幂函数与二次函数（原卷版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第04讲幕函数与二次函数

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：塞函数的定义........................................3

角度1：求哥函数的值..........................................3

角度2：求塞函数的解析式......................................3

角度3：由幕函数求参数........................................3

高频考点二：塞函数的值域........................................4

高频考点三：幕函数图象..........................................5

角度1：判断褰函数图象........................................5

角度2：募函数图象过定点问题..................................6

高频考点四：塞函数单调性........................................7

角度1：判断幕函数的单调性....................................7

角度2：由事函数单调性求参数..................................8

角度3：由嘉函数单调性解不等式................................8

高频考点五：塞函数的奇偶性......................................9

高频考点六：二次函数............................................10

角度1：二次函数值域问题.....................................10

角度2：求二次函数解析式.....................................10

角度3：由二次函数单调性（区间）求参数.......................10

角度4：根据二次函数最值(值域)求参数.......................11

角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题.....................11

第四部分：新定义题(解答题).......................................13

第一部分：基础知识

1、塞函数

(1)幕函数定义

一般地，形如的函数称为募函数，其中X是自变量，a是常数.

(2)五种常见暴函数

—1

函数y=xy=x2y=户y=x

手7K小

图象

定义域RRR{x|x>0}{x|xw0}

值域R{yly>0)R{yly>0){y"0}

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

性在(-8,0］上

在(—8,0)和

质在R上单单调递减；在在R上单调在［0,+8)上单

单调性(0,+8)上单

调递增(0,+8)上单递增调递增

调递减

调递增

公共点(1,1)

(3)嘉函数性质(高频考点)

幕函数/(乃=/，在xe(0,+8)

①当a>0时，/(%)=%“在(0,+8)单调递增；

②当a<0时，/(x)=/在(0,+s)单调递减；

2、二次函数

形如/(x)=ax2+bx+c{aw0)的函数叫做二次函数.

第二部分：高考真题回顾

1.（2023,天津•统考高考真题）设4=1.0产5力=1.01。6,°=0.6°5,则d"c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：塞函数的定义

角度1:求塞函数的值

典型例题

例题1.（2024下•河南•高一信阳高中校联考开学考试）已知〃力=（笈2+2左+2）铲+1+机-3是累函数，则

f（m）=（）

21

A.3B.—C.6D.—

33

例题2.（2024上•河北承德•高一统考期末）已知塞函数〃x）的图象过点（0,8）,则而卜.

角度2：求塞函数的解析式

典型例题

例题L（2024上•安徽芜湖•高一统考期末）若塞函数〃x）=a?（a,beR）的图象经过点（3,6）,则

/（x）=------------

（2\

例题2.（2024上•河北保定,高一统考期末）已知幕函数/（X）的图象过点（2,8）,则/2）=.

\7

角度3：由塞函数求参数

典型例题

例题L（2024上•山东威海•高一统考期末）己知事函数/。）=百-2左-14）/在（0,+“）上单调递增，则左=

A.-3B.3C.-5D.5

例题2.（2024上•安徽阜阳,高一阜阳市第三中学校考期末）己知事函数yeR）的图象不

经过第二象限，则加=（）

A.2B.一2或1C.-1或2D.-1

练透核心考点

1.（2024上•河南商丘•高一校考期末）若〃"=（裙-3）/是定义域为R的幕函数，则，"=.

2.（2024上•安徽淮南•高一深圳市高级中学校联考期末）若幕函数"%）=（病一2吁2）”3出在区间（0,+力）

上单调递减，则机=.

3.（2024下•湖北•高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）己知哥函数/（力=（苏+机-5）廿M在

（0,+8）上单调递减，则机=.

4.（2024上•安徽亳州•高一亳州二中校考期末）已知事函数的图象过点尸（2,⑹，则“4）等

于.

高频考点二：幕函数的值域

典型例题

例题1.（2024・全国•高一假期作业）下列函数中，值域为（0,+8）的是（）

A.于（X）=GB./（x）=x+—（x>0）

U"在D.&）=1一4>1）

例题2.（2024・全国•高一假期作业）已知塞函数〃x）=x2/F-6（"?eZ）在区间（0,+8）上是减函数.

（1）求函数〃x）的解析式；

⑵讨论函数的奇偶性和单调性；

⑶求函数的值域.

练透核心考点

1.（2024•全国•高三专题练习）下列函数中，定义域和值域不相同的是（）

L2x-2,x<0

A.尸一1B.y=<xC.y=一D.y=

xx+2,x>0

2

x3,-l<x<0

2.（2024下•河北承德•高二承德县第一中学校联考开学考试）函数）=的值域为.

2

,0<x<1

高频考点三：塞函数图象

角度1:判断募函数图象

典型例题

例题L（2024•江苏•高一假期作业）函数=g/与g（x）=：（以?+l）+x在同一平面直角坐标系中的图

象不可能为（）

例题2.（2024•全国•高三专题练习）给定一组函数解析式：

①y=/;②,=③>=天5；④y=x§；⑤y=妙；⑥,=了百；⑦y=尤§•

⑶

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

角度2：塞函数图象过定点问题

典型例题

例题1.（2024上•上海•高一上海市吴淞中学校考期末）下列命题中正确的是（）

A.当他=0时，函数y=x'"的图象是一条直线

B.暴函数的图象都经过（0,0）,（U）两点

C.基函数y=/图象不可能在第四象限内

D.若累函数〉=/为奇函数，则、=/是定义域内的严格增函数

例题2.（2024•全国•高一专题练习）已知函数y="夕<0）的图象恒过定点A,若点A在一次函数

y=:九x+〃的图象上，其中相，«>0,则'+'的最小值为（）

mn

A.1B.&C,2D.4

练透核心考点

1.（2024•全国•高三专题练习）已知暴函数、J（〃,qeZ且。应互质）的图象关于y轴对称，如图所示,

则（）

A.p,q均为奇数，且:>°

B.q为偶数,p为奇数，且/＜。

C.q为奇数，p为偶数，且£＞。

Q

D.q为奇数，p为偶数，且/＜。

2.（多选）（2024上•重庆北培•高一统考期末）函数/'（"=加-2%+1与g（x）=x"在同一直角坐标系中的

3.（多选）（2024•全国•高一专题练习）已知事函数=f的图象经过函数g（x）=a＞2-g"＞0且"1）

的图象所过的定点，则幕函数具有的特性是（）

A.在定义域内单调递减B.图象过点（1,1）

C.是奇函数D.定义域是R

高频考点四：塞函数单调性

角度1：判断幕函数的单调性

典型例题

例题L（2023上•北京海淀•高一统考期末）下列函数中，既是奇函数，又在（0,+⑹上单调递减的是（）

A.f（x）=4xB.f（x）=-x\x\

C.D.f（x）=x3

例题2.（2023上•湖南常德•高一湖南省桃源县第一中学校考期中）函数/（尤）=（_*2+2尤+3）-5的单调递减

区间为（）

A.[—1,1]B.C.（—1,1]D.。,3）

角度2：由幕函数单调性求参数

典型例题

例题1.（2023上•江苏镇江•高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若y=（疡是幕函数，

且在（0,+8）上单调递增，则机的值为（）

A.-1或3B.1或-3C.-1D.3

例题2.（2023上•广东佛山•高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）已知事函数y=（疗-3卜"""3单调

递减，则实数〃仁.

角度3：由塞函数单调性解不等式

典型例题

例题1.（2023上•高一课时练习）已知募函数y=x?-3（peN+）的图象关于y轴对称，且在（0,+s）上单调递

减，求满足（°+1）9＜（3—2a）《的。的取值范围.

例题2.（2023上•广西钦州•高一校考期中）已知＞=0〃2+2机_2）・尤高+2〃-3是幕函数.

（1）求"?、"的值；

（2）若/■（2a+l）＜〃3-4a）,求实数。的取值范围.

练透核心考点

1.（多选）（2024•全国•模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（）

A.f（x）=-3x5B./（%）=21

C.〃x）=：D./（力=-2/

2.（2023上•河北沧州•高一统考期中）若幕函数“尤）=（疗-9加+19）尤”1在（0,+8）上单调递增，则实数

m=

3.（2023•全国•高三专题练习）已知累函数〃x）=（2加+根-2产后在（0,+向上是增函数

⑴求〃尤）的解析式；

⑵若/求实数。的取值范围.

4.（2023上•湖南长沙•高一长沙一中校考期中）己知事函数"对=（2/-根-2）11在定义域内单调递增.

⑴求〃尤）的解析式；

（2）求关于x的不等式〃x+l）<八尤2-2尤+3）的解集.

高频考点五：幕函数的奇偶性

典型例题

例题1.（2024•全国•高一假期作业），鼎函数〃尤）=（苏+加-1卜.在（。,+8）上为增函数"是"函数

g（x）=2'-M.2T为奇函数”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

例题2.（2024上•上海虹口•高一统考期末）设ae>2,若毫函数y=/的图像关于>轴对称，

且在区间（。,+8）上是严格增函数，则实数.

练透核心考点

1.（多选）（2024上•广东深圳•高一统考期末）已知函数/（x）=（2机-疗）/"为幕函数，则下列结论正确

的为（）

A.772=1B./（X）为偶函数

c./（X）为单调递增函数D.“X）的值域为［。,+功

2.(2024上•福建南平•高一统考期末)已知暴函数/(%)=(m2-3m+l)xM-2.若/(x)是奇函数,则机的值为.

高频考点六：二次函数

角度1：二次函数值域问题

典型例题

例题L(2024上•江西•高一校联考期末)已知函数/(x)=f-2x+3,则/(尤)在区间[0,4]的值域为()

A.[3,6]B.[2,6]

C.[2,11]D.[3,11]

例题2.(2024上•河南新乡•高一统考期末)已知函数“X)满足log3〃x)=如，且"X)的图象经过点(1,3).

(1)求“X)的解析式；

(2)求函数g(力="(x)f—4/(x)+5在上的值域.

角度2：求二次函数解析式

典型例题

例题1.(2024・全国•高三专题练习)已知二次函数尸加+版+c的图象过点(0,0),(5,0),且最小值为一亍.

①求函数的解析式；

例题2.(2024上•青海西宁•高一统考期末)设/•(x)=m？+7a+6,已知函数过点(1,3),且函数的对称轴

为x=2.

⑴求函数的表达式；

(2)若xe[-L,3],函数的最大值为最小值为N,求M+N的值.

角度3：由二次函数单调性(区间)求参数

典型例题

例题1.（2024下•云南红河・高一蒙自一中校考开学考试）已知二次函数>=2以+1在区间（2,3）内是单

调函数，则实数。的取值范围是（）

A.（-co,2]u[3,+oo）B.[2,3]

C.（^o,-3]u[-2,+oo）D.[-3,-2]

例题2.（2024上•四川宜宾•高一统考期末）已知事函数/（x）=（疗-3相+3卜的为偶函数，若函数

丫=〃司-2（”1）无在区间（-1,1）上为单调函数，则实数a的取值范围为（）

A.（-<»,0]B.[2,+co）C.[0,2]D.（-<»,0]kJ[2,+oo）

角度4：根据二次函数最值（值域）求参数

典型例题

例题1.（2024上•广东中山•高一统考期末）已知函数/（x）=x2-4x+5在[见”]上的值域是口,10],贝!J"f”的

最大值是（）

A.3B.6C.4D.8

例题2.（2024上•江西九江•高一江西省庐山市第一中学校考期末）设二次函数/（司=办2-2彳+°（“€11）的

值域是[0,+8）,则■+工的最小值是.

ca

角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题

典型例题

例题1.（2023上•北京•高一北京市第十二中学校考期中）已