利用导数研究函数的单调性、极值和最值（解析版）-2025年高考数学一轮复习

利用导数研究函数的单调性、极值和最值

(8大考点80题)

原老堂先宽

利用导数研究函数的单调性、极值和最值

晶方端技巧及考点物【依

考点01:利用导数求函数的单调区间

求已知函数(不含参)的单调区间

①求y=/(幻的定义域

②求/'(X)

③令/'(x)>o,解不等式，求单调增区间

④令/'(x)<0,解不等式，求单调减区间

注：求单调区间时，令/'(x)>0(或/'(x)<0)不跟等号.

1.己知函数〃x)=2x-31nx+2022,则/(x)的单调递减区间为()

A.[0引B.Joo司C.一司D.日产

【答案】A

【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导后，由/'(“<0可求出其递减区间.

a_a

【详解】〃x)的定义域为(O,+8),/(x)=2-±=/上，

XX

令广(x)<0,解得0<x<}

所以〃x)的单调递减区间为恒j,

故选：A.

2.函数/(x)=x-21nx的单调递减区间是()

A.(-℃,2)B.(2,+00)

C.(0,2)D.(一8,0)

【答案】C

【分析】求出导函数/'(x)=-，令/'(x)<0,即可得解.

【详解】由函数/(x)=x-21nx,可得/(月=1一4=±±(x>0),

XX

令/'(x)<0,可得0<x<2,所以函数/(x)=x-21nx的单调递减区间是(0,2).

故选：C.

3.函数〃x)=(x-3)e、的单调递增区间是()

A.(-8,2]B.[0,3]C.[1,4]D.[2,+oo)

【答案】D

【分析】对函数求导并令导函数大于零，解不等式可得其单调递增区间.

【详解】易知函数“X)的定义域为R,可得/'(x)=，+(x-3)/=(x-2)e",

令/'(x)20,解得x22.

所以函数/(x)的单调递增区间是［2,+8).

故选：D

4.函数〃x)=x2-lnx单调递减区间是()

【答案】A

【分析】求导后，令分(x)SO,解出即可.

2

【详解】f'(x)=2x--1=^2x^,-1x>0,

XX

令/'(x)WO,解得0<x4f,

所以单调递减区间为，字］

故选：A.

5.已知函数/(x)=x+lnx,其导函数为/(X).

⑴求/(x)在(1,1)处的切线方程；

⑵求g(x)=/(x)+2f'(x)的单调区间.

【答案】(l)N=2x-l

⑵单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8)

【分析】(1)利用导数的几何意义即可得解；

(2)利用导数与函数单调性的关系即可得解.

【详解】(1)因为〃力=%+血的导数为/(x)=l+1,

所以在(1,1)处的切线斜率为斤=/”)=2,而/⑴=l+lnl=l

故所求的切线方程为yT=2(x-l),即y=2x-l.

(2)因为g(x)=〃x)+2r(x)=x+lnx+2(l+£|,定义域为(0,+“)

所以g'(x)=l+工一之=^^=(1)产+2),(、>0)

XXXX

解g<x)>0得x>l,解g<x)<0得0<x<l,

所以g(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8).

6.已知函数〃x)=lnx-?+l(其中。为常数).

(1)当a=-l时，求函数/(x)的单调区间;

(2)求函数/(%)在%£口,2］上的最小值.

【答案】(1)单调递增区间为(1,+8)；单调递减区间为(0,1)

(2)答案见解析

【分析】(1)根据/''(》)的正负确定单调区间；

(2)分类讨论。，根据/(x)单调的单调性确定〃x)的最小值.

【详解】(1)/(x)=lnx+-(x>0)，r(x)=--=

JCXXX

令广(X)>0解得X>1,所以〃x)的单调递增区间为(1,+8)

令/'(x)<0解得O<X<1,所以/(X)的单调递减区间为(0,1)

(2)/(x)=lnx--+l(l<x<2),/,(x)=—4--^-=^-^-

①当时,/'(x)>0J(x)在［1,2］上单调递增，/(x)m,n=/(l)=l-«;

②当—1W"O时,/'(x)>0J(x)在［1,2］上单调递增,/«in=/(l)=l-a；

③当-2<a<-l时，令/'(x)>0和/'(x)<0分别解得-a<x和-a>x,

则〃x)在工同上单调递减，［-%2］单调递增,所以/(x)1nhi=/(-〃)=ln(-a)+2；

④当a4-2时,r(x)<0,/(x)在［1,2］上单调递减.

综上所述：当a2-1时,/(x)min=l-a:

当-2<a<-l时，=ln(-a)+2；

当aW-2时，/Wmin=ln2+l-j.

7.已知函数〃x)=J(aeR).

⑴当。=0时，求函数/(X)的单调区间；

(2)当。=1时，证明：〃x)<gx+l；

⑶若/(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.

【答案】⑴单调递增区间是(e,+«0,函数〃x)的单调递减区间是(0,1),(l,e).

(2)证明见解析(3)0<a<1

【分析】(1)先求出函数的定义域，然后对函数后由导数的正负可求出函数单调区间;

(2)不等式转化为m(x+i)<]X+l，构造函数〃(x)=ln(x+l)-黑，利用导数求出其单

调区间，利用其单调性可证得结论；

(3)设公尤+a,令g(/)=p,则转化为g⑺既有极大值又有极小值，贝U

In/

t-a

，lf}_—一丁,令S⑺=lm-3=1皿+3-1，然后对函数求导后，分。40，。=1,

g⑺一1岛't

a>\,0<。<1四种情况讨论即可得答案.

【详解】⑴当。二°时,函数小)的定义域为(。叫。,+8),

lnx-1

/'(x)=

ln2x

令/(x)>0,解得X>e；令,(x)<0,解得0<x<l或l<x<e,

故函数〃x)的单调递增区间是(e,+s),函数〃x)的单调递减区间是(0,1),

(2)当。=1时,/(x)=in(x+l),函数A、)的定义域为(T，。)"。。00)，

/、1X1

不等式/(%)<子》+1就是不等式正巧<5》+i(*),

当-l<x<0时，(*)式等价于ln(x+l)〈圈；

0y

当%>0时，(*)式等价于ln(x+l)>=

014x2

设/z(x)=ln(x+l)---—,/(%)=-----------^-=---------->0,

I，I'x+2x+1(x+2)~(x+l)(x+2)-

故〃(x)在(-1,+8)上单调递增，

故当一l<x<0时，A(x)<*(0)=0,即h(x+l)〈皂，

0Y

当％>0时,/z(x)>/z(o)=o,gpln(x+l)>—

所以原式成立.

f—77

(3)^t=x+a,令81)=-i—,

mt

/(X)既有极大值又有极小值等价于g⑺既有极大值又有极小值.

,t-Q,

In,-----、-(/.\1t—aQ1

g,(,)_t»记s(/)=ln/-----1=InZ+y—1.

ln2Z

①当aWO时，有s'。)"，则s(f)在(O,l)U(l,+s)上单调递增,

故函数s(r)在(O,l)U(l,+«0上至多有1个零点，不合题意；

②当a=l时，s⑺在(0,1)上单调递减，在(1,+叫上单调递增，且s(l)=0,

故s(。在(O,l)U(l,+叫上没有零点，不合题意;

③当a>l时，s⑺在(0,l)U(l,a)上单调递减，在上单调递增,

又s⑴=a-l>0,s(a)=lna>0,故函数s(f)在(O,l)U(l,+8)土没有零点,不合题意;

④当0<°<1时，S(。在(O,a)上单调递减，在［a,l)U(l,+oo)上单调递增,

且有s(e)=lne+q-l=3>0,s(l)=a-l<0,s(a)=lna<0,

，2、2-

「二i2

sea=aea——>a

<)a

r2

(这里用不等式：当工之0时，e%>l+x+—)

2

c“414\2a八

=2d—F+I——=—>0.

aja2

r2r2

下面证明当％之0时，ex>I+x+—>=ex-l-x-—(x>0),

xx

贝!J"(x)=e"—1一x,令/(x)=(p\x)=e-1-xf贝!Jt\x)=e-1>0(x>0),

所以/(x)=d(x)=e"-1-x在［0,+8)上单调递增,

所以d(x)>"(0)=0,所以9(%)在［0,+8)上单调递增，

所以9(X)N°(0),所以当xNO时，e、21+x+土，

2

所以s(e).s⑴<0,s⑷.sea<0,

又因为函数S⑺的图象分别在区间(0,1),(1,+8)上连续，

所以函数S⑺在［eij,(l,e)内各有1个零点，分别记为％和明

故4、%分别为函数g⑺的极大值点、极小值点.即/(x)既有极大值又有极小值.

综上，当0<。<1时，/(X)既有极大值又有极小值.

8.设函数/卜)=/一(a+2)x+“lnx(aeR).

⑴若x=3是/(x)的极值点，求a的值，并求，(幻的单调区间；

⑵讨论，(x)的单调性；

⑶若〃x)21,求。的取值范围.

【答案】⑴6,单调递增区间(0,1),(3,+8),单调递减区间(1,3)

(2)答案见解析(3)(-8-2]

【分析】(1)先求导，令八3)=0,检验即得解；代入。=6,分别令/'(x)>0,Hx)<0

得到单增区间和单减区间；

(2)根据二次函数及二次不等式的性质，结合函数定义域，分类讨论即可求解；

(3)转化〃x)21为/原篇21,分。40,a>0两种情况讨论即可.

【详解】(1)尸(x)=2x-(a+2)+三=3-幻口-D(X>0),

XX

r(3)=4-y=0,解得a=6,

此时/'(X)=2(X3)(X1),

X

令/'(x)>0,有0cx<1或x>3,令/'(x)<0,有l<x<3,

所以x=3是/(x)的极值点，a=6满足题意，

所以/(x)的单调递增区间是(0,1),(3,+0，单调递减区间是(1,3).

(2)由(1)知2'(x)=(2xa)(xT)(x>0),

X

当£=1即。=2时，/，(X)=2(XT)-20恒成立,

所以/(X)在(0,+8)上单调递增；

当巴〉1即a>2时，由f\x)>0得0<%<1或

由/‘(x)<o得

2

故/⑴的单调递增区间为(0,1)和[去+②],单调递减区间为；

当0<@<1即0<〃<2时，由/'(、)>0得0<%<5或%>1，

22

由/，(x)<0得

故/(X)的单调递增区间为1o,|J和(1,+s),单调递减区间为;

当I^O即“WO时，由/'(x)>o得x>l,八x)<0得O<X<1,

故/(x)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(0,1).

综上，a=2时，/(x)在(0,+8)上单调递增，无递减区间，

a>2时，/(x)的单调递增区间为(0,1)和+sj,单调递减区间为

0<a<2时，Ax)的单调递增区间为[o,])和(1,+8),单调递减区间为[券,1

a40时，/(x)的单调递增区间为。,+8),单调递减区间为(0,1).

(3)由题意/(x)Wlo"x)一上1

当a<0时，令/'(x)>0,有x>l,令/'(x)<0,有

所以/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以/㈤叱=/(l)=-a-l

:.—a—121,艮[JQW—2

当a〉0时，/(I)=-«-1<0不成立.

综上，a<-2.

9.已知函数/(x)=1+工+。山工(。>0)

⑴求函数/(%)的单调区间；

⑵函数/(%)有唯一零点为，函数g(x)=x-sinx-0在R上的零点为*2.证明：玉<%2.

e

【答案】(I)单调递减区间为10。)单调递增区间为

(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调

区间；

(2)法一：由已知导数与单调性关系及函数零点存在定理可知，

JCi=-,/f-|=-alna+a+l=0,构造函数°(x)=-xlnx+x+1,结合导数及函数性质可得。

ayaJ

的范围，再令〃(x)=；+siru-x,结合导数分析〃(x)的单调性，利用不等式放缩即可求解.

法二：/(xJ=0=>lnX]+X]+l=0,设新函数//*)=1!1工+工+1,利用零点存在性定理得

14，再证明g(x)单调性即可.

【详解】(1)函数/(x)=l+,+Qlnx(Q>0)的定义域为(0,+8),

X

且/'(')=—3+巴="

XXX

所以当0<》<工时/'(x)<0,当x>工时/'(x)>0,

aa

所以/(X)的单调递减区间为，j,单调递增区间为

(2)法一：由(1)可知若函数/(x)有唯一零点X1，则花=工，即

a

-a\na+Q+1=0,

cp(x)=-x\wc+x+1,贝Uo'(x)=—Inx,

当尤>1时，9'(x)<o,e(x)单调递减，当o<x<i时，d(x)>o,°(x)单调递增,

因为e">2.7"=53.1441>27,e5<35=243<256,

所以0(3)=-31n3+4=4-ln27=lne4-ln27>0,

0(4)=-4In4+5=5-ln256=Ine5-In256<0,

当0<x<l时无)=x(l_lnx)+l>0,当xf+00时°(x)->-oo,

所以°(x)在(3,4)上存在唯一零点，所以3<。<3,即?<,<?，

4a3

Q~2Q~2

令=——+sinx-x,贝!J=---^-+cosx-l<0,

所以〃(x)在(0,+8)上单调递减，

岳/I、3.113.11.1

—l>/zl—1=-+sin—-—>—+sin---=sin—>0n,

所以ae~2>--sin—,

aa

又g(%)=9—situ?-ae~2=0,

所以—Sim2=ae~2>--sin—=-sinx1,

aa

令尸(x)=x-sinx,则产'(%)=1-cos%>0,

所以厂(%)在(0,+。)上单调递增,

又产(%2)>/(再)，

所以%>玉.

法二：因为a>0,由(1)可知若函数/(x)有唯一零点X],则%=!，

a

即/(再)=〃1口再+—+l='(lnXi+Xi+l)=OnlnXi+Xi+l=O,

设/z(x)=lnx+x+l,〃U〉0,〃色)<0,而〃(x)在(0,+司上单调递增，

所以再g'(x)=l-cosx20,所以g(x)在R上单调递增，

又g(。)=—<0,1.再>0,

e

令°(x)=x-sinx--,^(x)=l-cosx+^-y>0,所以9(x)在(。,+司上单调递增，

exex

所以.二,(再)<-]=-sin-<0,而g(/)=%—sin/i=xi~s^nxiT=0，

yeyee再e

g(再)=%—sinX]-<g)二工2-sinx2T西〈/，

「，xyexxe.

10.已知函数/(x)=x+ln(ax)+!xe”.

⑴当a=l时，求曲线y=/(x)在点(1J(1))处切线的斜率;

⑵当a=-l时，讨论〃X)的单调性.

【答案】⑴2+2e

(2)在(-叫-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减.

【分析】(1)求导并将°=1代入，即可求出曲线产/(x)在点(1,〃功处切线的斜率;

(2)求导并将。=-1带入，利用导数即可得出单调性.

【详解】(1)由题意，

在f(无)=x+ln(ax)+—xe%中，/'(无)=1+—+—(l+x)eT,

/⑴=l+lna+£中，/,(1)=2+—

当4=1时，

/(x)=x+lnx+xex,/r(x)=l+—+(l+x)ex,

/⑴=l+e中，/⑴=2+2e,

二曲线y=〃x)在点(1，〃1))处切线的斜率为/⑴=2+2e

(2)由题意及(1)得，

在/(x)=x+In(tzx)+—xex中，/z(x)=1+—+—(l+x)e%,

当。=一1时，

f(x)=x+ln(-x)-xeY,/'(x)=1+—-(l+x)eA=(1+x)^—-eA

-x>0Bpx<0,止匕时L一e"<0,

x

当x<-l时，/'(x)=(l+x)［：-ej>0,函数单调递增，

当-l<x<0时，/'(x)=(l+x)R-e［<0,函数单调递减，

・•・函数在(-叱-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减.

考点02:求已知函数的极值与最值

1.函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y=/(x)在点x=a的函数值五。)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，，(。)=0;而

且在点x=a附近的左侧，(x)<0,右侧，(x)>0.则。叫做函数y=/(x)的极小值点，黄a)叫做

函数>=/(x)的极小值.

(2)函数的极大值：

函数y=/(x)在点x=b的函数值义6)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，/'(6)=0；而

且在点x=6附近的左侧(x)>0,右侧/(x)<0.则6叫做函数y=/(x)的极大值点，丸6)叫做

函数y=/(x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大(小)值

(1)函数｛x)在区间［a,回上有最值的条件：

如果在区间［a,6］上函数y=/(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=八对在区间［a,切上的最大(小)值的步骤：

①求函数y=/(x)在区间(a,6)上的极值；

②将函数了=")的各极值与端点处的函数值八0),人6)比较，其中最大的一个是最大值，最

小的一个是最小值.

11.函数/(x)=gx3+x2-3X+1,则下列结论错误的是()

A.〃x)在区间(0,2)上不单调B.7(x)有两个极值点

C.，(x)有两个零点D./(x)在(-8,0)上有最大值

【答案】C

【分析】对/■")=：/+/一3工+1求导，讨论单调性，得出极值和最值，画出草图即可.

【详解】定义域为(一口,+◎,求导即/'(X)=X2+2X-3=(X+3)(X-1),

令r(x)=0,解得再=-3,尤2=1.

显然在(-8,-3)和(1,+8)上(@)>0,故〃x)在(-8,-3)和(1,+8)上单调递增;

在(一3,1)上/(x)<0,故〃X)在上单调递减.

所以》=-3为的极大值点，x=l为〃x)的极小值点，且/(x)极大值=1。>0,

2

“X)极小值=一§<°，草图如F

所以ABD正确，C错误.

故选：C.

12.函数〃x）=31nx+g/-4x的极大值为（）

,57

A.—2B.—C.—3D.

22

【答案】D

【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值.

【详解】函数/(X)=3InX+：/-4x的定义域为(0,+8),

又f'(x)="TX+3=,

XX

令/，(x)=0,则x=l或x=3,所以当0<x<l或x>3时/'(x)>0,当l<x<3时/'(x)<0,

所以〃x)在(0,1),(3,+8)上单调递增,在(1,3)上单调递减，

17

所以/⑺的极大值为/⑴=0+^-4=-5.

故选：D.

13.函数〃无)=lnx-\的极大值为()

A.—7B.0C.eD.1

e

【答案】D

【分析】求导，令/'(x)>0,/'(x)<0,可求得极大值.

【详解】因为/'(x)=，-±,令/'(x)>0,得0一一时；令/'(x)<0,得工*,

xe

2

所以当X=/时，函数"X)取得极大值/卜2)=1+q=1.

故选：D.

14.若函数/(无)=g/+/_1在(氏°+5)上存在最小值，则实数0的取值范围是.

【答案】-3,0)

【分析】利用导数判断函数/(x)的单调性，得到函数的极大极小值，结合函数的简图，由

题意即可判断参数的范围.

【详解】由题意，r(^=x2+2x=x(x+2),

由/'(x)>0可得x<-2或x>0,由/'(x)<0可得-2<x<0,

从而在(-。,-2)上递增，在(-2,0)上递减，在(0,+8)上递增，

注意到/(-3)=-1=/(0),由图可知，要使函数/'(x)在(a,a+5)上存在最小值，应有

—3Ka<0.

故答案为：［-3,0).

15.已知函数〃X)="2XT),若方程〃X)-左=0有2个不同的实根，则实数左的取值范

x-1

围是.

3

【答案】0〈左<1或7>4”

【分析】根据给定条件，求出函数〃x)的导数，利用导数探讨函数的性质，再数形结合求出

k的范围.

【详解】函数〃x)=e'(2xT)的定义域为S,1)口(1,+8),求导得r(x)=.,(2：；3),

x-1(x-1)

33

当xvO或x>—时，/'(x)〉0,当0<xvl或l<x<—时，/'(1)<0,

22

33

因此函数"X)在(-8,0),(于+8)上单调递增，在(0,1),(1,］)上单调递减，

当X=O时，/(X)取得极大值〃0)=1,当x=T时，“X)取得极小值〃|)=41，

函数”X)在(-*0)上恒有/(x)>0,而/(1)=0,

3ee3

当1<X<4时，〃x)>2e+—而函数y=2e+—；在(1万)上递减，值域为(4e,+8),

2x-1x-12

333

因此函数/(X)在(1,5)上无最大值，当X>］时，/。)>2靖，显然“X)在(于+8)上无最大值,

函数/(尤)="2D的大致图象如图，

3

观察图象知，当o<左<1或左>4”时，直线k后与函数y=/(x)的图象有两个公共点,

3

因此方程"X)-左=0有两个不同的实数解时，0〈左<1或左>4”，

3

所以实数上的取值范围是0(左<1或后>4/

故答案为：。〈左<1或左>43

16.已知函数/(x)=e-aln(x+l)的图象在点(0,〃0))处的切线过点(2,1).

⑴求实数。的值；

(2)求“X)的单调区间和极值.

【答案】(1)。=1

(2)答案见解析

【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线方程，将点(2,1)代入求解。；

(2)利用导数研究函数单调性和极值.

【详解】(1)由已知得/'(x)=e'-*,

则/'(O)=e°-a=l-a,又"0)=1,

所以/(x)图象在点(0,〃0))处的切线方程为了=(1-。八+1,

将点(2,1)代入得1=2(1-q)+l,解得a=l.

(2)所以/(x)=e-ln(x+l),定义域为(-1,+口),

所以/，(x)=e*----彳=(x+l)e'-l

x+1

令g(x)=(x+l)eI-l,(x>-l),贝I]g(x)=(x+2)e\

易得g'(x)>0在(-1,+8)上恒成立，所以g(x)在(-1,+网上单调递增，

又g(0)=0,所以当T<x<0时，g(x)<0,即/'(x)<0,/(X)在(-1,0)上单调递减,

当工>0时,g(x)>0,即/'(x)>0,〃x)在(0,+8)上单调递增，

所以“X)在X=0处取得极小值，极小值为了⑼=1.

17.已知函数/(x)=x2+alnx.

⑴当a=-2时，求函数的图象在点(e/(e))处的切线方程

(2)当。=一2时,求函数/(力的极值

⑶若g(x)=/(%)+：在口,+8)上是单调增函数，求实数a的取值范围.

2

【答案】(1)歹=?三e-一2x-e?(2)极小值为1,无极大值(3)〃20

e

【分析】(1)利用导数的几何意义函数/(x)的图象在点(e/(e))处的切线的斜率为

(⑥=至二，又/七)=，-2,由直线的点斜式可得切线方程；

e

(2)利用了'(X)的正负讨论/(x)的单调性，即可求得函数/(x)的极值；

(3)由g(x)在1,+8)上是单调增函数,所以g'(x)20在工+s)上恒成立，则。亍23在

口,+动上恒成立，又力(月=t-2工2在口,+功上为单调递减函数，所以"1)=0,可得a".

【详解】(1)当a=-2时，f(x)=x2-2\nx,定义域为(0,+W,

/'(x)=2x-2=空匚，所以函数的图象在点(e/(e))处的切线的斜率为

XX

7p2_0

仆)=^^,又〃e)=e?一2,

e

所以函数“X)的图象在点(e〃e))处的切线方程为了_甘一2)=至二(x-e),

e

2e2—22

即Bny=------x-e.

e

(2)/，(x)=2x—4=W,令r(x)=o,解得x=l,

XX

当xe(0,1)时，f'(x)<0,当xe(l,+8)时，f'(x)>0,

所以/(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+s)上是增函数，

所以/(x)在x=1处取得极小值/(1)=12-21nl=1,无极大值.

(3)因为g(x)=/(x)+1=x°+-+“ln无在口,+。)上是单调增函数，

所以gf(x)=2x-4+-=24广-22o在口,+。)上恒成立，

XXX

2

即2%2在口,+动上恒成立，

X

因为2—在［1,+功上为单调递减函数，

所以当X=1时，*月=指-2/取得最大值，即Mx)max=〃⑴=0,

所以aNO.

18.已知函数/(x)=x+ln(ax)+,xe"(a<0).

⑴求函数的极值;

⑵若集合｛%|/(X)2-1｝有且只有一个元素，求。的值.

【答案】⑴极大值是/(-1)=-1+ln(-4)-工,无极小值；

ae

e

【分析】(1)利用求导，通过参数”0,可分析出了'(X)为正负的区间，从而可以判断了(X)

的极值；

(2)利用不等式有唯一解，则正好是最大值取到等号，再去分析取等号的含参方程有解的

条件，所以重新构造新的函数，通过求导来研究函数的零点和方程的解.

1e1

【详解】(1)由广(x)=(l+x)—+——

xa)

因为加。,所以/(X)的定义域为(一吗。),则雪巨<0,

xa

因为)时,/r(x)>0；时,/r(x)<0.

所以/(%)的单调递增区间为(-力=1)；单调递减区间为(-1,0),

所以x=-l是“X)的极大值点，“X)的极大值是/(-l)=T+ln(F)-：,无极小值.

⑵由⑴可得〃xL*=/(-1)=-1+皿“)-：，

要使得集合｛x|/(x)>-1｝有且只有一个元素，则只需要-l+ln(-a)--^-=-1

设g(x)=T+ln(r).g,则g，(x)=：+!=^^,

因为xe1-时，g'(x)<0；时，g'(x)>0,

所以g(x)的单调递减区间为-；单调递增区间为,o]

所以g(x)1nhi=g[-1]=一1,所以关于。的方程-l+ln(-a)-，=一1有解时，

只能是。=」，

e

所以集合｛X|〃X)NT｝有且只有一个元素时a=-'.

19.已知函数/'(x)=lnx-x.

2

⑴求函数g(x)=/(x)+2x-4Inx——的单调区间和极值;

⑵若不等式/(x)W(a-l)x+l在(0,+句上恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴增区间为(0,1)和(2,+8),减区间为(1,2),极大值为-1,极小值为l-31n2

⑵

【分析】(1)利用导数分析函数g(x)的单调性，可求得函数的增区间、减区间以及极大值、

极小值；

(2)结合参变量分离法可得。2处匕，令〃5)=31,利用导数求出函数/z(x)的最大

值，即可得出实数。的取值范围.

22

【详解1(1)g(x)=/(x)+2x-41nx——=x-3Inx——,

该函数的定义域为(0,+8)，

贝I]g'(x)=1-2+马="2-3：+2=(xT)*-2),列表如下：

XXXX

X(0.1)1(1,2)2(2,+功

g'(x)+0-0+

g(x)增极大值减极小值增

所以,函数g(x)的增区间为(0,1)和(2,+8),减区间为(1,2),

函数g(x)的极大值为g⑴=l-31nl-2=T,极小值为g(2)=2-31n2-l=l-31n2.

(2)当x>0时，由/(x)=lnx-xW(a-l)x+l可得更二」，

X

令以幻=也二1,其中x>0,则〃(Q_：x0nxl)_2ln无，

由“(X)>0可得0VUVe2,由h\x)<0可得%>e?,

所以，函数做X)的增区间为(032),减区间为卜2,+8),

2lne_1

所以,=A(e)=2=4-

所以，«>/!«ax=4-故实数。的取值范围是

20.已知=

(1)求/(x)的单调区间，并求其极值；

⑵画出函数“X)的大致图象；

(3)讨论函数g(x)=〃x)-。+1的零点的个数.

【答案】(1)单调递增区间为(T，+8),单调递减区间为(-8,-2),(-2,-1)；极小值为无

极大值

(2)作图见解析

(3)答案见解析

【分析】(1)求出/''(》)，由/''(》)的正负判断出/(x)的单调性可得极值;

(2)根据的单调性极值可得答案;

(3)转化为函数g(x)的零点的个数即为函数/'(X)的图象与直线了=。-1的交点个数，结合

图象可得答案.

(x+l)e%

【详解】⑴定义域为{幻"-2}/'(X)

(x+2)2

令广(x)=0得，x=-l,

列表如下；

X(-8,-2)(-2,一1)-1(T+8)

/1«--0+

e-17

由上表知，单调递增区间为(-1,+8),

/■(X)单调递减区间为(一叫-2),(-2,-1)；

当x=-l时，/(x)取极小值为「，无极大值；

(2)令/'(功>0得,x>-l；令/'(x)<0得，x<T,

当xf-8时，x+2f-oo,e*fO+,故/(x)f(T；

当x-»+8时，X+2f+8,e*f+oo,故〃x)f+8;

据此信息及(1)可得/(x)的图象，如图所示;

(3)令g(x)=/(x)-a+l=O得/(x)=a-l,

则函数g(x)的零点的个数即为函数〃x)的图象与直线尸。-1的交点个数,

结合图象及(2)可知，当。-1<0或叱1=「，即a<1或a=l+e一时，

函数g(x)有1个零点；

当即°>1+「时，函数g(x)有2个零点

当OVa-lvel即IVacl+J时，函数g(x)有0个零点.

考点03:已知函数在区间上递增(递减)求参数

已知函数/(X)在区间。上单调

①已知/(X)在区间。上单调递增oVxeD,/'(x)»o恒成立.

②已知/(x)在区间。上单调递减oVxeD,/'(x)<0恒成立.

注：I.在区间内/'(x)>0(/'(x)<0)是函数/(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条

件；

2.可导函数“X)在区间(。/)是增(减)函数的充要条件是：Vxe(a㈤都有

/。)巳0(/。户0),且/'(x)在(a,6)的任意一个子区间内都不恒为0；

3.由函数在区间(a,6)是增(减)函数，求参数范围问题，可转化为/。户0(/。户0卜恒

成立问题求解.

21.若函数〃x)=alnx-x的单调递增区间是(0,2),贝()

A.-2B.--C.vD.2

22

【答案】D

【分析】求导可得/(幻=@一1，由/'(》)>0,可得0<x<。，可求J

X

【详解】/v)=--i=—(^>o),

XX

若aWO,则可得/(x)在R上单调递减，

若a>0,令/'(x)>0,可得0<x<a,

所以〃x)在(0,。)上单调递增，

又因为/(x)的单调递增区间是(0,2),所以a=2.

故选：D.

22.已知函数/(x)==x3-x2-2j在(1,+对上单调递增，则实数小的取值范围是()

3x-1

A.B.1c°，；C.[-1,+®)D.

【答案】D

【分析】将“X)在(1,+8)上单调递增，化为了'(x)20对任意xe(L+s)成立，再转化为

m>-x4+4x3-5x2+2x对任意xe(l,+oo)成立，求解即可.

【详解】因为函数/(X)==x3-/一在(1,+8)上单调递增，

3x-1

m

所以/''(X)=X2-2X+-°对任意Xe(1,+00)成立,

UPm>—x4+4x3-5x2+2x对任意xe(1,+co)成立,

令g(x)=-x4+4x3-5x2+2x,

则夕(；(；)=-4/+12工2-10；<：+2=-2(2/-6/+51)=-2(r-1)(2/-4;t;+1),

因为xe(l,+oo),所以x-l>0,

令g'(x)=0,即2x?-4x+l=0,解得x=]+[^或尤=]_1^

因为xe(l,+co),所以x=l+42,

2

（V2）

所以g（x）在1,1上单调递增，在1+已-，+8上单调递减，

7

所以g（x）在x=l+暂时取得最大值为g

4

所以旭当

故选：D.

23.已知函数〃x）=lnx-Q/+X在区间1I,幻上单调递增，则实数Q的最大值是（）

A.1B.-C.—D.g

84123

【答案】B

【分析】将函数求导，从而将函数单调性问题转化为导数不等式在给定区间上的恒成立问题,

继而通过参变分离法求出函数的最值，即可得到参数的范围.

【详解】由函数/（X）在区间［1,2］上单调递增，可得/（耳=：-2"+120在［1,2］上恒成立，

即2。《——H—,

XX

1111「1-

设£=—,则，f0）=t9+3=（£+彳）9--»tG—,1,

x224_

故当t时，即x=2时，/wmin=/（|）=|,

33

故得2〃〈;，即a的最大值为（

故选：B.

24.已知函数/（x）=d-办?+x—5在R上单调递增，则。的最大值为（）

A.3B.-3C.V3D.-V3

【答案】C

【分析】由题意可得了'（X）20恒成立，进而可得出答案.

【详解】/f（x）=3x2-2ax+l,

因为函数=/-ax?+x-5在R上单调递增,

所以/'（x）=3/一2办+1N0恒成立，

则A=4〃—12V0，解得一

所以。的最大值为

故选：C.

25.已知函数/(x)=xlnx-加X?为定义域上的减函数，则用的取值范围是()

A.；，+00)B.(0,1]C.[1,+<»)D.[e,+>»)

【答案】A

【分析】根据题意，将问题转化为2机2生户在xe(0,+o))恒成立，然后利用导数求得函

数最值，即可得到结果.

【详解】/r(x)=Inx+1-2mx,x>0,

由函数/(x)=xlnx-机/为定义域上的减函数，

可得/'(x)W0在xe(0,+8)恒成立，

即In尤+1-2mxW0在xe(0,+co)恒成立,

即2m>生子在xe(0,+劝恒成立，

令g(x)=W：+l,x〉0,HP2m>g(x)max,

则g<x)=”，令g'(x)=0可得x=l,

当xe(O,l)时，g,(x)>0,则函数g(x)单调递增，

当xe(l,+co)时，g,(x)<0,则函数g(x)单调递减，

所以x=l时，g(x)有极大值，即最大值为g⑴=1,

所以2机21,即mN?,所以加的取值范围是

故选：A

/、x.InX.-X.Inx.〜

26.若对任意的演、x2e(0,7〃),且再>z,----------------->3'则的最大值是-

【答案】3/1

e

In+3Inx+3