解三角形的图形类问题和重要模型（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点11解三角形的图形类问题和重要模型【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1两次使用余弦定理】...................................................................3

【题型2等面积法】...........................................................................3

【题型3解三角形中的中线模型】...............................................................4

【题型4解三角形中的倍角模型】...............................................................5

【题型5解三角中的角平分线模型】............................................................6

【题型6解三角中的高模型】...................................................................8

【题型7解三角形中的等分点模型】............................................................9

【题型8三角形的重心问题】..................................................................10

【题型9三角形的外接圆、内切圆问题】........................................................11

►命题规律

1、解三角形的图形类问题和重要模型

解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三

角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；解答题中解三角形的图形类问题和一些重要模型也是考查

的重要内容，中等难度，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，解题方法多种多样，需要灵活

求解.

►方法技巧总结

【知识点1三角形图形类问题的解题策略】

1.解决三角形图形类问题的常用方法：

(1)两次使用余弦定理：两次使用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理

的性质解题；

(2)等面积法：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问

题，相似是三角形中的常用思路；

(3)正、余弦定理结合：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

(4)相似三角形：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的

不错选择；

(5)平面向量：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法

则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

(6)建系：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更

加直观化.

【知识点2解三角形中的重要模型】

1.中线模型

⑴中线长定理：在△ABC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,4D是8C边上的中线，则

48?+小=2(3。2+心).

r-------------gc

(2)向量法：AD2=~(b2+c2+2bccosA).

2.倍角模型

B=2A=/=q(a+。)

C=2Boc2=b(b+a),这样的三角形称为“倍角三角形”.

A=2C=/=0(。+6)

-Uh'A［彳。力abC,Clc

sin25sin8sin352cos53-4sin2B

推论2：A=2B<^>—=1+2cosA<^>b+c=2acosB.

b

3.角平分线模型

iAnAn

角平分线张角定理：如图，AD为NBAC平分线,则cosNA4Q=L(吗+吗)

2bc

斯库顿定理：如图，4。是的角平分线，则5。。。，可记忆：中方=上积-下积.

4.等分点模型

如图，若尸在边BC上，且满足定=4而，|/P|=加，则延长/尸至。，使丽=4方，连接CO.

易知_&DC=Ze,\AD\=(1+A)\AP\,ZBAC+ZACD=180°.

A

D

►举一反三

【题型1两次使用余弦定理】

【例1】（2024・河南•三模）在△力BC中，AB=3V2,cos^BAC=-^,AD1AC,且4。交BC于点D,AD=3,

则sinC=（）

A.iB.遗C.渔D.延

3333

【变式1-1］（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a”,c,且a=V^,BC边上中

线AD长为1,则be最大值为（）

A.-B.\C.V3D.2V3

42

【变式1-2］（2024•浙江台州•二模）在△4BC中，角N,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosC=2ccosA,

则等的最大值为（）

A.V3B.-C.—D.3

22

【变式1-3］（2024•陕西咸阳•三模）在△ABC中，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，M为边AC

上一点，满足标=3福，若a2+c2—b2+ac=。，c=2,a=4,则|前|=（）

A.包B.五C.三D.色

2772

【题型2等面积法】

【例2】（2024•海南•模拟预测）在△ABC中，NACB的平分线与对边A8交于点D,若△CAD的面积为△

的2倍，且CD==120°,则BC=（）

A.3B.4C.6D.8

【变式2-1］（2024•辽宁丹东•二模）在△ABC中，点D在BC边上，力D平分NB力C,ABAC=120°,AB=2V3,

AD=?，贝!MC=（）

A.2B.V3C.3D.2V3

【变式2-2］（2024・湖南长沙•三模）记△力BC的内角的对边分别为a,b,c,已知a=2,6=4.

(1)若cosB+2coSi4=ccosf,求C的值;

-1

(2)若。是边AB上的一点，且CD平分乙4C8,COSNACB=一右求CD的长.

【变式2-3](2024•山东泰安•模拟预测)已知△ABC内角的对边分别为a,6,c,b(sinB+sinC)=(a—

c)(sin4+sinC).

(1)求/;

(2)A的平分线力。交BC于。点，9b+c=64,求力。的最大值.

【题型3解三角形中的中线模型】

[例3](2024•全国•模拟预测)记△4BC的内角NBHC/B/C的对边分别为a,b,c,己知2bcosBcos2C=a-

2ccosCcos2B.

⑴求NB力C.

(2)若b+c=8,且边BC上的中线AD=?,求△ABC的面积.

【变式3-1](2024•湖南长沙•三模)如图，在△ABC中，已知43=3,4。=6,4为锐角，BC,4C边上的两条

中线AM,BN相交于点P,△力BC的面积为蜉.

(1)求的长度；

(2)求NAPB的余弦值.

【变式3-2](2024•陕西西安三模)在△4BC中，角的对边是a,b,c,已知b(l+cosA)=c(l-cos2B).

(1)证明力=c;

(2)若BC边上的高为2/C边上的中线BE为2历,求&ABC的面积.

【变式3-3](2024•新疆乌鲁木齐•二模)在△A8C中，点M,N分别为BC,AC的中点，4M与BN交于点G,AM-

3,^MAB=45°.

(1)若AC=5应，求中线8N的长；

(2)若△4BC是锐角三角形，求四边形GMCN面积的取值范围.

【题型4解三角形中的倍角模型】

【例4】(2024•陕西安康•模拟预测)已知锐角△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=8,

a_.sin27l—sin2C

且a丰c.

csin2F

⑴求证：B=2C；

(2)已知点M在线段力C上，=/.CBM,求BM的取值范围.

【变式4-1]（2024-内蒙古三模）在448。中，内角43,。的对边分别为£1,6,<:,且6-7^）85。=c（V2cosB-

cosX）.

⑴求营的值；

（2）若B=2C,证明：△ABC为直角三角形.

【变式4-2]（2024•陕西商洛•模拟预测）在锐角△力BC中.内角力，B,C所对的边分别是a,b,c,已知a-

2ccosB=c.

⑴求证：B=2C；

⑵求sinB+2gcos2c的取值范围.

【变式4-3]（2024•天津河北•二模）在△力BC中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知c=4,b=3.

⑴若cosC=-i,求a的值和△力BC的面积；

⑵在（1）的条件下，求cos（2C+§的值；

（3）若力=2B,求a的值.

【题型5解三角中的角平分线模型】

【例5】（2024•河北张家口•三模）在△A8C中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,点。为边BC上一点,

且满足（而+万）•就=0.

(1)证明：AD=b；

(2)若/W为内角/的平分线，且而=土希+|覆求sinA.

【变式5-1](2024•四川攀枝花•三模)请在①2。一b=2ccosB,②■回■=tanC+tanB,

ccosB

③V5sin(力+B)-3-2cos21三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，B,C所对的边分别是a,hc,已知

(1)求角C；

(2)若b=4,点。在边力B上，CD为NACB的平分线，求边长a的值.

【变式5-2](2024广东深圳・模拟预测)已知4力3。中内角，,瓦(7的对边分别为0,6心且满足行。+庆也力=

V3acosjB.

(1)求角A的大小；

(2)若。是边5c上一点，且是角力的角平分线，求器的最小值.

【变式5-3](2024•山东•模拟预测)从①£誉=$0,②当±当=叱£,③2asin2?=V^sim4这三个条

bcosBsinn+sinca2

件中任选一个，补充在下面的问题中.

已知△力BC的内角力，B,C的对边分别为a,b,c且,

⑴求角B的大小；

(2)若力的角平分线交边BC于点D,且4£>=返，c=2,求边小

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【题型6解三角中的高模型】

[例6](2024•四川•模拟预测)在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且百csinB+bcosQA+B)=b.

(1)求角。的大小；

(2)若a=8,△ABC的面积为4旧，求AB边上的高.

【变式6-1](2024•福建泉州•模拟预测)设44BC的内角，,8,C所对的边分别为a,b,c,且有2bcos(力一§=

a+c,

⑴求角8：

(2)若/C边上的高八=苧6,求cosAcosC.

【变式6-2](2024•河北秦皇岛•三模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=^fia+b=7,

△ABC的外接圆半径为竽.

(1)求△ABC的面积；

(2)求44BC边4B上的高h.

【变式6-3](2024•全国•模拟预测)已知△4BC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,a=l,sinB+

V3bcosX=0.

⑴求角4

(2)设力M是△ABC的高，求力M的最大值.

【题型7解三角形中的等分点模型】

【例7】(23-24高二上•云南・期末)在△力BC中，点。为线段BC的四等分点且靠近点B/BAD与ABAC互补.

⑴求隼的值；

(2)若NB4D=30°,AB=4,求力。的长.

【变式7-1](2023・湖北•模拟预测)在△力BC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,己知。2(1+cosA)=

2bcsin2A.

⑴判断△力BC的形状；

(2)已知。为BC上一点，则当力=g,a=3®AD=旧时，。为BC的几等分点？

【变式7-2](2024•湖南衡阳•模拟预测)在△力BC中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC-

—csinS

3

(1)求角B

(2)过B作BD1BA,交线段力C于。，且4。=2DC,求角C.

【变式7-3](23-24高三上•湖南长沙•期中)设a,b,c分别为△ABC的内角B,C的对边，AD为BC

边上的中线，c—1,Z-BAC――,2csirh4cos8=asinA—bsinB+^bsinC.

⑴求40的长度；

(2)若E为A8上靠近3的四等分点，G为aABC的重心，连接EG并延长与NC交于点尸，求Nb的长度.

【题型8三角形的重心问题】

【例8】(2024•江苏苏州•二模)记△力BC的内角4,8,C的对边分别为a,瓦c,已知也=华当.

csiiii4—sinn

⑴求角A；

(2)若a=6,点M为△ABC的重心，且4M=2b，求△4BC的面积.

【变式8-1](2023・四川内江•一模)△ABC的内角力、B、C所对的边分别为a、b、c,a=6,bsin^=asmB.

(1)求角A的大小；

(2)M为△ABC的重心，力M的延长线交BC于点D,且AM=2b，求△4BC的面积.

【变式8-2](2023•江西景德镇•一模)如图，已知的重心为C,△/BC三内角N、8、C的对边分别

为a,b

(1)求N/C8的大小；

⑵若NC4B=工，求sinNCZM的大小.

6

【变式8-3](2023•广东佛山•模拟预测)在△ZBC中，角4民C的对边为见b,c,c•sinZ=a•cosC,设△ABC

的面积为S,S=当be.

4

(1)求角B的大小；

(2)若a=3,过△4BC的重心点G的直线/与边a,c的交点分别为E,F,丽=ABE,BA=面,请计算2+〃的直

【题型9三角形的外接圆、内切圆问题】

【例9】(2024•云南曲靖•二模)在△4BC中，角4B,C的对边分别为a,hc,且acosC+百csinA=b+c.

(1)求角B的取值范围；

(2)已知△4BC内切圆的半径等于日，求^力BC周长的取值范围.

【变式9-1](2023•河南•模拟预测)已知△4BC的外心为。，点M,N分别在线段力B,AC上，且。恰为MN的

中点.

(1)若8。=k,。4=1,求△ABC面积的最大值；

(2)证明：AM-MBAN-NC.

【变式9-2](2024・浙江•模拟预测)如图，在平面内的四个动点力，B,C,D构成的四边形4BCD中，AB=1,

BC=2,CD=3,AD=4.

(1)求△力CD面积的取值范围；

(2)若四边形2BCD存在外接圆，求外接圆面积.

【变式9-3](2024•全国•模拟预测)已知△A8C中，角48,C的对边分别是a,b,c,V3h-csinA=VSacosC.

(1)求角A的大小；

(2)若a=7,△ABC外接圆的半径为R,内切圆半径为r,求:的最小值.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•贵州六盘水•三模）在△ABC中，AB=2,AC=3,乙4=/则外接圆的半径为（）

AV7c6C2小n2V2T

A.—D.C.\3.------

3333

2.（2024•新疆喀什•三模）在△ABC中，AB=2,BC=V7,^BAC=120°,D是BC边一点、,AD^BAC

的角平分线，贝必。=（）

A.|B.1C.2D.V3

3.（2024•陕西•模拟预测）在△4BC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c（sinA-sinC）=（a—b）（sinA+

sinB）,若△ABC的面积为周长为3b,则NC边上的高为（）

A.yB.yC.V3D.2V3

4.（2024•福建福州•模拟预测）在△ABC中，角4B,C所对应的边分别为a,hc,点M为边BC的中点，

若力M=4C,cos2B=cos（A+C）,则sinNBAC=（）

AV3„V6V21„2V7

A.—D.—C.U.

3377

5.（2024•山西•三模）在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,瓦c.已知4=房+°2=24,△ABC的外

接圆半径R=2次,£»是边AC的中点，贝UBD长为（）

A.V2+1B.2V3C.6V2D.^21

6.（2024•山东泰安•三模）在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且誓一。="粤£,延长8c

sin/smA

至点、D,使得BC=C£>,若4。=2旧,48=2,则。=（）

A.1B.V3C.2D.3

7.（2024・广东广州•模拟预测）在△ABC中，角4B、C的对边分别为a、b、c,若c=3,b=2,ABAC

的平分线AD的长为W，则BC边上的中线2"的长等于（）

V17„4V2「旧n4遮

AA.D.U.U.

2343

8.（2024•全国•模拟预测）已知在△2BC中，角45C的对边分别为a,hc,2sinA=acosC,c=2.若G为△ABC

的重心，贝IJG炉+GB2-GC2的最小值为（）

A12-4V2-8+4V2-4V2-2c44-2V2

A.--------B.-------C.-------D.-------

9933

二、多选题

9.(2024•广西•二模)已知△力BC内角4B,C的对边分别为a,6,c,。为△4BC的重心，cosA=，AO=2,则

()

A.AO^-AB+-ACB.AB-AC<3

44

C.△力BC的面积的最大值为3声D.a的最小值为2遍

10.（2024•福建泉州•模拟预测）△力BC中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,AABC

的面积S=口说.万，则以下说法正确的是（）

A.4=30°

B.△ABC的周长的最大值为6

C.若be=4,则△力BC为正三角形

D.若A8边上的中线长等于誓，则S=K

11.（2024•云南曲靖•模拟预测）在△48C中，48=4,4C=6,4=%。为边BC上一动点，贝|（）

A.BC=2V7

B.当4。为角A的角平分线时，A