2024-2025学年高二上学期期末复习【第一章 空间向量与立体几何】八大题型归纳（基础篇）（含答案）

2024高二上学期期末复习第一章八大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型1题型1空间向量的线性运算1．（2023上·河南南阳·高二校考阶段练习）求a+2b-3A．2a+3C．2a-52．（2023上·吉林·高二统考期末）空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则AB+12BC+

A．AD B．GA C．AG D．MG3．（2023上·高二课时练习）化简下列算式：(1)32(2)OA-4．（2022·高二课时练习）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C(1)CB+(2)AC+(3)12题型2题型2空间向量数量积的计算1．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.则BC⋅BD=

A．32 B．52 C．922．（2023下·河北石家庄·高一校考期末）正四面体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，PM⋅PN的最大值为（A．13 B．43 C．143．（2023上·辽宁辽阳·高二校联考期末）如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，AE⊥底面ABCD，AE=AB，G为棱BE的中点.(1)证明：AG⊥平面BCE.(2)若AB=4，AD=6，ED=3EF，求4．（2023上·内蒙古·高二校考阶段练习）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D为PC的中点，BE=2

(1)设PA=a，PB=b，BC=(2)若PA=PB=题型3题型3用空间基底表示向量1．（2023上·广西贵港·高二统考期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且PE=3EC，若AB=a,AD

A．38a+C．34a+2．（2023上·山东菏泽·高二校考期末）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P为ADA．12a+C．12a-3．（2023上·全国·高二阶段练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=a，AD=b，AA'=

(1)AP；(2)AM；(3)AN.4．（2023·高二课时练习）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．（1）若G为△ABC的重心，A1M=3MG，设AB=（2）若平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1＝O，求证：OE⊥平面ABC1D1．题型4题型4由空间向量基本定理求参数1．（2023上·贵州贵阳·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是BB1和A1C1A．-1,12,12 B．-1,12．（2023下·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M,N满足PM=12PC，PN=23A．-1 B．1 C．-12 3．（2023上·海南海口·高二校考阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在(1)求证：A，E，C1，F(2)若EF=xAB+y4．（2023上·高二课时练习）如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，(1)AC(2)AE=(3)AF=题型5题型5空间向量运算的坐标表示1．（2023上·广东汕尾·高二统考期末）已知空间向量a=2,-1,2,b=A．4,-2,4 B．2,-1,2 C．3,0,3 D．1,-2,12．（2023上·北京怀柔·高二统考期末）若点A1,2,3，点B4,-1,0，且AC=2CB，则点A．3,0,1 B．2,1,2C．32,-33．（2022·高二课时练习）分别求满足下列条件的向量x：(1)2(-1,5,1)+4x(2)(3,7,1)+2x4．（2022·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D(1)向量AC'，BD(2)AC'+2题型6题型6空间向量数量积运算的坐标表示1．（2023上·北京石景山·高二统考期末）若a=2,3,2,b=A．-1 B．0 C．1 D．22．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知向量a=(1,1,x)，b=(-2,2,3)，若(2a-bA．-3 B．3 C．-1 D．63．（2023·高二课时练习）已知向量a，b，c满足2a+b=0,-5,10，c4．（2022上·新疆巴音郭楞·高二校考阶段练习）已知向量a→=4,2,-4，b(1)2a(2)a→(3)a→题型7题型7利用空间向量证明线、面间的平行关系1．（2023上·高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和A．相交 B．平行C．垂直 D．MN在平面BB2．（2022上·江西·高二统考阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1，当A．1 B．2 C．3 D．53．（2023下·高二课时练习）如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M,N分别是PA,BD上一点，且PM:MA=BN:ND=1:2，求证：MN∥平面PBC.4．（2023上·高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若

求证：(1)BO(2)BO1//(3)平面ACD1//题型8题型8利用空间向量证明线、面间的垂直关系1．（2023·内蒙古包头·一模）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D①平面EFC1⊥②MP⊥A③MP⊥C④EF//平面AA．①② B．①②④ C．②③④ D．①④2．（2022上·上海嘉定·高二校考期中）在正方体ABCD-A1B1C1DA．存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直 B．存在点Q使得DQ与平面C．存在点Q使得B1Q与平面B1CD垂直 D．存在点Q使得3．（2023上·天津·高二校联考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，PA=2．

(1)求证：AE⊥PD；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC．4．（2023上·高二课时练习）如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，

(1)求证：平面O1DC⊥平面(2)若点E,F分别在棱AA1,BC上，且AE=2EA1

2024年高二上学期期末复习第一章八大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型1题型1空间向量的线性运算1．（2023上·河南南阳·高二校考阶段练习）求a+2b-3A．2a+3C．2a-5【解题思路】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案.【解答过程】原式=a+3×2故选：B.2．（2023上·吉林·高二统考期末）空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则AB+12BC+

A．AD B．GA C．AG D．MG【解题思路】利用数形结合思想和空间向量加法法则化简即可．【解答过程】∵M，G分别是BC，CD的中点，∴12BC=∴AB+故选：C.3．（2023上·高二课时练习）化简下列算式：(1)32(2)OA-【解题思路】（1）根据向量数乘运算即可求得答案；（2）根据向量的线性运算，即可求得答案.【解答过程】（1）3=2a（2）OA==BA4．（2022·高二课时练习）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C(1)CB+(2)AC+(3)12【解题思路】（1）（2）（3）利用空间向量的加减法的运算法则和几何意义化简．【解答过程】（1）解：CB+（2）解：因为M是BB1的中点，所以BM=所以AC+（3）解：1=题型2空间向量数量积的计算题型2空间向量数量积的计算1．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.则BC⋅BD

A．32 B．52 C．92【解题思路】根据图形，转化向量，利用向量数量积公式，即可求解.【解答过程】BC===3×=9故选：C.2．（2023下·河北石家庄·高一校考期末）正四面体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，PM⋅PN的最大值为（A．13 B．43 C．14【解题思路】设正四面体ABCD的内切球球心为O，G为△BCD的中心，E为CD的中点，连接AG，BE，则O在AG上，连接BO，根据题意求出内切球的半径，当MN为内切球的直径时，MN最长，化简PM⋅【解答过程】设正四面体ABCD的内切球球心为O，G为△BCD的中心，E为CD的中点，连接AG，BE，则O在AG上，连接BO，则AO=OB因为正四面体的棱长为2，所以BG=2所以AG=AB2(AG-r)2=r2+B当MN为内切球的直径时，MN最长，此时OMPM==PO因为P为正四面体表面上的动点，所以当P为正四体的顶点时，PO最长，PO的最大值为26所以PM⋅PN的最大值为故选：B.3．（2023上·辽宁辽阳·高二校联考期末）如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，AE⊥底面ABCD，AE=AB，G为棱BE的中点.(1)证明：AG⊥平面BCE.(2)若AB=4，AD=6，ED=3EF，求【解题思路】（1）根据已知，利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面ABE，从而得到BC⊥AG，利用等腰三角形的中线性质得到AG⊥BE，然后利用线面垂直的判定定理证明AG⊥平面BCE；（2）以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出AG,【解答过程】（1）证明：因为AE⊥底面ABCD，所以AE⊥BC，又AB⊥BC，AB∩AE=A，AB,AE⊂平面ABE，所以BC⊥平面ABE，则BC⊥AG.因为G为棱BE的中点，AE=AB，所以AG⊥BE，又BC∩BE=B，BC,BE⊂平面BCE.所以AG⊥平面BCE.（2）以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得A0,0,0，C4,6,0，G2,0,2因为AG=2,0,2，所以AG⋅4．（2023上·内蒙古·高二校考阶段练习）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D为PC的中点，BE=2

(1)设PA=a，PB=b，BC=(2)若PA=PB=【解题思路】（1）连接BD,PE，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解；（2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.【解答过程】（1）解：如图所示，连接BD,PE，可得DE=因为D为PC的中点，则BE=2所以AE=所以DE=2（2）解：因为AC=所以AC⋅=-2因为PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，且PB,BC⊂平面PBC,PB⊂平面PAB，所以PA⊥PB,PA⊥BC,PB⊥BC，又因为PA=所以-2所以AC⋅题型3用空间基底表示向量题型3用空间基底表示向量1．（2023上·广西贵港·高二统考期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且PE=3EC，若AB=a,

A．38a+C．34a+【解题思路】结合已知条件，根据空间向量的线性运算法则求解即可.【解答过程】因为PE=3EC，所以因为AC=AB+因为AE=所以DE=故选：D.2．（2023上·山东菏泽·高二校考期末）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P为ADA．12a+C．12a-【解题思路】根据空间向量的加法，减法，数乘向量运算的定义求解即可.【解答过程】CP=故选：C.3．（2023上·全国·高二阶段练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=a，AD=b，AA'=

(1)AP；(2)AM；(3)AN.【解题思路】（1）（2）（3）连接AC，AD'，AC'，根据在平行六面体中各向量对应线段与AB，AD，AA'对应线段位置关系，用【解答过程】（1）连接AC，AD'，

AP=（2）AM=（3）AN=14．（2023·高二课时练习）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．（1）若G为△ABC的重心，A1M=3MG，设AB=（2）若平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1＝O，求证：OE⊥平面ABC1D1．【解题思路】（1）利用向量加法的三角形法则及重心的性质，将AG用基底表示，再在三角形A1AG中，将A1（2）连接C1E，AE，由已知证明△C1EA为等腰三角形，从而OE⊥AC1，同理可证明OE⊥BD1，最后由线面垂直的判定定理证明结论.【解答过程】（1）依题意，A1∵G为△ABC的重心，∴AG=又∵AC=∴A1M==3=1（2）连接C1E，AE，∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，∴C1E＝AE，∴△C1EA为等腰三角形，∵O为AC1的中点，∴OE⊥AC1，同理可证OE⊥BD1，∵AC1∩BD1＝O，∴OE⊥平面ABC1D1．题型4题型4由空间向量基本定理求参数1．（2023上·贵州贵阳·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是BB1和A1C1A．-1,12,12 B．-1,1【解题思路】根据题意用空间基底向量表示向量，结合空间向量的线性运算求解.【解答过程】由题意可得：MN=故x=-1,y=1故选：A.2．（2023下·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M,N满足PM=12PC，PN=23A．-1 B．1 C．-12 【解题思路】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果.【解答过程】

因为PM=12所以MN=2因为MN=xAB+yAD+zAP，所以所以x+y+z=-1故选：C.3．（2023上·海南海口·高二校考阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在(1)求证：A，E，C1，F(2)若EF=xAB+y【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明；（2）把AB,【解答过程】（1）证明：∵=AB∴A，E，C1，F（2）∵=AD∴x=-1，y=1∴x+y+z=14．（2023上·高二课时练习）如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，(1)AC(2)AE=(3)AF=【解题思路】（1）（2）（3）根据空间向量线性运算法则，利用基底表示出所求向量，由此可得结果.【解答过程】（1）AC'=（2）AE=12（3）AF=12题型5空间向量运算的坐标表示题型5空间向量运算的坐标表示1．（2023上·广东汕尾·高二统考期末）已知空间向量a=2,-1,2,b=A．4,-2,4 B．2,-1,2 C．3,0,3 D．1,-2,1【解题思路】利用空间向量坐标的线性运算法则得到答案.【解答过程】2a故选：C.2．（2023上·北京怀柔·高二统考期末）若点A1,2,3，点B4,-1,0，且AC=2CB，则点A．3,0,1 B．2,1,2C．32,-3【解题思路】设Cx,y,z，根据AC【解答过程】设Cx,y,z，则AC因为AC=2CB，所以x-1=24-x故点C的坐标为3,0,1.故选:A.3．（2022·高二课时练习）分别求满足下列条件的向量x：(1)2(-1,5,1)+4x(2)(3,7,1)+2x【解题思路】（1）利用向量的坐标运算即可求解.（2）利用向量的坐标运算即可求解.【解答过程】（1）因为2(-1,5,1)+4x=(2,14,-2)，所以所以x=(1,1,-1)（2）因为(3,7,1)+2x=(6,10,4)-x所以x=(1,1,1)4．（2022·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D(1)向量AC'，BD(2)AC'+2【解题思路】（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标；（2）利用向量的坐标运算加法和减法即可.【解答过程】（1）由已知A0,0,0则AC'=1,2,3（2）ACAC题型6题型6空间向量数量积运算的坐标表示1．（2023上·北京石景山·高二统考期末）若a=2,3,2,b=A．-1 B．0 C．1 D．2【解题思路】直接利用数量积的坐标运算即可求得.【解答过程】因为a=所以a-故选：C.2．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知向量a=(1,1,x)，b=(-2,2,3)，若(2a-bA．-3 B．3 C．-1 D．6【解题思路】根据空间向量的坐标运算可得2a【解答过程】由题意知，2由(2a-b解得x=3.故选：B.3．（2023·高二课时练习）已知向量a，b，c满足2a+b=0,-5,10，c【解题思路】将b=0,-5,10-2【解答过程】由已知b⃑4．（2022上·新疆巴音郭楞·高二校考阶段练习）已知向量a→=4,2,-4，b(1)2a(2)a→(3)a→【解题思路】（1）根据空间向量的坐标的线性运算即可求解，（2）（3）根据空间向量数量积的坐标运算即可求解，【解答过程】（1）由a→=4,2,-4得2a（2）a→（3）a⋅题型7题型7利用空间向量证明线、面间的平行关系1．（2023上·高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和A．相交 B．平行C．垂直 D．MN在平面BB【解题思路】以点C1为坐标原点，分别以C1B1,C1D1【解答过程】以点C1为坐标原点，分别以C1B1,C1因为A1M=AN=2又因为C1D1⊥平面BB可得MN⋅C1且MN⊄平面BB1C1C故选：B.2．（2022上·江西·高二统考阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1，当A．1 B．2 C．3 D．5【解题思路】根据题意可知，以A点为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用共线定理和线面平行的向量解法可确定实数【解答过程】如下图所示：以A点为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；设则A1(0,0,1),B(2,0,0),C(2,2,0),即A1C=(2,2,-1)由A1C即x=2λ则D设平面BDC1的一个法向量为BC1令y1=1，则x由D1P//平面BDC1所以λ=3.故选：C.3．（2023下·高二课时练习）如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M,N分别是PA,BD上一点，且PM:MA=BN:ND=1:2，求证：MN∥平面PBC.【解题思路】根据向量的线性运算及向量共线定理，利用线面平行的判定定理即可求解.【解答过程】由题意知MN=MP+PB+在BC上取点E，使BE=12所以MN∥PE.因为PE⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC.4．（2023上·高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若

求证：(1)BO(2)BO1//(3)平面ACD1//【解题思路】（1）以D为坐标原点，DA,DC,DD1的方向分别为x轴、y轴、（2）求出平面ACD1的法向量n，及直线的方向向量BO1，从而得到（3）可以利用A1C1//平面ACD【解答过程】（1）以D为坐标原点，DA,DC,DD1的方向分别为

依题意知：B(1,1,0)，O1(12,∴BO1=(-∴BO∴BO1//（2）设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z)∵A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1∴AC=(-1,1,0)，A由n⋅AC=0n⋅令x=1，则y=1,z=1，∴n=(1,1,1)又BO∴n⋅BO又BO1⊄平面ACD1（3）证法一

∵A1∴A1C1∴A1C1又AC⊂平面ACD1，A1∴A1C1又由（2）知BO1//平面AC且A1C1⊂平面BA∴平面ACD1//证法二

设平面BA1则u⋅A1C令x=1，得y=1,z=1，∴u=(1,1,1)由（2）知平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1)∴n=u，∴∴平面ACD1//题型8题型8利用空间向量证明线、面间的垂直关系1．（2023·内蒙古包头·一模）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D①平面EFC1⊥②MP⊥A③MP⊥C④EF//平面AA．①② B．①②④ C．②③④ D．①④【解题思路】对于①，根据题意得A1C1⊥B1D1，B1D1//BD，AA1⊥平面ABCD，得A1C1⊥BD,AA1【解答过程】由题知，在正方体ABCD-A1B1C如图，连接A1所以A1C1⊥B1D所以A1因为A1C1所以BD⊥平面AA因为在△BCD中，E,F分别为CD,BC中点，所以EF//BD，所以EF⊥平面AA因为EF⊂平面EF所以平面EFC1⊥由题知，D1A1⊥D1C1⊥设正方体棱长为2，因为E,F,M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，所以M(2,0,1),P(1,1,0),A所以MP=(-1,1,-1),因为MP·所以MP⊥A1D又由①中得，B1D1所以EF//B因为EF⊄平面AD1B1，所以EF//平面AD故选：B.2．（2022上·上海嘉定·高二校考期中）在正方体ABCD-A1B1C1DA．存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直 B．存在点Q使得DQ与平面C．存在点Q使得B1Q与平面B1CD垂直 D．存在点Q使得【解题思路】如图，以D为原点，以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，求出平面B1【解答过程】如图，以D为原点，以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则所以DC=(0,1,0),设平面B1CD的法向量为m⋅DC=y=0m⋅设Q(1,0,t)(0≤t≤1)，对于A，BQ=(0,-1,t)，若BQ与平面B1CD垂直，则BQ与m共线，则存在唯一λ，使BQ=λm，则(0,-1,t)=λ(1,0,-1)，所以0=λ-1=0t=-λ，方程组不成立，所以BQ对于B，DQ=(1,0,t)，若DQ与平面B1CD垂直，则DQ与m共线，则存在唯一