柳州市2025届高三第一次模拟考试（一模）数学试卷（含答案）

柳州市2025届高三第一次模拟考试

数学

(考试时间120分钟满分150分)2024.11

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无

效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知复数z=l+i,则。的虚部为().

2.对于非零向量肩34+3=於"是"(1〃6"的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知双曲线C:7—菅=1的一条渐近线方程为y=—/招则%().

A.1B.2C.8D.16

4.若过点(20)与圆.一+y2=4相切的两条直线的夹角为明则COSOF().

V52V512

A.——B.-----C.-D.-

5533

5.在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,

4

且它们的斜率之积是3则点M的轨迹方程为().

A.---=1(%+5)B,+5)

25100'25100'一’

C-土备=依。±5)口噂-除=1(久#±5)

6.设函数/(%)=COS(3%+9(3〉0),已知/(%!)=-1,/(%2)=1,且-乃|I的最小值为兀/4,贝!J

C0=().

A.1B.2C.3D.4

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7.已知正四棱台ABCD-AiBiCQi的体积为浮AB=2,&Bi=1,则AA1与底面ABCD所成角的

正切值为（）.

A.—B.V3C.2V3D.4

2

8.设函数/（尤）=xb?x-（a+b）bu,若/（x）20,则5a+5b的最小值为（）.

A.1B.2C.V5D.2V5

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知随机变量X服从正态分布，即*~?4（3,9）,则（）.

A.E（X）=27B.D（X）=9

C.P（X?8）>P（X〈T）D.P（X<1）+P（X<5）=1

10.过抛物线E-.y2=2P久（p）0）的焦点F作倾斜角为6的直线交E于A,B两点，经过点A和

原点O的直线交抛物线的准线于点D,则下列说法正确的是（）.

A.BD/7OFB.OA±OB

*

C.以AF为直径的圆与y轴相切D.|力尸出尸|=扁

11.我们知道，函数y=/（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数元/G）为奇函

数，有同学发现可以将其推广为：函数yy（x）的图象关于点（。，6）成中心对称图形的充要条件是函

数yy（x+a）-6为奇函数。已知/（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为g（x）,若函数yy（尤+1）-1

是奇函数，函数产g（x+2）为偶函数，则（）.

A.7•⑴=1B.g（l）=l

C.y?（x+2）T为奇函数D1=1012

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知X2+2X-1=0厕%2+4=

xz-~

13.在+的展开式中，常数项为一

14.如图，在4义4的格子中，有一只蚂蚁从A点爬到B点，每次只能向右或向上移动一格，则

从A点爬到B点的所有路径总数为，若蚂蚁只在下三角形（对角线AB及以下的部分所

围成的三角形）行走，则从A点到B点的所有总路径数为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)记.A4BC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知V3sinX-cosA=2.

⑴求A;

(2)若a=2,V2bsinC=csE2B,求△ABC的周长.

16.(15分)如图，在圆锥P0中，AC为圆锥底面的直径，B为底面圆周上一点，点D在

线段BC上,.AC=2AB=4,CD=2DB.

⑴证明：AD_L平面BOP;

(2)若圆锥PO的侧面积为8兀，求二面角。—BP-A的正弦值.

第16题图

_-1

17.(15分)已知函数/(%)=ax—Inx-

(1)当a=1时，求曲线y=/(x)在(1J(D)处的切线方程;

⑵若/(%)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

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22

18.（17分）在平面直角坐标系xOy中，P为直线y=2上一动点，椭圆E嚎+k=l（a*>0）的左

右顶点分别为M（-V^0）,N（V^，0）,,上、下顶点分别为T（0,1）,S（0,T）.若直线PT交E于另一点

A，直线PS交E于另一点B.

（1）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标；

（2）求四边形ASBT面积的最大值.

19.（17分）某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了A和B两个套餐服务，并在购物

平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠

券的情况（单位：千张）的折线图：

日期（天敷）

（1）由折线图可看出，可用回归模型拟合y与f的关系，请用相关系数加以说明；

12

（2）假设每位顾客选择A套餐的概率为？选择B套餐的概率为3,其中A包含一张优惠券,

B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了“张优惠券，设其概率为P”，求P„；

（3）记（2）中所得概率P”的值构成数列｛%｝（九eN*）,,求数列｛P,,｝的最值.

参考数据：Xv=16.17,»取=68.35，岳®一IK-0.72,a=2.646

参考公式：相关系数r=

豆产为W一斤

N/=■1/«•1

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柳州市2025届数学高三第一次模拟考试

参考答案

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）

题号12345678

答案AABcADcD

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分分.

9.BD10.ACD11.BCD

91011

选2个

选1个选1个选1个

选2个(AC或选3个选2个（BC选3个

（B或（A或C（B或C

(BD)CD或(ACD)或CD或BD）(BCD)

D）或D）或D）

AD)

3分6分2分4分6分2分4分6分

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.613.7014.7014

四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步躲.）

2乃(2)2+&+半

15.(13分)⑴4二3-

解:(1)由JisinZ-cos4=2得，——sinA——COSTI=1,即sin(4-2)=1,

226

兀冗,2〃

由于力€（0,7T）nA—G（—,—），.二A——=——=>/=—

666623

（2）由题设条件和正弦定理

V26sinC=csin2Bo痣sin8sinC=2sinCsinBcosB

又B,C£(0,乃),则sinBsinC0,进而cos5=,得至UB=

TT

于是。=/一4—8=2

V6-V2

sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinB=

4

由正弦定理得——-=---=.=----=-----=------

sin”sin3smC金至sin卫sin主

3412

解得6=迎,c=JI_立

33

故△ZBC的周长为2+尼+逅

3

16.（15分）（1）证明见解析；（2）半

解：（1）•••尸。，平面48C,A4，BC,故以8为坐标原点,曲为x轴正方向，就为y轴正

方向，与苏同向的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.

设|。尸|=x,故8（0,0,0）,4（2,0,0）,0（L6,0）,P（L^,X）,O（O，¥，0

通=卜2,乎,0）,而=（1,后0）,而=（1,石/）,

•：ADBO=-2+2=0,ADBP=-2+2=0-

故HOJ.50,IBP,•.♦8尸八8。=昆8尸,8。<=平面50/1,:.AD1^BOP

(2),•・圆锥P0的侧面积s=2兀xP4=87t,.\P4=4，,-,OP=x=y)42-22=2-^3,

(3)由(1〉丽用卜，苧,0为平面BOP的法向量，

设平面ZBP的法向量为历=(a,b,c),而胡=(2,0,0),丽=(1,也,2省)，

故r_,令c=-l得所=(0,2,-1),

in-BA=2a=Q

<_,

fri-BP=a+y/3b+2\/3c=0

则COS陶而>=第=J一2x0+yx2+0x(J______立

时阿苧卜°晨次+22+(-1)25

所以二面角0-8尸-力的正弦值为延.

5

17.(15分)解：(1)当a=l时，则/(x)=x-lnx-l,/'(x)=l-‘

X

可得/(1)=0,/'(1)=0,即切点坐标为(1,0),切线斜率为"=0

所以切线方程为丁=0

(1)/(x)定义域为(0,内)，且，(x)=a

x

若。40,则f'(x)<0对任意xe(0,4-co)恒成立.

所以/(x)在(0,+8)上单调递减，无极值，不合题意

若。>0,令f'(x)>0,解得x>—,令f'(x)<0,解得x<—

aa

可知/(X)在(0,1)上单调递减，(1,”)上单调递增

aa

则/(X)有极小值l+无极大值

+

由题意可得：/(^)=llna-^<0,gpl+lna-i<0

令g(a)=l+lna-/(a>0)

，/、11八

g(a)=-+—>0

aa

g(a)在(0,+8)上单调递增

又g(l)=l,不等式1+lna-等价于g(a)<g。)，解得a<l又a>0,

综上4的取值范围是°<a<L

18.(17分)解：由题意知。=痣,6=1,椭圆E:/+V=i设P(1,2),

(1).当时，设直线E4:y=；x+l,代人必+2_/=2得

*+224—4Z“k»—2上人/—4ZZ?—2、

丁X+7=。，/=77r从而外=百'点"（不’7Tl）

3

设直线尸5:^二7》一1代人必+2炉=2得

与"丫2_2丫=0=0二兽一，从而点8d-,-受2）

I2tB〃+]8,B/+]8Y+18/2+18

由对称性知，定点在V轴上，设为G（O,m）

t2-2/2-18

ni--2——--

由KC=偌G，即一年八+18,化简得

12/

产+2一二+18

,,11

ffl(4/2+24)=2广+12=a=万所以直线过定点(0,-)

当（=0时，直线4B也恒过定点

综上，直线48也恒过定点

（2）可知四边形的面积为

S=^\ST\\XA-XB\

..,4/12Z.

=区-/E+再通।

=16匕/+?—|

-+20/2+36

|/+yl

=16------r-------

|「+*20|

|(，+>+8|

令加qf+glNZ遥，当且仅当/=±V6时等号成立

•Vu---1-6-m-----1-6-

而y=x+§在（2亚',+8）上单调递增，而胆W2遥，从而当胆=2指时，四边形4S3T面

X

16x2行

积有最大值S二=在

(2面>+8

19.（17分）解：由折线图中数据和附注中参考数据得

7=4与&才=28,料3-方=0.72

7__77

Z6一7)3/一用二乂=68.35-4x16.17=3.67