辽宁省鞍山市铁东区2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷（含答案）

辽宁省鞍山市铁东区2024-2025学年九年级上学期数学期中

试卷

温馨提示：1、考试时间120分钟，卷面满分120分，试卷共5页.

2、请仔细审题、认真思考、细致解答、规范书写、勿忘检查.

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四

幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）

0

2.将方程2/+7=%改写成办2+岳；+。=0的形式,则凡仇c的值分别为（）

A.-2,1,7B.2,1,-7C.2,-1,7D.2,1,7

3.如图，矩形/5C0S矩形MG”,已知23=3,BC=5,EF=6,则尸G的长为（）

AD

BC

FG

100

A.----B.10C.11D.12

11

4.如图，已知DE〃BC,穿=白，若。£=与，

则BE的长为（）

B乙--------

试卷第1页，共6页

A.9B.10C.11D.12

5.若/(-U),8(2,%)两点在二次函数了=-(尤-1)，2的图象上，则下列结论正确的是

()

A.%<%<2B.2<^<y2C.2<y2<y,D.y2<y,<2

6.在RtZ\/8C中，ZC=90°,/8=13,BC=5,则taM的值是()

,1212_55

A.—B.—C.—D.—

1351312

7.如图，将线段绕点。旋转得到线段N的,已知。4=5,OB'=3,/9=90。，则线段N8

的长为()

A.3B.4C.5D.V34

8.某款药品的售价为50元/瓶，经过两次降价后，售价为40元/瓶，两次降价的百分率相同,

设每次降价的百分率为x,按题意可列方程为（）

A.50（1-X2）=40B.40（1-X2）=50

C.50（l-x）2=40D.40（l-x）2=50

9.如图，某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点尸，在近岸取点。

和S,使点尸、。、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线。上选择

适当的点T,确定尸T与过点。且垂直尸S的直线6的交点R,如果测得0s=45m,S7=90m,

QR=60m,则河的宽度尸。是（）

80mC.90mD.100m

试卷第2页，共6页

10.如下表是二次函数>=办2+bx+c的几组对应值:

X6.176.186.196.20

y=ax2+bx+c-0.02-0.010.010.02

根据表中数据判断，方程分2+及+。=0的一个解X的范围是（）

A.6.16<x<6.17B.6.17<x<6.18

C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.20

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.若一元二次方程l-2x-l=0的两个实数根为X],尤2，则再+工2-尤1%的值

为.

12.在平面直角坐标系X。中，己知△4BC,以原点。为位似中心，相似比为L将△48C

2

缩小得到若点/（2,4）,则4的坐标为—.

13.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形N8C,其中=4ABe=27。,

5C=44cm,则高4D约为cm.（结果精确到0.1cm,参考数据：sin27°^0.45,

cos27°»0.89,tan27°它0.51）

BDC

14.如图，直线MN平行于x轴，二次函数了=。|/+左（q<0）的图像与直线儿火交于人，B

两点,二次函数歹=%（》-〃）2（出>。）的图像与直线"N交于C,。两点，其顶点为E,若

NC=3,BC=\,BD=2,则点E的坐标为.

15.如图，已知等边三角形48C,点。为△/BC外一点，连接4D,BD；且NC4O=90。,

将线段AD绕点B逆时针旋转60。得到线段BE,连接ZE,CE,且/A4E=90°,若4D=1,

试卷第3页，共6页

则CE的长为.

三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理

过程）

16.解下列方程：

⑴x?+6x=-5;

（2）3x2-4x-2=0.

17.若关于x的一元二次方程x2-（2a+l）x+a2=0有两个不相等的实数根，求。的取值范围.

18.如图，将△/8C绕点B按逆时针方向旋转40。得到A08E,连接N。，若AB_LDE,垂

足为尸，求N/OE的度数.

19.（1）求二次函数＞=x2+4x-l的顶点坐标;

（2）将二次函数y=f+4x-l的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度,

并在平面直角坐标系中画出平移后的二次函数图象.（先完成下列表格，再描点、连线画出

函数图象，每个小网格的边长为1个单位长度）

X-012

-

y6

-

试卷第4页，共6页

20.如图，在ZUBC中，点。在8c边上，连接4D,且4B=4D,点E在/C边上，连接

DE,且/Z)2=/EZC,若AD=2DE,CE=5,求2c的长.

21.“双11”是中国最具影响力的购物节，某商家决定在“双11”期间对某商品进行降价销售,

该商品进价为50元/件.在平时以80元/件的价格进行销售时，周销量为500件.根据近几

年的经验来看，在“双11”期间该商品售价每降低1元，则周销量增加50件，在商家备货量

充足的情况下，每件商品的售价为多少元时，周销售利润能达到7200元？

22.如图，在矩形N8CD中，点。为对角线/C中点，点E为AD边上一点(4E<；4D),

连接EO并延长交8c于点尸；四边形尸E与关于即所在直线对称，射线分别

(1)求证：EH=FH；

…AO7

(2)已知为；=1，DH=l；

ULr5

FG

①当点H在线段4D上时，求案的值；

②当ACE不为等腰三角形时，求。的长.

试卷第5页，共6页

23.定义：已知一次函数4：了=办+〃。/0)和一次函数4：了=必+〃(加片0)若函数

l3-.y={ax+b\mx+n),则称函数4是一次函数4、4的累积函数.已知函数4是一次函数

4:y=gx+l与一次函数，2-y=-x+n的累积函数.

备用图

(1)若函数4的图象恰好经过(-1,0),求函数4的解析式；

(2)若函数4的图象顶点为P，当点尸的纵坐标最小时，求此时顶点尸的坐标；

⑶若一次函数心4的图象与函数4的图象的公共点有且只有三个时，求此时〃的值.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图

形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进

行逐一判断即可.本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图

形的定义.

【详解】解：A.不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故B选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故C选项不合题意；

D.是中心对称图形，故D选项合题意；

故选：D.

2.C

【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题

的关键；因此此题可根据一元二次方程办2+6x+c=0（。/0,b、。为常数）进行求解即

可.

【详解】解：把方程2尤2+7=x改写成ax?+6x+c=0的形式为2x?-x+7=0,则有：

a=2,b——l,c=7；

故选C.

3.B

ATIFF

【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得。=行，进行计算即

nCrG

可得.

【详解】解：,••矩形ABC。”矩形EFG8,

ABBCABEF

••而一拓即F1rl疏—而，

36

,,—t

5FG

・・.FG=10,

故选：B.

4.A

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性

27

质.DE//BC,可得△DOESACOB,根据相似三角形的性质求出。8=彳，即可求解.

答案第1页，共13页

【详解】解：,•・〃£〃8C，

ADOEsACOB,

18

OD

了，

OCIP

|OB

27

OB=—

5

77iQ

BE=OB+OE=—+—=9,

55

故选：A.

5.A

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关

键；由题意易得该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=l,有最大值为2,进而根据

“开口向下，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越大”进行求解即可.

【详解】解：由二次函数y=-(x-iy+2可知：开口向下，对称轴为直线尤=1,当x=l时,

有最大值为2,

•；/(-1,必)，3(2,%)两点在二次函数y=-(x-lY+2的图象上，且点/到对称轴的距离更

远,

二弘<%<2；

故选A.

6.D

【分析】本题考查了解直角二角形，根据正切的定义即可求解.

【详解】解：如图，在RtZ\/8C中，ZC=90°,/3=13,BC=5,

3=生5

AC12

故选：D.

答案第2页，共13页

7.B

【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，根据旋转的性质可得48=N2'=90。,

OB=OB，=3,进而根据勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接

O

依题意，ZS=ZB'=90°,OB=OB'=3,04=5,

■■AB=yjAO2-BO2=4>

故选：B.

8.C

【分析】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.设每次降价的百分率

为x,那么第一次降价后的售价是原来的（1-尤），那么第二次降价后的售价是原来的

Orf,根据题意列方程解答即可.

【详解】解：设每次降价的百分率为x,

根据题意列方程得:50（1-x）2=40；

故选：C.

9.C

【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质.根据相似三角形的性质得出

等进而代入求出即可.

【详解】解：根据题意得出：QR//ST,

则APQRSAPST,

於PQ=QR

改PQ+QS~ST'

-：QS=45m,57=90m,QR=60m,

PQ60

','P0+45-痴'

解得：P2=90（m）,

答案第3页，共13页

故选：c.

10.c

【分析】本题考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似根，根据抛物线与X轴的交

点的相邻两侧的函数值的符号相反，进行判断即可.

【详解】解：由表格可知，尤=6.18时，y<0,当x=6.19时，y>0,

・•.在6.18<x<6.19之间必然存在一个x的值使y=O,

二方程办2+6x+c=o的一个解x的范围是6.18cx<6.19；

故选C.

11.3

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得

X|+无2=2,再工2=T,代入代数式，即可求解.

【详解】解：•••一元二次方程--2x-l=0的两个根为不，龙2，

：.x{+x2=2,x1x2=-1,

西+%—=2—(—1)=3,

故答案为：3.

12.(1,2)或(一1,一2)

【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心,

相似比为❷❷，那么位似图形对应点的坐标的比等于左或-%.根据位似变换的性质解答即

可.

【详解】解：•••相似比为g,将4/台。缩小得到A/0。，点/(2,4),

・•.H的坐标为(1,2)或(-1,-2)

故答案为：(1,2)或(-1,-2).

13.11.2

【分析】先根据等腰三角形的三线合一性质得到的值，再利用正切定义求解即可.

本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关

键.

【详解】=ADIBC,BC=44cm,

答案第4页，共13页

...BD=CD=g3C=；x44=22(cm),

ATJ

,/RtZXZBC中tan/ABC=,

AD«BD•tan/ABCb22x0.51«11.2(cm),

故答案为：11.2.

14.加

【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键掌握二次函数的性质.设直线MN交》轴

于点”，过点E作二次函数y=%(x-人)2(%>0)的对称轴交"N于点尸，根据题意可得：

35

AB=4,CD=3,进而得到CP=],AH=2,求出必=],即可求解.

【详解】解：设直线交歹轴于点“，过点E作二次函数〉=出口-力)2(出>0)的对称轴

交MN于点、F,

VAC-3,BC=1,BD=2,

AAB=AC+BC=3+l=4fCD=CB+BD=\+2=3,

131

CF=-CD=-,AH=—AB=2,

222

HC=AC-AH=3-2=l,

35

HF=HC+CF=l+-=~,

22

.••点E的坐标为go),

15.V13

【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形；连接CD,过

点C作C尸，/尸交E4延长线于尸，先证明ACAD0A4BE,根据已知得出NC,进而解

RM4FC,RLEFC,即可求解.

答案第5页，共13页

【详解】解：如图所示，连接CQ,过点。作CF，4尸交胡延长线于R

•・•将线段5。绕点8逆时针旋转60。得到线段班,

；.BD=BE,ZDBE=60°；

•・・三角形是等边三角形，

AB=AC,ZCBA=60°,

・•.NDBE=ZCBA=60°,

・•.ZCBD=/ABE,

・•.ACBDAABE,

/BCD=/BAE=90°,AE=CD,

・•.ZACD=/BCD-ZACB=30°；

•・•AD=\,

:,CD=2,AC=CDCGS/ACD=5

又・・•ZCAF=180。—/EAB-ABAC=30°,

：.CF=-AC=—,AF=CF♦tan/ACF=；

2222

vAE=CD=2,

37

:.EF=2+—=

22

在RtZXMC中,EC=y/EF2+CF2==；

故答案为：V13.

16.(1)---1，%2=-5;

2+VTo2-Vio

(2)再=­T一x9=----------;

23

【分析】此题考查了解一元二次方程.

答案第6页，共13页

(1)移项化为一般形式，利用因式分解法解方程即可;

(2)利用公式法解方程即可.

【详解】(1)解：X2+6X=-5

X2+6x+5=0,

.-.(x+l)(x+5)=0,

••・x+l=0或x+5=0,

解得再二-1,x2=-5；

(2)3——4x—2=0

：.a=3,b=—4,c=—2,

•••A=/)2-4tzc=(-4)2-4x3x(-2)=40,

-b+ylb2-4ac4±7402±V10

x=-------------------=-----------=-----------

2a63

解得网=生巫，x2=*

1323

1

17.a>——

4

【详解】分析：根据方程的系数结合根的判别式△>(),即可得出关于a的一元一次不等式,

解之即可得出a的取值范围.

详解：•・•关于x的一元二次方程x2-(2a+l)x+a2=0有两个不相等的实数根,

•••△=[-(2a+l)]Ma2=4a+l>0,

解得：a>--.

4

点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关

键.

18.ZADE=20°

【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关

键是掌握旋转的性质.由旋转可得：ZABD=40°,AB=AD,进而得到=70。，由

48_1。£可得48/办=90。，推出尸=50。，即可求解.

【详解】解：由旋转可得：ZABD=40°,AB=AD,

ABAD=NBDA=1(180°-NABD)=70°,

•••ABIDE,

答案第7页，共13页

ZBFD=90°,

：.ZBDF=90°-ZABD=90°-40°=50°,

ZADE=ABDA-ZBDF=70°-50°=20°.

19.(1)(-2,-5)；(2)见解析

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，画二次函数图象；

(1)根据配方法化为顶点式，即可求解；

(2)根据二次函数平移规律得出解析式，进而根据列表描点画出函数图象，即可求解.

【详解】(1)解：•.-y=x2+4x-l=(x+2)2-5

二顶点坐标为(-2,-5)

(2)将二次函数〉=/+4工-1=(》+2『-5的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个

20.10

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，先证明AE4DSAD/C

根据相似三角形的性质结合已知，得出NC=2DC,进而证明△£€?£>根据相似三

角形的性质，即可求解.

答案第8页，共13页

【详解】-AD2=AEAC

ADAC

"AE~AD'

又•：/EAD=/DAC

•••AEADS^DAC

DEAD

^C~~AC

•・•AD=IDE,

DEIDE

，贝IJ4C=2。。

Be-AC

•・•AEADS^DAC

・•.ZAED=ZADC

/CED=/ADB

又•・•AB=AD

ZABC=ZADB=NCED

又•：/ECD=/BCA

・•・/\ECDS/\BCA

ECBCECDC1

•-PRInJ——

"DCACBCNC_2

.•.2C=2EC=10.

21.每件商品的售价为54元时，周销售利润能达到7200元.

【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每件商品的售价为x元时，周销售利润能达到

7200元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解.

【详解】解：设每件商品的售价为x元时，周销售利润能达到7200元，

根据题意得，（%-50）［500+50（80-%）］=7200,

解得：x=54或x=86（舍去）；

答：每件商品的售价为54元时，周销售利润能达到7200元.

22.⑴见解析

⑵①*=；；②CD=2版

CF7

【分析】（1）根据矩形的性质可得4。〃8C,推出NHEF=NEFB,根据对称的性质可得

NEFB=NEFH,推出/fffi产=/£”,即可证明；

（2）由点。为/C中点，可得O/=OC,设。G=3左，OA=OC=1k,则/G=10左，

答案第9页，共13页

CG=4k,证明丝△CO尸，得到/E=Cb.

①证明LCFG^LAHG,得到与=2=g|=j,设C尸=2x,AH=5x,贝U

AHACr5

EH=FH=3x,FG=-x,即可求解；

7

②分两种情况讨论：当"F=〃C=3x时，过点"作〃于T,当CF=HC=2x

时，过点”作于A,根据矩形的判定与性质和勾股定理求解即可.

【详解】（1）证明：•・.在矩形/BCD中，AD//BC,

ZHEF=NEFB,

.・.四边形ABFE与四边形ABFE关于EF所在直线对称，

ZEFB=ZEFH,

ZHEF=/EFH,

EH=FH；

（2）解：♦・•点。为/C中点，

AOA=OC,

AO_7

.瓦一§，

••设OG=3k,OA=OC—7k,

AG=OA+OG=10kfCG=OC-OG=lk-3k=4k,

•・,AD//BC,

ZOAE=ZOCF,

在△/QE和△口?尸中，

ZOAE=ZOCF

<OA=OC,

ZAOE=ZCOF

,^AOE^COF（ASA）,

AE=CF,

①丁AD//BC,

XCFGSRAHG,

.CF_FG_CG_4k_2

./一前一^一标-

.CF_2

,~AH~~5"

答案第10页，共13页

••・设C尸=2x,AH=5x,

•/AE=CF,

-e•AE=CF=2x,

EH=AH-AE=5x-2x=3x,

由（1）知，EH=FH,

/.EH=FH=3x,

FG2

・

•FG_2

,,一，

FH7

FG=-FH=-x3x=-x,

777

6

FG7X3；

CF-27"7

②由①知，CF=2x,HF=3x,

：.CF*HF,

.•・若ASF为等腰三角形，只有以下两种情况：

情况一：当上m=HC=3x时，如图1,过点H作〃TLCF于T,

图1

•••ND=NDCT=ZHTC=90°,

四边形DC"是矩形，

*'-CT=DH=1,即x=1,

:.HF=3X=3,

:.HF=HC=3,

在RMCL归中，CD=dCH。一DH?=打-f=2拒,

情况二：当C尸=〃C=2x时，如图2,过点、H作HRLCF于R,

•••ZD=ZDCR=ZHRC