解答题：空间向量与立体几何（7大题型）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

解答题：空间向量与立体几何

题型4空间点、线、面间的距离求解

题型1空间异面直线夹角的求解

题型5空间几何体的体积求解

空间向量与

题型2空间直线与平面夹角的求解

题型6空间几何体的翻折问题

题型3空间平面与平面夹角的求解

题型7空间动点存在性问题的探究

题型一：空间异面直线夹角的求解

龙塞》大题典例

（23-24高三上•河北衡水・月考）如图，在四棱锥P-ABC。中，24,平面ABCD,底面ABC。是平行四边

（1）求证：3D工平面PAC；

（2）若APAB是等腰三角形，求异面直线尸3与AC所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）如.

4

【解析】（1）因为底面A5C©是平行四边形，且△河是等边三角形，

所以四边形A2CD是菱形，则有BOLAC,

又上4,平面AB。，BDu平面ABCD,所以B4_LBD,

又PAp|AC=A,E4u平面PAC,ACu平面PAC,所以2平面PAC；

（2）设ACCW=O,

是等腰三角形，

PA=AB^2,AO=OC=y/3,

以0为坐标原点，射线OB,OC分别为X轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系。-孙Z,

如图，

则网0,-石,2）,A（0,-6,0）,B（l,0,0）,C（0,V3,0）,

所以闻=（1,万一2）,AC=（0,273,0）,

设尸B与AC所成角为6,

画困="。+百X2A+（-2）X0|=6=也

所以cose一同网J12+阴2+（_2『xg（2南+022^X2且4

即PB与AC所成角的余弦值为国.

4

龙A期希指导.

1、求异面直线所成角一般步骤：

（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线.

（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角.

（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

（4）取舍：因为异面直线所成角。的取值范围是10,叁，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异

面直线所成的角.

2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

（1）直接平移法（可利用图中已有的平行线）；

（2）中位线平移法；

（3）补形平移法（在己知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.

3、异面直线所成角：若雇％分别为直线A/2的方向向量，。为直线的夹角，则

cos6=cos<"I，%>1=

龙麓》变式训练

1.(24-25高三上•江西南昌•开学考试)如图，圆锥尸。的轴截面是边长为4的等边三角形，C是02的

2兀

中点，。是底面圆周上一*点，DOC—

(1)求。C的值;

(2)求异面直线PA与DC所成角的余弦值.

【答案】⑴历喈

2兀

【解析】（1）AOCD中，OD=2,OC=1,ZDOC=-

根据余弦定理，DC=OD2+OC2-2OD-OC-cosy=>/7.

(2)如图，以点。为原点，为y轴和z轴,

过点。作QCO3为x轴，建立空间直角坐标系,

尸（0,0,2—）,A（0,-2,0）,C（0,l,0）,D（V3,-l,0）,

PA=（0,-2,-2>/3）,DC=（->/3,2,0）,

一7

所以异面直线以与DC所成角的余弦值为史.

7

2.（24-25高三上•上海•期中）如图，在直三棱柱ABC-A瓦G中，AB1AC,AB=AC=AAi=l.

（2）求直线42与AG所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）；

【解析】（1）由题知明，面ABC,又ABu面ABC,所以AAJAB,

又AB1AC,A41nAe=A,9,ACu面ACC0,所以AB,面AC£A，

又4Cu面ACGA，所以ABLA。，

又AC=AA=1,所以四边形ACGA是正方形，得到ACLAG，

又ABcAG=A,AB,AC,u面ABC」所以AC,平面ABC「

（2）如图，建立空间直角坐标系，因为A5=AC=例=1,

则A(0,0,1),A(0,0,0),5(1,0,0),G(0,1,1),

uuu_____1k

得到A3=(l,0,T),AQ=(0,1,1),

I-.-.IAC]11

设直线AB与AG所成角为0,

题型二：空间直线与平面夹角的求解

大题典例

（24-25高三上・江苏南京•期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD，平面ABCD,PALPD,ABrAD,

PA=PD,AB=2,AD—8，AC—CD—5,

（1）求证：平面PCD_L平面

（2）求直线尸8与平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；Q）手

【解析】（1）因为平面〃LD，平面ABC。，且平面RtDc平面=

且M_LAD,ABu平面ABCD,

所以AB_L平面PAD,

因为PDu平面PAD,所以AB_LPD,

又PD1.PA,且PAp|A3=A,PA,ABu平面PAB,

所以RD_L平面上4B,

又PDu平面PAD,所以平面PCDJL平面P4B；

又因为四=尸£>,所以尸OLAD,则4。=尸。=4,

因为AC=CD=5,所以CO2.AD,则。。二办。?..=3,

以O为坐标原点，分别以反，0A,而所在直线为x,y,Z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系。-孙z,

则4（0,4,0）,5（2,4,0）,C（3,0,0）,D（0,-4,0）,P（0,0,4）,

定=（3,0,-4）,丽=（OT,Y）,方=（2,4,T）,

设为=（x,y,z）是平面PCD的一个法向量，

n-PC=0{3x-4z=0

贝叶——，得,“C，

n-PD=0[-4y-4z=0

令z=3,则x=4,y=-3,所以为=（4,一3,3）,

设PB与平面PCD所成的角为

所以PB与平面尸CD所成的角的正弦值为小臣.

51

龙A犀；去揖号.

1、垂线法求线面角（也称直接法）：

（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A,过点A向平面a做垂线，确

定垂足O；

（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面a上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

3、公式法求线面角（也称等体积法）：

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

公式为：sin。=%其中。是斜线与平面所成的角，％是垂线段的长，1是斜线段的长。

方法：已知平面夕内一个多边形的面积为S,它在平面a内的射影图形的面积为S射影，

平面a和平面广所成的二面角的大小为。，贝Deos。=2雪这个方法对于无棱二面角的求解很简便。

4、直线与平面所成角：设）是直线/的方向向量，足是平面a的法向量，直线与平面的夹角为4则

.八|-----In,-n

sin0=cos<%,%>=2.

茏变》变式训练

1.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨・月考）在三棱柱ABC-A4G中，AB,==B1C=5,Afi=4,AC=6,

AB±BC,。为AC中点.

⑴求证：BQ,平面ABC；

（2）求直线B,C,与平面ABB}\所成角的正弦值.

【答案】（D证明见解析；Q）母

【解析】（1）连接80,

因为ABL3C,。为AC中点，所以AD=C£>=B£)=LAC=3,

2

因为A耳=AC=5,所以用。八AC,所以40=^52-32=4,

又BB[=5,所以88；=52=25=32+42=B£>2+CB；,所以用

又BDcAC=D,8D,ACu平面ABC,所以BQ_L平面ABC；

（2）以B为坐标原点，BCBA所在直线为x,y,

过8作DBX的平行线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为ABJ_3C,所以3C=j6?—42=2百，

则5（0,0,0）,A（0,4,0）,4（技2,4）,C（2底0,0）,

则函=（0,4,0）,瓯=（石,2,4）,BC=（2底0,0）,

设平面ABB^的一个法向量为n=（x,y,z）,

ri'BA=4y=0

令x=4括，则y=0,z=-5,

n-BBx=+2y+4z=0

所以平面ABBM的一个法向量为"=（46,0,-5）,

又BC//BG，所以和=交=（2石,0,0）,

设直线BC与平面ABBtAt所成的角为。,

40_4721

则sin0=

帖卜旧I2氐J80+25-21

所以直线4G与平面AB片4所成角的正弦值为勺巨.

2.（24-25高三上•云南大理・月考）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。为平行四边形，侧棱底

L—.2—■

面A2CD,尸1）=。）=2,8。=2近,/81）。=45。.点£是棱尸（7的中点，点尸为棱PB上的一点，且台尸二^^5.

（1）求证：平面尸3cl_L平面PCD；

（2）求直线DC与平面DEF所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）正.

3

【解析】（1）在△3CZ）中，BC2=BD2+CDT-2BDCD-cosZBDC=4,即3c=2,

又BD=20CD=BC=2,则有8c?十⑺？二台。、即台。，。。，

因为PD_L平面ABCD,BCu平面ABCD,所以BD_L3C,

又CDcPD=D,CD,PDu平面PCD,所以BC_L平面尸CD,

因为3Cu平面尸BC,所以平面PBC_L平面PCD

（2）由（1）可知，DA1DC,DA^DP,DCLDP,

故以D为坐标原点，DA,DC,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

X

依题意得，3(2,2,0),C(0,2,0),7)(0,0,0),P(0,0,2),矶0,1,1),

__.9__k

设点厂(a,b,c),由P,F,8三点共线，则有丽丽，

又丽X-c),BP=(-2-2,2),

(a-2,Z?-2,c)=|(-2,-2,2),解得a=；,b=4,c=g,故

设平面£)£下的法向量为记=(%,y,z),=DE=(0,1,1),

224

n-DF=Q—x+—y+—z=0

由＜一，得<333

n-DE=0y+z=0

取平面DEb的一个法向量力=(1,1,T),

设直线DC与平面OE厂所成角为。，则配=(0,2,0),n=(l,l,-l),

所以比•而=0xl+2xl+0x(-l)=2,1明=2,同=逐,

故如6=向值成|=湛=£，

所以直线。C与平面DEP所成角的正弦值为YL

3

题型三：空间平面与平面夹角的求解

(24-25高三上•湖北•期中)如图，球。的半径为R,A,B,C为球面上三点，若三角形ABC为直角三角形,

其中ACL3C.延长AO与球。的表面交于点£).

(1)求证：平面ABC；

(2)若直线DA,DC与平面ABC所成的角分别为:g,试求二面角C-AD-Z?的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）等.

【解析】（1）因为AD是球的直径，所以钻_L8£>,AC，CD.

因为ACLBCCOnBCuC,C£»,8Cu平面BCD,所以AC，平面BCD,

因为BDu平面BCD,所以AC工BD,

因为AFcAC=A,AB,ACu平面ABC,所以班>1平面ABC.

（2）因为直线D4,OC与平面ABC所成的角分别为:《，所以NZMB=；,/DC2=W.

4343

不妨令氏=正，则4£>=26,48=8。=而,8。=0,4。=2,

由题设，易知AC_L8C,AC_L8£>,3C_L3£>,

以C为坐标原点，CB,6所在直线为羽y轴，过点C作2。的平行线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0,2,0）,3（应,O,O）,C（O,O,O）,O（0,O,#）.

所以m=（0,2,0）,前=（&,0,"）,丽=卜0,2,0）,丽=（0,0,n）,

设平面AC£）的法向量为%=（占,％,%），平面ABD法向量为石=（尤2，%*2）,

n,-CA=2y=0一/厂、

由2—2L，取向=一1,得4=6,0,-1,

M1-CD=V2X1+A/6Z1=0、'

,BA.——尤2+2%=0

取力=1得元=（0,1,01

-BD=y[6z2=0

则回R时N=,扇闻=访屈=三72易知sin。=巫.

设二面角C-AD-3的平面角为。,n[l

2

茏龙》舞;去揖号.

1、几何法

（1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于

棱的射线.

（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂

线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角

（3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成

的角就是二面角的平面角。

（4）射影面积法求二面角cosq=

2、向量法：若勺,巧分别为平面名，的法向量，。为平面。，尸的夹角，贝ijcos6=kos<〃],"2>|=

龙麓》变式训练

1.（24-25高三上•福建南平•期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，点8在平面PAD上射影是△R4D的外心,

且BP=J?,PA=PO=点,/4尸。=90。,石是棱上4的中点，且CD_L平面PW.

（1）证明：8E〃平面PCD；

（2）若C£>=1,求二面角A-P3-C的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵

6

【解析】（1）分别取尸的中点为尸。，连接尸0,0民砂，延长DC至。，使得

连接BQ,尸Q,如下图：

P

在中，所为中位线，则E尸〃AD,跖=工4。=。。，

2

在RtAAPD中，由NAP£>=90。，则。为外心，即301平面APZ),

因为CD,平面PAD,所以BO//CD,

因为DQIIOB,DQ=OB,所以OD=BQ,0D〃3Q,

因为EF//BQ,EF=BQ,所以EB//EQ,

因为£B<Z平面尸CD,PQu平面尸CD,所以EB〃平面尸CD.

(2)在中，AP=DP,则POJ_A£),

因为03,平面APD,AD,POu平面AP£),所以OBLPO,OB1AD,

以。为原点，分别以0Ao昆。尸所在的直线为尤,y,z轴，建立空间直角坐标系，如下图:

y

在RIAAPZ）中，AP=DP=近,贝!1AD=<AP。+DP2=2，PO=^AD=1,

在RtZkPOB中，PB=y/5,贝IOB7PB2-PO?=2，

则A（l,0,0）,尸（0,0,l）,5（0,2,0）,C（—1,1,0）,

^AP=（-l,0,l）,AB=（-l,2,0）,CP=（l,-l,l）,CB=（l,lt0）,

为,AP——x+z—0

设平面APB的法向量为为=（x,y,z）,贝叶—.,

n-AB=-x+2y=0

取x=2,则y=l,z=2,所以平面ARB的一个法向量为为=（2,1,2）；

-►

YY].「P—/7—/7-L/°—Q

设平面CPB的法向量为用=（。,4c）,贝IJ一，

m-CB=a+b=0

取a=l,贝iJb=-l,c=-2,所以平面C/归的一个法向量为庆=。,-1,-2）；

设二面角A-PB-C的大小为6,

11|n|-|m|J4+1+4•Jl+1+46

则sin0=V1-cos20=.

2.(24-25高三上•北京・月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为正方形，ABCD,PA=AB,

M为线段尸£)的动点.

(1)若直线尸8〃平面ACM,求证：M为尸。的中点：

(2)求证：平面ABM_L平面PAD

(3)若平面尸AC与平面M4c夹角的余弦值为丑，求兽的值.

3MD

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)2

【解析】(1)证明：如图所示，连接8£),交AC于点。，连接M0,

因为直线尸3〃平面ACM,且平面P8OPI平面ACM=MO,PBu平面尸3£>,

所以PB//MO,

又因为四边形为正方形，所以点。为8。的中点，所以“为尸。的中点.

(2)证明：因为四边形ABCD为正方形，可得

又因为PAL平面ABCD,且ABu平面ABCD,所以AB_LR4,

因为ADcR4=A,且AD,P4u平面PAD,所以A5_L平面PAD,

又因为ABu平面ABM,所以平面ABAf_1_平面PAD.

(3)解：因为四边形ABCD为正方形，且24,平面ABC。，所以AB,AD,AP两两垂直,

以A为坐标原点，以A3,A2AP所在的直线分别为％y,z轴，建立空间直角坐标系，

如图所示,设—=1,可得AQ0,0),3(1,0,0),C(l,1,0),。(0,1,0),尸(0,0,1),

贝局=(1』,。),3?=(0,。,1),丽=(0,1,-1),

^PM=APD=(0,2,-2)(0<2<1),贝U赤=赤+两=而+/1而=(0,；1,1—/1),

n-AC=x+y=0

设平面M4c的法向量为方=(%,y,z),则

n-AM=Ay+(1-A)z=0

令y=l-2,可得x=4T,z=_4,^fl?J,n=(A-l,l-2,-2),

连接3D,由四边形ABC。为正方形，可得3D，AC,

因为PA_L平面ABC。，且3£>u平面A3CD,所以3D_LB1,

又因为ACcPA=A,且ACPAu平面PAC,所以平面PAC,

所以向量前=(-1,1,0)为平面PAC的一个法向量,

2(1-2)解得见二2;或4=2（舍），

V2XV322-42+23

题型四：空间点、线、面间的距离求解

蔻龙》大题典例

（24-25高三上・贵州贵阳•月考）如图，OE是正三角形ABC的一条中位线，AB=2,将VADE沿。E折起,

（1）证明：4A，平面ABC；

（2）若\E1CD求点B到平面EAtD的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）逅

3

【解析】（1）证明：因为AE=：A8，AO=；AC,

所以

又因为A2CAC=A，\B,ACu平面ABC,所以平面ABC.

（2）解：如图，点0为坐标原点，建立空间直角坐标系，

、、

1,O,Ol,B1,V3

则,0,C-1,,0.

E~2

7\2

设A(x,y,z),因为AE=l，A0=3,

x=0,

3

y2+z2

4

\

Jf-z

所以4(0,%2),溟=JI,0.

2

7

因为AE~LCD,所以AE.CD=0=>；+y=0=>y=—,

所以jo,一名？

，4D=

o3

设方=(%,y,Zi)_L平面，

1A/35/6x=0,

——x+——y------z=0n,

AD-m=0,263^6

所以nr,

A石•沅=o1V3A/6N

263_且

z—6'

故比=o,

7

(6)一/

又B1彳,0,OB=i,2'J

V.2J

\OB-M

所以点B到平面的距离为d==

m3

莪龙》期;去揖号.

1、几何法求点面距

（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；

（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；

（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离.

2、向量法求空间距离：

（1）点面距：已知平面。的法向量为］,A是平面a内的任一点，P是平面a外一点，过点P作则平面a

AP-n

的垂线/,交平面a于点。，则点P到平面a的距离为尸。=

H

,lAB-nl

（2）直线。与平面1之间的距图：j=J------1,其中为是平面a的法向量。

1方1

ABH

（3）两平行平面久尸之间的距离：d=JI____._।I,其中五是平面a的法向量。

\n\

蔻龙》变式训练

1.（24-25高三上•广东广州・月考）已知四棱柱ABC。-ABCR中，底面A8CD为梯形，AB//CD,AA1

平面ABCZ）,AD±AB,其中AB=441=2,AD=DC=1.N,M分别是线段与0和线段。，上的动点，

且不=2前，W=ADZ^（O<A<1）.

⑴求证：RN〃平面C瓦M；

⑵若N到平面的距离为空，求AN的长度.

【答案】（1）证明见解析；（2）巫

2

【解析】（1）

因为AA_L平面ABCD,AD,ABu平面ABC。,

所以4A_LAr＞，AA_LA8,又

所以AB,AD,44t两两垂直，

以A为原点，43,4244所在直线分别为龙,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

因为AB=AA=2,AD=DC=1,

则口（0,1,2）,G（1,1,2）,（2,0,2）,C（l,1,0）,£＞（0,1,0）,

所以以瓦=（1,一1,0）,

因为取=九场=2（1,-1,0）,所以N（2+l,—；l+l,2）,

所以万声=（4+1,—40）,

又国=。,-1,2）,M=（0,0,2）,=X⑼=彳（0,0,2）,

所以M（0,1,2/1）,由=（—1,0,24）,

设平面的法向量为为=（x,y,z）,

n-CM=0\x-y+2z=0/、

所以＜即-+2%=。,令z=l,则"=（242X+2,1）,

万・西=0

所以必丽=（242几+2,1＞（4+1,—40）=2；1（/1+1）-；1（2；1+2）=0,

所以1上取,所以RN〃平面

（2）若N到平面C与M的距离为姮，则叵=匕』,

1111\n\

XB^V=（2-1,-2+1,0）,

Jj7|2A2-2A-2A2-22+22+2|

所以答=J~/।,

11V422+4A2+82+4+1

113

整理可得12万—324+13=0,解得4=7或丁（舍去），

26

所以N&q，2）,所以0Mm。=芈.

2.（24-25高三上•福建福州・月考）如图，在直四棱柱ABCD-A8IG2中，底面四边形ABCL（为梯形，AD//BC,

AB=AD=2,BD=272，BC=4.

⑴证明:A瓦，A，；

（2）若直线A3与平面BCR所成角的正弦值为逅，求直线BD到平面4CR的距离.

6

【答案】（1）证明见解析；⑵巫

3

【解析】（1）因为AB=AD=2,BD=2也,所以班＞?=AB?+AD?,

可得AB_LAD,又ABCD-4月CQi为直四棱柱，所以A4,_L平面ABCD,

因为ABu平面ABC。，所以44]_LAB,

且A41cA£>=A,A4PAOu平面AnDH，

所以AB，平面ADD^,又ARu平面ADD^,

可得AB_LA2，因为A4//AB,

所以44,AR；

（2）由（1）,以A为原点，AB、AD.A4所在的直线分别为x、外z轴的正方向建立

空间直角坐标系，设44=4（。＞0），

则A（0,0,0）,B（2,0,0），A（0,2,a），4（2,0,a）,C（2,4,0）,

AB^（2,0,0）,I^C=（2,2,-a）,BlC=（0,4,-a）,

设元=（x,y,z）为平面BjCD,的一个法向量,

n-DC=Q2x+2y-az=04

则t即令y=l,贝壮二—,x=l,

n-B^C=Q4y-az=0a

所以元

设直线AB与平面BCR所成角为0,

因为直线AB与平面B^DI所成角的正弦值为也,

6

ABn

sincosAB,h\

解得〃=2,n=(1,1,2),

因为平面平面3片。1。八平面44。=42,

平面3与2。八平面=所以BD//BR,

因为a)2平面,B]D]u平面4c£)],

所以3。〃平面与CQ,所以直线BD到平面4c2的距离

可转化为点B到平面4c2的距离，^8=(0,0,-2),

B{Bn246

丽•同V1+1+4~T~

4Di

题型五：空间几何体的体积求解

龙麓》大题典例

(23-24高三上•海南海口・月考)如图，在长方体ABCD-ABC2中，AA,=2AD=2AB=4,E,尸分别为

A4，CD的中点.

⑴证明:瓦0AAG；

（2）求三棱锥E-8（7的体积.

【答案】⑴证明见解析；（2）2

【解析】（1）连接用2,因为4月。2为正方形，所以AG_LBQ,

又在长方体ABCD-A耳G2中，OD,±平面ABC',

且ACU平面4耳GA,故AG，DD-

又DQOB\=Di，Z）2u平面耳。R,A4u平面耳

所以4G，平面片OR,又BQu平面片DD1,故4。人aq.

（2）由DA，AG，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4（2,2,0）,G（0,2,0）,£（2,0,2）,尸（0,1,4）,

场=（2,0,0）,布=（0,-1,4）,EF=（-2,1,2）.

设平面BCF的一个法向量为n=（x,y,z）,则|*二:,

[2x=0-

即/八，令z=l,得〃=0,4,1）.

[~y+4z=0'7

__IEF-nl6

又丽=（―2,1,2）,则点E到平面B】GF的距离d==-F=.

\n\A/17

又C\F=&i,所以△用C-的面积为:与£XGE=gx2x,

所以三棱锥E-月GF的体积为:XJ万X括=2.

茏窕泳舞:去揖量.

1、处理空间几何体体积的基本思路

（1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高

转换为容易看出并容易求解的高；

（2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；

（3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘

一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。

2、求体积的常用方法

（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；

（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规

则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；

（3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作

为三棱锥的底面进行等体积变换

茏变》变式训练

1.（24-25高三上•广东深圳・月考）如图，将长方形。AAQ（及其内部）绕。。1旋转一周形成圆柱，其中04=1,

。。=2,劣弧48的长为a,A耳为圆。1的直径，平面AO3与平面4。内的交线为/.

B

（1）证明：1//OA；

（2）若平面与平面夹角的正切值为迪，求四棱锥B-OA41a的体积.

3

【答案】（1）证明见解析；（2）立

3

【解析】（1）法一：

•.♦OA//QA，QA］U平面A-。4a平面人。田,

.•.。4〃平面4］。［5,

又•.•OAu平面A08,平面403。平面=

1//OA.

法二：

,圆面o//圆面。i,平面AQ8n圆面。।=a。，

平面圆面o=/,，。14/〃，

又•••QA//OA，1//OA.

(2)法一：

以。为原点，OAOQ分别为y,z轴，垂直于y,z轴直线为X轴建立空间直角坐标系,

如图所示,则A(。，i，2),q(0,0,2),

1.-劣弧AB的长为&(0＜々＜兀)，

:.ZAOB=a,B(sina,cosa,0),

GA=(0,1,0),OXB=(sina,cosa,-2),

设平面的法向量为访=(x,y,z),

[h-O^=0Jy=O

[万・印=0'[xsina-2z=0，

令x=2,贝Uz=sina,二元=(2,0,sina),

平面AO3的法向量为应=(0,0,1),

设平面AOB与平面4。出夹角为。，

(、2

mi2c2-一Yi'msina

则cos夕=cosn,m=,,,,=--------—,

J为卜网J4+sina

1sin2a

222

e2八sin01-cos64+sina4

贝Ijtan26=——=-------------------=-今十严0=—―

cos0cos0sinasina

4+sin2a

即-=乎，sin。=-(负值舍去)，

sina32

即B到平面。叱距离为£

则％-叩目=?四边形网/==¥

法二:

如图，过B作3D//AO,即平面AO3与平面的交线为8。,

•••OO]_1_平面AOB，8Z）U平面AOB,二BD±001,

又。anOE=O,G»a，OEu平面0QE,

3£>_L平面。。£,，2。,

••.SEO是平面AOB与平面40出夹角,

•l•AB的长为盘（0<a<it）,

/.ZAOB=a,OE=sina,

tanAO,EO=丝=,

OEsina

画24g.A/3

sina32

即B到平面。441a距离为显,

2

3^-1.9.

3四边形。4Aa3T-T

2.（24-25高三上・河南•开学考试）如图，四棱锥尸-ABCD中，底面四边形ABCD为凸四边形，且

PD=AD=CD=4,PA=PC=AC=4夜，AB=BC.

R

⑴证明：AC1PB；

⑵已知平面APC与平面BPC夹角的余弦值为您I，求四棱锥P-ABCD的体积.

57

【答案】(1)证明见解析；(2)16

【解析】(1)因为PD=AD=4,PA=40，

所以尸£>2+AE)2=以2,所以尸£)_LAD,

P

同理PD_LCD,XADC\CD=D,AD,CDu平面ABC。，

所以尸£>_L平面ABCD,

因为ACu平面A3CZ),所以PD_LAC,

连接BD,因为AT>=CD,AB^BC,DB=DB，

所以AADB/ACDB,所以NADB=NCDB.

又AD=CD,由等腰三角形三线合一，得3£>，AC.

因为BD,PDu平面尸3£),所以AC_L平面,

又PBu平面PBD,所以ACJ_P3.

(2)因为AD=CD=4,AC=4后，所以4加+=AC?,

所以ADLCD,又PD_LAD,PD1CD,故A。，CD,PD两两垂直，

故以。为坐标原点，

DA,DC,。尸所在的直线分别为x轴，，轴，z轴建立空间直角坐标系,

则4（4,0,0）,C（0,4,0）,P（0,0,4）,所以在=（0,T,4）,C4=（4,^,0）,

由（1）知DB平分/ADC,设8（a,a,0）,所以屈=（a,a-4,0）.

设平面AC尸的法向量为/=（/另,4）,贝-一,

、玩•CA=4X]-4%=0

令占=1,得％=1,4=1,所以碗=（1,1,1）,

nCP=-4%+4Z=0

设平面3cp的法向量为k=（%,%，z?）,贝卜2

n-CB=ax2+(a-4)%=0

令%=a,得多=4-a,Z[=a,所以法=（4一a,a,<7）,

设平面APC与平面BPC夹角的大小为6,

贝ljcos6=cos〈苑万〉=晶=|4+tz|7历

+/+a?57

两边平方并化简得-15=。，解得”3或“号

因为AD=CD=4,ADLCD,所以点。到AC的距离为ADsin'=2近,

4

因为四边形ABCD为凸四边形，所以BD>2④,所以。=：不合题意，

4

即。=3,则8£>=30，可得%边形=

所以%棱锥尸-ABC。=§^四边形.四,DP=§xl2x4=16.

题型六：空间几何体的翻折问题

茏能