辽宁省大连市某中学2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试卷（含答案解析）

辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期中考

试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合Af={x|0Wx<4},N={x|3xN2},则加门"为（）

x0<x<|

A.B.{x|0<x<4}

x^<x<2

C.

2

2.命题。：Vx>2,x-l>0,贝（IF是（）

A.Vx<2,%2-l<0B.Vx>2,%2-l<0

C.Bx>2,x2-l<0D.3x<2,x2-l<0

3.已知2<a<4,-2<b<-l,贝的取值范围是（）

A.（3,4）B.（4,5）

C.（5,6）D.（3,6）

4.已知函数了=/（无）的定义域是[-L1],则y=/（2x-l）的定义域是（）

A.[-3,1]B.[-1,1]

C.[-1,0]D.[0,1]

5.设尸（/，M）为函数了=国户€卜1』图象上的动点，若此函数图象与X轴，直线x=-l及X=f

围成图形（如图阴影部分）的面积为了«）,则>的图象可表示为（）

试卷第1页，共4页

6.已知函数/'(x)=x2+(m-2)尤+7加+1为偶函数，则7〃的值是()

A.1B.2C.3D.4

7.不等式《夜+6)4拒历「对所有的正实数x,y恒成立，贝1"的最大值为()

行

A.2B.JiC.—D.1

2

8.设xeR,用[司表示不超过尤的最大整数，则>=区称为高斯函数，例如：卜2』=-3,

[3.1]=3.已知函数/(x)=£曰-：，则函数了=[/("]的值域是()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

二、多选题

9.已知实数。，6满足a>b,则下列说法正确的是()

A.同>同B.当CHO时，贝Ijac2>6c2

C.当c<0时，则ac<6cD.当ab>0时，则

ab

10.已知正实数。，Z?满足=。+6+3,则()

A.6的最小值为3B.6的最小值为6

C./的最小值为6D.仍的最小值为9

11.关于尤的方程,2一『_卜2_1+后=0,以下说法正确的是()

A.存在实数左，使得方程恰有3个不同的实根

B.存在实数上，使得方程恰有5个不同的实根

C.存在实数左，使得方程恰有6个不同的实根

D.不存在实数左，使得方程恰有7个不同的实根

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.函数>=2x-4的零点为

13.若方程无2一3"+2/=。的一个根小于1,另一个根大于1,则实数。的取值范围

是.

14.已知函数f(x)=--左，若存在实数沉，“，使得函数/(x)在区间［诟，夜］的值域为

［3诟,3五］,则实数上的取值范围是

四、解答题

15.设［/=R,已知集合［={x|2VxV3},B=\x\m-\<x<2m+5^.

(1)当3e8时，求实数优的范围；

(2)设0：xeA；q：x&B,若0是4的充分条件，求实数加的范围.

16.求下列方程(方程组)的解集：

(1)2尤4一7/+3=0；

［2x—y—1=0

⑵1+2/=3•

2

17.函数/⑺是定义在R上的奇函数，已知当x>0时，/(X)=X-2X-3;

⑴求函数“X)的解析式；

(2)作出函数/(x)的图象，并写出函数的单调增区间；

(3)若方程/(x)-机=0有3个相异的实数根，求实数机的取值集合.

18.定义在R上的函数/(x)满足:对任意的x,"R,都有/'(x7)=/(x)-/(力，且当x>0

时，/(^)<0.

⑴判断/(X)的奇偶性；

(2)求证：函数/(X)在R上是减函数；

⑶若/=且,Vae［-l,l］,「(同之一/+6行一9恒成立，求实数t的取

值范围.

试卷第3页，共4页

19.若函数［(X)与g(x)满足：对任意的网€。，总存在唯一的马€。，使/1(xj/az”切

成立，则称/(X)是区间。上的“小阶自伴函数”；对任意的网e。，总存在唯一的％e。，

使/'(再立仁)=加成立，则称/(尤)是g(x)在区间。上的“阶伴随函数”.

⑴判断/'(x)=f+l是否为区间［0,3］上的“2阶自伴函数”？并说明理由；

「3-

⑵若函数/(x)=2x-l为区间-,b上的“1阶自伴函数”，求6的值；

2

⑶若〃x)=E是83=尤2_2办+/+1在区间［0,2］上的“2阶伴随函数”,求实数。的取值

范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DCDDBBDCBCDBD

题号11

答案BD

1.D

【分析】根据交集的定义计算可得.

【详解】因为"=卜|3注2}=卜卜21，XA/={x|0<x<4},

所以McN=1||■Vx<4}.

故选：D

2.C

【分析】将全称命题的量词改变，否定结论，即可得出R

【详解】因为命题0：Vx>2,尤2_1>0,

根据全称命题的否定可知，命题力：3x>2,%2-1<0,

故选：C

3.D

【分析】利用不等式性质，先求解出的范围，然后可求。+(-6)即的范围.

【详解】因为-2<6<-1,所以1<-6<2,

所以2+1<a+(-6)<4+2,即3<a—b<6,

故选：D.

4.D

【分析】由已知函数的定义域，可得-1W2X-1W1,进而即得.

【详解】•••函数/(幻的定义域为HM],

/.-1<2X-1<1,解得：0<x<l,

即函数/(2x-1)的定义域为[0,1],

故选：D.

5.B

【分析】根据题意求出/⑺，再根据函数解析式判断函数图象.

答案第1页，共12页

【详解】由题意可知

当-14Y0时，=++=且f->0过程中增速变慢，

当0<区1时，/(?)=|+1?2,且ffl过程中增速变快，

所以V=/⑺的图象可表示为选项B,

故选：B

6.B

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】若函数I(x)为偶函数,则〃x)=〃-x),

即x?+(tn-2)x+1m+1=(-x>+2)(-x)+7m+1-x2-(M-2)X+1m+1,

整理得22)x=0,故〃2-2=0,解得〃z=2.

故选：B.

7.D

【分析】由题意可得，令机=斗亚兽>0,则有二f,二='+近，结合

yjx+yjyrnV2-y/x+ym2x+y

基本不等式求得病21,于是有冽21,从而得答案.

【详解】因为无,y为正数，所以4+6>0,

所以，4号手，则有W苧手濡，

7x+\yyjx+y]y

V2-Jx+y八f1Jx+Jy

令Am=­-r=L>0,贝U—=—r=~~/，

7x+、ym72yx+y

所以上「？+2干二+互今年=],

m2(x+y)2x+y22-^xy

当且仅当工=歹时，等号成立，

所以一2<1，则加之21,

m

又冽>0,所以冽>1,

答案第2页，共12页

所以6JF的最小值为1,

所以/VI,即/的最大值为1.

故选：D.

【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)

的最值即可得解.

8.C

【分析】求得〃0)=g,当xwO时，将函数化简变形得/(“六万十二]，令"X+：，然

~X

后分x>0和x<0两种情况结合基本不等式可求出t的取值范围，从而可求出/(x)的值域，

再由高斯函数的定义求出y=[/(x)]的值域.

【详解】显然，/(O)=1.

zX_(x+1)21_2(x+l)2-(x2+lj_X2+4X+1_12

2

当xwO时，㈤-x?+]2-2(X+1)一212+1)一/x+JL.

当x>0时，t=x+->2jx--=2,当且仅当x=l时等号成立

XX\X

贝!<-+2x-=-；

当尤<0时，t=x+-<-2-^(-x)--^=-2,当且仅当x=—l

时等号成立，

贝！v0」-2x，=」<f(x\<-.

2t222v72

一1?一

综上所述，/(x)的值域为-,5,

所以根据高斯函数的定义，函数y=[/(尤)]的值域是{-1,。1},

故选：C.

9.BCD

【分析】举例分析A选项；利用不等式的性质判断BCD选项.

【详解】A：取。=1力=-2,此时|1|<卜2],即时<同,故错误

222

B：ac-be=(a-b)c,因为。>6且cwO,所以Q—6〉0,，〉0,所以ac2-be2>0,即

ac2>be29故正确；

答案第3页，共12页

C：ac-bc=[a-b）c,因为a—b>0,c<0,所以—BPac<be,故正确;

D：1-1=^-,因为b-a<0,仍>0,所以所以，<?,故正确；

abababab

故选：BCD.

10.BD

【分析】根据基本不等式结合一元二次不等式求法即可得到答案

【详解】正实数。，6满足仍=〃+6+3,则〃+6+3=劭4，1，

令。+6=机（加>0）,则7"?-4%-1220,解得加4-2（舍），或机26,

即。+626,当且仅当。=8=3时，等号成立，

故6的最小值为6,故B对；

正实数“，b旃足。6=a+6+3,则ab=a+6+322jab+3，

令/"（/>0）,则Z2-2/-3>0,解得摩3,或区-1（舍），

即"232=9,当且仅当。=6=3时，等号成立，故的最小值为9,故D对；

故选：BD

11.BD

【分析】将方程化为卜2-1『-k2_1卜_后，然后采用换元法变形为「-『=-左，将问题转化

为y=/-\t\,y=-k的函数图象交点个数问题，通过对左分类讨论从而判断出正确选项.

【详解】将产_1_k2_1卜左=0化为（一一1）2T尤2一"=

令贝!]厂-1|=-左，

在同一平面直角坐标系中作出了=r-//=-后的函数图象，如下图所示：

（1）当左=0时，即/一/=0,解得/=一1,0,1,

令=解得尤=0；令——i=o,解得工=±1；令=解得x=±也,

答案第4页，共12页

所以此时有5个不同实根;

(2)当-左>0时，即左<0,此时图象有2个不同交点，设交点横坐标为/1冉,>1冉<-1)，

令x2-l=f],解得x=±"^；因为，2<-1,所以，-1=%无解，

所以此时共有2个不同实根；

(3)当-％=-；时，即后=；,此时图象有2个不同交点，设交点横坐标为

Z3,^4(-1<Z3<0,0<?4<1),

令X?-1=/,解得X=土J1+);令X?—1=乙，解得X=±Jl+4，

所以此时有4个不同实根；

(4)当〈-左<0时，即0(左<!，此时图象有4个不同交点，设交点横坐标为小4，，7，%且

44

^,^e(-l,0),Z7,/8e(O,l),

令解得X=±J1+G；令》2一1=3解得X=±J1+%；

令/一1=/7，解得X=±Jl+f7；令》2-1=4，解得X=±J1+W，

所以此时有8个不同实根；

(5)当-％<-!时，即人>：此时两图象无交点，所以方程无解；

44

综上可知，BD选项正确，

故选：BD.

【点睛】思路点睛：求解方程根的数目问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与

形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：

(1)确定方程根的个数；

(2)求参数范围；

(3)求不等式解集；

(4)研究函数性质.

12.2

【分析】先解方程2x-4=0,由函数零点定义可知方程的根即为函数零点.

【详解】解方程2x-4=0得x=2,

所以函数y=2x-4的零点为2.

答案第5页，共12页

故答案为：2.

13.（；」）

【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得.

【详解】•.•方程f-3办+2/=0的一个根小于1,另一个根大于1,

4/(x)=x2-3ax+2a2,贝lj〃l)=F-3〃+2a2c0,

解得所以实数。的取值范围是

故答案为：（万/）,

14.

【分析】由函数解析式可得函数在［0,+8）上单调递增，依题意可得<

到赤,〃为方程Y-3xT=0的两不相等的非负实数根，利用根的判别式及韦达定理计算

可得;

【详解】因为〃x）=--人所以/（x）=--左在［0,+功上单调递增,

要使得函数/（尤）在区间［赤，6］上的值域为

=3y/mm-k=3yjm,—,

所以(厂，即’厂，所以为方程--3x-左=0的两不相等的非

fyjn)=31nn-k=37n

负实数根,

△=(-3)-4x(-左)>0,解得_2<左《0,即0

所以

x{x2=—k>04

故答案为:

15.

⑵[T斗

2m+5>3

【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的取值范围;

m-1<3

2m+5>3

（2）依题意可得/=3,从而得到，解得即可.

m-1<2

答案第6页，共12页

【详解】(1)因为>5={x|m-l<x<2m+5},

2m+5>3

所以解得-IV冽44,

m-1<3

即实数机的范围为[-1,4].

（2）因为。：xeA；q：xeB,且0是4的充分条件,

所以4=8,

2m+5>3

所以加—”2,解得—1W加W3,

m-\<2m+5

即实数%的范围为[T，3].

(2)0

【分析】（1）将式子因式分解为（2，-1於2一3）=0,即可求出方程的解，从而得到解集;

（2）求出方程组的解，即可得到解集.

【详解】⑴由2--7/+3=0,可得（2/-1於2-3）=0,

所以2/—1=0或——3=0,

解得占=孝，％=一~~~，WG，&=-6，

所以方程2x4-7/+3=0的解集为爵厂亨，亚-6.

=

（2）由2：一二°,消去」整理得八2（2.1”？,解得占=1,x2=-^,

[x+2）=3'J9

IX=19

所以方程组的解为I或

b=i11J

~9

所以方程组的解集为

答案第7页，共12页

x2-2x-3,x>0

17.⑴/(x)=<O,x=O

一x~-2x+3,尤<0

(2)图象见解析，/(x)的单调增区间为和(1,+s)

⑶{加卜4<加<-3或3<〃7<4}

【分析】(1)先求得/(0)=0,然后再根据奇偶性求解出x<0时的解析式，则/(x)的解析

式可知；

(2)根据分段函数解析式作出函数图象，然后根据图象结合二次函数的对称轴确定出单调

递增区间；

(3)将问题转化为y=[(x)/="z的图象有3个不同交点，然后根据图象分析出加的取值

集合.

【详解】(1)当x=0时，因为/'(x)为奇函数，所以-/(0)=/(-0),所以/(0)=0；

当x<0时，一x>0,所以/(-x)=(-尤)一一2(-x)-3=x?+2x-3,

因为/'(x)为奇函数，所以/(-X)=-/(X)=X2+2X-3,所以/(X)=-X2-2尤+3；

x2-2x-3,x>0

所以/(x)=，0,x=0.

—尤2—2,x+3,尤<0

(2)函数/(x)的图象如下图所示：

由图象可知，/(X)的单调增区间为和(1,+8).

(3)因为方程/(X)-切=0有3个相异的实数根，所以v=/(x)j=机的图象有3个不同交

点，

答案第8页，共12页

由图象可知，m的取值集合为{加卜4<皿<-3或3<加<4}.

18.⑴奇函数

(2)证明见解析

⑶(-8,-4]3-2,2卜[4,+8)

【分析】(1)根据所给关系式令x=y=o,即可求出/(O),再令x=0,即可得到/(-尤)与

/(X)的关系，即可判断；

(2)利用定义法证明，结合x>0时/(x)<0,即可证明；

(3)求出/卜)的值域，从而得到\/。4-1,1],才+6血_94-1恒成立，设

g(«)-6ta-Z2-8,ae[-l,l],即可得到「；，解得即可.

【详解】(1)f(x)为奇函数，

证明：因为/(X)的定义域为R,且对Vx,"R,f(x-y)=f(x)-f(y),

令x=y=O,则〃o)=〃o)-/(o),则〃0)=0；

令x=o,则/(-y)=/(o)-/(y),贝U/(-y)=-/(y),即/'(—%)=—/(%)，

所以函数/(x)是奇函数.

(2)设任意的再,％eR且再>电,由/'(X-力=

则/(占)-/(幻=/(%-工2).

又当尤>0时，/(x)<o,所以当玉-尤2>0时，有/(占-尤2)<0，

所以/'(演)-/(无2)<0,即/(W)</(无2)，

答案第9页，共12页

所以函数/（X）在R上是减函数.

（3）因为;=所以，£|=一，一,=一1,

又/⑺在一生上单调递减，所以-1,|

所以Vxe--,Vae［-1,1］J（x）2-〃+6a/-9恒成立，

等价于：\/。4-1』,-/+6血-94-1恒成立，

即V。e[-1,1],6ta—f2-8W0恒成立,

设g（a）=6S-8,。e,是关于a的一次函数,

g(-i)<o-t1-6Z-8<0

所以则

g⑴40-t2+6Z-8<0t<2或/>4

所以4M-2,2M4,+e).

19.(1)不是，理由见解析

理

(3)[-1,2-V3]U[V3,3]

【分析】（1）根据定义，取玉=2,然后判断出马不存在，由此可作出判断；

-3"

（2）根据定义，当国€-,b时，用X］表示出9,判断出对应函数单调性并求解出值域，

「31

根据值域与~,b的包含关系求解出结果；

［4_

（3）根据定义，先分析出g@）在［0,2］上值域的情况，然后结合区间与对称轴对。进行分类

讨论，从而求解出。的取值范围.

【详解】（1）假设是区间［0,3］上的“2阶自伴函数”,

不妨取玉=2,则/■&)=/■⑵=5,由/'(xj/(x2)=2可得5(尤+1)=2,

此时马无解，所以假设不成立,

所以/（x）=无2+1不是区间［0,3］上的“2阶自伴函数”.

答案第10页，共12页

33

(2)由题意可知，对任意的改€~,b，总存在唯一的％2G~,b,使(2为-1)(2%2-1)=1成

立,

3j,6,使迎=

即对任意的王€-,b，总存在唯一的工2©成立,

因为(在3

p上单调递减,

4x—22

33

当国=［时'"2=］，当X］=6时，x=———+—,

24b—22

3113_