解三角形（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第19讲解三角形

（11类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角

2024年天津卷，第16题,14分

形余弦定理解三角形

用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理解三角形余弦定理解三角

2023年天津卷，第16题,14分

形

用和、差角的正弦公式化简、求值二倍角的余弦公式正弦定理解三角

2022年天津卷，第16题,14分

形乡余弦定理解三角形

用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理边角互化的应用余弦定理

2021年天津卷，第16题,14分

解三角形

2020年天津卷，第16题,14分正弦定理解三角形余弦定理解三角形

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为14分

【备考策略】1.理解、掌握正余弦定理，能够运用正余弦定理解三角形

2.能掌握正余弦定理与三角形的面积周长问题

3.具备数形结合的思想意识，会灵活运用三角形的知识点解决中线，高线，角平分线问题

4.会解三角形的最值与取值范围问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出三角形，解决三角形中的周长与面积，同时解

三角形会与两角和差二倍角进行结合，求解凑求值问题。

「立•考点梳理，

知识讲解

知识点一.正弦定理、余弦定理

1.定理内容：

在△板中，若角4B,C所对的边分别是a,b,c,7?为外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a=t)+/—26ccos4

abc

内容-----=-----=-----=9Rlj=c+#一2cacos6；

sinAsinBsinC

。2=才+4—2a6cos。

a=27feinZ,b=2Rsix\B,c=27?sinC；

b-vc-a

abcC0SA

sin4=砺sin夕=砺sin。=而-2bc；

2I22

c+a—b7

变形a\b\c=sinA:sinB\sinC；cosB—八；

Zac

asinB=bsinA,

2Ij22

a-vb-c

cosC—门7

6sinC=csinB,Zab

asinC=csix\A

1.两角一边求角1.三边求角

使用条件

2.两边对应角2.两边一角求边

2.在△/比中，已知a,6和/时，解的情况

力为锐角4为钝角或直角

Ccc

*

图形晨

AzLB八A

关系式a=bsinAbsinA〈水ba^ba>b

解的个数一解两解一解一解

知识点二.三角形常用面积公式

⑴•力aSa表示边a上的高)；

..111

(2)S=-a,bsir\C=-acsix\B=-bcsixiA；

(3)S=/r(a+6+c)(r为三角形内切圆半径).

知识点三.测量中的有关几个术语

术语名称术语意义图形表示

在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水

仰角与俯角平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方

I信、髓目标

的叫做俯角

视线

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线

北t

如。东

方位角之间的夹角叫做方位角.方位角0的范围是十；

0°W叱360°

例：(1)北偏东a：

北匕t枣

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常

方向角

表达为北(南)偏东(西)a(2)南偏西a：

北I东

坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度；坡面的垂

坡角与坡比

直高度与水平长度之比叫坡比

/

知识点四.常用结论

1.三角形内角和定理：在中，/+8+。="；变形：

2.三角形中的三角函数关系

/、/,/、4+3C/、A+BC

(1)sinU+T?)=sinC.(2)cos{A+B)=~cosC.(3)sin---=cos⑷cos~-—=sin

3.三角形中的射影定理

在5c中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosJ+acosB.

4.三角形中的大角对大边

在中，y4>^=^a>Z?<=>sin4>sinB.

考点一、正弦定理解三角形

典例啊

1.（2024•北京东城•二模）在^A8C中，A=―,C=—,b=V2,则a=（）

412

A.1B.V2C.V3D.2

2.（2024•江苏南通•模拟预测）在△ZBC中，已知=30°,c=2,则“b=&”是"乙。=45。”成立

的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

即时检测

1.（2024•河北沧州•一模）在^ABC中，AC=1,tanfi=tanC=/，贝!|（）

A.X=1-B.cos25=yC.BC=yD.△ABC的面积为亨

2.（2024•江西赣州•一模）在△ABC中，AB=41,AC=2,C=120°,贝!IsirM=（）

V7V215^73V21

AA.—D.Ur.Yn）.----

14141414

3.（2024•广东江门•一模）在AABC中，B=30°,b=2,c=2V2,则角A的大小为（）

A.45°B.135°或45°C.15°D.105°或15°

4.（2024•浙江金华•三模）在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c.若a=V7,b=2,A=60°,则

c为（）

A.1B.2C.3D.1或3

5.（2024•云南昆明•三模）已知△ABC中，AB=3,BC=4,AC=V5,贝!]△ABC的面积等于（）

A.3B.VT1C.5D.2V5

考点二、正余弦定理的边角互化

典例引领

1.（2024•江西九江•三模）在△A8C中，角所对的边分别为a,b,c,已知2c-a=2bcos4则8=

（）

A.-B.-C.—D.—

6336

2.（2024-陕西安康•模拟预测）在△ABC中，三个内角力，B,C所对的边分别为a,b,c,且acos（B+5）=

bsinA,若。=遮，c=2,则力=（）

A.1B.2C.2V3D.4

即时检测

1.（2024•吉林•模拟预测）在△力8c中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,“acosB=bcosA"是"A=

B"（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知AABC的三个角力，B,C的对边分别是a,b,c,若3a=2b,B=24

则cosB=（）

7711

A.--B.—C.--D.-

161688

3.（2024•安徽•模拟预测）在锐角△ABC中，角的对边分别为a,b,c,若sinA=曰,c=3,AB-AC=3,

则"c=（）

sinB+sinC

A出B2旧c迫D彳旧

.2333

4.（2024•辽宁•二模）在△28C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且经理劲虫里=4csin8+a,贝！ItanA

sin/

的值为（）

A.-2B.—3C.3D.2

5.（23-24高三下•浙江•阶段练习）在△ABC中，a,4c分别为内角4B,C的对边，满足ab+sinAsinB=

2bsinAsinC,则6^+/的值为.

考点三、三角形的形状

典例引领

1.（22-23高三上•河南•阶段练习）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是三々A，则该

14105

三角形（）

A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在

2.（2024高三•全国•专题练习）在A48C中，若acosA=bcosB,则AABC的形状一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

即时检测

1一

1.（2024•陕西安康•模拟预测）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等差数歹U，

以AC为直径的圆的面积为2兀，若SAABC=2W,则AaBC的形状为（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.非等腰三角形D.等边三角形

2.（2024•陕西安康•模拟预测）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列，

以边力C为直径的圆的面积为4n,若△ABC的面积不小于4百，则AABC的形状为（）

A.等腰非等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

3.（2024•河南新乡•二模）在AABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且a=7,b=3,c=5,

贝U（）

A.△ABC为锐角三角形B.△ABC为直角三角形

C.△ABC为钝角三角形D.△ABC的形状无法确定

4.（2022高三•全国•专题练习）在△ABC中，内角4B,C所对的边分别是a,6,c,sin。=1,asinB=csinA,

则该三角形的形状是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

5.（20-21高三上•河北•阶段练习）在△ABC中，角4B,C对边为a,b,c,且2c•cos2?=6+c,则△48c的

形状为（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

考点四、三角形的周长

典例引领

1.（2024•北京•三模）在四棱锥P—4BCD中，底面4BCD为正方形，AB=4,PC=PD=3,/.PCA=45°,

则APBC的周长为（）

A.10B.11C.7+V17D.12

2.（2024•四川绵阳•一模）AaBC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若sinCsinQl—B）=

sinBsin（C—X）,a—5,COST!=则AABC的周长为.

即时检测

1.（23-24高三下•四川巴中•阶段练习）△ABC中，4、B、C的对边分别为a、b、c,且bcosC=2acosB—ccosB,

a=l,b=V3,则^ABC的周长为

2-（2024•天津北辰•三模）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足acosC+ccosA=熹.

（1）求角B的大小；

（2）若cos2=y,求sin（24+B）的值；

（3）若△ABC的面积为督，b=3,求AABC的周长.

3.(2024,陕西商洛•模拟预测)在①2sinB=V3sinX；②bcosC+ccosB=4cosB这两个条件中任选一个，

补充在下面的问题中并解答.

设A/IBC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA-sinC=sin(2-B),b=®

⑴求B；

(2)若,求AZBC的周长.

注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.

4.(2024•江苏南通•三模)在△ABC中，角力,B,C的对边分别为a,b,c,(26—c)cos4=acosC.

⑴求力；

(2)若A/IBC的面积为W,BC边上的高为1,求△ABC的周长.

考点五、三角形的面积

典例引领

1.(2024•陕西西安•模拟预测)在△2BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=返，限osB=

(3c-b)cos力，则△ABC面积的最大值为.

2.(2024•山西•模拟预测)在△ABC中，C=三，且刀•荏=4W，则△ABC的面积是

6

即时便测

1.(2024•安徽•三模)在ATIBC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满足a=遮,(a+c)(sin2+

sinC)=bsinB+3csin71,——=1cosC,则△4BC的面积是.

2.(2024•山东•二模)在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,4c,V2(a2+fa2-c2)=absinC,且c=1,

则△ABC面积的最大值为.

3.(2024高三•全国•专题练习)在△ABC中，Zyl=60°,c=|a.

⑴求sinC的值;

(2)若a=7,求△ABC的面积.

4.(2024•北京丰台•二模)已知AABC满足遍sind+cosA=2.

⑴求4

(2)若△4BC满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求△ABC的面积.

条件①：a—b=2；条件②：cosB=—；条件③：c=8.

14

5.(2024•辽宁•模拟预测)在AABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知3a=cos4=|.

(1)求sinC的值；

(2)若b=3,求△ABC的面积.

考点六、三角形个数问题

典例引领

1.（2024•湖北•模拟预测）在△ABC中，已知2B=x,BC=2vLe=工若存在两个这样的三角形ABC,

4

则无的取值范围是（）

A.[2V2,+oo）B.（0,2V2）C.（2,2&）D.（V2,2）

2.（2024•宁夏银川•三模）AZBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,sinC=-,若△ABC有

4

两解，则C的取值可能为（）

A.3B.4C.5D.6

1.（2024•陕西渭南•模拟预测）已知A4BC的内角A,B,C的对边分别为a,hc,则能使同时满足条件Z=

^,b=6的三角形不唯一的a的取值范围是（）

6

A.（3,6）B.（3,+00）C.（0,6）D.（0,3）

2.（23-24高三上•四川•阶段练习）若AABC的内角的对边分别为a,4c,则下列说法正确的是

（）

A.若炉+c2-a2>o,则△ABC为锐角三角形

B.若acosA=bcosB,则此三角形为等腰三角形

C.若a=13=2,2=30°,则解此三角形必有两解

D.若△48C是锐角三角形，贝UsinA+sinB>COST!+cosB

3.（23-24高三上•北京顺义•期中）在△ABC中，乙4=60。，a=5,b=6,满足条件的）

A.有无数多个B.有两个C.有一个D.不存在

4.（23-24高三上•北京大兴•期中）在AABC中，=,AB=4,BC=a,且满足该条件的△ABC有两

个，则a的取值范围是（）

A.（0,2）B.（2,273）

C.（2,4）D.（2V3,4）

5.（2020高三•全国•专题练习）在AABC中，角力、B、C所对的边分别为a、氏c,若力=巴，a=5,c=4,

4

则满足条件的ANBC的个数为—.

考点七、中线问题

典例引领

1.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知ATIBC的内角45C的对边分别为a,6,c,且a=百,8C边上中线长

为1,则儿最大值为（）

A.-B.-C.V3D.2V3

42

2.（2024•全国•模拟预测）在小ABC^,A=pBC边上的中线4。=百，则△2BC面积的最大值为（）

A.2V3B.V3C.—D.—

24

即时检测

1.（2024•四川绵阳•模拟预测）三角形三内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知逊=&

asinZ

（1）求角8的大小；

⑵若AABC的面积等于四，D为BC边的中点，当中线力D的长最短时，求4C边的长.

2.（2024•湖南长沙•三模）如图，在△力BC中，已知4B=3,AC=6,4为锐角，BC,AC边上的两条中线AM,BN

相交于点「,△4BC的面积为第.

⑵求乙4PB的余弦值.

3.（23-24高三下•重庆•阶段练习）已知△力BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,MacosC-|c=b.

（1）求A的大小；

（2）若sinC=3sin8,BC边上的中线AD长为近，求A4BC的面积.

4.（2024•陕西西安•三模）在△ABC中，角4B,C的对边是a,瓦c,已知6（1+COST!）=c（l-cos2B）.

（1）证明：b=c;

（2）若BC边上的高40为2,AC边上的中线BE为2夕,求44BC的面积.

5.（2023•安徽芜湖•模拟预测）已知函数/（%）=2sin%•sin（%+烹）—

⑴求/（久）在［o,引上的值域；

（2）已知锐角△A8C中，BC=V7,BA-AC=-3,且/⑷=?,求BC边上的中线27的长.

考点八、角平分线问题

典例引领

1.（2024•广东深圳•模拟预测）已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足百c+bsinA=

y/3acosB.

(1)求角A的大小；

⑵若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求当的最小值.

AD

2.(2024•河北沧州•模拟预测)在AaBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a2=c(c+6).

(1)求证：B+3C=n；

⑵若N2BC的角平分线交AC于点D,且a=12,b=7,求BD的长.

即时检测

1.(2024•内蒙古呼和浩特•一模)在AABC中，43,。分别为边。出£：所对的角，且满足2a+c=26cosC.

(1)求N8的大小；

⑵立力的角平分线力。交8C边于点。，当c=2,|4。|=夕时，求|CD|.

2.(2024•山东•模拟预测)从①胃=MY),②sM+sin,=工③zasijg=V^sirM这三个条件中

bcosBsinB+sinCa2

任选一个，补充在下面的问题中.

已知△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c且_____.

(1)求角B的大小；

(2)若力的角平分线交边BC于点D,且力。=旄，c=2,求边b.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

3.(2024•江西•模拟预测)在AABC中，内角4B,C所对的边分别为a,4c,其外接圆的半径为2次，且

bcosC=a+—csin5.

3

(1)求角B；

⑵若NB的角平分线交4C于点=百，点E在线段AC上，EC=2EA,求ABDE的面积.

4.(23-24高三上•河北邢台•期末)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,6,c,且旧ccos力+asinC=8儿

(1)求角C的大小；

(2)若N4CB的角平分线交4B于点D,CD=4,AD=2DB,求a.

5.(23-24高三上•湖南邵阳•阶段练习)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b+c=

2asin(C+1).

⑴求A；

⑵若a=2®BA-CA=l，ABAC的角平分线交BC于点D,求力D的长.

考点九、高线与多三角形问题

I______典___例___引___领____

1.（2024•四川自贡•三模）如图,D为A4BC的边AC上一点，|40=2\DC\,^ABC=60°,\AB\+2\BC\=4,

则|BD|的最小值为.

2.（2024•陕西安康•模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AC=BD=10,当四边形ABCD的

面积最大时，BC2+CD2+的最小值为.

即时检测

1.（2024•陕西安康•模拟预测）如图，平面四边形ABCD中，AB=3,AC=2BC,AD=DC,^ADC=90°,

则四边形ABCD面积的最大值为—.

2.（2024•青海海西•模拟预测）如图，在四边形4BCD中，AB14D,cosB=半,cos乙4cB=詈,BC=逐.

⑴求力C；

（2）若△4CD的面积为|,求CD.

3.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）在AaBC中，记角4、B、C的对边分别为a、b、c,已知百a=V3ccosB+

csinB.

（I）求角c；

（2）已知点。在AC边上，J.XD=2DC,BC=6,BD=2^7,求△ABC的面积.

4.（2024•辽宁•模拟预测）如图，在平面内，四边形力BCD满足B,D点在2C的两侧，AB=1,BC=2,

△ACD为正三角形，设乙4BC=a.

（1）当a=：时，求力C；

⑵当a变化时，求四边形2BCD面积的最大值.

5.（23-24高三上•广西南宁•阶段练习）已知四边形2BCD内接于。。，若AB=1,BC=3,CD=ZM=2

（1）求O。的半径长.

⑵若NBPD=60°,求ABDP面积的取值范围.

考点十、基本不等式求最值与取值范围问题

典例引领

1.（2024•天津北辰•三模）在AABC中，|^4B|=2V2,。为△ABC外心，且而=1,贝!］乙4BC的最大

值为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2024•河南•三模）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若3+上=&，则tanA+tanC

cosAcosBcosC

的最小值是（）

A.-B.-C.2V3D.4

33

即时检测

1.（2024•重庆九龙坡•三模）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,已知asin詈=csinA,

c-2.则C=；S的最大值为.

2.（2024•四川绵阳•模拟预测）在钝角△力8C中，a,b,c分别是△ABC的内角4B,C所对的边，点G是

△力8c的重心，若4G1BG,则cosC的取值范围是.

3.（2024•江苏盐城•一模）在△4BC中，已知4B=2,BC=3,点P在△4BC内，且满足CP=2,乙4PC+

乙48c=n,则四边形48CP面积的最大值为.

4.（2024•江西•二模）己知的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且Easing=b（2+cosA）,

若A4BC的面积等于4次，则△ABC的周长的最小值为.

5.（2024•江西吉安•模拟预测）已知A4BC的三个内角4昆C所对的边分别为a,6,c,且6?+2c?=3a?,

则cosA的最小值为.

考点十一、三角函数求最值与取值范围问题

典例引领

1.（2024•江苏连云港•模拟预测）在A4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=l,bcosA=1+cosS,

则边b的取值范围为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

2.（2024•四川成都•模拟预测）设锐角△力BC的三个内角4的对边分别为a,瓦c,且c=2,8=2C,则

a+6的取值范围为（）

A.（2,10）B.（24-2V2,10）C.（2+2隹4+2百）D.（4+2V3,10）

♦♦眼举w

1.（2024•陕西安康•模拟预测）在AaBC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2,^-=^-+^-,

cosCcosBcosC

则2a+c的最大值为.

2.（23-24高三下•吉林通化•期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,

且满足5=更32+抉一©2）.

4

（1）求角C的大小；

⑵求sinZsinB的最大值.

3.（2024•江苏盐城•模拟预测）在A/IBC中，已知角力，B,C所对的边分别为a,b,c,asin2+bsin2=

3ab

2（a+b+c）•

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC为锐角三角形，求也2的取值范围.

4.(2024•重庆渝中•模拟预测)已知AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足叵一sinB=tanX-

a

cosB.

(i)求角a的大小；

⑵若△4BC为锐角三角形且a=2V6,求△ABC面积的取值范围.

5.(2024•辽宁沈阳•模拟预测)在ATlBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且*出誓=i.

coszF-coszi4

(1)求角A的大小；

(2)若△48C为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，AF=6,求CF+BF的取值范围.

12.好题冲关.

基础过关

1.(2025高三•全国•专题练习)在AABC中，内角4B,C所对边分别为a,b,c,若B=g,b2=\ac,则

sinA+sinC=()

A.-B.V2C.—D.—

222

2.(22-23高三上•河南濮阳•阶段练习)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且a(cosB-1)-

b(cosA-1)=0.若a=4,则力=()

A.1B.2C.3D.4

3.(2024高三•全国•专题练习)在锐角三角形ABC中，角45C所对的边分别为a,b,c,若cos2B+cos2C+

2sin^sinC=1+cos24则角/二.

4.(23-24高一下-广东清远-期末)△ABC中，角4,8,C的对边分别为a,b,c,若bcosC+V3hsinC-a-c=

0.

⑴求&

(2)若C=三且△ABC的面积为3+V3,求边长c.

4

5.(2024•江西新余•二模)在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S=

1(a2+c2—b2)sinB.

⑴求角B；

(2)若乙4BC的平分线交AC于点D,a=3,c=4,求的长.

6.(23-24高三下•天津•阶段练习)已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin^cos；=sinB,

a2—c2=3b2.

(1)求sin(8+g)；

(2)若b=1,求△ZBC的面积.

7.(2024•天津•一模)在^ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c.已知b=V2,sinA=V2sinC,cosB=——.

8

⑴求a的值；

(2)求cosC的值；

⑶求sin(2C+B)的值.

能力提升

22

1.(2024•天津南开•二模)已知双曲线京—a=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F2,过F2且

斜率为m的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若I6F2I=|4&1，则此双曲线的标准方程可能为(