解三角形的最值和范围问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点12解三角形的最值和范围问题【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】...............................................2

【题型2三角形边长的最值或范围问题】........................................................3

【题型3三角形周长的最值或范围问题】........................................................4

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】.....................................5

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】......................................................6

【题型6转化为三角函数求最值（范围）】......................................................7

【题型7转化为其他函数求最值（范围）】......................................................8

【题型8“坐标法”求最值（范围）】..........................................................9

【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】.................................................10

►命题规律

1、解三角形的最值和范围问题

解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或

与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主

要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的

关键是建立起角与边的数量关系.

►方法技巧总结

【知识点1三角形中的最值和范围问题】

1.三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：

（1）利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；

（2）利用基本不等式求最值（范围）；

（3）转化为三角函数求最值（范围）；

（4）转化为其他函数求最值（范围）；

（5）坐标法求最值（范围）.

2.三角形中的最值（范围）问题的解题策略：

（1）正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运

用.解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究

其最值（范围）.

（2）转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略

三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利

用三角函数的范围求出最值或范围.

（3）坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略

“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边

角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结

合三角函数、基本不等式等知识求其最值.

►举一反三

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】

【例1】(2024•河北石家庄•三模)在△ABC中，角4B、C所对的边分别为a、b、c,c=4,ab=9.

⑴若sinC=I，求sin力•sinB的值；

(2)求△力BC面积的最大值.

【变式1-1](2024•全国•模拟预测)记锐角三角形48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos力=遮―

acosB,2asinC=V3.

⑴求4

(2)求4ABC面积的取值范围.

【变式1-2](2024•辽宁•模拟预测)如图，在平面内，四边形4BCD满足。点在AC的两侧，48=1,8C=2,

△ACD为正三角形，设41BC=a.

(1)当&=

(2)当a变化时，求四边形力BCD面积的最大值.

【变式1-3]（2024•上海•三模）已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且V^a=2csinA.

⑴求sinC的值；

（2）若c=3,求△力BC面积S的最大值.

【题型2三角形边长的最值或范围问题】

【例2】（2024•四川•三模）在△ABC中，内角48,C的对边分别为a,b,c,且满足2csinBcosA=b（sinAcosB+

cosAsinB).

(1)求4

（2）若△4BC的面积为16%，。为AC的中点，求8。的最小值.

【变式2-1】（2024•江西•模拟预测）在△ABC中，角4B,C所对的边分别记为a,b,c,且tanA=半%

cosC+smH

⑴若求C的大小.

(2)若a=2,求6+c的取值范围.

【变式2-2X2024•广东广州三模）在锐角△ABC中，内角4,2,C的对边分别为a,6,c,且c=bsin?+acosB.

⑴求/;

(2)若。是边BC上一点(不包括端点)，且乙求案的取值范围.

DL)

【变式2-3](2024•江西鹰潭•二模)△4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,满足上哼=吗.

cos/COSO

(1)求证：A+2B=］；

(2)求产的最小值.

【题型3三角形周长的最值或范围问题】

【例3】(2024•安徽淮北•二模)记△力BC的内角C的对边分别为a,瓦c,已知c-6=ZcsiH夕

(1)试判断△ABC的形状；

(2)若c=l,求△4BC周长的最大值.

【变式3-1](2024•四川绵阳•模拟预测)已知在△力BC中，。为2C边的中点，且AD=通.

(1)若△力BC的面积为2,cos^ADC=y,求B；

(2)若2炉+AC2=18,求44BC的周长的最大值.

【变式3-2］（2024・云南曲靖•二模）在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+gcsin4=6+c.

（1）求角B的取值范围；

（2）已知△4BC内切圆的半径等于李，求^4BC周长的取值范围.

【变式3-3］（2024•湖南常德•一模）已知△ABC的内角45C的对边分别是a,b,c,且」J=2b.

cost

⑴判断△ABC的形状；

（2）若44BC的外接圆半径为虎，求aA8C周长的最大值.

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】

【例4】（2024•内蒙古呼和浩特•一模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,瓦c.若a=V5,b=2,则8+C

的取值范围是（）

A・6羽B.停,n）

C・加）D.（得

【变式4-1］（2024•内蒙古呼和浩特•二模）在中，角48、C的对边分别为a、b、c,若看+亲=另,

则tan/二的最小值为（）

tanc

1?21

A.4B.-C.-D.-

【变式4-2］（2024•陕西宝鸡•二模）中，。为边的中点，AD=1.

BDC

（1）若△4BC的面积为2百，且=求sinC的值;

（2）若BC=4,求cosNBAC的取值范围.

【变式4-3]（2024•北京石景山•一模）在锐角△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsin力一百a=0.

（1）求角B的大小;

（2）求cos力+cosC的取值范围.

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】

【例5】（2024•山西太原•三模）已知△ABC中，A=120°,D是BC的中点，且4D=1,则△力BC面积

的最大值（）

A.V3B.2V3C.ID.2

【变式5-1]（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,hc,且a=V^,BC边上中

线力。长为1,则be最大值为（）

A.-B.-C.V3D.2V3

42

【变式5-2]（2024•安徽合肥・二模）记△力BC的内角45C的对边分别为a,瓦c,已知0=2,^^+二^+

tanAtanB

—丁=1.则△ABC面积的最大值为（）

tanAtanB

A.1+V2B.1+V3C.2V2D.2V3

【变式5-3]（2024•浙江台州•二模）在△力BC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosC=2ccosA,

则等的最大值为（）

A.V3B.-C.—D.3

22

【题型6转化为三角函数求最值（范围）】

【例6】（2024•辽宁沈阳・模拟预测）在△力BC中，内角/,8,C所对的边分别为a,b,c,置塔押誓=行

cos^B—cos^A

（1）求角A的大小;

（2）若△4BC为锐角三角形，点/为△ABC的垂心，力F=6,求CF+BF的取值范围.

【变式6-1]（2024•辽宁・模拟预测）已知△力BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,（c-gb）sinC=（a—

b)(sinA+sinB).

⑴求力;

（2）若△ABC为锐角三角形，且b=6,求△力BC的周长I的取值范围.

【变式6-2]（2024•河北衡水•一模）在△力BC中，内角A,8,C所对的边分别是a,6,c,三角形面积为S,若D

为4C边上一点，满足力B_L=2,且a2=—竽S+abcosC.

⑴求角B；

⑵求方+方的取值范围.

【变式6-3]（2024•福建漳州•模拟预测）如图，在四边形A8CD中，ADAB=B=\且△4BC的外接圆

26

半径为4.

C

D

(1)若BC=4a,AD=2V2,求△4CD的面积;

(2)若D=g,求BC—力。的最大值.

【题型7转化为其他函数求最值(范围)】

【例7】(2024・四川成都•模拟预测)设锐角△4BC的三个内角4,B,C的对边分别为a,hc,且c=2,B=2C,

则a+6的取值范围为()

A.(2,10)B.(2+2V2,10)C.(2+2企,4+2次)D.(4+273,10)

【变式7-1](2024•全国•模拟预测)已知△ABC是锐角三角形，内角4,B,C所对应的边分别为a,b,c.若

a2-b2=be,则-也的取值范围是()

a+c

A.(y,y)B.(2-V3,1)C.(2-V3,V2-1)D.(V2+l,V3+2)

【变式7-2](2023•全国•模拟预测)已知△力BC为锐角三角形，其内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,

cosB=cos2A

(1)求3的取值范围；

(2)若a=l,求△ABC周长的取值范围.

【变式7-3](2024•全国•模拟预测)已知△力BC中，角A,B,C所对的边分别为

22

入c_b-c+16

ctfbfcf3△4BC=,tanrc.

(1)求a的值；

(2)若D为线段BC上一点且满足BD=1,。力平分/84(7,求△4BC的面积的取值范围.

【题型8“坐标法”求最值（范围）】

【例8】（23-24高一下•四川宜宾・期末）如图，在平面四边形A8CD中，力B1BC,乙BCD=60°,/.ADC=150°,

BE=3EC,C£>=等，BE=时,若点尸为边4D上的动点，则丽・丽的最小值为（）

1531

A.1B.—C.—D.2

1632

【变式8-1］（2023•安徽马鞍山•模拟预测）已知平行四边形ABCD中，^ADC=60°,E,F分别为边AB,BC

的中点，若屁•而=13,则四边形4BCD面积的最大值为（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

【变式8-2］（2023•全国•模拟预测）在等腰△力BC中，角C所对应的边为a,b,c,B=C=Ra=2同

6

尸是△ABC外接圆上一点，则刀・丽+丽•玩+配・园的取值范围是（）

A.[-3,23]B.[-1,33]C.[-2,30]D.[-4,20]

【变式8-3］（2024•江西南昌•三模）如图，在扇形0/8中，半径。4=4,乙4。8=90。，C在半径。8上,

。在半径。/上，E是扇形弧上的动点（不包含端点）,则平行四边形3CDE的周长的取值范围是（）

B.(8V2,12]

D.(4,8©

【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】

【例9】（2023•河南开封•三模）已知久、器为单位向量，|瓦-石|=g，非零向量,满足位-2名|=1,则

|西-目的最小值为（）

A.V7B.V7-1C.V3D.V3-1

【变式9-1]（23-24高三上•北京通州•期末）在菱形力BCD中，力B==6（T,E是BC的中点，F是CD

上一点（不与C,D重合），DE与4F交于G,则万•说的取值范围是（）

A.（0,|）B.（0彳）C.（0,2）D.（0,3）

【变式9-2]（2024•福建泉州•模拟预测）己知平行四边形48CD中，AB=2,BC=4,8=攀，若以。为

圆心的圆与对角线8。相切，尸是圆C上的一点，则前•（丽一方）的最小值是（）

A.8-2V3B.4+2V3C.12-4V3D.6+2百

【变式9-3]（2023・福建厦门二模）在4力。3中，已知|云|=V2,\AB\=12AOB=45。,若加=AOA+fiOB,

且4+2〃=2,//£[0,1],则市在而上的投影向量为泥（方为与而同向的单位向量），则加的取值范围是

（）

A・卜切B.即C.（一力D.（?,!]

►过关测试

一、单选题

1.（2024•江苏连云港•模拟预测）在△ABC中，角43,C的对边分别为a,b,c,若a=1,bcosA=1+cosB,

则边6的取值范围为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

2.（2024・安徽合肥•模拟预测）已知△ABC角力、B、C的对边分别为a、b、c满足卫=也警，则角B的

a-csmB

最大值为（）

A.-B.-C.-D.—

6433

3.（2024・广东东莞•模拟预测）已知在同一平面内的三个点42,C满足|朋=2端-尚21,则麻+园

的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,刀C.[0,V3]D.[0,2码

4.（2024洞南•三模）在△ABC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c.若，7+々=2,则tan力+tanC

的最小值是（）

A.-B.-C.2V3D.4

33

5.（2024・河南•模拟预测）在锐角△ABC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,满足子=（A若a=2日,

b+c

则广+02的取值范围为（）

A.（12,24]B.（20,24]C.[12,24]D.[20,24]

6.（2024・江西•二模）在△力BC中，若sin力=2cosBcosC,则cos2B+cos2c的取值范围为（）

7.（2024・全国•二模）在△48C中，内角B,。所对的边分别为a,b,c,2acosA=bcosC+ccosB,

且a=4sin力，则△NBC周长的最大值为（）

A.4V2B.6V2C.4V3D.6V3

8.（2024•陕西咸阳•三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府

在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”OPQ中，准备修一条三角形健身步道04B,已

知扇形的半径0P=3,圆心角NPOQ=],4是扇形弧上的动点，B是半径0Q上的动点，AB//OP,则△OAB

面积的最大值为（）

Q

二、多选题

9.（2024•江苏南京•二模）已知△4BC内角力，B,C的对边分别为a,b,c,。为△2BC的重心，cosA=5

AO=2,贝！I（）

A.AO^-AB+-ACB.AB-AC<3

33

C.△力BC的面积的最大值为3声D.a的最小值为2遍

10.（2024・湖南•二模）在△力BC中，角所对的边分别为a,hc,且c=b（2cos4+1）,则下列结论正

确的有（）

A.A=2B

B.若a=gb,则△ABC为直角三角形

C.若△ABC为锐角三角形，上—-、的最小值为1

tanBtanA

D.若△ABC为锐角三角形，则掷取值范围为停，竽）

11.（2024•河北邯郸•三模）已知△2BC的三个内角/,B,C的对边分别是a,b,c,面积为苧④+c?-的,

则下列说法正确的是（）

A.cosAcosC的取值范围是

B.若。为边力C的中点，且BD=1,则△ABC的面积的最大值为日

C.若△ABC是锐角三角形，则/的取值范围是（｝,2）

D.若角B的平分线BE与边47相交于点E,且BE