几何图形-2022年浙江中考数学复习（解析版）

2022浙江中考复习21年各市中考真题汇编5几何图形

1.（2021•台州）小光准备从/地去往8地，打开导航、显示两地距离为37.76，但导航提供的三条可选

路线长却分别为45初?，50km,51km（如图）.能解释这一现象的数学知识是（）

51公・

A.两点之间，线段最短B.垂线段最短

C.三角形两边之和大于第三边D.两点确定一条直线

【分析】根据线段的性质，可得答案.

【解答】解：从工地去往8地，打开导航、显示两地距离为37.7E?,理由是两点之间线段最短，

故选：A.

2.（2020•衢州）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形/BCD的边长为

4dm,则图2中//的值为_(4+V?)_dm.

图1图2

【分析】根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解.

【解答】解：•.・正方形N2CA的边长为4dm,

二②的斜边上的高是2而，④的高是1所，⑥的斜边上的高是Id机，⑦的斜边上的高是行加，

二图2中〃的值为（4+叵）dm.

故答案为：（4+收）.

3.（2021•台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若Nl=47。，则/2=（）

A.40°B.43°C.45°D.47°

【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质和三角形内角和定理得出答案.

【解答】解：方法1：如图，vZ1=47°,N4=45。，

/.N3=N1+N4=92。，

•・,矩形对边平行，

N5=N3=92。，

•・•Z6=45°,

...Z2=180。一45°-92°=43°.

方法2：如图，作矩形两边的平行线，

•・•矩形对边平行，

N3=N1=47°,

•・•N3+N4=90°,

Z4=90°-47°=43°

/.Z2=Z4=43°.

故选：B.

4.（2020•宁波）A5■和AFG”是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形/8C

内.若求五边形。石加的周长，则只需知道（）

A

D,

BGEC

A.A45C的周长B.A4尸〃的周长

C.四边形必G〃的周长D.四边形4QEC的周长

【分析】证明A4FH二AC7/G(44S),得出4尸二。7.由题意可知B£=FH,则得出五边形厂的周长

=AB+BC,则可得出答案.

【解答】解：•.•△G产〃为等边三角形，

FH=GH,ZFHG=60°,

ZAHF+ZGHC=120°,

・・・A45C为等边三角形，

AB=BC=AC,ZACB=ZA=60°,

ZGHC+ZHGC=120。，

/.ZAHF=ZHGC,

\AFH=^CHG(AAS),

/.AF=CH.

vABDE和NFGH是两个全等的等边三角形，

:.BE=FH,

二.五边形DECHF的周长=QE+CE+C"++。尸=+CE+4尸+，

二(BD+DF+AF)+(CE+BE),

=AB+BC.

.•.只需知道A45C的周长即可.

故选：A.

5.(2021•台州)如图，在四边形ZBCQ中，AB=AD=20fBC=DC=10y[2.

(1)求证：\ABC=\ADC；

(2)当N5C4=45。时，求的度数.

B

【分析】（1）根据已知条件利于SSS即可求证AABC=A4DC；

（2）过点3作于点E,根据已知条件利于锐角三角函数求出BE的长，再根据RtAABE边的关系

即可推出NA4c的度数，从而求出48/。的度数.

【解答】解：（1）证明：在A4BC和A4OC中，

AB=AD

<BC=DC,

AC=AC

KABC=AADC(SSS)；

（2）过点3作8EL/C于点E,如图所示,

ZBCA=45°,SC=10V2,

BEBEV2

sin/BCA=sin45°=

~BC10V2-2

BE=10,

又♦.•在RtAABE中，AB=20,BE=10,

NBAE=30°,

又,:KABC=NADC,

ABAD=NBAE+ZDAC=2NBAE=2x30°=60°.

6.（2021•杭州）在①=,②NABE=/ACD,③FS=尸。这三个条件中选择其中一个，补充在下面

的问题中，并完成问题的解答.

问题如图，在AABC中，N/8C=NZC8,点。在N5边上（不与点N,点3重合），点£在/C边上（不

与点工,点C重合），连接BE,CD,BE与CD相交于点尸.若①4D=4E（②ZABE=ZACD或③

FB=FC）求证：BE=CD.

AE

【分析】若选择条件①，利用=得至=则可根据“"S”可判断A45£=A4CQ,从

而得到BE=CQ；

选择条件②,利用ZABC=ZACB得到AB=AC,则可根据“ASA”可判断A45E=\ACD,从而得到BE=CD；

选择条件③，利用NZ3C=N/C5得至U45=/。，再证明N45E=N/CQ,贝U可根据"4S4”可判断

\ABE\ACD,从而得到BE=CO.

【解答】证明：选择条件①的证明为：

•・•/ABC=ZACB,

AB=AC,

在A45E和A4c。中，

AB=AC

<//=//,

AE=AD

,\ABEmAACD(SAS),

BE=CD；

选择条件②的证明为：

•・•/ABC=/ACB,

AB=AC,

在\ABE和\ACD中，

ZABE=ZACD

<AB=AC,

AA=AA

\ABE=\ACD{ASA),

BE=CD；

选择条件③的证明为：

•;/ABC=ZACB,

AB=AC,

•・•FB=FC,

ZFBC=ZFCB,

/ABC-/FBC=ZACB-ZFCB,

即AABE=ZACD,

在\ABE和\ACD中，

ZABE=ZACD

<AB=AC,

ZA=ZA

AABE=AACD(ASA),

BE=CD.

故答案为①AD=AE(②/ABE=ZACD或③FB=FC)

7.(2020•台州)如图，已知45=4C,AD=AE,和CE相交于点O.

(1)求证：AABDNACE；

(2)判断的形状，并说明理由.

BC

【分析】(1)由aSAS”可证二A4CE；

(2)由全等三角形的性质可得乙由等腰三角形的性质可得N45C=NZC5,可求

ZOBC=ZOCB,可得50=CO,即可得结论.

【解答】证明：(1)•;AB=AC,/BAD=NCAE,AD=AE,

NABD二\ACE(SAS)；

(2)MOC是等腰三角形，

理由如下：

•・•AABD=\ACE,

/.ZABD=/ACE,

AB=AC,

NABC=NACB,

ZABC-NABD=ZACB-ZACE,

AOBC=ZOCB,

BO=CO,

：.A50c是等腰三角形.

8.(2020•温州)如图，在A42c和ADCE1中，AC=DE,NB=NDCE=90。，点、A,C,。依次在同一直

线上，且AB/1DE.

(1)求证：AABC=\DCE.

(2)连接/E,当3c=5,NC=12时，求/£的长.

【分析】(1)由“A4S”可证ZUBCtAZ3CE；

(2)由全等三角形的性质可得C£=3C=5,由勾股定理可求解.

【解答】证明：(1)AB//DE,

ABAC=AD,

又；NB=NDCE=90°,AC=DE,

NABC=ADCE(AAS)；

(2)KABC=NDCE,

CE=BC=5,

NACE=90°,

AE=ylAC2+CE2=J25+144=13.

9.（2021•绍兴）如图，在AA8C中，AB=AC,48=70。，以点C为圆心，C4长为半径作弧，交直线2C

于点尸，连结/P,则48/尸的度数是_15。或75。一

【分析】根据等腰三角形的性质可以得到A4BC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的

方法求出NBAP的度数即可.

【解答】解：如右图所示，

当点尸在点8的左侧时，

vAB^AC,Z.ABC=70°,

AACB=/ABC=70°，

ABAC=180°-ZACB-/ABC=180°-70°-70°=40°,

・・•CA=CPX,

../CAR=ZCP,A=18。。＞=180。”。=55。

/./BAR=ACAPX-/CAB=55。-40。=15。；

当点P在点。的右侧时，

•・•AB=AC,ZABC=70°,

.\ZACB=ZABC=70°,

ABAC=180°-/ACB-/ABC=180°-70°-70°=40°,

•・•CA=CP2,

"B=70。=35。

：.ZCAP=ZCPA=

2222

/.ZBAP2=/CAP?+/CAB=35°+40°=75°；

由上可得，的度数是15。或75。，

故答案为：15。或75。.

10.(2021•温州)如图，8E是A48c的角平分线，在上取点。，使DB=DE.

(1)求证：DE//BC；

(2)若44=65。，ZAED=45°,求NE8C的度数.

【分析】(1)根据角平分线的定义可得=从而求出/£>£5=/助。，再利用内错角相等，两

直线平行证明即可；

(2)由(1)中。E//2C可得到NC=N/EO=45。，再根据三角形的内角和等于180。求出乙48C,最后用

角平分线求出/DBE=ZEBC,即可得解.

【解答】解：(1)•••3£是A4BC的角平分线，

NDBE=ZEBC,

DB=DE,

ADEB=NDBE,

/DEB=NEBC,

DEIIBC；

(2)•••DE/IBC,

ZC=AAED=45°,

在AABC中，NN+NABC+NC=180。,

ZABC=18O°-ZA-ZC=180°-65°-45°=70°.

;BE是AABC的角平分线，

ZDBE=NEBC=-NABC=35°.

2

11.(2021•绍兴)如图，在AA8C中，N4=40。，点。，E分别在边N2,AC±,BD=BC=CE,连结

CD,BE.

(1)若445c=80。，求/BDC,乙15E的度数；

(2)写出N8EC与aBDC之间的关系，并说明理由.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到乙8"7=々。=；(180。-80。)=50。，根据三角形的内角定理得到

ZACB=180°-40°-80°=60°,推出MCE是等边三角形，得到/E3C=60。，于是得到结论；

(2)根据等腰三角形的性质得到ZCBE=ZBEC=a,再根据NBDC的内角和等于180。，求得力，得出a+4

的值，于是得到结论.

【解答】解：(1)■.■ZABC=80°,BD=BC,

ZBDC=NBCD=1(180°-80°)=50°,

N4+ZABC+ZACB=180°,ZA=40°,

CS=180°-40°-80°=60°,

CE=BC,

t\BCE是等边三角形，

ZEBC=60°,

AABE=AABC-NEBC=80°-60°=20°；

(2)NBEC与NADC之间的关系：NBEC+NBDC=110°,

理由：设N8EC=a,ZBDC=/3,

在KABE中，a=4+/ABE=40°+NABE,

•••CE=BC,

NCBE=ABEC=a,

NABC=ZABE+ZCBE=ZA+2ZABE=40°+2NABE,

在ASDC中，BD=BC,

ZBDC+/BCD+ZDBC=2夕+40。+2NABE=180°,

:./J=70°-ZABE,

：.a+(3=40°+ZABE+70°-ZABE=110°,

:.ZBEC+ABDC=UG°.

12.(2020•绍兴)问题：如图，在A48。中，BA=BD.在8。的延长线上取点E,C,作A4EC,使

EA=EC.若/B/E=90。，NB=45。,求/D/C的度数.

答案：ZDAC=45°.

思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“48=45。”去掉，其余条件不变，那么4c的度数会改变吗？

说明理由.

(2)如果把以上“问题”中的条件“N8=45。”去掉，再将"NBAE=90°”改为“NBAE=n°”,其余条

件不变，求ND4C的度数.

【分析】(1)根据三角形外角的性质得到ZAED=2ZC,①求得

ZDAE=90°-ZBAD=90°-(45°+ZC)=45°-ZC,②由①，②即可得到结论；

(2)设乙4BC=m。,根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：(1)ND4c的度数不会改变；

EA=EC,

AEAC=ZC,①，

BA=BD,

ABAD=ABDA,

■：ZBAE=90°,

NB=90°-ZAED=90°-2ZC,

ABAD=1(180°-NB)=|[180°-(90°-2ZC)]=45°+ZC,

NDAE=90°-ABAD=90°-(45°+ZC)=45°-ZC,②

由①，②得，ADAC=ZDAE+ZCAE=45°-ZC+ZC=45°；

(2)设/ABC=m。,

则ABAD=1(180°-m°)=90o-1m°,NAEB=180°--机。，

ZDAE=n°-ABAD=n°-90°+-m°,

2

EA=EC,

NCAE=-NAEB=90°--n°~-m°,

222

ZDAC=ZDAE+ZCAE=n°-90°+-m°+90°--n°--m°=-n°.

2222

13.⑵)20•台州)如图，等边三角形纸片/2C的边长为6,E,尸是边8C上的三等分点.分别过点E,F

沿着平行于A4,。方向各剪一刀，则剪下的AD斯的周长是6・

【分析】根据三等分点的定义可求斯的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解.

【解答】解：•••等边三角形纸片/3C的边长为6,E,尸是边上的三等分点，

EF=2,

■：A43C是等边三角形，

ZB=ZC=60°,

又•：DEI/AB,DF//AC,

NDEF=NB=60°,ZDFE=ZC=60°,

ADE尸是等边三角形，

剪下的ADM的周长是2x3=6.

故答案为：6.

14.(2021•杭州)如图，在A48C中，N/2C的平分线AD交/C边于点。，AE工BC于点、E.已知

ZABC=60°,ZC=45°.

(1)求证：AB=BD；

(2)若NE=3,求A42C的面积.

【分析】(1)计算出/4D3和4B/C,利用等角对等边即可证明;

(2)利用锐角三角函数求出8C即可计算A48c的面积.

【解答】(1)证明：•••2。平分//5C,ZABC=60°,

:.ZDBC=-ZABC=30°,

2

•••ZC=45°,

ZADB=NDBC+ZC=75°,

Z&4C=180°-N/5C—NC=75°,

ABAC=NADB,

AB=BD；

(2)解：在RtAABE中，ZABC=60°,AE=3,

在RtAAEC中，ZC=45°,AE=3,

EC=^-=3,

tanC

BC=3+A,

SMBC=-BCxAE=9+3百

22

15.(2020•金华)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形斯GH.连

接EG,2。相交于点O,AD与HC相交于点尸.若GO=GP,则$正方%.的值是()

S正方形E尸G”

AD

A.1+V2B.2+V2C.5-V2D.—

4

【分析】证明凶尸G=MCG(/£4),得出PG=CG.设OG=PG=CG=x,则EG=2x,FG=5x,由勾

股定理得出802=(4+2后)Y,则可得出答案.

【解答】解：・・•四边形E尸为正方形，

ZEGH=45°,/FGH=90°,

•・•OG=GP,

:./GOP=/OPG=67.5。,

ZPBG=22.5°,

又•；/DBC=45。,

ZGBC=22.5°,

/PBG=ZGBC,

/BGP=ZBGC=90°,BG=BG,

NBPG=ABCG(ASA),

.・.PG=CG.

设OG=PG=CG=x,

♦；O为EG,的交点，

EG=2x,FG=V2x,

•・•四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，

BF=CG=x,

BG=x+42x,

BC2=BG2+CG2=X2(V2+I)2+x2=(4+2伪/,

.S正方形.(4+2卢卜2

故选：B.

16.（2021•衢州）如图，在AA8C中，AB=4,AC=5,BC=6,点。，E,尸分别是N2,BC,CA

的中点，连结。E,EF,则四边形4DE厂的周长为（）

A.6B.9C.12D.15

【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的概念分别求出N。、DE、EF、AF,根据四边形的周长公

式计算即可.

【解答】解：•.■点。，E,尸分别是42,BC,C4的中点，

:.DE=~AC=2.5,AF=-AC=2.5,EF=-AB=2,AD=-AB=2,

2222

四边形4DE厂的周长uNO+DE+EF+NAng,

故选：B.

17.（2021•宁波）如图，在A42c中，Z5=45°,ZC=60°,4。_12。于点。，BD=6若E,尸分别

为48,2C的中点，则斯的长为（）

AV3口拒八屈

A・D•U.1D.

322

【分析】由直角三角形的性质求出百，由锐角三角函数的定义求出。。=1,由三角形的中位线

定理可求出答案.

【解答】解：・・・40,3。，

AADB=AADC=90°,

•/AB=45°,BD=C，

AD=BD=C,

•/ZC=60°,

AD

...DC==1，

tan60°

AC=2DC=2,

-：E,尸分别为N2,8c的中点,

:.EF=-AC=\.

2

故选：C.

18.（2021•嘉兴）如图，在A/1BC中，ZBAC=90°,AB=4C=5,点。在/C上，且4。=2,点E是/8

上的动点，连结。£,点尸，G分别是5c和DE的中点，连结/G,FG,当/G=FG时，线段。E长为

【分析】法「分别过点G,尸作48的垂线，垂足为M,N,过点G作GPLEN于点尸，由中位线定理

及勾股定理可分别表示出线段/G和尸G的长，建立等式可求出结论.

法二：连接。尸，AF,EF,利用中位线定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得△。四G是直角三

角形，然后再结合全等三角形的判定和性质求勾股定理求解.

【解答】解：法一、如图，分别过点G,尸作48的垂线，垂足为“，N,过点G作GPLW于点尸，

四边形GACVP是矩形，

GM=PN,GP=MN,

■：ABAC=90°,AB=AC=5,

CA1AB,

又；点、G和点尸分别是线段DE和2C的中点,

GM和FN分别是AADE和KABC的中位线,

:.GM=-AD=l,AM=-AE,

22

FN=-AC=~,AN=-AB=~,

2222

:.MN=AN-AM=---AE,

22

3

...尸N=l,FP=一,

2

设AE=m，

AM=—m,GP=MN=---m,

222

在RtAAGM中，AG2=(-m)2+l2,

在RtAGPF中，GF2=(1-1m)2+

AG=GF,

;.(；加>+12=(|-1m)2+

解得m=3,即AE=3,

在RtAADE中，DE=^AD2+AE2=V13.

故选：A.

法二、如图，连接。/，AF,EF,

在ZU5C中，AB=AC,ZCAB=90°,

/.ZB=ZC=45°,

•.•点G是。E的中点，点/是5C的中点，

：.AG=DG=EG,AF=BF,AFIBC,ZDAF=45°,

ZDAF=/B=45°,

•・•FG=AG,

FG=DG=EG,

，AZ）7国是直角三角形，且/DEE=90。，

ADFA+AAFE=/BFE+NAFE=90°,

ZDFA=ZEFB,

在A4FZ）和A5FE中，

ZDAF=ZB

<AF=BF

ZDFA=ZEFB

,AAFD=MFE（ASA）,

/.AD=BE=2,

AE=3,

在RtAADE中，DE=AD2+AE2=V13.

故选：A.

19.（2020•宁波）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD为中线，延长C5至点E,使BE=BC,连接

DE,F为DE中点、,连接5尸.若4C=8,BC=6,则5/的长为（）

E

A.2B.2.5C.3D.4

【分析】利用勾股定理求得45=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CQ的长度；结

合题意知线段3户是ACDE的中位线，则8尸=工。£>.

2

【解答】解：♦.•在RtAABC中，AACB=90°,AC=8,BC=6,

AB=>JAC2+BC2=V82+62=10.

又•.•CD为中线，

:.CD=-AB=5.

2

•.•/为中点，BE=8C即点3是EC的中点，

尸是ACDE的中位线，贝1)8尸=L°=2.5.

2

故选：B.

20.（2020•金华）如图，在A/48c中，AB=4®,ZB=45°,ZC=60°.

(1)求8c边上的高线长.

(2)点E为线段48的中点，点尸在边NC上，连接斯，沿EF将A4E/折叠得到AP跖.

①如图2,当点尸落在2C上时，求乙4£尸的度数.

②如图3,连接/P,当尸/_LNC时，求/P的长.

【分析】(1)如图1中，过点/作8c于。.解直角三角形求出即可.

(2)①证明=可得NEP8=/B=45。解决问题.

②如图3中，由(1)可知：/。=卫匕=述，证明A4MSA4c3,推出芷=丝，由此求出/尸即可

sin60°3ABAC

解决问题.

【解答】解：(1)如图1中，过点/作_L8c于。.

图1

在RtAABD中，4Z）=4B-sin450=4后xJ=4.

2

(2)①如图2中,

图2

•:\AEF=\PEF,

AE=EP,

•/AE=EB,

:.BE=EP,

ZEPB=ZB=45°,

/./PEB=90°,

...24万尸=180。-90。=90。.

/PFA=90°,

\AEF=\PEF,

AAFE=ZPFE=45°,

ZAFE=ZB,

ZEAF=/CAB,

\AEF^\ACB,

AFAEnnAF272

ABAC4V28V3

AF=2M，

在RtAAFP,AF=FP,

AP=®AF=276.

方法二：/后二防二尸后可得直角三角形/曲，由尸尸_L/C,可得N4尸E=45°,可得NE4尸=45。，即

APAB=30°.AP=ABcos30°=2y/6.

21.（2021•衢州）如图，在正五边形N5CDE中，连结NC,BD交于点F,则N/FS的度数为_72。_

D

【分析】根据五边形的内角和公式求出N/BC,根据等腰三角形的性质求出N3◎和NC2D,根据三角形

的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可.

【解答】解：•.•五边形/5CDE是正五边形,

NBCD=NABC=(5-2"180°=108°,

5

VBA=BC,

ABAC=NBCA=36°,

同理NC2D=36°,

ZAFB=ABCA+ACBD=72°,

故答案为：72°.

22.（2021•湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（N,

B,C,D,E是正五角星的五个顶点），则图中//的度数是36度.

【分析】正五角星中，五边形尸GAAW是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得

ZAFN=ZANF=72°,然后根据三角形的内角和定理可求得44的度数.

【解答】解：如图,

•.•正五角星中，五边形尸GMVW是正五边形,

NGFN=ZFNM=（5-2）义180。=1。8°,

5

ZAFN=ZANF=180°-ZGFN=180°-108°=72°,

N4=180°-ZAFN-ZANF=180°-72°-72°=36°.

故答案为：36.

23.（2020•温州）如图，在A48C中，44=40。，AB=AC,点。在/C边上，以C5,CD为边作

口BCDE,则/E的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【分析】根据等腰三角形的性质可求NC,再根据平行四边形的性质可求

【解答】解：•.•在A42c中，44=40。，AB=AC,

.-.ZC=（180°-40°）-2=70°,

•.•四边形BCDE是平行四边形，

NE=70°.

故选：D.

24.（2021•嘉兴）如图，在口/BCD中，对角线/C,BD交于点O,AB±AC,AH上BD于点H,若

48=2,BC=2。，则的长为逋.

一3一

【分析】在RtAABC和RtAOAB中，分别利用勾股定理可求出/C和08的长，又AH_LOB,可利用等面积

法求出■的长.

【解答】解:如图，

AB1AC,AB=2,BC=2

AC=7（2^3）2-22=272,

在口A8CZ）中，OA=OC,OB=OD,

OA=OC=41,

在RtAOAB中，

OB=^22+（V2）2=V6,

又AHLBD,

-OBAH=-OA-AB,BP-x76-=-x2x72,

2222

解得=汉1.

3

故答案为：空.

3

25.（2020•金华）如图，平移图形与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中u的度数是30。.

.•./£)+"=180。,

.\Za=l80°-(540°-70°-l40°-180°)=30°,

故答案为：30.

26.(2021•绍兴)问题：如图，在口/5CQ中，AB=8,AD=5,/DAB,N43C的平分线4E,B尸分别

与直线CD交于点E,F,求斯的长.

答案：EF=2.

探究：（1）把“问题”中的条件"/8=8”去掉，其余条件不变.

①当点E与点尸重合时，求的长；

②当点E与点C重合时，求£尸的长.

（2）把“问题”中的条件“N5=8,4D=5”去掉，其余条件不变，当点D,F,E,C相邻两点间的

距离相等时，求丝的值.

【分析】（1）①证/。及4=/。/£,得。E=4D=5,同理8C=CF=5,即可求解；

②由题意得。£=/。=5,再由CF=8C=5,即可求解；

（2）分三种情况，由（1）的结果结合点C,D,E,尸相邻两点间的距离相等，分别求解即可.

【解答】解：（1）①如图1所示：

图1

•.•四边形48co是平行四边形，

CD=AB,BC=AD=5,AB1/CD,

NDEA=NBAE,

■：AE^^-ZDAB,

NDAE=NBAE,

NDEA=ZDAE,

DE=AD=5,

同理：BC=CF=5,

•・•点石与点尸重合，

AB=CD=DE+CF=10；

②如图2所示:

•.•点E与点C重合,

DE=AD=5,

•/CF=BC=5,

.•.点尸与点。重合,

EF=DC=5-,

(2)分三种情况：

①如图3所示：

同（1）得：AD=DE,

•.•点C,D,E,尸相邻两点间的距离相等,

AD=DE=EF=CF,

AD1

•••______一_.»

AB3

②如图4所示：

图4

同（1）得：AD=DE=CF,

•/DF=FE=CE,

AD_2

••一;

AB3

③如图5所示：

cE

图5

同（1）得：AD=DE=CF,

DF=DC=CE,

.AD7

..--------二z;

AB

综上所述，丝的值为，或2或2.

AB33

27.（2021•温州）如图，在口48CD中，E,尸是对角线AD上的两点（点石在点尸左侧），且

AAEB=ZCFD=90°.

（1）求证：四边形/ECF是平行四边形；

（2）当A8=5,tanZABE=-,ZCBE=ZEAFHt,求的长.

4

【分析】（1）证NE//C尸，再证AAS£=AC。尸（44S）,得4E=CF,即可得出结论；

（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出NE=3,BE=4,再证=则

tanZCBE=tanZECF,得——二——,求出川=屈—2,进而得出答案.

BFCF

【解答】（1）证明：・・・N4E3=NCFZ）=90。，

AELBD,CF1BD,

AE//CF,

•・•四边形ABCD是平行四边形,

AB=CD,AB//CD,

ZABE=ZCDF,

在A45E和AC。尸中,

/AEB=ZCFD

<AABE=ZCDF,

AB=CD

\ABE=ACDF（AAS）,

AE=CF,

.•.四边形AECF是平行四边形；

3AF

（2）解：在RtAABE中，tan/ABE=—=——,

4BE

设/E=3Q,贝UBE=4Q,

由勾股定理得：（34+（4a）2=52,

解得：Q=1或。=-1（舍去），

/.AE=3,BE=4,

由（1）得：四边形4EC尸是平行四边形，

ZEAF=ZECF,CF=AE=3,

•・•ZCBE=ZEAF,

AECF=/CBE,

tanZCBE=tanAECF,

.CFEF

"^F~'CF，

CF2=EFxBF,

设EF=x,贝l|5尸=x+4,

32=x（x+4）,

解得：x=V15—2sKx=-V13—2,（舍去），

即斯=屈-2,

由（1）得：NABE=\CDF,

,-.BE=DF=4,

:.BD=BE+EF+DF=4+413-2+4=6+4i3.

28.（2021•绍兴）如图，菱形N8CD中，N5=60。，点尸从点8出发，沿折线3C-C£>方向移动，移动到

点。停止.在A48P形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

D,C

A.直角三角形f等边三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形

C.直角三角形一等边三角形一直角三角形->等腰三角形

D.等腰三角形一等边三角形f直角三角形“等腰三角形

【分析】把点尸从点3出发，沿折线2C-CD方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可.

【解答】解：♦••NB=60。，故菱形由两个等边三角形组合而成，

当4PL5C时，此时A48尸为直角三角形；

当点尸到达点C处时，此时AAB尸为等边三角形；

当尸为CD中点时，A48尸为直角三角形；

当点尸与点。重合时，此时A4Ap为等腰三角形，

故选：C.

29.(2021•金华)如图，菱形4BCD的边长为6cro,ABAD=60°,将该菱形沿/C方向平移2瓜仅得到四

边形450,AD交CD于点、E,则点E到。C的距离为2cm.

【分析】连接8。，过点£作即，/。于点尸，根据菱形的性质可以证明三角形是等边三角形，根据

平移的性质可得40//4E,可得.=二，9=蜂，解得4£=4(5)，再利用30度角所对直角边等

ADAC6673

于斜边的一半即可求出结论.

【解答】解：如图，连接2。，过点E作于点尸，

乂E义'

A

BB'

•・•四边形/5CD是菱形，

/.AD=AB,BDLAC,

•・•ABAD=60°,

二.三角形/助是等边三角形，

菱形ABCD的边长为6cm,

AD=AB=BD=6cm,

：.AG=GC=3瓜cm),

AC=6A/3(CW),

,/AA=243(cm),

AC=4百(0加)，

•・•ADIIAE,

.ArE_CA

,应一就‘

A'E4G

---=—,

6---6V3

/.ArE=4(cm),

ZEA'F=ZDAC=-ZDAB=30°,

2

:.EF=^A'E=2(cm).

故答案为：2.

30.(2020•嘉兴)如图，口的对角线/C,8。相交于点。，请添加一个条件：AD=DC(答案不

【分析】根据菱形的定义得出答案即可.

【解答】解：•••邻边相等的平行四边形是菱形,

:.当/D=£»C,口4BCD为菱形;

故答案为：AD=DC（答案不唯一）.

31.（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可

得到更多的菱形.如图2,用2个相同的菱形放置，得到3个菱形.下面说法正确的是（）

图1图2

A.用3个相同的菱形放置,最多能得到6个菱形

B.用4个相同的菱形放置,最多能得到16个菱形

C.用5个相同的菱形放置,最多能得到27个菱形

D.用6个相同的菱形放置,最多能得到41个菱形

【分析】根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可.

【解答】解：如图所示,

用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形;

用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形,

用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形,

用5个相同的菱形放置，最多能得到26个菱形,

用6个相同的菱形放置，最多能得到47个菱形.

故选：B.

32.（2021•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形/BCD,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其

中两张等腰直角三角形纸片的面积都为E，另两张直角三角形纸片的面积都为邑，中间一张矩形纸片

EFG77的面积为S3，切与GE相交于点。.当AAEO,ABFO,\CGO,的面积相等时，下列结

论一定成立的是（）

A.Sl=S2B.耳=邑C.AB=ADD.EH=GH

【分析】如图，连接。G,AH,过点。作OJLOE于J.证明69^=5梃〃，S^oc=SMDH,可得结论.

【解答】解：如图，连接。G,AH,过点。作Q/LDE于J.

•・•四边形EFGH是矩形，

，OH=OF,EF=GH,ZHEF=90°,

•・•OJ1DE,

ZOJH=ZHEF=90°,

:.OJ//EF,

•・•HO=OF,

:.HJ=JE,

/.EF=GH=2OJ,

.：SkDHo=、DHOJ，S.DHC=--DHGH,

F

-S4GH_2sMyHO

同法可证%即=2S.。，

•*SWHO=S^EO'

…S^)GH~^\AEH'

,''SAnCr=--CGDH,S.AnH=-DHAE,CG=AE,

…S^)GC=S^DH'

-SWHC~'

：.sx=s2,

故z选项符合题意；

S3=HE♦EFwS1，

故5选项不符合题意；

AB=AD,EH=GH均不成立，

故。选项，。选项不符合题意，

故选：A.

33.（2021•宁波）如图，在矩形/BCD中，点£在边48上，A5EC与AFEC关于直线对称，点5的对

称点尸在边4。上，G为C。中点，连结BG分别与CE,CF交于M,N两点.若BM=BE,MG=\,

则5N的长为2,sinN4在的值为

【分析】连接5/，FM,由翻折及四=〃石可得四边形5E9为菱形，再由菱形对角线的性质可得

BN=BA.先证明A4EF=A2WF得/£=7W,再证明AFWsACGN可得丝=色上，进而求解.

FMNM

【解答】解：••・敏=仍，

/BEM=NBME,

•・•AB//CD,

/BEM=ZGCM,

又•:ABME=ZGMC,

ZGCM=ZGMC,

/.MG=GC=\,

•.•G为CD中点，

：.CD=AB=2.

连接班"FM,

由翻折可得=,BE=EF,

:.BM=EF,

•・•/BEM=ABME,

AFEM=NBME,

EF/IBM,

四边形为平行四边形,

•/BM=BE,

，四边形为菱形，

ZEBC=ZEFC=90°,EF/!BG,

/BNF=90°,

•;BF平分/ABN,

:.FA=FN,

RtAABF二RtANBF(HL),

BN=AB=2.

FE=FM,FA=FN,NA=/BNF=90。,

RtAAEF=RtANMF(HL),

AE=NM,

谡AE=NM=x,

则BE=FA/=2-x,NG=MG-NM=\-x,

\-FM/!GC,

NFMN^\CGN,

.CGGN

,.FM-NM'

2-xx

解得x=2+V2(舍)或x=2-V2，

.-.EF=BE=2-x=4i,

•••s"AFE=^=*f一1.

故答案为：2；V2-1.

34.（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形/8CA的对角线3。

上，时钟中心在矩形488对角线的交点。上.若48=30<:机，则8c长为（结果保留根

号）.

【分析】根据题意即可求得=即可求得/DOE=30。，由矩形的性质结合平行线的性质可

求得ZD2C=30。，利用含30。角的直角三角形的性质可求解.

【解答】解：过。点作OELCD,OFLAD,垂足分别为E,F,

由题意知ZFOD=2ZDOE,

ZDOE=30°,NFOD=60°,

在矩形/BCD中，ZC=90°,CD=AB=30cm,

:.OE//BC,

NDBC=ZDOE=30°,

BC=V3CD=306cm,

故答案为30百.

35.（2021•金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线NC,8。相交于点。，Z5OC=120°,AB=2.

（1）求矩形对角线的长；

（2）过。作于点£,连结2E.记N4BE=a,求tana的值.

【分析】（1）根据矩形的性质求出NC=2/O,根据等边三角形的判定得出A4O8是等边三角形，求出

AB=AO=2,求出5。；

（2）根据勾股定理求出N。，然后根据等腰三角形的性质求得NE,然后解直角三角形求得tana的值.

【解答】解：⑴VZBOC=120°,

NAOB=60°,

•.•