几何压轴题-2023年天津中考数学复习分类汇编（解析版）

专题06几何压轴题

1.(2022•天津)将一个矩形纸片O4BC放置在平面直角坐标系中，点。(0,0),点4(3,0),点C(0,6),点尸

在边。。上(点尸不与点O,C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点尸，并与x轴的正半轴相交

于点。，且NOPQ=30。，点。的对应点。落在第一象限.设。。=心

(I)如图①，当，=1时，求的大小和点。，的坐标；

(II)如图②，若折叠后重合部分为四边形，O'Q,分别与边相交于点E,尸，试用含有f的式子

表示。上的长，并直接写出f的取值范围；

(III)若折叠后重合部分的面积为36，贝卜的值可以是—(请直接写出两个不同的值即可).

【答案】(I)NCTQH=60°,O'(-,-y)；(II)EO'=3f-6(2<f<3)；(III)3或彳

【详解】(I)如图①中，过点。作。于点

图①

在RtAPOQ中，ZOPQ=30°,

ZPQO=60°,

由翻折的性质可知QO=QO'=\,APQO=APQO'=60°,

AO'QH=180°-60°-60°=60°,

i巧

:.QH=QO'-cos60°=~,O'H=43QH=^~,

3

:.OH=OQ+QH,

);

-,'o，(rT

OA=3,

OQ=t,

AQ=3—t.

•・・/EQA=60°,

:.QE=2QA=6-2t,

vOQ,=OQ=t,

,EO,=t-(6-2t)=3t-6{2<t<3)；

(III)如图③中，当点。与/重合时，重叠部分是A4PF,过点尸作PGL/8于点G.

图③

在RtAPGF中，PG=OA=3,ZPFG=60°,

PG

PF==2A/3，

sin60°

•・•ZOPA=ZAPF=ZPAF=30°,

：.FP=FA=26

:.S^PF=；.AF-PG=；x203=36,

观察图象可知当3”t<2百时，重叠部分的面积是定值36，

满足条件的t的值可以为3或W(答案不唯一).

3

故答案为：3或W.

3

2.(2021•天津)在平面直角坐标系中，。为原点，AO48是等腰直角三角形，ZOBA=90°,BO=BA,

7

顶点N(4,0),点8在第一象限，矩形OCDE的顶点E(-],0),点C在y轴的正半轴上，点。在第二象限,

射线。C经过点2.

(I)如图①，求点2的坐标；

(H)将矩形OCDE沿无轴向右平移，得到矩形。，点O,C,D,£的对应点分别为O,C,

D',E'.设。O=f,矩形。O#与AO4B重叠部分的面积为S.

①如图②，当点E在x轴正半轴上，且矩形OC77E，与AO/S重叠部分为四边形时，0E与相交于点

F,试用含有I的式子表示S,并直接写出，的取值范围；

【详解】(I)如图①，过点8作垂足为〃,

由点/(4,0),得。/=4,

•••BO=BA,AOBA=90°,

OH=BH=—OA=—x4=2,

22

:•点、B的坐标为(2,2)；

7

(II)①由点颐一5，0),

得OE=Z，

2

由平移知，四边形O'C'D®是矩形，

7

得NOFD'=90。,O,E,=OE=-,

2

7

;.OE'=OO'—O'E'=t」,ZFEfO=90°,

2

•••BO=BA,AOBA=90°,

ZBOA=ABAO=45°,

/OFE'=90°-/BOA=45°,

NFOE'=AOFE',

7

FE'=OE'=t——，

2

ii7

.-.5.=—OE',FE'=—(t——)2,

AFOK222

117

-S=S..-S.=—x4x2——(t——)92,

△OnABRAFOE22'2，

„1271711

即RnS=——t+-t-----(4„/〈一)；

2282

②a.当4<乙2时，由①知S=—L/+Z7_1Z=—L«—N)2+4,

222822

.•.当％=4时，S有最大值为卫，当£=2时，S有最小值为工，

822

二.止匕时工”S<—；

28

7

b.当一<力,4时，如图2,令OC与交于点DE与DB交于点N,

2

7\2、22、2

ScScScSc=441/101581.1563

•>-=^AB~^OE'N~^O'AM"T(r-T)=一+7一-/+77,

2222o410

此时，当仁"时，S有最大值为国，当/=4时，S有最小值为卫，

4168

.卫史

卡”16；

57

c・当时，如图3,令OC，与交于点〃，此时点。位于第二象限，

22

S=S\OAB_S.O'AM=4-g（4-/）2+4/-4=-g（/-4）2+4,

此时，当/=3时，S有最小值为军，当公,时，S有最大值为汉,

2828

.2331

•'T""T'

综上，S的取值范围为空,,S,国；

816

图①图2

图3

3.（2020•天津）将一个直角三角形纸片CM2放置在平面直角坐标系中，点0（0,0）,点/（2,0）,点8在第

一象限，AOAB=90°,48=30。，点尸在边08上（点尸不与点。，2重合）.

（I）如图①，当。尸=1时，求点尸的坐标；

（II）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点尸，并与x轴的正半轴相交于点。，且。。=。尸，点。的对

应点为。'，设。尸=/.

①如图②，若折叠后尸。与ACUB重叠部分为四边形，O'P,。'。分别与边相交于点C,。，试用

含有/的式子表示O'。的长，并直接写出/的取值范围；

②若折叠后△。'尸。与AO/3重叠部分的面积为S,当1,",,3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.

图①

【答案】(1)吗，争；(II)①。，。=3/4,/<2；②W

【详解】(I)如图①中，过点尸作尸于〃.

图①

NOAB=90°,/B=30°,

NBCM=90。—30。=60。，

ZOPH=90°-60°=30°,

OP=\,

,-.OH=-OP=-,PH=OP-cos300=—,

(II)①如图②中,

由折叠可知，XOPQx'OPQ,

：.OP=O,P,00=00,

OP=OQ=t,

,,

:OP=OQ=OP=OQ,

四边形O尸(7。是菱形，

QOr//OB,

:.ZADQ=ZB=30°,

・・・4(2,0),

:.OA-2,QA=2—t9

在RtAAQD中，00=204=4—2/,

rf

OD=OQ-QD=3t-4f

②当点。落在上时，重叠部分是AP。。，此时f=g,5=也（；）2=殍，

当。＜/,,2时，重叠部分是四边形PQDC,5=牛/2一日（3/一4）2=-尊/+3.一26,

当/=——巫时，S有最大值，最大值=拽，

2x（-雪77

当心1时,S=—,当t=3时,

4

V3c473

综上所述,T"邑—'

4.（2019•天津）在平面直角坐标系中，。为原点，点/（6,0）,点8在y轴的正半轴上，ZABO=30°.矩

形CODE的顶点。，E,C分别在。/,AB,05上，00=2.

（I）如图①，求点E的坐标;

（II）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形。。77月，点C,O,D,E的对应点分别为。，O',

D',E'.设。O=f,矩形。O7XE7与AAB。重叠部分的面积为S.

①如图②，当矩形。077/与AA8。重叠部分为五边形时，CE',£77分别与N8相交于点M,尸，试

用含有t的式子表示S,并直接写出r的取值范围;

②当6,,S,5月时，求，的取值范围（直接写出结果即可）.

a5

【答案】（I）（2,473）；（II）①S=-1-»+8月，其中，的取值范围是：0<?<2；©-„/„6-V2

【详解】（I）,・,点4（6,0）,

OA-6,

•・•OD=2,

.\AD=OA-OD=6-2=4,

•.•四边形CODE是矩形，

:.DE//OC,

ZAED=ZABO=30°,

在RtAAED中，AE=2AD=8,ED=\lAE2-AD2=-42=4G,

OD=2,

.•.点E的坐标为（2,4百）；

（II）①由平移的性质得：077=2,E'D'=473,ME'=OO'=t,D'E'//O'C/!OB,

ZE'FM=ZABO=30°,

在RtAMFE,中，MF=2ME'=2t,FE，=4MF--ME'2=g?_产=®,

・•・s丽E，=aME・FE，=]Xtx亚=%，

丁S短形C，O，D，E，=O'D,E，D，=2x4#=8#，

S—S矩形c，o,o，E，一^\MFE'=8#_-，

2

:.S=--t+^1其中，的取值范围是：0</<2；

2

②当S=G时，如图③所示：

O,A=OA-OO,=6-t,

ZAO'F=90°，ZAFO'=ZABO=30°，

：.O'F=y/3O'A=y/3(6-t)

；.s=；(6-1)X瓜6-1)=6,

解得：t=6—y/2,或/=6+V^(舍去),

t=6—V2；

当S=5石时，如图④所示：

O'A=6-t,D'A=6-t-2=4-t,

O,G=A/3(6-Z),D，F=^(4-t),

S=1[V3(6-?)+73(4-/)]x2=573,

解得：/△，

2

当AS„5A/3时，t的取值范围为f”6-板.

2

5.(2018•天津)在平面直角坐标系中，四边形工。2。是矩形，点0(0,0),点/(5,0),点8(0,3).以点/

为中心，顺时针旋转矩形/O8C,得到矩形尸，点O,B,C的对应点分别为。，E,F.

(I)如图①，当点。落在3c边上时，求点。的坐标;

(II)如图②，当点。落在线段上时，4D与BC交于点H.

①求证\ADB=AAOB；

②求点〃的坐标.

(III)记K为矩形/。3c对角线的交点，S为AKDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可).

3)(III)

；44

图①

V45,0),8(0,3),

/.OA=5,OB=3,

•.•四边形NO8C是矩形,

，AC=OB=3,OA=BC=5,AOBC=AC=90°,

V矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到,

AD=AO=5,

在RtAADC中，CD=y/AD2-AC2=4，

...BD=BC-CD=\,

图②

由四边形ADEF是矩形，得到=90°，

•.,点。在线段BE上，

NADB=90°,

由(I)可知，AD=AO,又AB=AB,ZAOB=90°,

RtAADB=RtAAOB(HL).

②如图②中，由AADB=AAOB,得到ZBAD=ZBAO,

又在矩形NO3C中，OA//BC,

ACBA=ZOAB,

ABAD=NCBA,

BH=AH,设AH=BH=m,则77C=—=5—机，

在RtAAHC中,•••AH2=HC2+AC2,

m2=32+(5-m)2,

（III）如图③中，当点。在线段8K上时，ADEK的面积最小,

最小值=LDE-DK=；x3x（5一呼）=30一:扃,

最大面积=；*。£，*"=；><3><（5+理）=里土誉.

综上所述，30一3.,,s,30+3后.

44

6.(2022•和平区一模)在平面直角坐标系中，A4O5为直角三角形，点。(0,0),点/(0,3),点2在x轴正

半轴上，NCM8=30。，点尸为N8的中点.

(I)如图①，求点尸的坐标；

(II)以点。为中心，顺时针旋转A4。尸，得到△4。耳，记旋转角为&(0。<&<180。)，点/,尸的对应

点分别4，耳.

①如图②，线段04交线段N2于点线段04交线段48于点N,当AOMN为等腰三角形时，求点4

的坐标；

②直线04交直线48于点河，直线。耳交直线N3于点N,当A(WN为等腰三角形时，求(z的度数(直

接写出结果即可).

【详解】(I)•.•点。(0,0),点4(0,3),

/.AO=3,

vZOAB=30°,NAOB=90。,

：.AO=COB,

：.OB=y[3,

.•.点8(50),

■:点、P为AB的中点,

，点尸亭|);

•・・N/O5=90。，点尸是48的中点，

AP=OP=PB,

,\ZAOP=ZOAP=30°,AOBA=60°,

ZOPB=ZPOB=ZOBP=60°,

・・•以点。为中心，顺时针旋转A4O尸，得到△4Q6，

,ZAOP=N&OA=30°,CM==3,

•・•OM=ON,

ZONM=ZOMN=75°,

ZAOM=AOMN-AOAB=45°,

/MOB=45°,

,/AXH_L%轴，

/AQH=/OA1H=45。,

:.OH=AH=—OA

l121l2

占.3723后、

..点4（-^―，-^―）；

②如图②，茗OM=ON,旋转角a小于90。时，如图②，由①可知：a=45。,

如图③，当旋转角=90。时，如图③，此时点M与点3重合，

•・•以点。为中心，顺时针旋转A4O尸，得到

ZBON=30°=ZAOP,

•・•AABO=60°,

ZONB=ZABO-ZBON=30°,

ZOBN=ZONB,

:.OM=MN,

AO肱V是等腰三角形，

cc=Z.AOAX-90°；

如图④，当OM=ON,旋转角a大于90。时，如图④,

•.・以点。为中心，顺时针旋转A4O尸，得到△4。片,

NAOP=N/Q耳=30°,

:.ZMON=150°,

OM=ON,

ZOMN=ZONM=15°,

a=ZAOA1=\S00-ZOAB-ZOMN=U5°,

综上所述：a的度数为45°或90°或135。.

7.(2022•南开区一模)将一个矩形。48c放置在平面直角坐标系中，点/(5,0),C(0,2),点尸为BC边上

的动点(点尸不与点8,C重合).

(I)如图①，当NCOP=60。时，求点P的坐标；

(II)沿。P折叠该纸片，点C的对应点为CL设CP=Z.

①如图②，若点。在第四象限，PC与。/交于点。，试用含有t的式子表示折叠后重叠部分的面积，并

直接写出，的取值范围；

图①图②

【答案】(I)P(2V3,2)；(II)①%oD=[^(2<f<5)；②[,",,3

【详解】(I)•.•四边形/OC5是矩形，

NBCO=90°,

PC=OC-tanACPO=2-tan60°=2c，

P(2A/3,2)；

(II)①•.•四边形4OC8是矩形，

:.OAIIBC,

ACPO=APOD,

由折叠可得，

ZCPO=ZDPO,PC=PC=t,OC'=OC=2,

/.APOD=ZDPO,

/.OD=PD,

设OD=PD=x,则。C'=/—x,

在RtADOC中，由勾股定理得，

222

OD-CD=COf

——x）2=4f

11产+4r-4-4

.•.重合部分S“OD=-ODOC=-----------x2=-——（2<t<5）；

222/2/

②当0<力,2时，

当"Lx2/=3时，

24

3

..t=一，

4

当工x2/=»时，

26

t=—（舍去），

6

当—„t„2时，—„S„--，

446

当2</<5时，

1+413

2t一不'

4

/.t,=—（舍去），心=3，

3

当，＞2时，上“+二4随，的值增大而增大，

2t

,•2”tn3，

综上所述-t„3，

4

8.(2022•红桥区一模)在平面直角坐标系中，O为原点，点4(-2,0),8(6,0),点C在歹轴的正半轴上,

ZACB=90°.

(I)如图①，求点。的坐标；

(II)将A4OC沿％轴向右平移得△40，。，点/,C,。的对应点分别为H,O',C.设OO，=E,△

A'O'C与\OBC重叠部分的面积为S.

①如图②，△4。，。与AO8C重叠部分为四边形时，A'C,分别与8c相交于点。，E,试用含有f

的式子表示S,并直接写出，的取值范围；

②当S取得最大值时，求，的值(直接写出结果即可).

图①图②

【答案】(I)C(0,2回(II)①5==-%+2向2“f<6)；②/喑时，S有最大值.最大值为

2473

13

【详解】(I)如图①，•••4-2,0),2(6,0),

:.OA-2,OB=6,

•・•AAOC=ZBOC=ZACB=90°,

ZACO+ABCO=90°,ZBCO+ACBO=90°,

:./ACO=/CBO,

AAOC^^COB,

.AOCO

,~CO~~OB'

CO2=OA-OB=n,

co>o,

OC=2百，

C(0,26)；

(II)①如图②中,

OA

ACAO=60°,

NACO=ZC=/ABC=30°,

•・.OO'=t,

BOf=6-t,

一），

CEf=273-—(6-0=—

33

D'E'=-C'E'=—t,C'D'=^3D'E'=-t

262

2

•v_vS«C，DE=-x2x2V3--x—Zxl/=-—?+273(2,,f<6)；

,•0~^^A'O'C△226224

13vL24、22473

——)+——

241313

.•"=色时，S有最大值，最大值为处g,

1313

当2,,/<6时，t=2时，S的最大值为小8,

6

11V32473

------<-------，

613

.」=二时，s有最大值.最大值为处8.

1313

9.(2022•河西区模拟)如图，将一张矩形纸片48CD放入平面直角坐标系中，/(0,0),8(8,0),£>(0,6),

尸为边上一点，将A48尸沿AP翻折，折叠后点N的对应点为4.

(I)如图①，当折叠后点工的对应点4正好落在边。C上时，求HC的长和H的坐标；

(II)如图②，当点尸与点。重合时，点工的对应点为4,与。C相交于点E,求点E的坐标；

(III)如图③，若沿翻折后尸H与CO相交于点E,恰好用4'=£0,84与CD相交于点尸，求点尸的

坐标.(直接写出答案)

【答案】(I)A'C=2S,

【详解】(I)•.•矩形A8C®，由题知2O=3C=6,AB=DC=8,

由折叠知，02=48=8,

在RtABCA'中，ZC=90°,

由勾股定理得，A'B2=A'C2+BC2,

HC=M-6。=2疗,

:.A'D=8-2班,

:.A1铠-2币,6）；

(II)•.•四边形/BCD是矩形，

DC//AB,

NABD=ZBDC,

由折叠知，ZABD=ZA'BD,

NBDC=ZA'BD,

ED=EB,

设DE=x,贝!|E8=x,EC=8-x,

在RtAECB中，EB-=EC2+BC2,

即X2=62+(8-X)2,

解得x=空,

4

:.DE=—,

4

号，6)；

(III);NA'EF=NDEP,EA'=ED,AA'=APDE=90°,

KEFA=APED(ASA),

EF=PE,A'F=PD,

令PD=y,贝！］尸8=尸=8-y,FC=DC-DE-EF=CD-PA'=8-(6-y)=2+y,

BC=6,

由勾股定理得，FB2=FC2+BC2,

即(8-y)2=(2+4+62,

解得y=g，

力尸=6)=土

55

24

.■-my).

10.(2022•和平区二模)将一个直角三角形纸片/5C放置在平面直角坐标系中，N/C5=90。，点/(4,0),

点C(0,2),点。(0,0),点3在X轴负半轴，点E在线段NO上以每秒2个单位长度的速度从工向点O运动,

过点£作直线£尸，x轴，交线段/C于点尸，设运动时间为t秒.将A4EF沿M翻折，使点N落在x轴上

点。处，得到A£＞斯.

（I）如图①，连接。C,当NCD厂=90。时，求点D的坐标.

（II）①如图②，若折叠后AZ）E尸与A45C重叠部分为四边形，。尸与边8c相交于点"，求点M的坐标

（用含/的代数式表示），并直接写出r的取值范围；

②AZ）跖与A43C重叠部分的面积为S,当士,2时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.

2

【答案】⑴a。；（U）①建言手,25②”,1

【详解】（I）・・・/ACB=90。，

ZOCB+ZOCA=90°,

-ZAOC=90°,

/.ZOAC+ZOCA=90°,

ZOAC=ZOCB,

•・•点/(4,0),点C(0,2),点0(0,0),

tanZOAC=ta.nZOCB,

.PC2OB\

…O4~4~OC~2f

OB

----=—,

2---2

:.OB=1,贝lj5(-1,0),

当NCD尸=90。时，ZODC+ZADF=90°,

•・•ZODC+ZOCD=90°,

ZOCD=ZADF,

由折叠得ZADF=ZOAC,

ZOCD=ZOAC,

由题意得ZE=2和

•・•直线£下_1、轴,

/八。EFOC

.tanNO4C=----------

AEOA2

EF=t,

tanZ.OAC=tanZOCD=—,

2

OD1

-----=—r

2---2

，OD=1.

.•.点。的坐标为(1,0)；

(II)①由题意得/E=QE=2gBE=5—2t,OE=4—2t,

OD=4t-4,

D(4-4Z,O),b(4—2fJ),

设直线。尸的解析式为>=京+6,

仔-旬3=。，k=-

2

(4-2t)k+b=t

b=2t-2

厂.直线的解析式为y=；x+2f-2,

•/5(-1,0),C(0,2),

同理得直线BC的解析式为y=2x+2,

4/8

y=2x+2x二

解得<3

y=­x+2f—28Z-10

2尸

3

“/中—88Z-10

川(丁3)

若折叠后NDEF与AABC重叠部分为四边形,

由图可得即2，>5—2，，

解得/>3,

4

•・•点E在线段40上以每秒2个单位长度的速度从4向点O运动,

:.t<2,

的取值范围为*<f<2；

②当L,，,，*时，重叠部分为AZ)石下的面积，

24

C11?

SADFF=—DE-EF=—x.2t't=t,

由22

%=工时，S=—1%=*时，S=—-，

24416

「•当t,,—时，—„S„­；

24416

当3<£,,2时，重叠部分为四边形5瓦的的面积,

4

,四边形班五M=SgEF-S^DM

由①知：8(-1,0),£>(4-4/,0),选段)，

，二一1一4+4%=4,一5,

c1810”「、16/一401+25

S^DM=-.——(务-5)=-----------------，

20)75

—13t---------H------------

-2s216t2—40/+25-13/+40%-25113J13

一3四边形5EFM=t~、空DM=t='

.•.当公小时，S有最大值为纪，

1313

.小5,2525

•.三一<t„2时，—<S„­；

41613

综上，s的取值范围为L,s,”.

413

11.2022•西青区一模)在平面直角坐标系中，点4(2,0),点2(0,2)分别是坐标轴上的点,连接AB.把M.BO

绕点8逆时针旋转得△H8O.点/,O旋转后的对应点为点4,。.记旋转角为c.

(I)如图①，当点。落在48边上时，求夕的值和点。的坐标：

(II)如图②，当夕=60。时，求的长和点。，的坐标：

(III)连接/OL直接写出在旋转过程中面积的最大值.

【答案】(I)a=45°,O'(41,2-V2)；(II)AA'=2420(6，1);(III)272+2

【详解】(I)如图1,过点。'作03_L08于。,

图1

v5(0,2),4(2,0),

OB=OA=2,

.•.A4O8是等腰直角三角形

NABO=45°

:.NBDO'是等腰直角三角形

由旋转的性质可知，a=45°,BO=BO'=2,

BD=O'D=6

O'(V2,2-V2)；

(II)如图2,过点。作。0_L08于点〃，

图2

在瓦中，O'B=2,ZOBO'=60°,

ZHO'B=30°,

:.BH=-O'B=\,O'H=43,

2

。(百，1)；

由旋转得：ZABA'=60°,AB=A'B,

AABA'是等边三角形，

AA'=AB=2V2；

=2是定值，

.•.在旋转过程中当NG最大时，△204面积最大，

如图4,当NO'过点2时最大，此时NO=2啦+2,

答：在旋转过程中面积的最大值是2拒+2.

12.(2022•河北区一模)将一个含30。角的直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，AOAB=30°,

点2(0,2).D是边42上一点(不与点4,3重合)，沿OD折叠该纸片，得点3的对应点C.

(I)如图①，当点C落在48边上时，求NC的长；

(II)如图②，当。C//y轴时，求点C的坐标；

(III)当DC所在直线与x轴的夹角为60。时，求点。的坐标(直接写出结果即可).

图①图②

【答案】(I)2；(II)C(V3,-1)；(III)(3-百，3-6)或

【详解】(I)由题意知，08=2,ZAO3=30°,AOBA=60°,ABOA=90°,

・••沿OD折叠该纸片，得点B的对应点C,

OB=OC,AOBA=NOCD=60°,ZBOD=ZCOD,

.­.AB=2OB=4,OA=2^3,

A(2y/3,0),

•.•。在N8上，AOBA=ZOCD=60°,OB=OC,

NOBC是等边三角形，

BC=OB=2,

:.AC=AB-BC=4-2=2；

(II)・.・DC//y轴，

DC!/OB,DCJ_x轴，设。C交x轴于点X,

:.ZBOC+ZOCD=18Q°,

AOBA=AOCD=60°,

：.zBOC=no°,

NCOA=ZBOC-AAOB=30°,

OB=OC=2,

CH=1,OH=6,

C(V3,-1)；

(III)设。C与。4交于点“，如图,

当点C刚好落在x轴上时满足要求，此时X与点C重合,

NBOD=ZCOD=45°,

二。点的横纵坐标相等，

过点。作。ELO5于点E,则有OE=E〃，

在RtABED中，BE=-DE,

3

巧

:.OB=2=OE+BE=DE+—DE,

3

解得。E=3-6，

r>(3-V3,3-V3)；

当NO〃C=60。时，也满足要求，如图，

作OG±OA于点G,

y

/.AOCH是等边三角形，

,,OC=CH=OH=2,

AH=AB-OH=2y/3-2,

ZOHC=ZOCH=ADHG=60°,AOAB=30°,

ZHDA=90°,

即HZ)_L4。，

/HDG=30°,

巧

:.HG=—DG,AGfDG,

3

—DG+y/3DG=AH=2y/3-2,

3

OG=OH+GH="，,

2

~3+63-拒、

22

综上所述，点。的坐标为(3-6，3-百)或(号3,七黄)・

13.(2022•西青区二模)将一个矩形纸片。48。放置在平面直角坐标系中，点4(6,0),C(0,2),点、P为BC

边上的动点(点尸不与点8,C重合)，连接。尸.

(I)如图①，当/COP=60。时，求点尸的坐标；

(II)沿。尸折叠该纸片，点C的对应点为设CP=f,折叠后的图形与矩形6Mse重叠部分的面积为

S.

①如图②，当点"在第四象限时，与。4交于点。，试用含有f的式子表示S,并直接写出/的取值范

围;

【详解】(I)•.・四边形49C5是矩形，

ZBCO=90°f

PC=OC♦tan/COP=2•tan60°=273,

P(2A/3,2)；

(II)①:四边形AOCB是矩形，

OA//BC,

ZCPO=APOD,

由折叠可得，

ZCPO=ZDPO,PM=PC=t,OM=OC=2,

APOD=ZDPO,

OD=PD,

^,OD=PD=x,贝=£—x,

在RtADOM中，由勾股定理得，

ODi2-MD2=MO?,

—(t—x)2=4,

i1r+4〃+4

「•重合部分5心0°=—。6。。=-------x2=--------(2</<6),

222，2，

C/+4/C/、

/.S=―--(2</<6)；

②当0＜力，2时,

当Lx2%=工时,

23

1

t=一,

3

当”2时，

—x2/=2,

2

「•当—„t„2时，S„2，

33

当2<£<6时,

当上时,

「.4=1(舍去)，=4，

2<t„4,

当，＞2时，L”二+4随f的值增大而增大，

2t

2＜t„4,

综上所述，，的取值范围为L",,4.

3

14.(2022•河东区一模)如图①，将一个直角三角形纸片/8C放置在平面直角坐标系中，点/(-2,0),点

8(6,0),点C在第一象限，44c8=90。，ZCAB=30°.

(I)求点C的坐标；

(II)以点8为中心，顺时针旋转三角形/8C,得到三角形点/,C的对应点分别为。，E.

(i)如图②，当。E///8时，2。与y轴交于点尸，求点尸的坐标；

(ii)如图③，在(i)的条件下，点/不变，继续旋转三角形8DE,当点。落在射线3c上时，求证四

边形ED防为矩形；

(出)点尸不变，记尸为线段ED的中点，。为线段矶)的中点，求尸0的取值范围(直接写出结果即

可).

【答案】(I)C(4,273)；(II)(i)F(0,2V3)；(ii)见解析；(出)2V3-2,,PQ„273+2

【详解】(I)解：过点C作CG_Lx轴，垂足为G.

/.OA-2,OB=6,

二.AB=8,

又•••N/C5=90。，ZCAB=30°,

BC」AB=4,

2

在RtAGBC中，ZCBG=60°,

5G=5C-cos60°=2,CG=5C-sin60°=273.

...OG=OB—BG=4,

又・・•点C在第一象限,

C(4,2V3)；

(II)(i)解：如图②中,

•.•以点8为中心，顺时针旋转三角形ABC,得到三角形点N,C的对应点分别为。，E,且

DEIIAB,

NFBA=NEDB=ZCAB=30°.

在RtAFOB中，08=6,

OF=273,

F(0,2拘；

•.•点。落在射线5c上，

NABD=60°.

由（i）知，ZFBA=30°,

ZFBD=30°.

•••ZFBD=2BDE,

DE/IFB.

又DE=FB=4e,

四边形EDE8是平行四边形.

又ABED=90°,

二.四边形EDE8是矩形;

(iii)解：如图③-1中，连接EF.

:.PQ=^EF,

BF=2OF=473,BE=BC=4,

473-4,,EF„4e+4,

273-2„PQ„273+2.

15.(2022•滨海新区一模)将一个平行四边形纸片/2CA放置在平面直角坐标系中，。为原点，点

/(-2,0),点8(1,0),点。在y轴正半轴上，ZDAB=60°.

图①图②

(I)如图①，求点D的坐标；

(II)剪切下AADO并将其沿x轴正方向平移，点工的对应点为H,点。的对应点为ZX,点。的对应点

为O,设。O=f,△4。'。'和四边形。8。重叠部分的面积为5.

①如图②，若平移后和四边形O8CC(重叠部分是五边形时，交y轴于点£,09交3c于

点尸，试用含有/的式子表示S,并直接写出/的取值范围;

②当2,”,日时，求s的取值范围(直接写出结果即可).

33

【答案】(I)D(0,2®(II)®S=-y/3t2+3y/3t--(l<t<2)；S„—

2184

【详解】(I)•.•点4-2,0),

/.OA=2,

在RtAADO中，ADAO=60°,

DO=OA-tanZDAO=2xtan60°=2A/3,

又•.・点。在y轴正半轴上，

Z)(0,2V3)；

(H)①由平移知，A'O'=AO=2,D'O'=DO=243,ND'A'B=NCBO'=60。,

由。O=f知，A'O=A'O'-OO'=2-t,BO'=OO'-OB=t-l,

在小△HEO中，EO=A'O-tanZEA'O=(2-Z)-tan60°=73(2-?),

••・邑北。=；4。。后=；(2-)义百(27)=《(2-)2，

同理又四=：8O'-FO'=等(一I)?，

又...$一皿。，=L4。*D,O,=-x2x2V3=273,

即5=-后+3而-1（1＜，＜2）；

②当”—时，如图，设。。与交于点”，

3

2

/.OO,=-=AA',

3

24

OAr=2—=—,

33

OH=OHxtan60°=—V3，

3

•・•O'D'=273,

同理可得：当方=1时，S=-----,

2

即当!“G时，竽,,S”孚，

向

当1</<2时，由①得：S=-43t2+3y/3t--,

2

v-V3<0,S有最大值,

3M

2x(-加

当2<f,,»时，如图，设BC与。77的交点为尸，

3

八y

同理可得：AA'=OO'=t,OB=1,AO=A'O'=2,D'O'=273,ZFBO'=60°,

.­.BO'=OO'-AB=t-1,FO'=BO'-tan60°=V3(f-1),

22

■-S=SMD0-=^-x2x2V3--1)xV3(z-1)=2A/3-(t-1)=-^-(t-l)+273,

va=--<0,当时，S随，的增大而减小，

2

当f=|时，S最小值=-**审+24=器，

涉上11V3<7百

纤_L,—~―n>,~~•

184

16.(2022•天津一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A4O8为直角三角形，08在x轴上，

AOAB=90°,45=3,05=5,把A4O2绕点8顺时针旋转，得△4。2,点工,。旋转后的对应点为

A',。'.记旋转角为a.

(I)如图①，若a=30。，求。'点的坐标；

(II)如图②，若a=90。，求4点的坐标；

(