江苏省常州市2024-2025学年上学期九年级数学期中试题

江苏省常州市2024-2025学年上学期九年级数学期中试题

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一、单选题

1.将一元二次方程2/-4x=-5化成一般形式之后，若二次项的系数是2,则一次项系数

和常数项分别为（）

A.4,5B.-4,5C.-4,-5D.5,4

2.方程2/70=0的根的情况是（)

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根

D.无法确定

3.将方程--6x+l=0配方后，原方程可变形为（

A.(X-3)2=8B.(X-3)2=-10C.(X+3)2=-10D.0+3)2=8

4.己知。。的半径为5,点P到圆心。的距离为4,若点尸在圆内，则d的取值范围为（）

A.d<5B.d=5C.d>5D.0<d<5

5.如图，圆。是V/BC的外接圆，已知/8=血，NC=45。，则圆。的半径。4的长为（）

C.V2D.2

6.如图，A3是半圆O的直径，点。是弧/C的中点，若/B4C=44。，则ND4c等于（

C.23°D.46°

7.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”

其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天

试卷第1页，共6页

“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据:

V2«1.414）（）

A.20.3%B.25.2%C.29.3%D.50%

8.如图，V48c内接于AB=AC,ZBAC<60\为的直径，BEL4C交4力于P,

BE的延长线交。。于点尸，连接/尸，CF,AD交BC于G,在不添加其他辅助线的情况

下，图中除/8=NC外，相等的线段共有（）对.

A.2B.3C.4D.5

二、填空题

9.一元二次方程3/的根是.

10.若关于x的一元二次方程/一2x+4=0有一个根为1,则实数左的值为.

11.写出一个一元二次方程，使它两根分别为3和-10,所写方程为：.

12.为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞

台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台.舞台区域的宽均为6米，中间空白的

面积为216平方米，若设正方形空地的边长为x米，则可列方程.

13.若6为有理数，J3.2a1-lab+b2-6a+9=0<贝!Ja+26=_.

14.已知RtZ\48C的两直角边的长分别为6cm和8cm,则它的外接圆的半径为cm.

15.如图，是。。的直径，C、。是。。上的点，ZCDB=20°,过点C作。O的切线

交AB的延长线于点E,则NE=.

试卷第2页，共6页

16.如图，已知与。。相切于点A,/C是。。的直径，连接2C交。。于点。，E为。。

上一点，当/CED=58。时，的度数是.

17.如图，已知。/的半径为1,圆心的坐标为（4,3）.点尸（加,〃）是。工上的一个动点，则

nr+n2的最大值为

18.如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖而与两个

磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆跖与地面8。垂直，排水口CD=246mm,密封

盖最高点E到地面的距离为6mm,整个地漏的高度EG=75mm（G为磁体底部中点），密

封盖被磁体顶起将排水口密封，前所在圆的半径为mm；当有水时如图2所

示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点恰好落在5G中点，若点AT到E尸

的距离为36mm,则密封盖下沉的最大距离为mm.

试卷第3页，共6页

三、解答题

19.计算

⑴(I)?=9

(2)/+4工-5=0

(3)2/+3X-2=0

(4)2X(X+7)=3(x+7)

20.关于x的方程V-4x+2(机+1)=0有两个实数根.

(1)求加的取值范围；

(2)当皿为正整数时，求此时方程的根.

21.某建筑工程队在靠墙处(可用墙长11米)，用20米长的建筑材料围成一个面积为60平

方米的长方形仓库，在与墙平行的边5c上预留出长度为2米的门，求这仓库的长和宽.

T7T

81---------门----------1c

22.某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游.下面是领队与旅行社导游

就收费标准的一段对话.

领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？

导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元.

领队：超过25人怎样优惠呢？

导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70

元.该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元.

请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人.

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23.如图，已知N5是OO的一条弦，直线/与OO相离，利用无刻度的直尺在直线/上找一

点C,使得V4BC为直角三角形.(无需写出画图步骤)

24.如图，是O。的切线，切点为8,交。。于点。，点。在上，S.DB=DC.

(o

(1)求证：DC为O。的切线.

⑵若AD=2BD,CD=2,求。。的半径.

25.如图，以为直径的。。上有C,。两点，过点C作。。的切线CE,连接4D并延长

交CE于点£,连接/C,AC平分NB4D.

(2)若ND=6,CE=2,求。。的半径.

26.如图1,C,。是半圆NCB上的两点，若直径48上存在一点尸，满足NAPC=NBPD,

则称ZCPD是CD的“幸运角”.

(1)如图2,43是。。的直径，弦CE148,。是2C上一点，连结ED交于点尸，连结。尸,

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/CPD是丽的悻运角”吗？请说明理由；

(2)设历的度数为“，请用含"的式子表示函的“幸运角”度数;

⑶在(1)的条件下，直径AB=20,也的“幸运角”为90。.

①如图3,连结CD,求弦CD的长；

②当。E=14血时，求CE的长.

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参考答案:

题号12345678

答案BAADBCCC

1.B

【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题

的关键.把一元二次方程化为一般式，即可求解.

【详解】解：一元二次方程2/_©=-5的一般式为：2--4x+5=0,

若二次项的系数是2,则一次项系数和常数项分别为-4,5,

故选：B.

2.A

【分析】找出方程中a,b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可对方程

的根作出判断.

【详解】解：这里。=2,6=0,c=-10,

VA=/?2-4ac=0-4x2x(-10)=80>0,

方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的判别式的值大于0,方程有两个不相等

的实数根；等于0,方程有两个相等的实数根；小于0,方程没有实数根.

3.A

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即

可得出答案.

【详解】解：x2-6x+1=0

x2—6x=-1

尤2-6x+9=-1+9

(x-3)』.

故选A.

【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程.掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本

题的关键.

4.D

答案第1页，共17页

【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可.

【详解】解：••,点P在圆内，且。。的半径为5,

：.0<d<5,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系.解题的关键在于熟练掌握点与圆的位置关系有

3种：。。的半径为％点P到圆心的距离。尸=力则有：①点尸在圆外②点P在

圆上③点尸在圆内

5.B

【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接08,根据圆周角定理可得乙4。8=90。，

即可得到V为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，连接02,

ZC=45,

:.ZAOB=2ZC=90°,

■：AO=BO,

.2/08为等腰直角三角形，

AO2+BO2=AB2,

即2/。2=2,解得/。=1（负值舍去），

故选：B.

6.C

【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得a4c2=90。，从而利用直角三角形的两个锐角

互余可得48=46。，然后利用圆内接四边形对角互补可得40=134。，再根据已知可得

石工口，进而可得ND=DC,最后利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理进行

计算即可解答.

【详解】解：是半圆。的直径，

:.ZACB=9G°,

答案第2页，共17页

ABAC=44°,

ZB=90°-ZBAC=46°,

••・四边形43CZ)是半OO的内接四边形，

.•./£>=180°-ZB=134°,

,点。是弧/C的中点，

:.AD=DC

AD=DC,

ZDAC=NDCA=1(180°-Zr>)=23°,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关

键.

7.C

【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程.

设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可.

【详解】解：设每天遗忘的百分比为x,

则(If4,

解得：x»29.3%.

故选：C.

8.C

【分析】此题主要考查圆与三角形综合，熟练掌握垂径定理，直角三角形性质，等腰三角形

的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解决问题的关键.

根据垂径定理得到BG=CG,连接CP,根据线段垂直平分线的性质得到P8=PC,根据余

角的性质得到NC/G=NC8£,推出=尸E,得到4P=/尸，EP=FE,CP=CF,

得到CF=BP.

【详解】解：=

二淞=比，

：40经过圆心。，

AD1BC,

答案第3页，共17页

BG=CG,^AGC=90°,

ZCAG+ZACG=90°,

连接CP,

贝!]尸5=尸。，

[BF1AC,

：.ZBEC=90°,

・•・NCBE+NBCE=90。,

：.NC4G=ZCBE,

ZCAF=ZCBF,

ZEAF=NEAP,

ZEAP+ZAPE=90°,/EAF+ZAFE=90°,

・•・ZAPE=ZAFE,

：.AP=AF,

ACLFP,

：.EP=FE,

：.CP=CF,

：.CF=BP,

・••相等的线段共有4对，

故选：C.

八1

9.玉=0,x2=-

【分析】本题可对方程提取公因式x,根据因式分解法，即可求出方程的根.

【详解】,**3x2-x=0

即x(3x-1)=0

答案第4页，共17页

解得：X]=0,x2=1

故答案为玉=0，x2=1

【点睛】考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解是解题的关键.

10.1

【分析】本题考查一元二次方程的根，把x=l代入方程，建立关于上的一元一次方程，求解

即可.

【详解】解：把X=1代入方程，得

1-2+后=0,

解得：k=1,

故答案为：1.

11.X2+7X-30=0

【分析】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考

常考题型.根据题意得到(x-3)(x+10)=0,进而可得出结论.

【详解】解：•.・一个一元二次方程的两个根分别是3和-10,

.'.(X-3)(%+10)=0,即犬+7》-30=0.

故答案为：X2+7X-30=0.

12.(x-6)(x-6-6)=216

【分析】本题考查一元二次方程的应用.若设正方形空地的边长为X米，则中间空白的长为

(x-6)米，宽为(x-6-6)米，根据长方形面积公式即可列出方程.

【详解】解：根据题意，得(x-6)(x-6-6)=216,

故答案为：(x-6)(x-6-6)=216.

13.9

【分析】根据配方法可得+("3『=0,进一步可得4-6=0,"3=0,求出。和6

的值，进一步即可求出。+26的值.

【详解】解：,.,2/-2仍+6a+9=0,

••q2—2clb+廿+a2—6。+9=0,

/.(a-Z))2+(a-3)2=0,

a—b=0,Q—3=0,

答案第5页，共17页

：•a=b=3,

a+2b=9,

故答案为：9.

【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

14.5

【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径及勾股定理，重点在于理解直角三角形的外

接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆.直角三角形的外接圆圆心就是斜边的

中点，所以外接圆的半径就是斜边的一半.根据勾股定理，斜边为10cm,所以外接圆的半

径就是5cm.

【详解】解：••・"△45。的两直角边的长分别为6cm和8cm,

斜边为76?+8：=10（cm）,

•••外接圆的半径就是5cm.

故答案为：5

15.50°

【详解】试题分析：连接OC,根据同弧所对的圆周角相等，有NCAB=NCDB=20。,而

CM=OC,故ZOCA=ZCAB=20。.因为CE是圆的切线，故有ZOCE=90°，所以N/CE=110。,

所以NE=50°.

考点：1.圆所对圆周角的大小关系；2.圆切线的性质.

16.58

【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.连

接如图，根据切线的性质得到NR4C=90。，根据圆周角定理得到N/DC=90。，贝|利

用同角的余角相等得到然后根据圆周角定理得到/。1。="£。=58。，从而得

到的度数.

【详解】解：连接AD,如图，

•••与OO相切于点A,

ACVAB,

答案第6页，共17页

ABAC=90°,

是。。的直径，

ZADC=90°,

•••ZB+ZACB=90°,ZACB+ACAD=90°,

NB=ZCAD,

•;NC4D=NCED=58°,

;.NB=58。.

故答案为：58.

17.36

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，以及勾股定理和坐标与图形的关系，熟练掌握点与

圆的位置关系是解题关键.连接。4并延长交。/于点P,求出中=5，

OP2=m2+n2,则m2+n2是点P到原点的距离的平方，当点P运动到射线OA上时，即P'处,

点尸离原点最远，即/+/最大，止匕时OP=O/+P/=5+1=6,即可求出答案.

【详解】解：连接。/并延长交于点P,

:圆心的坐标为（4,3），点P的坐标为（私〃）

OA=V32+42=5>OP2=m2+n2

m2+"2是点P到原点的距离的平方

当点P运动到射线上时，即P处，点尸离原点最远，即/+*最大,

止匕时OP=ON+P/=5+l=6

m2+n2=36

故答案为：36.

答案第7页，共17页

18.3916.5

【分析】①根据已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理得到。〃的长度，进而得到半径;

②利用三角形中位线的性质得到M2,再利用勾股定理及矩形的性质得到密封盖下沉的最

大距离.

【详解】解：①设作圆心。，连接CD交CE于点

设OH=xmm,

•・,最高点£到地面的距离为6mm,

OE=(6+x)mm,

*.*CD-24g(mm),

・・・OH=12闻mm),

.•.在RMOHD中，OD=卜+(126j,

OE=OD,

6+x=«2+(126『,

x=33,

/.OE=39mm,

故答案为：39.

图1

②作MPLEG,延长GE',交48于点。，作M2,交45于点Z,

M'P'LE'G,

/.M2//E'G,

...点Z是8。'的中点，

•.•AT为BG的中点，

M2为AGQ'B的中位线，

答案第8页，共17页

・・.MrZ=^GQr,

,.・£G=75mm,EQ'=6mm,

GQ'=69mm,

.,.A/7=-x69=34.5mm,

2

:点M'到E'F'的距离为36mm,

：.MJ=M'P'=36mm,

OM=OE=39mm,

回到图1,作MLEG,

由勾股定理得：OJ=yjOM2-MJ2=A/392-362=15（mm）-

移动前M到地面的距离为：JH=39-15-6=18（mm）,

VM移动的距离为密盖下沉的距离，

MM'^M'Z-JH=34.5-18=16.5（mm）,

密封盖下沉的最大距离为16.5mm.

故答案为：16.5.

2/

G

图2

【点睛】本题考查了平行线分线段性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质，矩形

的性质等相关知识点，掌握垂径定理是解题的关键.

19.(1)再=6,

(2)X]=—5,x?=1

(3)玉=：，x?=-2；

3

(町七=务，X[=-7-

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法和步骤是解题的关键.

答案第9页，共17页

(1)运用直接开平方法解方程即可；

(2)用因式分解法求解即可；

(3)用因式分解法求解即可；

(4)先移项，再用提公因式法求解即可.

【详解】(1)解：(x-3y=9,

x一3=±3,

/.=6,%2=0；

(2)解：X2+4X-5=0,

(x+5)(x-l)=0,

x+5=0,x-1=0,

..再——5,%2=1；

(3)解：2/+3x-2=0,

(2x—l)(x+2)=0

2x-l=0,x+2=0,

(4)解：2x(x+7)=3(x+7)；

2x(x+7)-3(x+7)=0,

(2x-3)(x+7)=0,

2x—3=0或x+7=0,

20.(l)znWl

(2)%=%=2

【分析】(1)利用判别式的意义得到

.•.A=/?2-4ac=(-4)2-4xlx2(7M+l)=16-8m-8=8-8m>0,即然后解不等式即可；

(2)利用机的范围确定加的正整数值为1,则方程化为*-4x+4=0,然后利用因式分解

法解方程.

【详解】(1)解：'：a-\,b=-A,c=2(m+{),

答案第10页，共17页

/.A=Z?2-4ac=(-4)2-4x1x2(m+1)=16-8m-8=8-8m.

・•・关于X的方程Y-4x+2(加+1)=0有两个实数根，

/.A>0.

8-8m>0.

:.m<\.

(2)解：•当〃7为正整数时，且加W1,

:.m=\.

—4x+4=0•

..X]-%2=2.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程尤+c=0(a/0)的根与△=/一4ac有

如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当A=0时，方程有两个相等的两

个实数根；当A<0时，方程无实数根.

21.这仓库的长为10米，宽为6米

【分析】设仓库的宽=x米，则仓库的长为(20+2-2x)米，根据题意建立一元二次方程,

根据可用墙长11米，得出22-2为<11,继而即可求解.

【详解】解：设仓库的宽N2=x米，则仓库的长为(20+2-2X)米，根据题意得，

x(20+2-2x)=60,

解得：再=5,々=6

・・•可用墙长11米，

22-2%<11,

解得：%>二,

2

・・x=6,

・・・22-2义6=10米，

,这仓库的长为10米，宽为6米.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键.

22.该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有30人.

【分析】先根据支付给旅行社的钱数得到旅游的人数超过25人，设该单位这次到金宝乐园

答案第11页，共17页

观光旅游的共有X人，根据题意找到等量关系列出方程即可求解.

【详解】解：因为25x100=2500元＜2700元，所以旅游的人数超过25人.

设该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有x人，则平均每人的费用为口00-2(x-25)]元.

根据题意，得x[100-2(x-25)]=2700,

解得X]=30,Xj=45.

又因为人均费用不低于70元，得100-2(x-25)开70.

解不等式得x・40,所以x=45不合题意；舍去，

x=30.

答：该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有30人.

【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系和不等关

系进行求解.

23.见解析

【分析】本题考查作图-无刻度直尺作图，圆周角定理等知识，解题关键是理解题意，灵活

运用所学知识解决问题.连接/。并延长交。。于点再连接并延长交直线/于点C,

连接NC,贝UV/8C为直角三角形.

【详解】解：如图，V/3C即为所求.

___V1

幺；///\是OO的直径，

:.ZABM=9Q°,

r.V/BC为直角三角形.

24.(1)证明见解析

(2)273

【分析】(1)连接OB、OD,可证明OB工AB.再证AOBD卬OCD,得ZOBD=ZOCD=90°,

得DC为。。的切线；

(2)根据切线的性质可知得。8=DC=2,然后可根据勾股定理求得/C=2g,设。。半

径为x,再进一步求解圆的半径即可.

【详解】(1)证明：连接08、OD,如图:

答案第12页，共17页

・・・/5是。。的切线，切点为5,

，OBLAB,

在△03。和△OCQ中

OC=OB

<OD=OD

BD=CD

：.A(9^D^AOCD(SSS),

・•・ZOBD=ZOCD=90°即CDVOA,

・・・DC是OO的切线.

(2)解：・・・/B是OO的切线，切点为反由(1)。。为。。的切线，

・・・DB=DC=2,

AD=2BD,

AD=4,AB=6.

在RMOC4中，

AC=>]AD2-CD2=273，

设OO半径为x.

OA=x+2>/3.

在RtACMB中，由+/台2=0/2,

/+62=(尤+2时，

，x=2瓦

即OO的半径为2道.

【点睛】本题考查的是圆的切线的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质,

答案第13页，共17页

作出合适的辅助线是解本题的关键.

25.⑴见解析

⑵而

【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和

垂径定理，勾股定理.

⑴如图，连接。C,根据切线的性质得到NOCE=90。，再证明=得到&//AE,

然后根据平行线的性质得到/4EC的度数；

(2)如图，连接AD,设OC与BD交于点H.根据圆周角定理得到/2。8=90。，再判断

四边形CED"为矩形，所以DH=CE=2,ZCHD=90°,接着根据垂径定理得到

BH=DH=CE=2,然后利用勾股定理计算出从而得到OO的半径.

【详解】(1)证明：如图，连接。C.

•••CE切。。于点C,

OCVCE,

ZOCE=90°,

•・・4。平分/胡。，

...ZOAC=ZDACf

-：OA=OC,

...ZOAC=ZOCA,

:.ZDAC=ZOCAf

OC//AE,

AAEC=180°-ZOCE=90°；

(2)解：如图，连接BO,设。。与交于点

答案第14页，共17页

AB^JQO的直径,

:.ZADB^90°

N