利用导数研究函数的零点（方程的根）（原卷版）-2025年高考数学一轮复习

第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根)

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................2

第三部分：高频考点一遍过............................................3

高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数.......................3

高频考点二：证明唯一零点问题.....................................5

高频考点三：利用最值(极值)研究函数零点问题....................6

高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题....................9

高频考点五：构造函数研究函数零点问题............................12

第四部分：典型易错题型............................................13

备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图......................13

第五部分：新定义题.................................................14

第一部分：基础知识

1、函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=/(x),把使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

(2)三个等价关系

方程f(x)=0有实数根o函数y=/(%)的图象与％轴有交点的横坐标=函数y=/(%)有零点.

2、函数零点的判定

如果函数y=/(x)在区间3,切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(a>/3)<0,那么函数

y=/(x)在区间(a力)内有零点，即存在ce(a,»,使得/(c)=。，这个c也就是/(x)=0的根.我们把

这一结论称为函数零点存在性定理.

注意：单调性+存在零点=唯一零点

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•全国•乙卷文）函数〃x）=d+"+2存在3个零点，贝匹的取值范围是（）

A.（-«,-2）B.（-oo,-3）C.（Y,—l）D.（-3,0）

2.（2022・全国•乙卷文）已知函数/（x）=ov-工-（a+l）ln尤.

（1）当。=0时，求/（无）的最大值；

⑵若/（X）恰有一个零点，求。的取值范围.

3.（2022,全国•乙卷理）已知函数/⑺=ln（l+x）+依心

（1）当a=l时，求曲线y=〃x）在点（0,〃。））处的切线方程；

（2）若〃无）在区间（-1,0）,（0,母）各恰有一个零点，求a的取值范围.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数

典型例题

例题1.(23-24高三下•陕西安康•阶段练习)记函数的导函数为((无)，­(X)的导函数为了"(%),设。

是“X)的定义域的子集，若在区间。上广(x)<0,则称在。上是"凸函数".已知函数〃x)=asinx-B

(1)若〃x)在0,|上为"凸函数〃，求〃的取值范围；

(2)若a=2,判断g(x)=〃x)+l在区间(0,兀)上的零点个数.

例题2.(23-24高三下•广东广州•阶段练习)已知函数/(x)=e'-2x.

(1)求函数的极值；

⑵讨论函数g(x)=〃x)-sinx在R上的零点个数.(参考数据：sinl®0.84,cosl«0.54)

例题3.(23-24高三上•广东梅州,阶段练习)已知曲线C：/(x)=sin2x+aex-x(aeR)

⑴若曲线C过点尸(0,-1),求曲线C在点尸处的切线方程；

(2)若0<aVl,讨论g(x)=/(x)+gcos2x-a-；的零点个数.

练透核心考点

1.(2024•湖南•二模)己函数/(无心/+加+云+9也济阳，其图象的对称中心为(1,-2).

(1)求a->-c的值；

(2)判断函数“X)的零点个数.

2.(2023•全国•模拟预测)已知函数/'(x)=ln(l+x)+acosx.

(I)曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线方程为y=x+2,求实数a的值.

(2)在(1)的条件下，若g(x)=/(尤)-」，试探究双龙)在J1,1上零点的个数.

1+xk2)

高频考点二：证明唯一零点问题

典型例题

例题1.(23-24高三下•四川雅安•开学考试)已知函数〃x)=x(lnx-a)+lnx+a.

(1)若a=l,当x>l时，证明：/(x)>0.

⑵若a<2,证明：“X)恰有一个零点.

例题2.(23-24高三下•河北•阶段练习)已知函数/(x)=-ae*-sinx-l在区间(0,鼻内有唯一极值点七，其

中aeR,e为自然对数的底数.

(1)求实数。的取值范围；

(2)证明：在区间内有唯一零点.

例题3.(23-24高三上•黑龙江•阶段练习)已知函数〃x)=x+lnx,g(x)=ellnx+a,且函数〃x)的零点

是函数g(x)的零点.

(1)求实数a的值；

⑵证明:y=g(x)有唯一零点.

练透核心考点

1.(2024高三・全国・专题练习)已知函数f(x)=lnx-x+2sinx,f(x)为了(尤)的导函数.求证:八x)在(0,兀)

上存在唯一零点.

2.(2023高三上•全国•专题练习)已知a>0,函数/(x)=xe*-a,g(x)=xlnx-a.证明：函数2(x),g(x)

都恰有一个零点.

高频考点三：利用最值(极值)研究函数零点问题

典型例题

例题1.(23-24高二上•浙江绍兴•期末)已知函数/(x)=;t2-(2a+l)x+aln尤+a(aeR).

⑴当a=l时，求函数的单调区间；

(2)若函数在(0,2)内存在两个极值点，求实数°的取值范围.

例题2.（23-24高二下•重庆黔江•阶段练习）已知函数"x）=lnr+ax+2

①若函数〃x）在x=l处取得极值，求。的值；

⑵若函数了（尤）在定义域内存在两个零点，求。的取值范围.

例题3.（23-24高二下•贵州黔西•开学考试）已知了（£）="3一法+4,/（x）在x=2处取得极小值-g.

⑴求的解析式；

（2）求“X）在x=3处的切线方程；

⑶若方程/（司+左=0有且只有一个实数根，求上的取值范围.

9

例题4.（23-24高二上•福建福州■期末）已知函数/（幻=尤3-—x+6x+<7（aeR）.

⑴求Ax）在［-2,3］上的最大值；

（2）若函数"X）恰有三个零点，求。的取值范围.

练透核心考点

1.(2024高二下•全国・专题练习)已知函数/(司=]3+办，g(x)=-x2-tz(fleR).

⑴若函数尸(x)=〃x)-g(x)在[1，+8)上单调递增，求。的最小值；

(2)若函数G(x)=〃x)+g(x)的图象与产⑪有且只有一个交点，求。的取值范围.

2.(23-24高二上■江苏南京■期末)已知函数〃x)=x3-；x2-2x+〃z.

(1)当〃,=1时，求曲线在点(2,42))处的切线方程；

(2)若函数〃x)有三个不同的零点，求实数相的取值范围.

3.(23-24高三上•广东深圳•阶段练习)若函数“x)=x(x-c)2在》=3处有极小值.

(1)求c的值.

⑵函数g(x)=/(x)+6f-(9+3a)x+l恰有一个零点，求实数a的取值范围.

4.(2023・广东揭阳•模拟预测)已知函数"x)=2ox-a-1,g(x)=er-ex.

(1)讨论g⑺的单调性并求极值.

(2)设函数〃⑺=g'(x)-/(x)为g(x)的导函数)，若函数网可在(0,1)内有两个不同的零点，求实

数。的取值范围.

高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题

典型例题

例题1.(23-24高三上•江苏连云港•阶段练习)已知函数〃x)=lnx+g加-(a+l)x(aeR).

(1)当a=l时，求函数y=/(x)的零点个数.

⑵若关于x的方程有两个不同实根为,三,求实数。的取值范围并证明占”2>e2.

例题2.(2023・四川•一模)已知函数〃x)=x2-2hx.

(1)求〃x)的单调区间；

⑵令8(%)=〃3)-炉+办(a为常数)，若g(x)有两个零点石,马(石<々)，求实数。的取值范围.

例题3.(23-24高二下•陕西渭南•期末)已知函数/(%)=祀2,-63,eR).

(1)求曲线〃x)在点(L7'⑴)处的切线方程；

(2)当。216时，证明：函数/'(X)在(0,+8)上有两个不同的零点.

例题4.(23-24高二下•重庆・期末)已知函数/(x)=av-lnx-2.

⑴当a=l时，求函数〃x)的极值；

(2)讨论函数的零点个数.

练透核心考点

1.(2023•四川三模)已知函数=和函数g(x)=(，且〃尤)有最大值为：.

(1)求实数a的值；

⑵直线y=机与两曲线y=/(x)和y=g(x)恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为天，巧，凡，且

xt<x2<x3,证明：%毛=尤；.

2.(23-24高二下•贵州•阶段练习)设函数"x)=ae，+.,曲线y=〃x)在点处取得极值.

(1)求实数a的值；

⑵求函数的单调区间；

⑶令函数g(x)=〃x)-3是否存在实数上使得g(x)没有零点？若存在，请求出实数上的范围；若不存在,

请说明理由.

3.(23-24高二下•重庆沙坪坝•期末)已知函数/(%)=加+x-lnx(aeR).

(1)当a=0时，过点(0,0)作y=/(x)的切线，求该切线的方程；

⑵若函数g(x)=/(x)T在定义域内有两个零点，求。的取值范围.

4.(23-24高三上•江苏南通•阶段练习)已知函数/⑴卓丁一/5^^在［0』上的最小值为一.

⑴求a的值；

⑵若函数g(x)=/(x)-2x+6有3个零点，求实数b的取值范围.

高频考点五：构造函数研究函数零点问题

典型例题

a—xe

例题1.(23-24高三下•河南信阳•阶段练习)已知函数/(元)=

(1)当a=-l时，求不等式/⑺We，+1的解集;

⑵若/(x)>a(a>0),求实数。的取值范围.

例题2.(23-24高二下•浙江嘉兴,阶段练习)已知函数/(x)=e*-依-2,aeR,e是自然对数的底数

(1)讨论函数/(尤)的单调性；

⑵若关于x的方程/(%)+2=0有两个不等实根，求。的取值范围；

⑶若。=1,%为整数，且当尤>0时，与广(同<1恒成立，求左的最大值.

-V-11'/

练透核心考点

1.(23-24高三下•河南•阶段练习)已知函数/(x)=如

⑴判断的单调性;

⑵当。e(2,+8)时，