立体几何中的动态、轨迹问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点20立体几何中的动态、轨迹问题【六大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1动点保持平行的动态轨迹问题】........................................................2

【题型2动点保持垂直的动态轨迹问题】........................................................2

【题型3距离(长度)有关的动态轨迹问题】....................................................4

【题型4角度有关的动态轨迹问题】............................................................4

【题型5翻折有关的动态轨迹问题】............................................................5

【题型6轨迹所围图形的周长、面积问题】......................................................6

►命题规律

1、立体几何中的动态、轨迹问题

“动态、轨迹”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，是高考中的重点、难度问题，它渗透

了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”

的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以

及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.

►方法技巧总结

【知识点1立体几何中的动态、轨迹问题的解题策略】

1.动点轨迹的判断方法

动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断

出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.

2.立体几何中的轨迹问题的常见解法

(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.

(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲

线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为K求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去

参数3化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.

(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动

点的轨迹，再进行求解.

(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进

行求解.

(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问

题，进行求解.

►举一反三

【题型1动点保持平行的动态轨迹问题】

【例1】（2024•全国•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体力BCD-4中，£为棱8c的中点，F

为底面内一动点（含边界）.若DF〃平面&EC1，则动点尸的轨迹长度为（）

A.V3B.V5C.2V2D.V2

【变式1-1]（2024•北京昌平♦二模）已知棱长为1的正方体4BCD-&B1C1D1，M是8位的中点，动点P

在正方体内部或表面上，且MP〃平面4B%,则动点P的轨迹所形成区域的面积是（）

A.yB.V2C.1D.2

【变式1-2]（2024•江西赣州•二模）在棱长为4的正方体4BCD-中，点P满足标=4万，E,F

分别为棱BC,CD的中点，点Q在正方体ABCD-4/1的小的表面上运动，满足力心〃面则点Q的轨迹

所构成的周长为（）

A0「门

A.5V37B.2V37C-7V37D.-8-V-3-7-

333

【变式1・3】（2024•山东枣庄•二模）如图，在棱长为1的正方体/BCD—A/iCiDi中，/是必当的中点，

点尸是侧面CDDiCi上的动点，且.MP〃平面力BiC,则线段VF长度的取值范围为（）

A.他，闾B.[1,当

C.他用口.阿|]

【题型2动点保持垂直的动态轨迹问题】

【例2】（2024•山东潍坊•一模）如图所示，在棱长为1的正方体4BCD-中，点P为截面力也遭

上的动点，若DP1&C,则点P的轨迹长度是（）

A.—B.V2C.-D.1

22

【变式2-1］（2024•海南省直辖县级单位•模拟预测）已知四棱柱4BCD-4/1的£）1的底面A8CD为正方形,

侧棱与底面垂直，点P是侧棱上的点，且DP=2P%,44i=3,48=1.若点Q在侧面BCC/i（包括其边

界）上运动，且总保持力QIBP,则动点Q的轨迹长度为（）

AD

BiG

AB2V3cV5

A.v3B.v2C.D.—

【变式2-2］（2024•广西玉林•三模）在正四棱柱ABCD—4iBiCiDi中，AB=1,44〕=4,E为中点，

P为正四棱柱表面上一点，且CiPLBiM则点P的轨迹的长为（）

A.V5+V2B.2V2+V2C.2V5+V2D.V13+V2

【变式2-3］（2024•广西南宁•一模）在边长为4的菱形力BCD中，^ABC=120°.将菱形沿对角线4C折叠成

大小为30。的二面角AC-D.若点E为8'C的中点，F为三棱锥F-ACD表面上的动点，且总满足2C，EF,

则点尸轨迹的长度为（）

4+巡一迎4+V6+V2

A.B.C.4+V6-V2D.4+V6+V2

22

【题型3距离（长度）有关的动态轨迹问题】

【例3】（2024・四川南充•二模）三棱锥力一BCD中，AB=AC=AD=4,BC=CD=DB=6,P为△BCD

内部及边界上的动点，AP=2V2,则点P的轨迹长度为（）

A.nB.2KC.3nD.4n

【变式3-1］（2024•广东梅州•一模）如图，正四棱柱中，Za=2/B=2,点P是面488遇1

上的动点，若点P到点。1的距离是点P到直线的距离的2倍，则动点P的轨迹是（）的一部分

Di

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【变式3-21（23-24高三上•江西抚州•阶段练习）设43是半径为企的球体。表面上的两定点，且乙408=5

球体。表面上动点M满足MH=gMB,则点M的轨迹长度为（）

.4V6「2V30万4V15卜2V33

A.——TCB.——TCC.------71D.-----TI

751111

【变式3-3］（2023•陕西西安•模拟预测）已知正方体A8CD-4/1的小的棱长为2Vxp是正方形B/C1C

（含边界）内的动点，点P到平面&BD的距离等于苧，则D,P两点间距离的最大值为（）

A.2V3B.3C.3V2D.2V6

【题型4角度有关的动态轨迹问题】

【例4】（2024•全国•模拟预测）已知正四棱锥P-4BCD的体积为竽，底面ABCD的四个顶点在经过球心的

截面圆上，顶点P在球。的球面上，点E为底面力BCD上一动点，PE与P。所成角为9则点E的轨迹长度为（）

A.V2TTB.4伍C.亨D.竽TT

【变式4-1］（2024•海南海口•一模）如图，点P是棱长为2的正方体力BCD-4/的。1表面上的一个动点，

直线4P与平面力BCD所成的角为45。，则点P的轨迹长度为（）

【变式4-2］（23-24高一上•浙江绍兴•期末）已知点P是边长为1的正方体48CD-4/1的。1表面上的动点，

若直线4P与平面4BCD所成的角大小为％则点P的轨迹长度为（）

4

A.3V2B.2V2+TTC.y（4+n）D.2应+］

【变式4-3］（2024•江西•模拟预测）如图，已知正三棱台力BC-A/iCi的上、下底面边长分别为4和6,

侧棱长为2,点尸在侧面BCM/内运动（包含边界），且4P与平面BCC1/所成角的正切值为逐，则所有

满足条件的动点P形成的轨迹长度为（）

【题型5翻折有关的动态轨迹问题】

【例5】（23-24高三上•云南昆明•阶段练习）如图，已知在△力BC中，AB^1,BC^3,AB1BC,D是BC

边上一点，且BD=1,将△力BD沿力。进行翻折，使得点B与点P重合，若点P在平面40C上的射影在△4DC

内部及边界上，则在翻折过程中，动点P的轨迹长度为（）

P

V2V2万近―近

AA.—ITB.—ITC.—TCD.—TC

12864

【变式5-1］（2024•河南•模拟预测）如图，在长方形45CD中，48=2,8C=4,£为8C的中点，将△BHE

沿/£向上翻折到△PAE的位置，连接尸C,PD,在翻折的过程中，以下结论错误的是（）

A.四棱锥P-AECD体积的最大值为2位

B.PD的中点厂的轨迹长度为粤

C.EP,CD与平面口。所成的角相等

D.三棱锥P-4ED外接球的表面积有最小值1611

【变式5-2］（23-24高二上•四川内江•期中）如图，已知菱形力BCD中，AB=2,ABAD=120°,E为边BC

的中点，将△ABE沿力E翻折成△4/E（点/位于平面力BCD上方），连接/C和/D,F为当。的中点，则

在翻折过程中，点F的轨迹的长度为.

【变式5-3］（22-23高二上•广东广州•期末）已知矩形ABCD中力B=3,AD=V3,现将△4CD沿对角线4c

向上翻折（如图所示），若在翻折过程中，点。到点8的距离在［亨，苧］内变化时，点。的运动轨迹的长度

等于.

【题型6轨迹所围图形的周长、面积问题】

【例6】（23-24高三上•广西贵港•阶段练习）正三棱柱力BC-Ai/Ci的底面边长是4,侧棱长是6,M,N

分别为BBi，CCi的中点，若点尸是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，〃平面ABiN,则动点P的轨迹

面积为（）

A.5V3B.5C.V39D.V26

【变式6-1］（2024•河北•模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心

的棱锥为正四棱锥）尸一/BCD的底面正方形边长为2,其内切球。的表面积为与动点。在正方形/BCD

内运动，且满足OQ=OP,则动点0形成轨迹的周长为（）

【变式6-2］（23-24高二下•浙江•开学考试）在正四面体4BCD中，P,Q分别是棱4B,CD的中点，E,F分别是

直线4B,CD上的动点，且满足|PE|+|QF|=a,M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是（）

A.且B.包C.㈣D.对

4242

【变式6-3］（2024・四川"一模）如图，正方体力BCD-&B1C1O1的棱长为3,点E在棱BC上，且满足BE=2EC,

动点M在正方体表面上运动，且则动点M的轨迹的周长为（）

一、单选题

1.（2024・陕西铜川•模拟预测）在正四棱台4BCD-中，A8=24B1=4百，AAt=V10,P是

四边形4BCD内的动点，且&P=4,则动点P运动轨迹的长度为（）

咨渔^

332

2.（2024・辽宁•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体48。。-4/1的。1中，己知M,N,P分别是棱的小,

441，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线QB】与直线的夹角为30。，则点Q的轨迹长度为（）

3.（2024•江西•二模）已知正方体A8CD-&/的。1的棱长为4,点M满足的=3MC,若在正方形力止1的。1

内有一动点P满足BP〃平面AM外,则动点P的轨迹长为（）

A.4B.V17C.5D.4V2

4.（2024・四川成都•三模）在棱长为5的正方体4BCD-&BiCiDi中，Q是。小中点，点P在正方体的内

切球的球面上运动，且CP1AQ,则点P的轨迹长度为（）

A.0B.2圾tC.?D.5n

5.（2024•北京延庆一模）已知在正方体4BCD-&B1C1A中=1,P是正方形4BCD内的动点,P4>PJ,

则满足条件的点P构成的图形的面积等于（）

A.-B.-C.—D.-

84168

6.（2024・上海徐汇•二模）三棱锥P—4BC各顶点均在半径为2位的球。的表面上，4B=AC=2V2,^BAC=

90',二面角P-BC-A的大小为45。，则对以下两个命题，判断正确的是（）

①三棱锥。-4BC的体积为*②点P形成的轨迹长度为2年.

A.①②都是真命题

B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题

D.①②都是假命题

7.（2024・四川成都•三模）六氟化硫，化学式为SF6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,

有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是

正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体E-

A8CD-F的棱长为a,下列说法中正确的个数有（）

①异面直线4E与8F所成的角为45°；

②此八面体的外接球与内切球的体积之比为3b；

③若点P为棱EB上的动点，贝以P+CP的最小值为2^a；

④若点。为四边形4BCD的中心，点Q为此八面体表面上动点，且|。<?|=泉则动点Q的轨迹长度为卓cm.

A.I个B.2个C.3个D.4个

8.（2024•四川绵阳•三模）如图，正方体力BCD—4'B'C'Z/的棱长为3,点M是侧面AZM'D'上的一个动点（含

边界），点P在棱CC'上，且|PC]=I.则下列结论不正确的是（）

A.若保持|PM|=V13.则点M的运动轨迹长度为gn

B.保持PM与BD'垂直时，点M的运动轨迹长度为2企

C.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为2同

D.当M在D'点时，三棱锥B'-MAP的外接球表面积为:TT

二、多选题

9.（2024高三•全国•专题练习）如图，在长方体力BCD—&B1C1D1中，AB=BC=4,A4i=3,M为AD

中点，P为矩形呢1小。内的动点（包括边界），且NDPM=NBPC,贝U（）

A.点P的轨迹为椭圆的一部分

B.点P的轨迹为圆的一部分

C.点P的轨迹与。C,。小所围成的图形面积为||TT-乎

D.点P的轨迹长度为5n

10.（2024•重庆•模拟预测）已知正方体力BCD-41B1C1%的棱长为1,空间中一动点P满足丽=4阮+

〃西（尢〃€R）,M,N,Q分别为441,48,4。的中点，则下列选项正确的是（）

AG

A.存在点P,使得&P〃平面MNQ

B.设力Ci与平面MNQ交于点K,则笠=：

C.若NP4C=30。，则点P的轨迹为抛物线

D.三棱锥P-QMN的外接球半径最小值为甲

11.（2024・湖南益阳•三模）如图，点P是棱长为2的正方体力BCD-的表面上的一个动点，则下

A.当点尸在平面BCC$i上运动时，四棱锥P-441%£）的体积不变

B.当点尸在线段NC上运动时，与&品所成角的取值范围为椁,,

C.使直线AP与平面ABCD所成角为45。的动点P的轨迹长度为IT+4V2

D.若r是公%的中点，当点尸在底面N28上运动，且满足PF〃平面Bi。0时，尸厂长度的最小值为

V5

三、填空题

12.（23-24高三上•江西抚州•期中）已知菱形4BCD的各边长为2,Z.D=60。.如图所示，将△力CD沿力C折起,

使得点D到达点S的位置，连接SB,得到三棱锥S-ABC,此时SB=3.若E是线段S4的中点，点F在三棱锥S-

ABC的外接球上运动，且始终保持EF14C则点F的轨迹的面积为.

13.（2024•江西宜春•模拟预测）如图，在四面体力BCD中，△A8C和△力CD均是边长为6的等边三角形，

DB=9,则四面体4BCD外接球的表面积为；点£是线段的中点，点厂在四面体力BCD的外接球

上运动，且始终保持跖，/C,则点尸的轨迹的长度为.

A

14.（2024•四川遂宁•模拟预测）在直四棱柱ABCD—A/iCi%中，所有棱长均为2,ABAD=60°,P为C£

的中点，点Q在四边形DCCi。］内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（填序号）.

①当点Q在线段CD】上运动时，四面体&BPQ的体积为定值

②