福建省莆田市高三下学期第二次质量测试（B卷）（5月）数学（理）

2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(B卷)理科数学本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足,则=A.B.2C.D.12.已知集合,则A.B.C.D.3.设满足约束条件则的最大值为A.4B.8C.12D.164.已知函数是奇函数,且满足,则=A.1B.-1C.3D.35.在中,,,则的值为A.2B.3C.4D.5中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现代数学符号表示是,可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数满足,我们就把正整数叫做勾股数,下面依次给出前3组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25.按照此规律,编写如右图所示的程序框图,则输出的勾股数是A.11,60,61B.13,84,85C.17,74,75D.21,72,757.如上图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积等于A.B.C.D.8.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,且则“∥”是“∥”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知数列满足,则=A.B.C.D.10.已知,,分别为方程的根,则,,的大小关系为A.B.C.D.11.已知双曲线,过的左焦点作圆的切线交的右支于点,切点为,且,则的离心率为A.B.C.D.12.若函数的图像关于直线对称,当时,,则A.B.C.D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在的展开式中,的系数是.14.已知,则.15.抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,,为垂足.如果直线的斜率为,那么的值为.16.如图,在平行四边形中,为垂足,,则.三、解答题:共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。（一）必考题:共60分。17.（12分）已知数列为正项递增等比数列,为其前项和,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.（12分）如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,是的中点．(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值．19．（12分）一企业从某生产线上随机抽取100件产品,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图.(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表);(2)若质量指标值,则称该件产品为优品（以落入各区间的频率作为取该区间值的概率）.质检部门对该生产线上的产品进行质量检验.检验方案是:先从这批产品中任取3件作检验,若3件均为优品,则这批产品通过检验;若只有2件为优品,则再从这批产品中任取1件检验,若为优品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品均不能通过检验.每件产品是否为优品相互独立.(i)求这批产品通过检验的概率;(ii)已知每件产品的检验费用是100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位:元）,求的分布列及数学期望.20．（12分）在平面直角坐标系中，点为椭圆的一个焦点,点为的一个顶点,.(1)求的标准方程;(2)若点在上,则点称为点的一个“椭点”.直线与相交于,两点,且两点的“椭点”分别为,以为直径的圆经过点,求的面积.21.（12分）已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,证明:.（二）选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做第一题计分。22.[选修44:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求的极坐标方程;(2)设,是上的任意两点,且,求的取值范围.23.[选修45:不等式选讲](10分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)已知,对任意,总存在,使得,求的最大值.2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(B卷)理科数学参考答案及评分细则评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分．3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分,满分60分．(1)C(2)D（3）C（4）A(5）B（6）B(7)D(8)C（9）B(10)A(11)C(12)C二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分,满分20分．（13）60（14）（15）8（16）2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.本小题主要考查等差数列、等比数列及数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想.满分12分.解:(1)设等比数列公比为,由,得,…………2分.消，解得,…………4分.因为数列为递增数列,故,所以,…5分.所以.………………6分.(2)依题意,……………7分则①………8分故②………9分由①②得……10分即………11分则………12分18.本小题主要考查直线与平面的位置关系、线面角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．解:(1)因为,所以,所以,即,………………1分又所以,…………2分又,所以,……………3分因为是的中点,所以,又因为所以,…………4分又,所以.…………5分设中点为,连接则,所以,所以两两互相垂直,………………6分以为原点,分别以为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图.……………………7分则…………8分设平面的一个法向量为,则,令,得,…………9分即.……………………10分设直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.…12分19.本小题主要考查频率分布直方图、统计量、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查分类与整合思想、或然与必然思想等．满分12分．解:(1)由直方图知所以这100件产品质量指标值的样本平均数为40.………3分(2)由直方图知,即一件产品为优品的概率是,……………5分（i）这批产品通过检验的概率为.………7分(ii)可能的取值为,,……………8分并且,………9分,……………10分（或）,……10分所以的分布列为………11分的数学期望为.………………12分20.本小题主要考查曲线与方程、椭圆标准方程及其性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分12分.解:（1）由已知得,在中,,…………1分所以,…………………2分又因为所以,………3分所以椭圆的方程为:.……4分（2）设,则,………………5分又因为以为直径的圆经过坐标原点,得,即,=1\*GB3①……………………6分由,消整理得,,由,得,而,=2\*GB3②……………7分=3\*GB3③…8分联立=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③得,,即,…………9分又因为,………10分原点到直线的距离,所以,………………11分把代入上式得,即的面积是为.………12分21.本小题主要考查函数的性质及导数的应用等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等．满分12分．解:(1)由已知得函数，的定义域为，……………1分则.……………2分①当时,,,因为时,,时,,所以在上单调递减,在上单调递增.…3分②当时,,因为或时,,时,,所以在上单调递增,在上单调递减，在上单调递增,…………4分③当时,,故在上单调递增.………5分④当时,,因为或时,,时,,所以,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.…………………6分(2)证明:当时,要证即证只需证明:,……………7分设,令,,……………8分所以为上的增函数,且,………………9分所以存在唯一使得,即,………………10分且在上递减,在上递增,所以,所以，即原不等式得证.………………12分22.本小题主要考查参数方程与普通方程、普通方程与极坐标方程的互化,极径、极角的几何意义等基础知识,考查运算求解能力,考查转化与化归思想．满分10分.解:（１）因为所以…………1分所以……2分又,…………3分即曲线的极坐标方程为……4分化简得…………………5分（２）不妨设点的极坐标分别为则,,……………6分…………8分又因为,……………………9分所以的取值范围为.………………10分23．本小题主要考查含绝对值的不等式解法、绝对值不等式