空间向量基本定理 选择题-2025届人教版高中数学一轮复习专练（含解析）

空间向量基本定理选择题一2025届高中数学人教B版一轮复习题型滚

动练

一'选择题

1.如图，在四面体。43c中

A11/1■1-1/1-11,111/1-

A.一。+—/?+—ctRi.-a—b+—cr'^■—a+—b—cUn-——a+—b+—c

322322222322

2.在下列命题中：

①若向量a力共线，则向量a力所在的直线平行；

②若向量。力所在的直线为异面直线,则向量a/一定不共面；

③若三个向量。力，c两两共面,则向量a,b,c共面；

④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量。总存在实数x,y,z使得

p=xa+yb+zc其中正确命题的个数是()

A.OB.lC.2D.3

3.如图所示，在四面体O—ABC中，Q4=a,OB=b,OC=c,点舷在上，且

OM=2MA,N为3C的中点，则MN=()

B

322223

4.以下说法中，不正确的个数为()

①u\a\-\b\^a+b\n是“a,b共线”的充要条件；

②若则存在唯一的实数X,使得劝；

③若ab=O,bc=O,则“二八

④若｛a,dc｝为空间的一个基底，则｛a+瓦8+c,c+a｝构成空间的另一个基底；

A.2B.3C.4D.5

5.已知三棱锥尸-ABC的体积为15,航是空间中一点，

114

PM=--PA+-PB+—PC,则三棱锥A—的体积是()

A.7B.8C.9D.10

6.已知空间两个单位向量。4=(〃z,〃,0),08=(0,〃,°)与向量。。=(1,1,1)的夹角都等

于巴，则cosNAOB=()

2.—y/3_u.2+y/32-右-2+石

C.--------或----------或-----

7.在空间直角坐标系中,已知点42,3,-5),5(0,-2,-2),C(-2j,l),若A,B,C三

点共线，则实数/的值为()

8.在长方体A3CD-4用GR中，可以作为空间的一个基底的是()

A.AB,AC,ADB.AB,",AB1

C.AA,D©,RDD.AC],AC,BBI

9.如图，在三棱锥O-ABC中，点G为底面△回(?的重心，点M是线段OG上靠近

点G的三等分点，过点M的平面分别交棱。4,OB,0c于点。，E,E若

OD=kOA,OE=mOB,OF=nOC,则工+工+！=()

kmn

10.在四面体。45c中，。4="，OB=b,OC=c,点。满足B£)=ZBC,E为AD

_111

的中点，S.OE=-a+-b+-c,则2=()

244

A.-B.-C.-D.-

2433

11.已知。为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线但四点共面，且

BP=mOA+OB+OC,则实数机的值为()

A.-lB.2C.-2D.-3

12.斜三棱柱ABC—451cl中，设AB=a，AC=b，M="，若5P=2PC]，则&/>=()

12221J122211

A.—^+―/?+—cB.—〃+—。C.—a—b—cD.一〃—b—c

333333333333

13.如图，在三棱柱ABC—DEF中，G为棱AD的中点，若84=a,BC=b,

BD=c,贝l]CG=()

A.—a+b—c

B.—a+8+c

2

C.一,-aH—b+c

22

Dn.1-a-b,+—1c

22

14.已知三棱柱ABC-A4G的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形,

uuir

=N4AC=60。，若耳。和5G相交于点M.则AM=（）

A.73B.2C.V5D.V6

15.如图，在空间四边形Q4BC中，OA=a,OB=b,OC=c,且0M=2MA,

BN=NC,则MN等于（）

C

A.2a+L+=+CD.L—L+L

332222322232

16.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点24,平面ABCD,且M,N,分别为

PC,上的点，且PM=MC,PN=2ND,NM=xAB+yAD+zAP,贝I]

X+y+Z=（）

A.--B.-C.-D.l

226

17.已知｛a,A,c｝是空间的一个基底，p=a+b,q=a+c,则下列与p,q构成一

组空间基底的是（）

A.r=2b-3cB.r=a-b+2cC.r=a-\-2b-cD"=2a+/?+c

18.已知a,均为空间单位向量，它们的夹角为60。，那么|a+3口等于（）

A.V7B.V10C.V13D.4

19.已知点P在棱长为2的正方体ABC。-的表面上运动，则PA.PB的最大值

为（）

A.6B.7C.8D.9

20.在棱长为2的正方体A3CD-A4GA中，若点P是棱上一点（含顶点），则满足

P4PG=-1的点p的个数为（）

A.8B.12C.18D.24

参考答案

1.答案：D

解析：^^^,MN=MO+OB+BN=--OA+OB+-BC=--OA+OB+-(OC-OB)

3232

=--OA+-OB+-OC=--a+-b+-c.

322322

故选：D.

2.答案：A

解析:对于①，若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行，也可能共线，故①错误；

对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；

对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面,例如空间直角坐标系

x,y,z轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；

对于④，若a,〃共线时，显然a,c共面，于是xa+y〃+zc只能表示和a,c共面的向量，

对于空间中的任意向量p则不一定成立，故④错误.

于是四个选项都是错的.

故选:A

3.答案：B

一_.2.

解析：因为0M=2MA,所以0M=—04,所以

3

___________1_12112

MN=ON-OM=-OB+-OC——0A=-b+-c——a,故选B.

223223

4.答案：C

解析：①中为充分不必要条件；②中方W0；③显然不成立；④中a,方，c不共面，则

a+b,b+c,c+a也不共面，故④正确；⑤中|(a・方)•传|^|c|^|cos〈a,〃〉|.

5.答案：C

1.14-

解析：因为——PA+-PB+—PC,所以15PM=—PA+3PB+4PC,即

15515

15PM=-PM-MA+3PM+3MB+4PM+4MC,

即9PM=-MA+3MB+4MC,

3-1-12

所以一PM=__MA+-MB+-MC.

2623

117

因为一%+5+§=L所以由空间向量基本定理可知，在平面ABC内存在一点0,使得

11232

MD=——MA+—MB+—MC成立，即一PAf="D,所以PAf=—MD,即

62323

PD=-MD,则MD=2PD又三棱锥P—ABC的体积为15,贝U

35

33

yA-MBC=%.树==反*15=9.故选C.

解析：空间两个单位向量。4=(祖,〃,0),03=(0,〃,°)与向量。。=(1,1,1)的夹角都等

于巴，AAOC=ZBOC=-,|OC|=73,OAOC=\OA\\OC\cosZAOC=—,

442

A/6

*m+n=----,

5LOA-OC=m+n,:.m+n=——,又Q4为单位向量，.十川=1.联立＜2

2

m2*4+n2=1,

22+出22芍

m=--------m=--------

得4或＜4

22-622+6

n---------n---------.

44

OA=(m,n,0),OB=(0,n,p),

cosZAOB="=2-6.故选C.

4

7.答案：B

解析：因为A3=(-2,-5,3),AC=(-4,/-3,6),且A,B,C三点共线，所以存在实数

-2=-42,

2,使得A3=XAC,则有卜5=〃/一3),

3=62,

解得'"5'故选B.

t=-7.

8.答案：C

解析：长方体ABCD-AgCQ如图所示.

对于A,因为AC=AB+A£>,所以AB,AC,AD共面，故A3,AC,AD不能作

为基底，故A错误；

对于B,因为做=回+朋，所以A3,例，A耳共面，故A3,例，的不能作

为基底，故B错误；

对于c,因为Dg,OQ不共面，所以RA，AG，可以作为基底，故

C正确；

对于D,因为AC],AC，cq共面，且鹤=。。1，所以AC]，\C,84共面，故

AC],A。，84不能作为基底，故D错误.故选C.

9.答案：D

解析：由题意可知，OM=—OG=

3

2——―-2—21----

-(OA+AG)=-[OA+-x-(AB+AC)]

211222

=-[OA+-(OB-OA)+-(OC-OA)]=-OA+-OB+-OC,

因为。，E,F,”四点共面，所以存在实数2,〃，itDM=ADE+^DF,所以

OM-OD=A(OE-OD)+-OD),所以

OM=(1—A—]LT)OD+AOE+/uOF=(1—A—]n)kOA+AtnOB+/unOC,

2

.2111QQQQ

所以Am=—,所以一+—+_==(1_丸_//)+=；1+=〃==.故选D.

9kmn2222

2

10.答案：A

解析：由题意作图如下.

OE=-a+-b+-c=-OA+-OB+-OC.

244244

一.1一1___.1_1.

因为E为AD的中点，所以。E=—OA+—。。，所以OD=—03+—OC,则。为3C的

2222

中点，故点。满足则X=L

22

11.答案：C

解析：因为。为空间任意一点，BP=mOA+OB+OC,

所以OP—08=mOA+OB+OC,

所以OP=加OA+2O8+OC,

因为A,B,C,尸满足任意三点不共线，但四点共面,

所以m+2+1=1,解得冽=-2.故选C.

12.答案：C

____________9___.___9-

解析：因为A尸=A5+BP=AB+§BG=AB+§(AG—.)

I?122

=-AB--(AC+AAi}=-a--b--c

故选:c.

13.答案：D

解析：

CG=CA+AG=CA+-AD=(BA-BC)+]-(BD-BA)=(a-b)+-(c-a)=-a-b+-c.

14.答案：D

解析：依题意可得：

一1

ABAC=ABAA,=AC-AA,=2x2x-=2,

又般是BQ的中点，

AM=-(AC.+AB}=-(AC+AA.)+-AB=-AC+-AA1+-AB,

2、i,2、>2222

\AM|=jf-AC+-AAl+-AB)=-^4+4+4+2x2x3=46,

22J2

故选:D.

15.答案：C

解析：因为BN=NC,即N为BC的中点，所以0N=g(03+0C卜

.2.

因为QW=2M4,所以0M=—。4,

3

MN=ON-OM=-（0B+0C]--0A=--a+-b+-c.

2、>3322

故选：C.

16.答案:B

解析：因为PN=2ND,

Q1Q1

所以7W=NP+PM=—£>P+—PC=—（AP—AD）+—（AC—AP）,

323、）2、）

XAC=AB+AD,

所以MW=2（AP-AD）+L（AB+AD-

3、,2、>266

田、

所以।x=1—,y=——1,2=1一,

266

故％+y+z=].

故选：B.

17.答案：A

解析：若p,q,尸不能构成一组空间基底，则p,q,r共面,

所以存在唯一实数为》使得厂=中+的，

对A：因为厂=2b—3C,则一3c=%(〃+〃)+y(a+c),

%+y=0

整理得25-3c=(x+y)〃+xZ?+yc,所以<x=2,无解.

y=-3

即p,q，〃不共面，所以p,q与/构成一个基底，故A正确;

对B：因为厂=〃一b+2c,