立体几何中的常考经典小题全归类（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点21立体几何中的常考经典小题全归类【十大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1求几何体的体积与表面积】............................................................4

【题型2几何体与球的切、接问题】............................................................6

【题型3体积、面积、周长、距离的最值与范围问题】............................................7

【题型4空间线段以及线段之和最值问题】......................................................7

【题型5空间角问题】.........................................................................9

【题型6空间中的距离问题】...................................................................9

【题型7翻折问题】..........................................................................10

【题型8立体几何中的截面、交线问题】........................................................II

【题型9立体几何中的轨迹问题】..............................................................12

【题型10以立体几何为载体的新定义、新情景题】..............................................13

►命题规律

1、立体几何中的常考经典小题全归类

立体几何是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对该部

分的考查，小题主要体现在三个方面：一是有关空间线面位置关系的判断；二是空间几何体的体积和表面

积的计算，难度较易；三是常见的一些经典常考压轴小题，涉及到空间角、空间距离与轨迹问题等，难度

中等或偏上，需要灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1空间几何体表面积与体积的常见求法】

1.求几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

2.求组合体的表面积与体积的一般方法

求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该

怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单

几何体的体积，再相加或相减.

【知识点2几何体与球的切、接问题的解题策略】

1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.

常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

2.空间几何体外接球问题的求解方法：

空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：

(1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，

确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

⑵补形法：若球面上四点尸〃,8,C构成的三条线段PC两两垂直，且必=a,PB=b,PC=c,一般

把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4尺2=°2+〃+02求解.

⑶截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线

作截面，把空间问题转化为平面问题求解.

3.内切球问题的求解策略：

(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.

(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.

【知识点3几何法与向量法求空间角】

1.几何法求异面直线所成的角

(1)求异面直线所成角一般步骤：

①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；

②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；

③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；

④取舍：因为异面直线所成角0的取值范围是(0,三，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面

直线所成的角.

2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,y],即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的

绝对值.

3.几何法求线面角

(1)垂线法求线面角(也称直接法)；

(2)公式法求线面角(也称等体积法)：

用等体积法，求出斜线现在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.

公式为：sind=4,其中。是斜线与平面所成的角，〃是垂线段的长，/是斜线段的长.

4.向量法求直线与平面所成角的主要方法：

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补

角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余

角就是斜线和平面所成的角.

5.几何法求二面角

作二面角的平面角的方法：

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,

再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

6.向量法求二面角的解题思路：

用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角

的大小.

【知识点4立体几何中的最值问题及其解题策略】

1.立体几何中的几类最值问题

立体几何中的最值问题有三类：

一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；

二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；

三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系.

2.立体几何中的最值问题的求解方法

解决立体几何中的最值问题主要有两种解题方法：

一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；

二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求

最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题.

【知识点5立体几何中的截面、交线问题的解题策略】

1.立体几何截面问题的求解方法

(1)坐标法：所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，进行求解.

(2)几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关

线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.

2.截面、交线问题的解题策略

(1)作截面应遵循的三个原则：

①在同一平面上的两点可引直线；

②凡是相交的直线都要画出它们的交点；

③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

(2)作交线的方法有如下两种：

①利用基本事实3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

【知识点6立体几何中的轨迹问题及其解题策略】

1.动点轨迹的判断方法

动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断

出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.

2.立体几何中的轨迹问题的常见解法

(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.

(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲

线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为K求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去

参数/,化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.

(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动

点的轨迹，再进行求解.

(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进

行求解.

(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问

题，进行求解.

【知识点7以立体几何为载体的情景题的求解策略】

1.以立体几何为载体的几类情景题

以立体几何为载体的情景题大致有三类：

(1)以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；

(2)以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；

(3)以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等.

2.以立体几何为载体的情景题的求解思路

以立体几何为载体的情景题都跟图形有关，涉及在具体情景下的图形阅读，需要通过数形结合来解决

问题.

此类问题的求解过程主要分四步：一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，

即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形一文字一符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图

形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操

作，动态地去阅读图形.

►举一反三

【题型1求几何体的体积与表面积】

【例1】(2024・浙江•模拟预测)清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地.为

了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量

恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm,下底也为正方形，内边长为50cm,

斛内高36cm,那么一斗米的体积大约为立方厘米？()

A.10500B.12500C.31500D.52500

【变式1-1］（2024•江苏连云港•二模）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2,

,242412,12

【变式1-2］（2024•江苏无锡•模拟预测）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活.如

图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为2m,底面半径为4m,。是圆柱下底面的圆心.若

圆锥的侧面与以。为球心，半径为4m的球相切，则圆锥的侧面积为（）

A.SVSirm2B.16V5irm2C.20nm2D.40-rrm2

【变式1-3］（2024・天津和平・二模）如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴

影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切

球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（）

【题型2几何体与球的切、接问题】

【例2】（2024•新疆乌鲁木齐•三模）三棱锥4一BCD中，4D_L平面力BC,^BAC=60°,AB=1,AC=2,

AD=4,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为（）

A.10TTB.20TTC.25TTD.3On

【变式2-1］（2024•海南•模拟预测）已知正方体4BCD-&B1C1%的棱长为2,点N为侧面四边形CDDiCi

的中心，则四面体NCBiM的外接球的表面积为（）

A.2irB.4TTC.6TTD.8TT

【变式2-2］（2024•云南大理•模拟预测）六氟化硫，化学式为SF6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不

燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正

八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如

图所示，正八面体E-4BCD-尸的棱长为a,此八面体的外接球与内切球的体积之比为（）

A.3V3B.2V3C.3V2D.2近

【变式2-3］（2024•安徽安庆•三模）如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底

A.这两个球体的半径之和的最大值为萼

B.这两个球体的半径之和的最大值为《

C.这两个球体的表面积之和的最大值为（6+3班户

D.这两个球体的表面积之和的最大值为詈

【题型3体积、面积、周长、距离的最值与范围问题】

【例3】（2024•广东佛山•模拟预测）如图，在△ABC中，NC边上的高为且8H=AH=3,CH=6,

矩形。EFG的顶点。，G分别在边8/,8c上，E,歹都在边/C上，以/C为轴将△ABC旋转一周，则矩

形。EFG旋转形成的几何体的最大体积为（）

,81_23

A.—TTB.—TTC.12TTD.18TT

82

【变式3-1］（2024・重庆渝中•模拟预测）在三棱锥P-ABC中,AC=BC=PC=2,且力C1BC.PC1平面ABC,

过点P作截面分别交4C,BC于点E,F,且二面角P-EF-C的平面角为60。，则所得截面PEF的面积最小值为

（）

A.-B.-C.-D.1

333

【变式3-2］（2024•河南・一模）已知尸为棱长为巡的正四面体力-BCD各面所围成的区域内部（不在表面

上）一动点，记尸到面4BC,面力CD,面BCD,面2BD的距离分别为后，h,h,%，若九3+储=1，则上+二

232九1的

的最小值为（）

A.2B.—C.史延D.12+4V2

22

【变式3-3］（2024•四川宜宾•三模）已知E,尸分别是棱长为2的正四面体力BCD的对棱力D,BC的中点.过EF

的平面a与正四面体ABCD相截，得到一个截面多边形T,则下列说法正确的是（）

A.截面多边形T不可能是平行四边形B.截面多边形T的周长是定值

C.截面多边形T的周长的最小值是a+逐D.截面多边形T的面积的取值范围是［1,应］

【题型4空间线段以及线段之和最值问题】

【例4】（2024・江西鹰潭•模拟预测）如图，在长方形4BCD中，AB=2,BC=1,£为。。的中点，F为线

段EC（端点除外）上的动点.现将△力FD沿/尸折起，使平面2BD1平面ABC,在平面2BD内过点。

作DK1AB,K为垂足.设BK=t,贝”的取值范围是（）

A.（1,|）B.（1,V2）C.（V2,V3）D.（y,l）

【变式4-1］（2024•北京•模拟预测）在棱长为1的正方体力BCD-4/1的。1中，点F是棱CCi的中点，P是

正方体表面上的一点，若/PIAF,则线段DiP长度的最大值是（）

C.|D.V3

【变式4-2］（23-24高三下•陕西西安•阶段练习）在棱长为2的正方体力BCD-中，P,Q,R分

别为线段BD,的。上的动点，则PR+3QR的最小值为（）

A.2V6B.4V2C.3V5D.5

【变式4-3］（2024•陕西商洛•模拟预测）如图，力C为圆锥S。的底面圆。的直径，点B是圆。上异于4C的动

点，SO=1AC=2,则下列结论正确的是（）

A.圆锥S。的侧面积为8近11

B.三棱锥S-4BC的体积的最大值为孩

C.NS4B的取值范围是

D.若AB=BC,E为线段4B上的动点，则SE+CE的最小值为2（旧+1）

【题型5空间角问题】

[例5]（2024•辽宁沈阳・模拟预测）已知直三棱柱4BC-4/iCi中,Z.ABC=120°,AB=CCX=2,BC=1,

则异面直线AB】与BCi所成角的余弦值为（）

A.更B./C.亚D.坦

2543

【变式5-1]（2024•内蒙古包头•一模）如图，底面48CD是边长为2的正方形，半圆面力PD1底面力BCD,

点P为圆弧4。上的动点.当三棱锥P-BCD的体积最大时，二面角P-BC-D的余弦值为（）

【变式5-2]（2024・四川雅安•一模）如图，在正方体力BCD-力道1的。1中，点P是线段力当上的动点（含端

点），点Q是线段4C的中点，设PQ与平面AC%所成角为仇则cos。的最小值是（）

【变式5-3]（2024•山东临沂•二模）已知正方体）CD—4%的。1中,M,N分别为CQ,的。的中点，则

（）

A.直线与&C所成角的余弦值为半B.平面BMN与平面8的。1夹角的余弦值为部

C.在BQ上存在点°,使得D.在当。上存在点尸，使得P4〃平面BMN

【题型6空间中的距离问题】

【例6】（2023•贵州六盘水•模拟预测）平面a的一个法向量为元=（1,2,2）,力（1,0,0）为a内的一点，则点P（3,l,l）

到平面a的距离为（）

A.1B.2C.3D.VT1

【变式6・1】（2024•广西来宾•一模）棱长为3的正方体/BCD—Z/iCiDi中，点E,产满足印=2前，BF=

2FB］,则点/到直线FC1的距离为（）

3V352V35

AA--B.

5

「3V72V7

c—D.可

【变式6-2］（2024•福建福州•模拟预测）四棱锥E-4BCD的顶点均在球。的球面上，底面A8CD为矩形，平

面BEC1>平面4BCD,BC=V5,CD=CE=1,BE=2,贝1|0到平面ADE的距离为（）

1V2V5

A.B.C.D.

348

【变式6-3］（2024・广西•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体/BCD-4当的小中，E为线段D%的中点,

F为线段8当的中点.直线FC1到平面48把的距离为（）.

1

D.

3

【题型7翻折问题】

【例7】（2024•全国•模拟预测）如图，已知矩形45C。中，E为线段CD上一动点（不含端点），记=a,

现将△川□£沿直线4E翻折到的位置，记直线C尸与直线4E所成的角为氏则（）

A.cosa>cos/?B.coscr<cos/?C.cosa>sin/?D.sincr<cos0

【变式7-1］（2023・浙江台州•二模）已知菱形48CD的边长为3,对角线BD长为5,将△48。沿着对角线BD

翻折至△A'BD,使得线段力'C长为3,则异面直线A'B与CD所成角的余弦值为（）

348

-V-5C--

A.4B.49D.9

【变式7-2］（2024•全国•三模）在平面直角坐标系中，P为圆/+y2=16上的动点，定点4（—3,2）.现将y

轴左侧半圆所在坐标平面沿y轴翻折，与y轴右侧半圆所在平面成殖的二面角，使点4翻折至AP仍在右侧

半圆和折起的左侧半圆上运动，贝以'，P两点间距离的取值范围是（）

A.[V13,3V5]B.[4-V13,7]C.[4-V13,3V5]D.[V13,7]

【变式7-3]（2024•湖南邵阳•二模）如图所示，在矩形4BCD中，AB=瓜力。=1,AF1平面ABC。，且

4F=3,点E为线段CD（除端点外）上的动点，沿直线4E将△D4E翻折到则下列说法中正确的是

（）

A.当点E固定在线段CD的某位置时，点。的运动轨迹为球面

B.存在点E,使平面Z/4E

C.点力到平面BCF的距离为日

D.异面直线EF与BC所成角的余弦值的取值范围是（誓,噜）

【题型8立体几何中的截面、交线问题】

【例8】（2024•河南新乡•三模）已知球。的半径为5,点4到球心。的距离为3,则过点4的平面a被球。所截

的截面面积的最小值是（）

A.9TCB.12nC.16TlD.2On

【变式8-l]（2024•四川绵阳•模拟预测）在长方体ABC。—Ai/CiDi中，A8=2AD=2AAr,点M是线段的小

上靠近％的四等分点，点N是线段CM的中点，则平面AMN截该长方体所得的截面图形为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【变式8-2]（2024・安徽安庆・三模）在正方体48。。—41%的。1中，点民F分别为棱4D的中点，过点E,F,的

三点作该正方体的截面，则（）

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱的交点是棱8名的一个三等分点

C.4C1平面Ci£T

D.平面力/小〃平面CiEF

【变式8-3］（2024•河南•模拟预测）如图，已知直三棱柱4BC-4当好的体积为4,ACA.BC,AC=BC=CC1,

。为％Ci的中点，£为线段/C上的动点（含端点），则平面ADE截直三棱柱4BC-&BiCi所得的截面面

积的取值范围为（）

【题型9立体几何中的轨迹问题】

【例9】（2024•陕西商洛•模拟预测）如图，正三棱柱ABC-4/1的的底面边长是2,侧棱长是2百，M为4的

的中点，N是侧面BCC1/内的动点，且MN〃平面ABC。则点N的轨迹的长度为（）

A.V6B.2C.V2D.4

【变式9-1］（2024•浙江温州•一模）如图，所有棱长都为1的正三棱柱ABC—4B1C1，南=2就，点F

是侧棱上的动点，且万^2葡，H为线段FB上的动点，直线CHn平面力EG=M,则点M的轨迹为（）

B

A.三角形（含内部）B.矩形（含内部）

C.圆柱面的一部分D.球面的一部分

【变式9-2］（2024•四川成都•三模）在棱长为5的正方体4BCD-4/1的小中，Q是。小中点，点P在正

方体的内切球的球面上运动，且CP14Q,则点P的轨迹长度为（）

A.V5TTB.2V5TTC.—D.5n

4

【变式9-3］（2024・四川成都•二模）在所有棱长均相等的直四棱柱ABCD-41%的。1中，^BAD=60°,点

P在四边形A&BiB内（含边界）运动.当CiP=?CCi时，点P的轨迹长度为则该四棱柱的表面积为（）

A.16+4V3B.8+2V3C.4+bD.4日

【题型10以立体几何为载体的新定义、新情景题】

【例10】（2024・天津北辰•三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开

展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，

中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可

以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆锥的高为

4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为（）

【变式10-11（2024・安徽池州•模拟预测）古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中定义了相似圆锥:

两个圆锥的高与底面的直径之比相等时，则称这两个圆锥为相似圆锥.已知圆锥S。的底面圆。的半径为3,其

母线长为5.若圆锥S'。'与圆锥S。是相似圆锥，且其高为8,则圆锥S'。'的侧面积为（）

A.157rB.607rC.967rD.120TT

【变式10-2】（2024・广东江门•模拟预测）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.沙漏由两个完全一样

的圆锥和一个狭窄的连接管道组成，通过充满了沙子的玻璃圆锥从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃圆锥

所需要的时间来对时间进行测量西方发现最早的沙漏大约在公元1100年，比我国的沙漏出现要晚.时钟问

世之后，沙漏完成了它的历史使命.现代沙漏可以用来助眠.经科学认证，人类的健康入睡时间是15分钟，

沙漏式伴睡灯便是一个15分钟的计时器.它将古老的计时沙漏与现代夜灯巧妙结合，随着沙粒从缝隙中滑

下，下部的灯光逐渐被沙子掩埋，直到15分钟后沙粒全部流光，柔和的灯光完全覆盖.就这样，宁静的夜

晚，听着沙粒窸窸窣窣的声音，仿佛一首缓缓流动的安眠曲如图，一件沙漏工艺品，上下两部分可近似看

成完全一样的圆锥，测得圆锥底面圆的直径为10cm,沙漏的高（下底面圆心的距离）为8cm,通过圆锥的

顶点作沙漏截面，则截面面积最大为（）

W

A.40cm2B.41cm2C.42cm2D.43cm2

【变式10-3］（23-24高二上•河南•阶段练习）《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔

各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）.埃舍尔多面体可以用两两垂直

且中心重合的三个正方形构造，定义这三个正方形2n=1,2,3）的顶点为“框架点”，定义两正方形

的交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为Pn，Qn，将极点P1，Q1分别与正方形4282c2%的顶点连线，取其中

点记为Em，工„（6=123,4）,如图3.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成的，这些四棱锥顶点均为

“框架点”,底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解,在图4中构造了其中两个四棱锥&-

。出/252与4-P2E1P3%，则直线Q182与平面&E2P2所成角的正弦值为（）

图1图2

►过关测试

一、单选题

1.（2024•贵州・模拟预测）为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩.已知这批石墩可以看作是一个

圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中AB=2CE=2EF=40cm,AC=10V2cm,则该石

墩的体积为（）

C13000TTO

cm3,C.4000ircm23D.-------cm°

333

2.（2024•江苏南京•模拟预测）已知S0=2,底面半径。遇=4的圆锥内接于球。，则经过S和。〃中点的

平面截球。所得截面面积的最小值为（）

25C25

A.一nB.—nC.-TID.5K

234

3.（2024•陕西榆林•模拟预测）如图，△ABC是边长为4的正三角形，。是8C的中点，沿/。将△ABC

折叠，形成三棱锥人-BCD.当二面角B—AD-。为直二面角时，三棱锥A-BCD外接球的体积为（）

心5V5TTD20的71

A.5TlB.20Tlc

--.3

4.（2024•河南・二模）已知四面体A8CD的各个面均为全等的等腰三角形，且CA=C8=2A8=4.设E为空

间内一点，且五点在同一个球面上，若力E=2百，则点E的轨迹长度为（）

A.IlB.211C.3nD.4n

5.（2024・河南•模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享

平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪

上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知4B和CD是圆。的两条互相垂直的直径，将平

面4BC沿翻折至平面A8C',使得平面4BC'，平面2BD（如图2）此时直线与平面C,BD所成角的正弦值

为（）

6.（2024•安徽•一模）在平行六面体48CD-4道10£）1中，己知A8=力。=A&=1,N&AB=N力遇。=

△BAD=60°,则下列选项中错误的一项是（）

A.直线&C与所成的角为90。

B.线段4修的长度为企

C.直线&C与所成的角为90。

D.直线4忑与平面N3CD所成角的正弦值为当

7.（2024・江苏盐城•模拟预测）棱长为2的正方体4BCD-4/1的小中，设点P为底面公当的以内（含边

界）的动点，则点4cl到平面PBD距离之和的最小值为（）

A.五B.辿C.遮D.空

3323

8.（2024•四川宜宾•模拟预测）已知E,尸分别是棱长为2的正四面体ZBCD的对棱4D,BC的中点.过EF的平面

a与正四面体4BCD相截，得到一个截面多边形T,则正确的选项是（）

①截面多边形T可能是三角形或四边形.

②截面多边形T周长的取值范围是［4,2近+3网.

③截面多边形T面积的取值范围是［1,周.

④当截面多边形T是一个面积为半的四边形时，四边形的对角线互相垂直.

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

二、多选题

9.（2024•江苏扬州•模拟预测）如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体力BCD-41当3。1）

放置在水平面a的上方，点A恰在平面a内，点B到平面a的距离为2,若容器中装有水，静止时水面与表面

的交线与&D的夹角为0,记水面到平面a的距离为d,则（）

A.平面48的。11平面a

B.点小到平面a的距离为8

C.当de（2,8）时，水面的形状是四边形

D.当d=7时，所装的水的体积为与

10.（2024•全国•二模）已知正方体4BCD-4/1的。1外接球的体积为4971了是空间中的一点，则下列命

题正确的是（）

A.若点P在正方体表面上运动，且4P=2,则点P轨迹的长度为2TT

B.若P是棱Ci%上的点（不包括点的,小），则直线AP与CCi是异面直线

C.若点P在线段BCi上运动，则始终有OiPl&D

D.若点P在线段BCi上运动，则三棱锥4-BiPDi体积为定值

11.（2024•湖南