幂函数与二次函数（4题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题05嘉函数与二次函数4题型分类

彩题如工总

题型4：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题题型1:募函数的定义及其图像

专题05募函数与二次函数

4题型分类

题型：二次方程的实根分布及条件题型：幕函数性质的综合应用

37V2

彩先正宝库

1、幕函数的定义

一般地，y=x"(aeR)(。为有理数)的函数，即以底数为自变量，暴为因变量，指数为常数的函数称为幕

函数.

2、幕函数的特征：同时满足一下三个条件才是幕函数

①r的系数为1;②/的底数是自变量；③指数为常数.

(3)幕函数的图象和性质

3、常见的幕函数图像及性质:

23二/

函数y=xy=xy=xy=%2y

y

V1VkV

L

图象

7p7V0X

定义

RRR{x|x>0]{九|尤w0}

域

值域R{yly"}R3”。}3"。}

奇偶

奇偶奇非奇非偶奇

性

单调在R上单调在(-00,0)上单调递减，在在R上单调在［0,+00)上单在(-00,0)和(0,+00)

性递增(0,+8)上单调递增递增调递增上单调递减

公共

(1,1)

点

4、二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：/(x)=ax2+bx+c{a0)；

(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a^0)；其中，(利,力)为抛物线顶点坐标，工=机为对称轴方程.

(3)零点式：f(x)=a(x-%；)(x-x2Xa^0),其中，占,三是抛物线与头轴交点的横坐标.

5、二次函数的图像

h

二次函数/。)=62+法+式。*0)的图像是一条抛物线，对称轴方程为了=-9,顶点坐标为

2a

b4ac-b2

(1)单调性与最值

①当4>0时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(-叫-白］上递减，在［-丁,+8)上递增，当X=-二时,

2a2a2a

AAh

②当a<0时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(-8,-二］上递增，在［-丁,+s)上递减，当彳=-丁时,

2a2a2a

4ac-b2

fM

4a

V

(2)与％轴相交的弦长

当A=〃2一4〃°>0时，二次函数/(%)=依2+bx+c(QWO)的图像与X轴有两个交点加\(%,0)和加2(电,0),

I|=|石—々|~](再+々)2-43%2=~~~•

'\a\

6、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

对二次函数人/二^^+云+汽〃。。)，当a>0时，/(%)在区间［p,q］上的最大值是V,最小值是加，令

h

(1)若-丁4p,^\m=f(p),M=f(q)；

2a

bb

(2)右p<-不<尤。,贝！l〃z=/(-丁),M=/(q);

2a2a

hb

(3)^x<--<q,贝!|加=/(-丁),M=/(p)；

02a2a

b

(4)右一丁Ng,则>=/(q),V=/(p).

2a

彩”秘籍

(一

幕函数的定义及其图像

1、基函数y=x"(aeR)在第一象限内图象的画法如下：

①当。<0时，其图象可类似y=。画出；

②当0<0<1时，其图象可类似y=?画出；

③当”>1时，其图象可类似y=V画出.

题型1:零函数的定义及其图像

1-1.（2024•江西•模拟预测）已知累函数/的图象过点（2,8）,则加+1=（）

A.0B.2C.4D.5

【答案】C

【分析】根据幕函数的形式及过定点即可求解.

【详解】解：因为/（X）=ga为幕函数

所以=1

又/（%）=mxa的图象过点（2,8）

即8=2。

解得a=3

所以〃?+<z=4

故选：C.

12（2024高三.河北•学业考试）已知事函数y=的图象过点e,2向，则f（9）的值为（）

A.2B.3C.4D.9

【答案】B

【分析】设幕函数为/（力=/，代入点计算得到a=g，计算得到答案.

【详解】设幕函数为〃x）=x",图象过点卜,20）,故/⑻=8"=2应，故”;，

/（%）=人,/（9）=A/9=3.

故选：B

1-3.（2024高一下•湖北宜昌•期中）己知函数/（x）=log„（3-x）+^（G>0且awl）的图象经过定点A,若

募函数y=g（x）的图象也经过该点，贝Uggj=.

【答案】4

【分析】根据对数型函数的性质，结合幕函数的定义进行求解即可.

【详解】因为〃2）=：,所以A（2,；）,设幕函数y=g（x）=xj

因为幕函数y=g(x)的图象经过42,；),

所以2"=[na=—2ng(x)=;T2,

4

因止匕g(；)=((r2=4,

故答案为：4

1-4.(2024高一.全国•课后作业)已知幕函数J(p,qwZ且。应互质)的图象关于y轴对称，如图所示,

y-x

贝IJ()

A.p,4均为奇数，且"＞。

B.q为偶数，0为奇数，且坦＜。

q

C.4为奇数，P为偶数,且/＞。

D.q为奇数,p为偶数，且“＜0

q

【答案】D

【分析】根据函数的单调性可判断出“＜。；根据函数的奇偶性及。，q互质可判断出。为偶数，q为奇数.

q

【详解】因为函数、的定义域为(-*0)U(0,+8),且在(0,+8)上单调递减，

所以“＜0,

q

因为函数v,3的图象关于y轴对称，

所以函数V—/为偶函数，即P为偶数，

又p、q互质，所以g为奇数，

所以选项D正确，

故选：D.

1-5.（2024高一上•陕西西安•期中）幕函数y=x"中。的取值集合C是1-1,0,；,123：的子集，当幕函数的值

域与定义域相同时，集合。为（）

A.卜l,0,gB,C."川D.m,2,31

【答案】C

【分析】分别求出各嘉函数的定义域和值域，得到答案.

【详解】当a=-l时，＞=工7定义域和值域均为（-。,0）17（0,+«））,符合题意；

a=0时，＞=》。定义域为（-8,0）1；（0,+05）,值域为{1},故不合题意；

时，y=«定义域为［0,+“），值域为［0,+“），符合题意；

。=1时，y=x定义域与值域均为R,符合题意；

a=2时，y=Y定义域为R,值域为［0,+8）,不符合题意；

。=3时，y=d定义域与值域均为R,符合题意.

故选：C

彩能甄淞籍U

塞函数性质的综合应用

函

i

2-1

y=兀y=xy=y=x

数

y

图VVV

TVV0X

象

定

义RRR{x|x>0}{%|xw0}

域

值

R{yl?>o)R{yly>0}3"。}

域

奇

偶奇偶奇非奇非偶奇

性

单

在R上单调在（YO,0）上单调递减，在在R上单调在［0,+⑹上单在（ro,0）和（0,+oo）

调

递增（0,+8）上单调递增递增调递增上单调递减

性

公

共(1,1)

点

题型2:森函数性质的综合应用

2-1.（2024高一上•上海杨浦•期末）已知a-g,g,1,2,31，若塞函数=奇函数，且在（0,+。）

上为严格减函数，则。=_______.

【答案】-1

【分析】根据幕函数=在（0,+“）上为严格减函数，可得a<0,再由塞函数〃力=/奇函数即可得

答案.

【详解】解：因为事函数〃尤）=/在（。,+e）上为严格减函数，

所以a<0,

所以ae,

又因为幕函数〃x）=x“奇函数，且ae卜2,-1,-3卜

所以。=一1,

故答案为：-1

2-2.（2024高三上.宁夏固原•期中）已知函数/（元）=（苏-2加-2）廿-2是哥函数，且在（0,+向上递减，则实

数机=（）

A.-1B.-1或3C.3D.2

【答案】A

【分析】由幕函数定义以及性质即可求出加.

【详解】因为f（x）=（〃，-2加-2）“'"-2是幕函数，所以/_筋-2=1,解得m=3或〃?=-1,又因为Ax）在

（0,+00）上单调递减，贝|加=-1.

故选：A

2-3.（2024•海南•模拟预测）已知〃同=（川+^-5）/为幕函数，则（）.

A.”力在（-8,0）上单调递增B./（X）在（-/⑼上单调递减

C.〃x）在（0,+“）上单调递增D./（力在（。,+8）上单调递减

【答案】B

【分析】首先根据基函数的定义求出参数机的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.

【详解】因为〃x）=（加2+帆-5卜’"是募函数，所以加+根-5=1,解得m=2或%=-3,

所以〃力=/或/（彳）=/,

对于“X）=d,函数在（0,+8）上单调递增，在（-8,0）上单调递减；

对于〃力=/，函数在（0,+8）上单调递减，且为奇函数，故在（-8,0）上单调递减；

故只有B选项“『（X）在（-8,0）上单调递减”符合这两个函数的性质.

故选：B

2

2-4.（2024・江苏）已知y=Ax）是奇函数，当无K）时，〃H=必，则加8）的值是—.

【答案】-4

【分析】先求”8）,再根据奇函数求/（-8）

【详解】/（8）=「=4,因为AM为奇函数，所以/（-8）=-/（8）=-4

故答案为：-4

【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

2-5.（2024高三•全国•课后作业）已知累函数=（机为正整数）的图像关于了轴对称，且在（0,+8）

上是严格减函数，求满足g+1胃＞（3-2ar的实数°的取值范围.

【答案】mui.+H

【分析】根据函数为嘉函数以及函数的性质，可确定参数机的取值，结合塞函数>=尤4的单调性，分类讨

论求解不等式，可得答案.

【详解】因为函数“X）在（o,+8）上是严格减函数，所以川-23<0,解得T〈根<3.

由加为正整数，则机=1或m=2,

又函数了（%）的图像关于y轴对称，得〃%）是偶函数，

而当"7=2时，22-2X2-3=-3,为奇函数，不符题意，

当机=1时，,一2xl-3=-4,〃％）=一为偶函数，于是“2=1.

因为y=X1为奇函数，在（-8,0）与（0,+8）上均为严格减函数，

所以（〃+1户〉（3-2〃户等价于〃+1<3-2々<0或3-2々>々+1>0或&+1>0>3-2々,

解得一l<a<g或a>[，即ae[l，|Ju1|，+0Oj.

彩偏题祕籍（二）

二次方程依2+法+。=0（4工。）的实根分布及条件

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

b

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴尤=-=与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.

2a

题型3:二次方程的实根分布及条件

3-1.（2024高三•全国•阶段练习）方程/+。九-2）》+5-机=0的一根在区间（2,3）内，另一根在区间（3,4）内,

则加的取值范围是（）

A.（-5,-4）B.C.D.（-5,-2）

【答案】C

【分析】令/（x）=/+（租-2）x+5-〃?，由二次函数根的分布性质有/（2）>0,/（3）<0）,/（4）>0,求得m

的取值范围.

【详解】令/（x）=/+（m-2）x+5-机，由二次函数根的分布性质，若一根在区间（2,3）内，

另一根在区间（3,4）内，

/(2)>04+2(m-2)+5-m>0

只需1/(3)<0,即<9+3(加一2)+5-机<0,

/(4)>0[16+4(机—2)+5—机>0

解不等式组可得-1<m<-4,即加的取值范围为1-了,-4

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数根的分布性质，属于中档题.

3-2.(2024高三•全国・专题练习)关于x的方程加+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根玉,三，且

%<1<%，那么。的取值范围是()

22

C.a<—D.---<a<0

711

【答案】D

【分析】说明a=0时，不合题意，从而将依2+(。+2)苫+9。=0化为/+(1+1)了+9=0,令

y=x2+\^+^x+9,结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.

【详解】当a=0时，办之+(a+2)x+9a=。即为2九=0,不符合题意；

故aw0,ar2+(a+2)%+9〃=0即为炉+11+2卜+9=0,

令y=%2+[i+—卜+9,

由于关于工的方程办2+(〃+2卜+9。=0有两个不相等的实数根为9，且玉<1<尤2,

贝IJ丁=冰2+(〃+2)1+9〃与1轴有两个交点，且分布在1的两侧，

故尤=1时，yvO,即1+11H—|xl+9<0,解得一<—11,故---<a<0,

Vaja11

故选：D

3-3.(2024高一.江苏.课后作业)设。为实数，若方程必_2狈+々=0在区间(TD上有两个不相等的实数解,

则〃的取值范围是().

A.(-oo,0)u(l,+oo)B.(-1,0)

C.D・(一

【答案】C

【分析】根据方程根的分布结合二次函数的图象列出不等式组求解即可.

［详解］令g（x）=尤？-2ax+a,

由方程Y-2依+a=0在区间（T，D上有两个不相等的实数解可得

a<0a>l

A=4。-4。>0

—1<Q<1—1<4<1

—1<Q<1

V,即・1或，1

g(-l)>0a>——a>——

33

方⑴〉。a<\a<\

解得-耳＜a＜。，

故选：C

彩僻题淞籍

（四）

二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间”问题

（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题一一动轴定区间和定

轴动区间，解法是抓住"三点一轴"，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴

与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿

过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.

（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.

题型4：二次函数"动轴定区间”、“定轴动区间”问题

4-1.（2024高一上.海南•期中）己知g（x）=d-2"+1在区间［1,3］上的值域为［0,4］.

⑴求实数。的值；

（2）若不等式8（2，）-h4工20当xe［l,+e）上恒成立，求实数人的取值范围.

【答案】⑴。=1

⑵（,-8,ar

【分析】（1）根据区间［1,3］讨论g（%）的对称轴/=〃的位置，满足值域是［0,4］,求出〃；

(2)运用换元法构造函数根据单调性求解.

【详解】(1)函数g(x)是开口向上，对称轴为x=〃的二次函数，根据g(x)的图像有：

当a<l时，g(无)在xe［l,3］上的最小值g(x)1nhi=g(l)=2-2a=0,a=l,

不符合a<1,舍；

当时，g(x)在［1,3］上的最小值=g(a)=-a2+l=0,a=l或a=-l(舍)，

g(l)=0,g(3)=4,.•.g(x)max=g(3)=4,满足题意；

当a>3时，g(x)在［1,3］上的最小值g(x)而。=g⑶=10-6a=0,a=g<3(舍)，

.".a=\；

(2)由(1),g(x)=x2-2x+l,不等式为g(2')-公4'=4'-2・2'+1-4»4*2。，

即%41-2.2-*+4-*,令，=/■，则人(0,；,k<t2-2t+l在人(0,^时恒成立，

令/⑺=产-2"1,是对称轴为/=1开口向上的抛物线，在时单调递减，

二/Wmm，二£,即人的取值范围是卜巩力；

综上，0=1,逅(-«>,：.

4-2.(2024•浙江)设函数/(乃二/+公+氏①1金尺).

2

(1)当6=幺+1时，求函数/⑴在［-1,1上的最小值g(a)的表达式；

4

(2)已知函数/(九)在［-M］上存在零点，0<b-2aWl,求b的取值范围.

〃2

----Fa+2,〃W—2,

4

【答案】(1)g(a)={1,-2<a<2,；(2)「3,9-46］

a2

-----Q+2,Q〉2

4

【详解】(1)将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定区间上

的最小值，并用分段函数的形式进行表示；(2)设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系,

通过分类讨论，分别确定参数b的取值情况，利用并集原理得到参数6的取值范围.

2

试题解析：⑴当b=?+l时，/(x)=(^+j)2+l,故其对称轴为X=g

2

当。(一2时，g(a)=/(I)=一+a+2.

当一2<QW2时，g(a)=/(—1)=1.

2

当a>2时，g(a)=/(-I)=》一a+2.

---Fa+2,aW—2,

4

综上，g⑷={l,-2<a<2,

----a+2,〃〉2

4

(2)设型为方程/(%)=。的解，且—ic,贝ij{S+'一

-2tl-2t

由于OWb—2aWl,因止匕---WsW-----(―1W/W1).

/+2%+2

-2t2t-2产

当0</<1时，

t+2t+2

7—Of2it—?t2r-

由于—和—二«^Lv9—4正，

3t+23t+2

所以-2«。49-46

3

t_2产_9/2

当一IWtWO时，^-<b<—,

%+2/+2

_?/2t—t2

由于-24*<0和一34^^<0,所以一3W6<0.

t+2t+2

综上可知，b的取值范围是［-3,9-4«］.

考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.

4-3.(2024高一上•海南•期末)已知函数g(x)=ax2-2ar+l+b(。20,6>0)在区间［1,2］上有最大值2和最小

值L

⑴求a,b的值；

⑵不等式g(可-丘之。在xe［1,2］上恒成立，求实数k的取值范围；

⑶若〃力=迎¥且方程川21|)+f-3=0有三个不同的实数解，求实数f的取值范围.

\lI7

［a=1

【答案】⑴，

［b=l

(2)18,20—2］；

⑶(。，+8).

【分析】(1)根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出；

(2)由已知可转化为k+2<匕些=x+2在xe[1,2]上恒成立.根据基本不等式即可求出实数k的取值范围；

XX

(3)由已知可推得|2工-『一(2+3可2「1|+(1+2。=0有三个不同的实数解.令根=忙-1|,作出m=|2。1|的

函数图象，可得力-(2+3/)〃?+(1+2/)=0.结合函数图象，该方程一个根大于0小于1,一个根大于等于1.

令//(〃?)=苏-(2+3/)〃?+(l+2f),根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数f的取值

范围.

【详解】(1)由己知可得g(x)=a(x—l)2+l+人一即

/、{g(l}=l+b—a=1ftz=1

当a>°时,g("在回上为增函数,所以廿2)…1+j=2,解得kl；

/、⑴

当〃<0时，g⑺在[闾上为减函数，所以[乜g2="1+Z?-_Q=21，解得[〈a=-01-

[a=l

由于6>0，所以I.

3=1

(2)由(1)矢口g(x)=f—2x+2,

所以2x+2—底20在1£口,2]上，恒成立，即(左+2)]«炉+2,

因为xe[l,2],所以上+24寸^在xe[l,2]上恒成立，

X

即上+24反土2=尤+2在X€[1,2]上恒成立，

X^+->2A/2,当且仅当天=应时取等号.

X

所以％+2V2及，即发V2立一2.

所以求实数人的范围为卜-2行-2].

(3)方程川2-l|)+rp^-3=0化为|2-1|+薄|一(2+")=。，

化为,-『-(2+342,-1|+(1+2。=0,且归-1卜0.

令机,则方程化为裙―(2+3/)〃2+(1+2。=0.

作出加的函数图象

所以苏-(2+3。〃?+(1+2。=0有两个根叫,m2,

且一个根大于0小于1,一个根大于等于L

设0<叫<1<m2,

记力(m)=病—(2+3%)根+(1+2%),

根据二次函数的图象与性质可得

/z（0）=l+2f>0

h（0）=l+2t>0,

/?（1）=1-（2+3r）+1+2/=-r<0，或'//（1）=-;=0

八2+3r,

0<-------<1

.2

解得”0.

所以实数r的取值范围为(0,+8).

【点睛】关键点点睛：根据构成复合函数的函数特性，即可得出零点的分布情况.

4-4.(2024・浙江)己知函数/(x)=/+ax+b(a,beR),记是在区间［T,l］上的最大值.

(1)证明：当时22时,M(a,b)>2；

(2)当。，6满足M(a,6)V2,求同+码的最大值.

【答案】(1)详见解析；(2)3.

【详解】(1)分析题意可知“无)在IT」］上单调，从而可知

M(a,Z?)=max{|/(l)|,|/(-l)|),分类讨论。的取值范围即可求解.；(2)分析题意可知

....a+b,ab>0।...

\a\+\b\={,八八，再由“(。力)<2可得1+。+.=|/(1)<2,

a—b,ab<u

\L-a+b\^f(-l)\<2,即可得证.

2

试题解析：(1)由/(x)=(x+y+b-.,得对称轴为直线尤=-晟，由同22,得

-|>1,故/⑺在上单调，.•.M(a,6)=max{|"l)|,|/(T)|},当时，由

/(l)-/(-l)=2a>4,^max{/(l),/(-l)}>2,即向N2,当。《一2时，由

/(-1)-/(1)=-2«>4,^max{y(-l),-y(l)}>2,即"(a,力22,综上,当时D2时,

M(a,b)>2.(2)由“(。,。)42得|1+口+臼=|/(1)归2,|l-a+&|=|/(-l)|<2,故,+)区3,卜-。区3,由

问+同={；］：'：：；［得M+网W3,当a=2,6=一1时，同+网=3,且,+2了-1|在［-1,1］上的最大值为2,

即囚(2,-1)=2,.•.同+同的最大值为3..

考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.

4-5.(2024高一上•浙江•阶段练习)已知函数/'(尤)=-尤以-4+1.

(1)当a=2时，解方程〃彳)=0；

(2)当ae［0,5］时，记函数y=/(x)在xe［l,4］上的最大值为g(a),求g(a)的最小值.

【答案】⑴1+0和1

⑵-3

【分析】(1)分2与尤<2两种情况，结合二次方程求解即可；

(2)根据分段函数中的二次函数性质，分析可得最大值在/(1),/(4),/(a)中取得，再根据区间端点与对称

轴的关系分情况讨论，数形结合分析函数的最大值，进而求得g(a)的解析式，从而得到g(a)最小值即可.

【详解】(1)当a=2时，令—2|+1=0.

当x22时，一x(x—2)+l=0,解得：x=l+应

当x<2时，—x(2—x)+l=O,解得：x=l

故方程的解为：1+及和1;

-X2+ax+l,x>a

(2)/(%)=其中/'(O)=/(a)=l，

x2-ax+\,x<a

因为y=-x?+ax+l,x\a对称轴为苫,开口向下；y=Y-ax+l,x<a对称轴为工=］,开口向上，于是

最大值在了⑴,〃4),/(a)中取得.

当OWaWl,即时，f(x)在［1,4］上单调递减..•./(%=〃1)=%

当l<aV2,即:〈■|41时，〃x)在［1间上单调递增，在［a，4］上单调递减，.•・/(X)1mx=〃a)=l；

当2<a<4,即1<|«2时，〃尤)在上单调递减，|,a上单调递增，在［a,4］上单调递减，

••"⑴皿=max{/⑴,〃a)}=max{2-a,1}=1；

当4<aW5,即时，在15上单调递减，在*4上单调递增，

ZWmax=max{/⑴，/(4)}=max{2-a,17-4a)=17-4a

a,Q<a<\

g(〃)=<<4

17-4tz,4<a<5

，g3)mta=g(5)=-3

B媒习与稷升

一、单选题

1.(2024高一•全国•假期作业)关于x的方程/+2(R2-1)X+W?-7〃=0有两个实数根a,"，且"+42=12,

那么m的值为()

A.-1B.-4C.T或1D.-1或4

【答案】A

【分析】a、F=（a+蔺-2a-/3,利用韦达定理可得答案.

【详解】••・关于x的方程无2+2（〃7—1）龙+〃？—m=0有两个实数根，

A=[2（根一1）丁-4x1x（?/?—〃?）=—4m+4..O,

解得：朗,1,

,•・关于x的方程d+2（/n-l）x+加一加=0有两个实数根a,B,

:.a+/3=—2（??!—1）,a-（5=nr-m,

«2+/72=（cr+/?）2-2a-/?=[-2（m-l）T_2（”/-〃?）=12,即m2-3m-4=0，

解得：机=-1或机=4（舍去）.

故选：A.

2.（2024.山东）关于函数y=—V+2x,以下表达错误的选项是（）

A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线x=l

C.函数的单调递减区间是D.函数图象过点（2,0）

【答案】C

【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.

【详解】y=-X?+2x=+1,最大值是1,A正确；

对称轴是直线x=l,B正确；

单调递减区间是1，内）,故C错误；

令x=2的'=-22+2x2=0,故（2,0）在函数图象上，故D正确，

故选：C

3.（2024•浙江）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值

A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关

【答案】B

2

【详解】因为最值在"0）=6"⑴=l+a+bj（4）=6中取，所以最值之差一定与6无关，选B.

【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系,

结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在

区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区

间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值.

4=/(-无)，则函数g(x)的图象大致是()

【分析】由g(x)=/(-x)可知g(x)图像与“力的图像关于了轴对称，由“力的图像即可得出结果.

【详解】因为g(x)=〃-X),所以g(x)图像与〃尤)的图像关于y轴对称,

由广⑺解析式，作出“X)的图像如图

从而可得g(元)图像为B选项.

故选：B.

5.(2024・湖南娄底•模拟预测)已知函数=在区间上单调递增，则实数a的取值范围

是()

A.(―8,—2)u(0,3)B.(―oo,—2)D(0,3]

C.(-oo,—2)u(0,10)D.(-00,-2)u(0,10]

【答案】B

【分析】将函数在区间［TO,-3］上单调递增，转化为。(2+为>0旦30+以20在区间［-10,-3］上恒成立

可求解.

【详解】因为函数〃x)=在区间［TO,-3］上单调递增,

所以a(2+a)>0且30+办之0在区间上恒成立，

〃(2+〃)>0

所以30—10〃之0,解得av—2或0<。<3.

30-3«>0

故选：B

6.(2024.海南.模拟预测)已知函数>=工"，y=bx,y=log,尤的图象如图所示，贝I］()

A.ea<ec<e4B.efc<ea<ec

C.ea<eb<ecD.eb<ec<ea

【答案】C

【分析】由函数图象可确定a力,c大小关系，结合指数函数单调性可得结果.

【详解】由图象可知：a<0<b<l<c,ea<eb<ec.

故选：C.

-X2-4X,X>0若八2一/)>4),则实数。的取

7.(2024高一上.宁夏吴忠•阶段练习)已知函数f(x)=

x-4x,x<0、'

值范围是()

A.1)0(2,+°°)B.(-1,2)C.(—2,1)D.-2)U(l,+°°)

【答案】D

【分析】结合二次函数和分段函数性质，研究给定函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.

【详解】因y=-Y-4x为开口向下的二次函数，对称轴为x=-2,故函数在［0,+°0)上单调递减；

y=Y-4x为开口向上的二次函数，对称轴为x=2,故函数在(-8,0)上单调递减，且"0)=0,因此函数

I—九2—Ayx〉0/、

/(%)=j24Q在R上单调递减，则/(2—〃>/(a)<=>2—/<a—2>0,即(a+2)(a—1)〉0,

解得或av—2,

所以实数。的取值范围是（f,-2）U（1,y）0

故选：D

b

【分析】由二次函数的性质得该函数的对称轴不能为y轴，当开口向上时，对称轴x=-=<o,进而得该

2a

函数图象，进而结合函数图象过坐标原点且开口向下即可得答案.

【详解】由题知力>。，awO,

所以二次函数y=a/+法+片_1的图象不关于y轴对称，故排除第一、二个函数图象，

b

当。>0时，该二次函数的对称轴为x=-=<0,故第四个图象也不满足题意，

2a

b

当〃<0时，该二次函数的对称轴为％=-h>。，开口向下，故第三个函数图象满足题意.

此时函数图象过坐标原点，故"—1=0,解得。=±1,

由于〃<0,故〃=一1.

故选：B

x2-2av+9,x<l,

9.（2024高三下.河南新乡.开学考试）已知函数/（x）=2若〃x）的最小值为6,则实数a的

2尤H-------，尤>1,

1x-1

取值范围是（）

A.[1,2]B.[-73,3]C.[-73,2]D.[-2,2]

【答案】C

【分析】由基本不等式求得了（X）在x>l时的最小值是6,因此xWl时函数的最小值不小于6,根据二次函数

性质分类讨论求解.

【详解】因为当x>l时，2x+-2-=2（x-l）+/-+222j2（x-l）x?-+2=6,当且仅当尤=2时，等号成

立，

所以当%>1时，/（工焉=6,当%K1时，/（元）的最小值大于或等于6.

当时，/（%）在（3用上单调递减，则/⑴=10-2。.

fl0-26z>6

由｛―得

[Q21

2

当av1时，f（x）min=f（a）=-a+9.

―/+9>6「

由〈11#-V3<a<\-

a<\

综合可得ae[一如,2].

故选：C.

10.（2024•全国•模拟预测）已知x,jeR,满足（》-1）皿3+》=|,（2y+l）2023+2y=-|,则x+2y=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】令xeR,易得/（x）为奇函数且为增函数，再由（X-1）2侬+》=：和

（2y+l）2°23+2y=-1,变形得到=〃2y+l）=~1求解.

【详解】解：令了（力=炉侬+x,xeR,则=侬+（T）=—〃x）,

•••/（X）为奇函数.

••.（—r+W，

（^-1）2023+（^-1）=|•

XV（2y+l）2023+2j=-|,

A（2y+l）2°23+（2y+l）=-|,

•••仆-武，/（2y+l）=-1.

又「/(x)在R上单调递增，

x—1+2y+1—0,即x+2^y—0.

故选：B.

11.(2024•贵州毕节二模)已知则实数。的取值范围为()

A.gl]B.卜(1,+功

c加D.陷

【答案】D

【分析】利用指数函数，系函数，对数函数的单调性即可解出。的范围.

【详解】=根据指数函数y=在R上单调递减得a>0,

J<1=1L根据幕函数片二在[0,+动上单调递增知0<a<l,贝

log":<1=log.。，根据对数函数尸log"%(0<a<1)在(0,+8)上单调递减得0<a<1,

综上0<a<—.

4

故选：D.

12.(2024高三・全国•专题练习)已知a,b,cWR,函数/。)="2+云+°.若/(o)=/(4)>f(1),则(

A.a>0,4a+6=0B.a<0,4a+6=0

C.a>0,2a+b=0D.a<Q,2a+b=0

【答案】A

【分析】由已知得了(x)的图象的对称轴为x=2且/(无)先减后增，可得选项.

b

【详解】由/(。)=/(4),得/(x)=ar2+6尤+c图象的对称轴为x=——=2,.,.4a+b=0,

2a

又/(0)y(1),/(4)>f(1),，/(x)先减后增，于是a>0,

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的对称轴，单调性，属于基础题.

13.(2024•浙江)已知函数f(x)=x2+bx,则“b