x—1）=—x+1,

令x=-l=y=2,贝!）由题4（一1,2）,

因为=所以M4垂直于直线x=-1,故y“=2,

又M在抛物线上，所以由22==1，

所以|MF|=XM+1=2.

故选：C.

【变式1-3](2024•福建莆田•模拟预测)若抛物线C的焦点到准线的距离为3,且C的开口朝左，则C的标准

方程为()

A.y2=—6xB.y2=6xC.y2——3xD.y2=3x

【解题思路】

根据开口设抛物线标准方程，利用。的几何意义即可求出.

【解答过程】依题意可设c的标准方程为产=-2px(p>0),

因为C的焦点到准线的距离为3,所以P=3,

所以C的标准方程为产=-6x.

故选：A.

【题型2抛物线的标准方程】

【例2】(2024•山东荷泽・模拟预测)已知点2(a,2)为抛物线/=2py(p>0)上一点，且点2到抛物线的焦

点F的距离为3,贝加=()

1

A.-B.1C.2D.4

【解题思路】由题意，根据抛物线的性质，抛物线/=2py(p>0),则抛物线焦点为尸(0,9,若为抛

物线上一点，有|MF|=%可得|4F|=2+艺=3,解得p=2.

【解答过程】因为抛物线为/=2py(p>0),

则其焦点在y轴正半轴上，焦点坐标为(0,9，

由于点4(a,2)为抛物线/=2py,(p>0)为上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3,

所以点/到抛物线的焦点厂的距离为|4F|=2+"3,解得p=2,

故选：C.

【变式2-1](2024•陕西安康•模拟预测)过点(2,—3),且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是()

A.x2--3yB.x2——C.x2=—|yD.x2=—4y

【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.

【解答过程】设抛物线的标准方程为/=ay(a丰0),

将点点（2,—3）代入，得22=—3a,解得a=—*

所以抛物线的标准方程是/=-iy.

故选：B.

【变式2-2]（2024・新疆•三模）已知抛物线产=2Px（p>0）上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大

b则抛物线的标准方程为（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x

【解题思路】根据抛物线的定义求解.

【解答过程】由题意抛物线产=2Px（p>0）上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=-1的距离相，

因止匕一?=—1,p—2,

抛物线方程为y2=4%.

故选：C.

【变式2-3]（2024•宁夏石嘴山•三模）如图，过抛物线372=2「久@〉0）的焦点/的直线，交抛物线于两点

/、B,交其准线于C,4E与准线垂直且垂足为E,若|BC|=2|BF|,|4E|=3,则此抛物线的方程为（）

C.y2=—D.y2=3x

【解题思路】过点4B作准线的垂线，设|BF|=a,得到|AC|=3+3a,结合抛物线的定义，求得a=1,再

由BD〃FG,列出方程求得p的值，即可求解.

【解答过程】如图所示，分别过点8作准线的垂线，垂足为。，

设田=a,则|BC|=2\BF\=2a,

由抛物线的定义得\BD\=\BF\=a,

在直角△BCD中，可得sin/BCD=黑=巳所以/BCD=30°,

在直角aaCE中，因为|4£|=3,可得|4C|=3+3a,

由|4C|=2|4E|,所以3+3a=6,解得a=l,

因为BD〃FG,所以解得P=*所以抛物线方程为y2=3乂

故选：C.

【例3】(2024•内蒙古赤峰•二模)已知抛物线C的方程为尤=——2,则此抛物线的焦点坐标为()

A.(-4,0)B.(-i|o)C.(-2,0)D.

【解题思路】由抛物线的几何性质求解.

【解答过程】依题意得：y2=-16x,则此抛物线的焦点坐标为：(—4,0),

故选：A.

【变式3-1](2024•黑龙江大庆•模拟预测)已知抛物线C:y=6久2,贝i]c的准线方程为()

A3c3„1„1

A-y=-5B-y=5c-y=_五D-y=^

【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.

【解答过程】抛物线C：y=6/的标准方程为/=

所以其准线方程为y=—今

故选：C.

【变式3-2](2024・河南•三模)抛物线y2=—28X的焦点坐标为()

A.(0,-14)B.(0,-7)C.(-14,0)D.(-7,0)

【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.

【解答过程】2p=28,p=14,・,・抛物线y2=-28汽的焦点坐标为(-7,0).

故选：D.

【变式3-3](2024•福建厦门•模拟预测)若抛物线V=租％的准线经过双曲线%2一丫2=2的右焦点，则血的

值为()

A.-4B.4C.-8D.8

【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.

【解答过程】因为双曲线/—y2=2的右焦点为(2,0),

又抛物线y2=nix的准线方程为X=—；，则一三=2,即m=—8.

故选：C.

【题型4抛物线的轨迹方程】

【例4】(2024・湖南衡阳•三模)已知点F(2,0),动圆P过点F,且与x=—2相切，记动圆圆心P点的轨迹为

曲线「，则曲线「的方程为()

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2—12x

【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.

【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线”=—2的距离相等，

所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以「的方程为产=8%，故C正确.

故选：C.

【变式4-1](23-24高二上•北京延庆•期末)到定点F(l,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴

的负半轴的轨迹方程是()

A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=x

【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.

【解答过程】因为动点到定点/(1,0)的距离比到y轴的距离大1,

所以动点到定点F(L0)的距离等于到x=—1的距离，

所以动点的轨迹是以尸(L0)为焦点，x=—1为准线的抛物线，

所以动点的轨迹方程是y2=4%.

故选：B.

【变式4-2](23-24高二上•重庆•期末)已知点P(x,y)满足Jo—l)2+y2=氏+1|,则点P的轨迹为()

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.

【解答过程】J(X—1产+产表示点》(即)到点(IQ)的距离;|%+1|表示点P(£,y)到直线X=—1的距离.

因为J（X—1）2+y2=\x+1\,

所以点P（x,y）到点（1,0）的距离等于点P®y）到直线x=—1的距离，

所以P的轨迹为抛物线.

故选：C.

【变式4-3]（23-24高二上•宁夏石嘴山•阶段练习）一个动圆与定圆F：（x+2）2+y2=1相内切，且与定

直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（）

A.y2—8xB.y2=4xC.y2--4xD.y2=—8x

【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定

义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程.

【解答过程】设动圆M的半径为r,依题意：|MF|=r—1,

点M■到定直线x=2的距离为d=r-l,

所以动点加到定点F（—2,0）的距离等于到定直线x=2的距离，

即知的轨迹为以尸为焦点，x=2为准线的抛物线，

所以此动圆的圆心河的轨迹方程是V=-8x.

故选：D.

【题型5抛物线上的点到定点的距离及最值】

【例5】（2024•全国•模拟预测）已知/是抛物线C：必=4式上的点，N（4,0）,则|AN|的最小值为（）

A.2B.2V2C.4D.2>/3

【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值

【解答过程】设4（»，

则|2N|=—+t2=[葛-2+16=加一2丫+12>2V3,

当且仅当1=±2四时，等号成立.

故选：D.

【变式5-1]（2024高三・全国・专题练习）已知P是抛物线产=2x上的点，Q是圆（％—5产+必=i上的点,

则|PQ|的最小值是()

A.2B.2V2C.2V3D.3

【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.

【解答过程】如图，抛物线上点P(x,y)到圆心C(5,0)的距离为|PC|,|CP|<\CQ\+\PQ\,

因此|PQ|>\CP\-1,当|CP|最小时,\PQ\=|CP|-1最小,

而|CP『-(x-5)2+y2=(1—5)+y2-；(川—8)2+9,

当。=±2鱼时,1cpimin=3,因此|PQ|的最小值是2.

故选：A.

【变式5-2](2024•湖南益阳•三模)已知M是抛物线y2=4%上一点，圆0:(久一+(y—2¥=1关于直线

y=x—1对称的圆为C2,N是圆上的一点，则|MN|的最小值为()

A.2V2-1B.V2-1C.乎-1D.1

【解题思路】根据对称性求出圆。2的方程，设M(4，yo),求出IMC2I的最小值，即可求出|MN|的最小值.

【解答过程】圆Q：(x—l)2+(y—2)2=1圆心为5(1,2),半径r=l,设Q(a,b),

—xl=-l(a=3

则由对称性可知:jl+aT12+b,c，解得忆3则C2(3,0),

--------1=U3-U

22

所以圆C2：(%-3)2+y2=1,

设MR,yo)，则IMQI=JR-3)+%=J表5—4)2+8,

所以当羽=4,即yo=±2时,|MC2|min=2V2,

所以|MN|的最小值是2鱼一1.

故选：A.

【变式5-3］（2024•黑龙江齐齐哈尔・二模）已知抛物线=8x的焦点为F,"为C上的动点，N为圆4/+

川+2%+8丫+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d,则|MN|+d的最小值为（）

A.1B.C.当D.2

【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E,利用抛物线的定义可知d=

-2,分析可知，当且仅当N、M为线段4F分别与圆4、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.

【解答过程】根据已知得到F（2,0）,圆A（x+l）2+（y+4）2=1,所以4（—1,一4）,圆月的半径为1,

抛物线C的准线为―=—2,过点M作ME1/,垂足为点E,贝“ME|=d+2,

由抛物线的定义可得d+2=\ME\=\MF\,

所以，|MN|+d=\MN\+\MF\-2>\AM\+\MF\-1-2>\AF\-1-2-7(2+1)2+(-4)2-1-2=2.

当且仅当N、"为线段4F分别与圆4、抛物线C的交点时，两个等号成立,

因此，|MN|+d的最小值为3.

故选：D.

【题型6抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】

【例6】（2024•四川成都•模拟预测）设点4（2,3）,动点尸在抛物线=4%上，记P到直线x=—2的距离

为d,则|2P|+d的最小值为（）

A.1B.3C.V10-1D.V10+1

【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点尸的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+l,从而转化为求

\AP\+\PF\+1的值，当4BF三点共线时，d=\PF\+1取得最小值,即可求解.

【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,O),准线方程为无=—1,

由抛物线的定义可得d=\PF\+1,

所以|4P|+d=\AP\+\PF\+1,

因为|4P|+\PF\>\AF\=J(2—1)2+(3—0)2=Vio

所以|4P|+d=\AP\+\PF\+1>V1O+1.

当且仅当AP,F三点共线时取等号，所以|4P|+d的最小值为VTO+1.

【变式6-1](2024•湖南常德•一模)己知抛物线方程为:*=16x,焦点为F.圆的方程为(久一5尸+⑶一1)2

=1,设P为抛物线上的点，Q为圆上的一点，则|PF|+|PQ|的最小值为()

A.6B.7C.8D.9

【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=\PN\,从而得到|PF|+

\PQ\=\PN\+\PQ\,P、Q、N三点共线时和最小;再由Q在圆上，|QN|min=|MN|—r得到最小值.

由抛物线方程为y2=16x,得到焦点尸(4,0),准线方程为久=—4,过点P做准线的垂线，垂足为N,

因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|,

所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|,当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，

又因为Q在圆上运动，由圆的方程为0—5)2+(y—1)2=1得圆心M(5,l),半径「=1,所以|QN|min=|MN|

—v=8,

故选：C.

【变式6-2](2024•全国•模拟预测)在直角坐标系中，已知点尸(1,0),E(—2,0),"(2,2),动点P满

足线段PE的中点在曲线y2=2久+2上，则|PM|+|PF|的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】设P(x,y),由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M

到直线/的距离，即可求得答案.

【解答过程】设PQy),则PE的中点坐标为(手,乡，代入川=2%+2,可得y2=4x,

故动点尸的轨迹是以厂为焦点，直线/：%=—1为准线的抛物线，

由于22<4x2,故M(2,2)在抛物线y2=4%内部，

过点尸作PQ12,垂足为。，贝”PM|+|PF|=|PM|+|PQ|,(抛物线的定义)，

故当且仅当M,P,。三点共线时，|PM|+|PQ|最小,即|PM|+|PF|最小，

最小值为点M到直线/的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2-(-1)=3,

故选：B.

【变式6-3](2024•陕西西安•一模)设P为抛物线C：必=轨上的动点，4(2,6)关于P的对称点为8,记P至I]

直线x=—1、久=—4的距离分别由、dz，则由+dz+的最小值为()

A.V33+2B.2V33+2C.V37+3D.2历+3

【解题思路】根据题意得到心+d2+\AB\=2dl+3+2\PA\=2@+|PA|)+3,再利用抛物线的定义结合

三角不等式求解.

【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(l,0),准线方程为x=-1,

如图,

因为d2=di+3,且4(2,6)关于P的对称点为B,所以伊知=\PB\,

所以心+d2+\AB\=2dl+3+2\PA\=2@+\PA\)+3=2(|PF|+\PA\)+3

>2\AF\+3=27(2-1)2+62+3=2历+3.

当P在线段4F与抛物线的交点时，办+di+MBI取得最小值，且最小值为2何+3.

故选：D.

【题型7抛物线的焦半径公式】

[例7](2024•青海西宁•一模)已知产是抛物线C:/=4y的焦点，点M在C上，且M的纵坐标为3,则=

()

A.2V2B.2V3C.4D.6

【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.

【解答过程】由％2=4y,得2P=4,解得p=2.

所以抛物线C：/=4y的焦点坐标为F(0,l),准线方程为y=-1,

又因为M的纵坐标为3,点M在C上，

所以|MF|=%^+"3+|=4.

故选：C.

【变式7-1](2024•河南•模拟预测)已知抛物线C:y2=2px(p〉0)上的点(m,2)到原点的距离为2vL焦点

为F,准线/与x轴的交点为过C上一点尸作尸。1/于。，若4FPQ=可,则|PF|=()

A.-B.-C.亨D.—

【解题思路】根据点(a,2)到原点的距离为2声求出抛物线方程，再设点尸坐标，利用抛物线的定义和等腰三

角形的性质列出方程即可求解.

【解答过程】因为点(外2)到原点的距离为2vL

所以62+22=8,解得m=2,（负值舍），

将点（2,2）代入抛物线方程丫2=2。%@>0）,得4=4p,所以p=l,

所以C:y2=2x,F(1,0),Z:x=—

由于抛物线关于X轴对称，不妨设PQ,后）,Q（—*房）,

因为|PQ|=|PF|=%+'Z.FPQ=y,

所以△PQF为等腰三角形，Z.PQF=p

所以|（2?|=旧出<21=旧"+勺，

所以|QF|=«T^=^(x+》,

解得X=:或X=-1(舍),

117

所以|PF|=%+]=§.

故选：D.

【变式7-2]（2024•新疆•三模）已知抛物线C：丫2=%的焦点为尸，在抛物线C上存在四个点p,M,Q,

N,若弦PQ与弦MN的交点恰好为R且PQ1MN,则高+意=（）

A.yB.1C.V2D.2

【解题思路】由抛物线的方程可得焦点厂的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF|=苔而，1（251=晨导，

吠|=哀品，四|=式而，结合三角的恒等变换的化简可得自+意=弟即可求解・

【解答过程】由抛物线C铲=%得2P=1,贝UpF60）,

不妨设尸。的倾斜角为。（0<6<以，

则由|PF|cos8+p=\PF\,p-\QF\cos6=\QF\,

得仍尸|=匚而，及月=哀而

所以|MF|=i-cos(^+0)=1+sinG|NF|=i+cos(f+6>)=l-sinS,

得|PQ|=\PF\+\QF\=&+益彳=急，\MN\=，司=悬,

【变式7-3］(2024•北京西城•三模)点厂抛物线产=2久的焦点，A,B,C为抛物线上三点，若可+而+

FC=0,则|同|+|而|+|丽|=()

A.2B.2V3C.3D.4巡

【解题思路】设4(xi,yD，B(x2,y2),c(x3,y3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,再由可+FB+FC=

6可得F为△ABC的重心，从而可求出比1+K2+"3,再根据抛物线的定义可求得结果.

［解答过程］设力。1,%),8。2,丫2),。(%3,乃)>

由y2=2%,得p=l,所以尸60),准线方程为％=

因为雨+丽+丽=6,所以F为△ABC的重心，

所以必+；+啊=号,所以亚+刀2+久3=*

--->--->--->

4|+|FB|+|FC|

所以|凡-X1+-+X2+-+X3+2

3

=*1+%2+*3+2

一_3尹3小_,

故选：C.

【题型8抛物线的几何性质】

[例8](2024•重庆•模拟预测)48是抛物线y2=2Px(p>0)上的不同两点，点方是抛物线的焦点，且△

的重心恰为凡若|ZF|=5,贝ljp=()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据重心可得卜1+"2=当，结合对称性可得的=条再根据抛物线的定义运算求解.

I71=-724

【解答过程】设“(%1，'1),8(%2，丫2)/

'%1+%2+。_P+%2=*

因为△OZB的重心恰为R则%+和0_Q»解得

.yi=­y2

、3-

由yi=—可知48关于X轴对称，即％1=%2,

则+%2=2%1=M即％1=?，

Z4-

又因为|2尸|=刀1+”乎=5,解得p=4.

故选：D.

【变式8-1](23-24高二下•福建厦门•期末)等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线外=2x

上，则这个等边三角形的边长为()

A.2B.2V3C.4D.4V3

【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，设另外两个顶点坐标分别是4(ga,a),B(ga,—砌，把

顶点代入抛物线方程化简即可求解.

【解答过程】设正三角形得边长为2a,

由图可知正三角形的另外两个顶点关于乂轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是4(V^a,a),B(V^a,—a),

把顶点代入抛物线方程得a?=2ga,解得a=2小

所以正三角形的边长为4国.

故选：D.

【变式8-2](23-24高三下•北京•阶段练习)设抛物线C的焦点为尸，点E是C的准线与C的对称轴的交

点，点尸在C上，若NPEF=30。，则sin/PFE=()

C.—D.—

A-TB-T22

【解题思路】

先设P(xo,yo)，根据图形分别表示出tan/PEF和sin/PFE即可得解.

【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y2=2px(p>0),则其焦点为F(|,0),

点E是C的准线与C的对称轴的交点，其坐标为以一(0),

点P在C上，设为P(%o，yo),若NPEF=30。，则tan/PEF=黑=§,

且|PF|=x0+pPWsinNPFE=sin(>—NPFE)=^=^.

故选：B.

【变式8-3](23-24高二下•重庆•阶段练习)已知x轴上一定点力(a,0)(a>0),和抛物线产=2Px(p>0)上

的一动点M,若>a恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(0闾B.(0,p]C.(0用D.(0,2p]

【解题思路】设M(xo，yo)(&>0),表示出|力”|,依题意可得就一(2a-2p)%0>0恒成立，分配=0和>0

两种情况讨论，当久0>0时XoN2a—2P恒成立，即可得到2a—2pW0,从而求出a的取值范围.

【解答过程】设M（%o,yo）3）20）,则羽=2px（）,所以|4M|=J（x（）—a）2+羽

22

二7（Xo—a）+2px0=/%o—（2a—2p）x0+a

—J%一（a—p）］x0+a］，

2

因为>a恒成立，所以就-（2a-2p）%0+a>a2恒成立，

所以非-（2a-2p）x0>0恒成立，

当X。=0时显然恒成立，当劭>0时孙>2a-2P恒成立，

所以2a-2pV0,则aWp,又a>0,所以0<aWp,即实数a的取值范围为（0,p］.

故选：B.

【题型9抛物线中的三角形（四边形）面积问题】

【例9】（2024•江西新余•二模）已知点Q（2,—2）在抛物线C：y2=2px±,尸为抛物线的焦点，贝U△OQF

（O为坐标原点）的面积是（）

A.1B.1C.2D.4

【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p,再结合抛物线的公式，即可求解

【解答过程】点Q（2,-2）在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，

4=4p,解得p=1,

故抛物线C的方程为产=2%,F（1,0）,

则△OQF的面积SMQF==|.

故选：A.

【变式9-1］（23-24高二上•广东广州•期末）已知抛物线C：y2=2px（p〉0）的焦点为尸，直线/与C相

交于/、2两点，与/轴相交于点£已知|4F|=5,\BF\=3,若△4EF的面积是△BEF面积的2倍，则

抛物线C的方程为（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8%

【解题思路】过分别作C的准线的垂线交y轴于点M,N,根据抛物线定义可得MM=5—另|BN|=3—

|,再由受空=盘=罂即可求参数P，进而可得抛物线方程.

，"BEF|OC|\DN\1

【解答过程】如图，过4B分别作C的准线的垂线交y轴于点M,N,

则4M〃BN，故提=需,

因为C的准线为x=g,所以14Ml=|4F|_、=\BN\=\BF\-1=3-p

所以"_]EF]|4E|sin〃EF_幽_也—tf__

所以SAB”_》EF||BE|si“EF_|BE|_|BN|一3-用牛付P-

故抛物线C的方程为俨=4x.

【变式9-2]（23-24高二上•广东广州•期末）设F为抛物线产=4乂的焦点，A,B,C为该抛物线上不同的三点,

且戴+丽+同=6,0为坐标原点，若△。凡4、AOFB、△0FC的面积分别为Si、S2、S3,则S：+S专+S专

=（）

A.3B.4C.5D.6

【解题思路】设点48,C的坐标，再表示出△。凡4,△。FB,△。尸C的面积，借助向量等式即可求得答案.

【解答过程】设点4B,C的坐标分别为（不）1），0272），（%3，为），而抛物线的焦点尸（1,0），\OF\=1,

FA=（久i=（x2-l,y2），FC=（x3-l,y3）,由凡4+FB+FC=G,得久i+x2+x3-3,

于是S]=、仅1|,52=打2居=9为1，

所以望+Sj+Sj=-(yi+yj+yl)=+%2+%3=3.

故选：A.

【变式9-3］（23-24高二・全国•课后作业）已知抛物线C：产=8羽点P为抛物线上任意一点，过点P向圆

D：久2+产―4久+3=0作切线，切点分别为4B,则四边形P4DB的面积的最小值为（）

A.1B.2C.V3D.V5

【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接P。，贝”四边形P4DB=2SRSP4D=|P4|,而

\PA\=y/\PD\2-l,所以当|PO|最小时，四边形P4DB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的

准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果

【解答过程】如图，连接PD,圆（x-2）2+y2=l,该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1,

则S四边形PADB—2SRSP40=\PA\.

又|P川=J|PD|2—1,所以当四边形PADB的面积最小时，|PD|最小.

过点P向抛物线的准线x=—2作垂线，垂足为E,则|PD|=|PE|,

当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2.

故（s四边形240B）min=（/iW^i）min=V3.

故选：c.

yjk

►过关测试

一、单选题

1.(2024•江西•模拟预测)若抛物线久2=8y上一点(久口,%)到焦点的距离是该点至防轴距离的2倍.则见=

()

13

A.-B.1C.-D.2

【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义,

得到抛物线上的点(xo,yo)到焦点的距离，根据题意得到关于火的方程，求解即可.

【解答过程】已知抛物线的方程为/=8y,可得p=4.

所以焦点为F(0,2),准线为Z：y=—2.

抛物线上一点4(%,y°)到焦点F的距离等于到准线1的距离，

即网=%+2,

又必到x轴的距离为y(),

由已知得yo+2=2y(),解得yo—2.

故选：D.

2.(2024・四川•模拟预测)已知抛物线C:久2=8y的焦点为£P是抛物线C上的一点，。为坐标原点，|0P|=4

V3,则|PF|=()

A.4B.6C.8D.10

【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P(nui)(m20),结合|0P|=4行与抛物线方程，得到几=4,

由焦半径公式得到答案.

【解答过程】抛物线C：/=8y的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,

设P(7n,Zl)(7H>0),叫后黑但，解得"4或--12(舍去)，

则|PF|=n+2=6.

故选：B.

3.(23-24高二下・