利用导数研究不等式能成立（有解）问题（含新定义解答题）解析版-2025年高考数学一轮复习

第05讲利用导数研究不等式能成立（有解）问题

（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

1.（23-24高一下•湖北•开学考试）下列选项中是"3xe[l,2],2/一〃a+6＞0"成立的一个

必要不充分条件的是（）

A.m＜8B.m＞8C.m<4^/3D.m<8

【答案】A

【分析】变形得到加，根据函数单调性得到=8,故机＜8，

X\X）LV，」max

由于机＜8是用48的真子集，故A正确，其他选项不合要求.

【详解】e[1,2],2%2—mx+6>0,

即3xe[l,2],m<2%2+6=2^+-j,

其中x=l时，y=2x（l+#8,当x=2时,y=2x12+£|=7,

故12卜+J=8,即〃z＜8,

L'，」max

由于加＜8是mV8的真子集，故"机＜8"的必要不充分条件为“加V8",

其他选项均不合要求.

故选：A

2.（23-24高一上•河北•阶段练习）已知

2

/（x）=ar+l,g（x）=x-2x+2a,3x1,x2e[0,l],/（^）＞g（x2）,则a的取值范围是（）

A.（-00,2）B.（2,+oo）C.D.

【答案】A

【分析】由题意得出“X）1mx求解即可.

【详解】B^,^e[0,l],〃5）＞g®）,所以，/㈤侬＞8（々僵,

g(x)=12_2x+2a=(x—l)2+2a—l在[0,1]上单调递减，所以gl%)讪=2。-1,

当a=0时，/(jq)=l>g(x2)=xf-2X2,即1>X；—2%2，取%=玉=。成立.

当Q<0时，/(x,)max=1,即2。一1<1,得dvL所以〃<0

当〃〉0时，/(玉)3=1+〃，即1+得。<2,所以0<々<2,

综上：。的取值范围是(—,2).

故选：A

ab

3.(23-24高一上•黑龙江哈尔滨•期中)在R上定义新运算jad—bc,若存在实数

ca••

x—4"Z

xe[0,l],使得120成立，则机的最大值为()

1X

A.0B.1C.-3D.3

【答案】A

【分析】由已知可得存在实数xe[0』，使得尤2-4彳之机，则加<(/-4*皿/求出函数

/(x)=f-4x在区间[0』上的最大值，即可得出实数m的取值范围，即可得解.

【详解】由己知，存在实数了目。』，使得.]X=X(A4)T〃20,则机，9一4H鹏，

因为二次函数/("=/一4工在区间[0』上单调递减，则〃冷2=/(0)=0,

所以，m<0,故实数加的最大值为0.

故选：A.

4.(22-23高一上•辽宁营口•期末)已知函数/(x)=x+tg(x)=2'+a,若骂e1,1,

玉2d2,3],使得八%)海(々)，则实数。的取值范围是()

「11「9\

L2)L2)

C.[-3,+00)D.

【答案】C

【分析】根据题意得到/(X)1ntoWg(x)a,根据函数单调性得到〃x)1nm=5,g(x)111ax=8+。,

得到不等式，求出实数。的取值范围是[-3,+e).

【详解】若叫©pl,叫e[2,3],使得“xJVgH),

故只需/(xL〈g(x)1mx，

其中〃x）=x+3在xe1,1上单调递减，故/⑺.=/⑴=1+4=5,

X_乙_

g（x）=2"+a在xe[2,3]上单调递增，故g（x）1mx=g（3）=8+a,

所以5K8+〃，解得：6/＞—3,

实数。的取值范围是[-3,+8）.

故选：C

5.（23-24高一上•浙江绍兴•期中）若存在xe[O,l],有炉+0-a）x+3-。＞0成立，则实数

。的取值范围是（）

【答案】B

【分析】分离参数得a＜*+x+3在上有解,从而,利用对勾函

数的单调性求得最值即可求解.

【详解】因为存在无目0』，有炉+（1_々）％+3-。＞0成立，

所以a＜、+x+3在上有解,所以。＜

X+1

记〃x）=x：：：3,xe[o』],令r=x+ie[l,2],贝|y=£^±2=/+；一1,fe[l,2],

由对勾函数单调性知，y=f+在[1,右）上单调递减，在[迅,2]上单调递增，

3535

又当f=2时，y=f+--1的函数值为:；，当f=l时，y=f+—l的函数值为3,且3＞；,

t2t2

所以。＜3,即实数。的取值范围是（3,3）.

故选：B.

6.（23-24高一上•河北石家庄•期中）在R上定义运算：。㊉6=。（6+1）.已知-14x（1时,

存在x使不等式（〃工-X）㊉（m+x）＜0成立，则实数机的取值范围为（）

A.[m\-2＜m＜1}B.[m\l＜m＜2\C.D.{m|-l＜/n＜2}

【答案】A

【分析】依题意可得当TWx＜l时存在x使不等式/+x＞川+m成立，令〃x）=x2+x,

根据二次函数的性质求出的最大值，即可得到加+加＜2,解得即可.

【详解】依题意不等式（/一X）㊉（4+》）＜0,即（〃LX）W+X+l）＜0,

即（x-7"）（x+〃z+l）＞0,

则当—iWxKl时存在冗使不等式(X-根)(1+m+1)＞0成立，

即当一14x41时存在光使不等式％之+%＞m2+根成立，

令〃%)=%2+%,xe[-l,1],

因为〃x)=(x+g：-;在-1,-1上单调递减，在-上单调递增，

且"-1)=0、/⑴=2、(m，所以〃x)e-;,2,

所以根2+根＜2,解得-2＜加＜1,即实数的取值范围为卜"|-2＜根＜1}.

故选：A

7.(23-24高一上•重庆南岸•期中)已知函数/(X)满足条件：

/'⑴=：,/(x+y)=〃x)"(y),/a)在R上是减函数，若玉:e[l,4],使/卜2)＜16/(〃觊)成

立，则实数机的取值范围是()

A.(-«?,5)B.(-＜»,5]C.(-＜»,4)D.(-oo,4]

【答案】B

【分析】将问题转化为小＜/+4能成立，再利用对勾函数的单调性即可得解.

【详解】因为〃l)=g,〃x+y)="x)"(y),

所以〃2)=〃1).〃1)=；，/(4)=/(2)./(2)=^,

所以/代/16/(尔)，可化为〃侬"A〃X2)="4"(X2)=/(X2+4),

因为/(x)在R上是减函数，所以〃比4炉+4,

所以问题转化为玉目1,4],使如4炉+4成立，即机Wx+土则加+,

X\ymax

4

因为对勾函数y=X+：在[1，2]上单调递减，在r[2,4]上单调递增，

4

所以当％=1或%=4时，y=x+-取得最大值5，

x

所以加05,即机£(-8,5].

故选：B.

8.(23-24高三上•湖南衡阳•阶段练习)已知/(%)=1暇(-%),双%)=2­0,

V^e[-4,-2],3x2e[-4,-2],使|/(七)—烈马)区1成立.则〃的取值范围()

A.[-3,-2]B.[—5,—2]

C.[-3,-1]D.[-4-2]

【答案】B

"x)min+12g(xL

【分析】将问题化为＜在[T，-2]上成立，利用指对数的单调性求对应最

值，再求解不等式解集即可.

【详解】由题设％e[-4,-2],切e[-4,-2],使g（尤2）-14/（占）＜g（%）+l成立,

f(x),+1Ng(x).

所以＜,\/min°\/min在[-4,-2]上成立,

f(x)-l<g(x)

I"\/maxJ\/max

f〃x)1mli+1=〃-2)+1=2

对于/（X）=lOg2（-%），有＜

[〃无)厘一1"(一4)-1=1

g(尤Ln

对于g（球=21,有

g(x)max

2，。＜2-4-a<l

所以卢〉即

-2-a>0

故选：B

二、多选题

9.（22-23高一上■山东临沂•期末）已知函数〃x）=Asin（2无+协-:（A＞0,0＜夕＜。）,

22

g⑺=W交，函数〃力的图像过点（。,1）,且关于直线X=合对称,若对任意的%e[-1,2],

存在%€0,-,使得8（占）＞〃％）,则实数机的可能取值是（）

0

11L

A.—B.—C.—2D.—5

43

【答案】CD

【分析】根据已知列方程可求出“X）的解析式，将问题转化为在给定区间g（x）1nm

恒成立，求出函数/'（X）最小值，然后把问题转化成＞i+m,进而求解即可.

【详解】：的图像关于直线》=三对称,

二9+2xA=E+g(左eZ),即9=E+'l■(左eZ),

由于0＜°＜g,故°=g，

又:函数〃X）的图像过点（0,1）,

1—Asin-----,解得A=.

32

于是"x）=A/§sin（2x+g]-；；

又"对任意占c[T,2],存在今€0,看，使得8（%[）>〃％）"等价于"8（#>[/（力11/，

、[/c兀,-,t兀/c兀,27r

当x£0,一时，一W2xH—G—,

6」333

gp1<A/3sin|^2x+-|^<73,即〃x）21.

于是g（x）=3-?.3>],即指>1+加，

又xe[-l,2],

,331

-F"¥-3'

12

m+1<—EPm<--.

•'-m的取值范围是18,-|].

故选：CD

10.（23-24高三上•广东惠州・阶段练习）已知命题"Vxe[l,2],2*+x-a>0"为假命题，则

实数。的可能取值是（）

A.1B.3C.-1D.4

【答案】BD

【分析】根据题意，由条件可得Jx°e[l,2],2%+x°-aW0〃为真命题，然后分离参数，即

可得到结果.

【详解】因为命题"Vxe[L2],2，+x-a>0"为假命题，

则命题J/£[1,2],2%+%-〃W0”为真命题，

所以在”+%,，石[1，2],

令，（x）=2，+x,xe[L2],因为y=2*为增函数，>=%为增函数，

所以〃x）在[1，2]单调递增，当尤=1时，有最小值，即〃l）=2i+l=3,

所以。23.

故选：BD

三、填空题

11.（23-24高一上•重庆•期末）已知函数/（#=r-2x,若存在xe[2,4],使得不等式

〃力44+3a成立，则实数。的取值范围为.

【答案】(一8,-3卜［0,+8)

【分析】根据存在性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为函数/(x)=x2-2x的对称轴为x=［,

所以当xe［2,4］时，该二次函数单调递增，所以/(%=/(2)=0,

因为存在xe［2,4］,使得不等式3a成立，

所以有々2+3々N0=Q20,或aW-3,

因此实数。的取值范围为(-8,-3M0,+引，

故答案为：(一8,-3］。［0,+8)

12.(21-22高三下•浙江•阶段练习)已知函数〃x)=与三，g(%)=log2x+a,若存在西e［3,4］,

任意无2式4,8］,使得/a)3g(Z),则实数。的取值范围是.

【答案】［一双子

【分析】将问题转化为在对应区间上一(X)m”2g(X)max，结合对勾函数、对数函数的性质求

“X)、g(X)的区间最值,即可求。的范围.

【详解】若/(X)在［3,4］上的最大值/(初皿，g(x)在［4,8］上的最大值€*)2,

由题设，只需/(x)-Ng(x)1nM即可.

在［3,4］上，f{x)=—+x>2.1--x=6当且仅当x=3时等号成立，

XVX

25

由对勾函数的性质："X)在［3,4］上递增，故/⑶

在［4,8］上，g(x)单调递增,则g(%)max=3+Q,

所以323+〃，可得

44

故答案为：,•

四、解答题

13.(23-24高一上广西玉林•期中)已知函数/(耳="+匕(〃>0,且的部分图象

如图示.

⑴求“X)的解析式;

(2)若关于x的不等式+(-26)'：7”<0在［1,+9)上有解，求实数机的取值范围.

【答案】⑴〃尤)=-2

(2)［6,+oo).

【分析】(1)结合图象，利用待定系数法即可得解;

(2)将问题转化为2工+4*〈现在［1,+8)有解，结合函数的单调性即可得解.

【详解】(1)由图象可知函数"x)="+b经过点(T。)和(0T),

1

a~l+b=0a=—

所以解得2,

a0+b=­i

b=-2

所以函数的解析式是〃尤)=-2.

(2)由(1)知工=2,—2b=4,

a

根据题意知2,+平一加V0,即2,+4*W祖在［1,+<»)有解，

设g(x)=2*+4*,则g(x)11dli<m,

因为y=2T和y=甲在［1,+8)上都是单调递增函数，

所以g⑺在［1,+⑹上是单调递增函数，故g(X).=g(1)=6,

所以〃吐6,实数机的取值范围是［6,+8).

14.(22-23高一上•黑龙江大庆•期末)己知函数/(x)=sin2x+cosx-a.

71

(1)求/⑺在-.71上的值域；

(2)当。>0时，已知g(x)=alog2(x+3)-2,若V%女?€。,兀］,使得8(匕)*/(%),求a

的取值范围.

【答案】⑴［—-,一］

⑵1+］

【分析】(1)将/'(X)化为关于C0SX的类二次函数，结合换元法和二次函数性质可求7'(%)

7T

在上的值域；

⑵若VX[训呜,兀],使得g。)”H),则问题转化为：g(x)minN/(X)min

分别求出最值解不等式即可求出参数的取值范围.

【详解】⑴当〃x)=l-cWx+COS……s2x+c°sx+j”[,),

令"COSX,

则/(x)=-t2+/+]_〃=+[—qj£[-1,0],

由于函数＞-在[TO]上单调递增，

故当/=-1时，y取得最小值-1-6/；

当方=o时，)取得最大值1-。，

所以〃元)的值域为[―

(2)若％e[l,5],玉：2eg,无],使得8(占)*/(*)，

则问题转化为：＞/«„.„

因为〃尤)的值域为[―1-a,1—//＞0),

〃x)1m「1-%

g(x)在[L5]上单调递增,

当x=l时，=2。-2；

所以2a—2之—1—a

即〃之二，

3

所以a的取值范围为：ae.

B能力提升

1.(2023•四川绵阳•三模)设函数/(%)为凶-1与炉―2必+々+3中较大的数，若存在工使得

/(龙)40成立，则实数。的取值范围为()

B.「8'-§u[4,+oo)

D.[-1,1]

2

【答案】B

【分析】

根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.

【详解】因为/(%)=max||x|—l,x2—2ax+a+3},

所以八%)代表国-1与炉一2办+〃+3两个函数中的较大者,

不妨假设且(%)=|%|_1,%(力=%2_2依+々+3

g(%)的函数图像如下图所示：

/z(x)=%2—2Q%+Q+3是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=Q,

h(x)=x2-lax+a+3在［—1,1］上是增函数，

4

需要h(-l)=(-1)2-2^(-1)+々+3=3〃+4＜0即

则存在x使得/(力KO成立，

,,4

故〃工一1；

②当一IWaWl时，

h(x)=x2-lax+a+3在［-1,1］上是先减后增函数,

需/(X)min=h(a)=。2—2d•a+a+3=—/+a+340,

BP〃2_々_3之0,

解得心叱好或匕巫，

22

又匕巫＜-1

22

故时无解；

③当。＞1时，

/?(%)=/一2ax+a+3在［T1］上是减函数，

需人(1)=/―2a+a+3=—a+4W0艮［Ja24,

则存在X使得wo成立，

故a".

综上所述，。的取值范围为1-8,。[4,+国).

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是理解/(x)的定义，数形结合对参数。分

a(T-1VaVI,a〉l三种情况进行分别讨论.

2.(22-23高一上•山东潍坊•期末)已知函数〃x)的定义域为。，若同e。，满足

网+*=*则称函数/(尤)具有性质P(a).已知定义在(。,+")上的函数

/(x)=-/+小一3具有性质则实数机的取值范围是()

A.(-co,2]B.C.[2,+oo)D.[4,+oo)

【答案】D

【分析】根据函数新定义可推得“武0,+8),川e(O,+8),/(%)=1-不恒成立，即

/(x)=—y+侬―3,的值域M,满足=求出M,列出不等式，即可

求得答案.

【详解】由题意得定义在(0,+。)上的函数"力=-f+如—3具有性质尸

即5£(0,+8),土；2£(。,+8),满足.+；(%)二；,

即V占€(0,+8)月*2e(O,+8),〃々)=1一罚恒成立；

记函数/(x)=-x2+〃氏一3,xe(0,+oo)的值域为M,1-％e(-＜»,1),

则由题意得

当万40,即机＜0时，/(x)=—3在xe(0,+oo)单调递减，

贝1，(司＜/(。)=—3,即〃=(一8,-3),此时不满足(-8,1)=",舍去；

当g＞0,即机＞0时，/⑺二一炉+3一④彳^似+句在^^时取得最大值，

222

即"XL=一(岁+合一3=?-3,gPM=(-CO,--3],

要满足需丝^_3却，解得〃亚4或相V-4,

4

而机＞0,故机24,即m的取值范围为[4,+oo),

故选：D

【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出%£(0,+。),玉产电+动，〃%2)=1-王恒

成立，继而将问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数/(力二--+如-3的值域，

根据集合的包含关系列不等式求解即可.

3.(2022高三•全国•专题练习)已知关于x的不等式武工-“《^)>加6，有且仅有两个正整数解

(其中e=2.71828为自然对数的底数)，则实数加的取值范围是()

人■/*B.(*，白C卓,*)。最)

【答案】D

【分析】问题转化为m(％+1)〈二(x>0)有且仅有两个正整数解，讨论机<0、加>0并构

ex

造/(x)=m(x+l)、g(x)=二，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范

e

围.

r2

【详解】当%>0时，由f—mxeX—me">0,可得m(冗+1)<—(x>0),

ex

比2

显然当机40时，不等式皿X+1)〈土在(0,+8)恒成立，不合题意；

ex

当机>0时，f(x)=m(x+I),则/(九)在(0,+8)上单调递增，

令g(x)=二，则g，(x)=x(2：x),故(0,2)上g，(x)>0,(2,+8)上g'(无)<0,

exe

.・.g(x)在(0,2)上递增,在(2,+8)上递减，

又/(0)=M>g(0)=0且无趋向正无穷时g(x)趋向0,故g(x)e[o,[,

c1

2m<—

〃D<g⑴e

494

由图知:要使〃尤）<g（x）有两个正整数解,则｛/⑵<g（2）,即«

〃3）*⑶

9

4Am>—

e

故选：D

【点睛】关键点点睛：问题转化为m（x+l）<£（尤>0）有且仅有两个正整数解，根据不等

式两边的单调性及正整数解个数列不等式组求范围.

4.（23-24高一上•上海•阶段练习）已知x为实数，用田表示不大于x的最大整数.对于函

数y=/（x）,若存在〃?eR且机ez,使得/（㈤=/（[加），则称y=/（x）是"O函数若函数

y=-是"。函数"，则正实数。的取值范围是

X

【答案】。40,2）且ae｛VI右｝

4—〃24-6Z2

【分析】由函数定义得且根eZ,m+-------=[m]+--------，且相>[m]>机-1,m[m]>0,

m[m]

2

进而有4一-a7=1能成立，就加的不同取值范围分类讨论后可求参数的取值范围.

m\m\

4-«24-a2

【详解】由题设，BmeR>mZ,m+--------=[m]+--------,m[m]>0,

m[m]

4—a24—a2

所以（乙-丽）（1一一F）=0能成立，即:三=1能成立，则4一片>（）,

m[m\m[m\

所以4-/=m[m]e（0,4],

若加V-3,则同4-3,m[m\>9,舍；

若一34根<一2,则同=-3,m[m\>6,舍；

若-2<机<-1,则[间=-2,2<m[m]<4,此时0<a<&;

^-l<m<0,则同=T,0<m[m]<1,此时若<a<2；

若0W〃z<l,贝|J[加