函数的奇偶性、对称性与周期性（含新定义解答题） （解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(分层精练)

A夯实基础B能力提升C综合素养(新定义解答题)

A夯实基础

一、单选题

px

1.(2024上•山西运城•高三统考期末)已知，(x)=-----是奇函数，则。=()

1-e

A.-2B.-1C.2D.1

【答案】C

【分析】根据得到方程，求出。=2.

【详解】由题意得即上L^=一/PX^,

1-e1-e

arrx

所以f—=,故e"T=e，，

e"-l1-e口

所以=解得。=2.

故选:C

2.(2024下,上海•高一开学考试)已知函数/(尤)=丁+办3+法+8,且/(-2)=10,那么/(2)

等于()

A.-18B.-10C.6D.10

【答案】C

【分析】令f(2)=t,由2)+〃2)="10可得答案.

【详解】/(-2)=(-2)5+ax(-2)3+6x(-2)+8=10,

令42)=25+0*23+26+8=/,

贝iJ/(-2)+〃2)=(-2)5+ax(-2)3+6x(-2)+8+25+0*23+26+8=t+10,

即8+8=10+，，可得，=6,

即"2)=6.

故选：C.

3.(2023下•江西赣州•高一校联考期末)已知定义在R上的函数/(x)满足

/(x-l)+/(x+l)=0,且当xe[0,2)时，/(x)=log2(x+l),则〃47)=()

A.2B.0C.1D.-1

【答案】D

【分析】通过对已知条件/(x-l)+/(x+l)=。的转化，得出函数/("是周期函数.利用函数

周期性转化求值即可.

【详解】因为/(X—l)+/(x+l)=o,所以/(—1)+/(1)=0,且/⑴=log2(l+l)=l,

则/(-1)=-1,又可得/(切+/(尤+2)=0,〃x+2)+〃x+4)=0,

故/(x+4)=〃x),所以函数是周期7=4的周期函数，

/(47)=/(4X12-1)=/(-1)=-1.

故选：D.

4.(2023•内蒙古赤峰•统考模拟预测)函数y=fix)是定义在R上奇函数,且/(4-x)=/(元)，

/(-3)=-1,则加5)=()

A.0B.-1C.2D.1

【答案】B

【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则/。5)=/(7),根据已知得出

/(7)=/(-3)=-1,即可得出答案.

【详解】.函数>=/(无)是定义在R上奇函数，且/(4-x)=/(x),

/(4+x)=/(-x)=-/(x),

.•./(4+4+x)=〃8+x)=-/(4+x)=/(x),

则函数y=于⑺是周期为8的周期函数，

则〃15)=〃15-8)=/⑺,

令x=-3,则”4+3)=/(-3)=-1,

故选：B.

5.(2023上•山东烟台•高一校考期末)函数y=-e，^y=ef的图象()

A.关于无轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线>=兀对称

【答案】C

【分析】画出函数图像即可判断.

【详解】根据如下图像即可判断出函数图像关于原点对称.

故选：C

6.(2023上•湖南长沙•高二雅礼中学校考阶段练习)函数y=〃x)与函数y=2㈤-1图象关

于直线x=2对称，则"4)的值为()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】根据函数对称性求值即可.

【详解】设g(x)=2*+—,

因为函数y=/(x)与函数y=g(x)图象关于直线x=2对称，

所以44)=g(O)=2-l=L

故选：A

7.(2024下•浙江,高三杭州高级中学校联考开学考试)已知

〃x)=(3x+l)(x-a)(3x-l)+log3(J?W-x)是奇函数，则常数。=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】C

【分析】根据奇函数的性质求解即可.

【详解】因为〃x)=(3x+l)(x-a)(3x-1)+丘3(771-%)是奇函数，且定义域为xeR,

所以/(0)=a+log31=0,解得”0,

止匕时/(%)=%(3%+l)(3x-l)+log3(1炉+i_%),

2

/(x)+/(-x)=x(3x+l)(3x-l)+log3(jG+i_%)+(_%)(_3兄+l^-3x-1)+log3Kjx+1+x)=0

BP/(x)=-/(-%),满足奇函数定义，

故选：C

8.(2023上•广东潮州•高一饶平县第二中学校考期中)已知函数“尤)满足/XI-x)=f(x+3),

且/(无)在(0,2)上是增函数，则/⑴，/(|),底)的大小顺序是()

【答案】B

【分析】根据给定条件，确定函数Ax)图象的对称轴，再结合单调性比较大小即得.

【详解】由函数/⑺满足了(1-x)=/(x+3),得函数/(x)的图象关于直线x=2对称,

显然〃$=/（|）,/（|）=/（!）＞而:“无）在（°，2）上是增函数，

因此/（|）＜/（1）＜/（|）,所以/（I）＜/（D＜/（|）.

故选：B

二、多选题

9.（2023上•湖北咸宁•高一校考阶段练习）已知函数7•（%）是定义在R上的奇函数，对任意

实数x,恒有〃2-x）=/（x）成立，且/⑴=1,则下列说法正确的是（）

A.（1,0）是函数“X）的一个对称中心B.〃x）=〃x+4）

C.Z（3）=-lD."2）=0

【答案】BCD

【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到周期，可求函数值.

【详解】选项A,因为函数“可满足"2-x）=f（x）,函数关于直线x=l对称，A错

误；

选项B,因为函数〃x）是定义在R上的奇函数，所以〃力=-〃-力，/（0）=0,

QP/（2-x）--/（-%）,所以〃2+x）=—〃x）,故/（4+x）=-〃x+2）=/（x）,

函数/（x）是周期为4的函数，B正确；

选项C,/（3）=/（-1）=-/（1）=-1.C正确；

选项D,"2）="0）=0,D正确.

故选：BCD

10.（2023上•甘肃白银•高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知函数/（X）对于任意实

数无，都有/（彳+2）=/（"成立，当OWxWl时，/（x）=x+2,则下列结论正确的是（）

A./（-1）=3B.函数〃尤）的图象关于直线尤=1轴对称

C.”2021）=3D.”2022）=5

【答案】AC

【分析】分析可知，函数/（X）是周期为2的周期函数，利用函数的周期性可判断ACD选项，

利用函数对称性可判断B选项.

【详解】对任意实数尤都有/（%+2）=/（力，所以，函数/（尤）是周期为2的周期函数，

当。时，/（x）=%+2,所以〃-1）=〃1）=3,故A选项正确；

因为函数/（x）图象的对称轴无法确定，所以B选项不正确；

由于〃2021）"（1010x2+l）"⑴=3,故C选项正确；

/（2022）=/（1011x2）=/（0）=2,故D选项不正确.

故选：AC.

三、填空题

11.（2024下•浙江•高三校联考开学考试）已知函数/■（无）=xln（e，+l）-62是奇函数，则

CI—.

【答案】1/0.5

【分析】根据“X）为奇函数，故/（r）=-/（x），变形后得到2a=1,求出答案.

【详解】因为了⑺的定义域为R,且"x）=xln（e，+l）-加为奇函数，

故/（-%）=-f⑺，即-xln（e-'+1）-a（-x）2=-xln（e*+1）+办?对VxeR恒成立，

,e'+1,e8+1-,x--

,,,A^.ZHIn--------=lax,:.In-........=2ax,Ine=lax,x=lax

化间得e-%+11+]>

故2a=1,解得a=g.

故答案为：!

12.（2024上•云南昆明•高一统考期末）定义在R上的奇函数〃x）满足〃x+4）=〃x）,

且〃-3）=-3,贝1]“2023）+/（2024）=.

【答案】3

【分析】根据函数的周期性以及奇偶性即可求解.

【详解】由〃x+4）=/（尤）可得〃x）为周期函数，且周期为4,

又为R上的奇函数，所以"0）=0,

/（2023）+/（2024）=/（3）+/（4）=-/（-3）+/（0）=3+0=3>

故答案为：3

四、解答题

13.（2024上•福建•高一福建师大附中校考期末）已知函数〃x）=lg（10+x）-lg（10-X）.

⑴判断f（x）的奇偶性;

（2）求不等式〃力>0的解集.

【答案】⑴〃龙）在（-210）上是奇函数

⑵（。，1。）

【分析】（1）按函数奇偶性的定义判断即可；

（2）由对数函数单调性列不等式组求解即可.

【详解】(1)由题意〃x)=lg(10+x)7g(10-x)=lg［4］的定义域为(-10/0),它关于

原点对称，

10-x10+x

且〃T)=lg=-lg=-"x)，

10+x10-x

所以“X)在(-10,10)上是奇函数.

zx［0+龙〉］

(2)由题意〃司=日启二卜lgl=0,所以,10-龙,，解得0<x<10,

［-10<X<10

即不等式〃x)>o的解集为(0,10).

14.(2023•全国•高一随堂练习)函数〃x)是周期为2的周期函数，且/(x)=f,xe［-U］.

(1)画出函数/'(x)在区间［-2,2］上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；

⑵求1(7.5)的值；

⑶求在区间［2〃—上的解析式，其中“eZ.

【答案】⑴答案见解析；

⑵0.25；

(3"(X)=(X-2")2,WGZ

【分析】(1)根据周期性及已知区间解析式画出函数图象，数形结合确定单调区间、零点、

最值；

(2)利用周期性求函数值即可；

(3)由l,2〃+l］nx-代入已知解析式，根据周期性即可得解析式.

【详解】(1)由“X)的周期性及尤上解析式，得区间［-2,2］上的图象如下：

由上图知：增区间为［-2,-减区间为［—1,0),工2］；

零点为尤=-2,0,2共3个；最大值为1,最小值为0.

(2)由题设〃7.5)=/(8-0.5)=/(-0.5)=(-0.5)2=0.25.

(3)令xe[2〃-1,2〃+1]=%—2〃€[-1,1]且“€2,贝1|/(%-2")=0—2〃)2,

又f(x+2)=f(x),贝"(x)=〃x—2〃)，即〃X)=(X-2〃)2,

综上，在区间+上/(x)=(x-2")2,〃eZ.

B能力提升

1.（2024上•江西•高二校联考期末）若函数/（月=型与立（"0）是偶函数，则片=（）

a

A.2023B.2024C.2D.4

【答案】B

【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义与性质，即可求出结果.

【详解】因为/（彳）=2024'+12024

aa

匚口、一，、(2024Yx(1YX(aX

所以/(-x)=[-------I+1-1=1I+ax,又/(x)是偶函数,

（舍去），

得那=2024,

故选：B

2.（2024上•湖北•高一校联考期末）已知定义在R上的奇函数“X）满足/色-力寸⑺,

当0<XVl时,〃尤)=2,,则/(2+隰2024)=()

A.」一B.-2024253253

C.-----D.-----

2024256128

【答案】D

【分析】由题意首先得了（X）周期为4,由此结合对数运算即可进一步求解.

【详解】由〃龙）是奇函数，f（2—x）=—/（尤—2）,

又〃2-x）=f（x）,.../（x）=-/（x-2）,所以〃x）周期为4.

/（2+log22024）=/（2+log22024-4x3）

一〃1吗202410）一小og端；।2024253

-1024―128•

故选：D.

3

3.（2024上•重庆•高一重庆市青木关中学校校考期末）若〃x+3）=再，当xe（0,3］时,

〃x）=2'+logi（x+1）,贝|j"99）=.

【答案】6

【分析】先求出是以6为周期的周期函数，再由对数的运算性质求出结果即可.

33

川3/(x+3+3)=———-=^—=f(]

【详解】因为〃x+3)=n，所以八'"x+3)。八x,，

〃)/(x)

所以/(x)是以6为周期的周期函数，

又因为99+6=16余3,故〃99)=〃3),

因为当xe(O,3]时，〃尤)=2'+log.x+l),

2

所以"3)=23+log[(3+1)=8-2=6,所以〃99)=〃3)=6.

2

故答案为：6.

4.(2024上•河北石家庄•高一石家庄外国语学校校考期末)已知函数〃x)的定义域为R,

满足〃2—x)=—〃x),〃％-1)的图象关于直线x=l对称，且"0)=1,则〃2)=；

/[)+/⑴+/©+"2)+4?+"3)+0

【答案】-1-1

【分析】在/(2-x)=-/(x)中令x=0,即可得第一空答案；由题意可知y=〃x)的图象关

于y轴对称，从而得〃2+x)+〃尤)=0,运用到算式即可得第二空答案.

【详解】在/(2-力=一/(力中，令x=0,则有42)=-/(0)=-1；

/■(x-l)的图象关于直线》=1对称，则y=/(x)的图象关于，轴对称，有〃%)=/■(-x),

X/(2-x)=-/(%),贝ij〃2-x)=—〃T),得“2—X)+〃T)=。，

可得，/(2+x)+/(x)=0,

所以佃+同=。，同+佃=。，/(3)+〃1)=0,

所以佃+9+呜＞〃2)+佃+f(3)+佃

=/13+/(1卜43+/11/⑶+/⑴+"2)=°+/(2)=T・

故答案为：-1;-1.

【点睛】结论点睛：函数的对称性：

(1)^f(x+a)+f[-x+b)=c,则函数/(X)关于中心对称；

(2)若f(x+a)=/(-x+7),则函数〃x)关于尤=乎对称.

C综合素养

5.(2024上•湖南长沙•高一统考期末)如果函数y=/(x)的定义域为R,且存在常数。，

使得对定义域内的任意x,都有/■(%+。)=〃-*)恒成立，那么称此函数具有“尸⑷性质

2

(1)己知y=具有“尸⑼性质”，且当XV。时，/(x)=log2(x-2x+5),求y=〃x)的解

析式及在［0』上的最大值；

⑵已知定义在R上的函数y=〃(x)具有"P(2)性质"，当时，/i(x)=|x-4|.若

"2(彳)7.〃(、)+/=0有8个不同的实数解，求实数f的取值范围.

咯案"

⑵臼

【分析】(1)由题意可得/(X)是偶函数，根据偶函数性质求出/(X)的解析式，由复合函数

的单调性判断/(X)在［0,1］上单调性，求出最值；

(2)由对称性求出可力的解析式，配(x)T.人⑺+/=。有8个不同的实数解，令77=h(x),

则“2一例+r=0有两个不等的实数根多,”,且0<%<3,0<%<3,然后根据一元二次方

程的实根分布求解.

【详解】(1)y=/(x)具有"P(0)性质"，

对XeR恒成立，f(x)是偶函数.

2

当x40时，/(x)=log2(x-2x+5),

2

所以当x>0时，则〃-x)=log2［(-%)-2(-x)+5］=log,(Y+2x+5),

由f(x)月(-X)得,当x>。时〃力=1幅任+2%+5)

log2(尤2+2尤+5),%>0

1

log2(x-2x+5),x<0

因为y=log2X是增函数，y=Y+2x+5=(尤+1/+4在［-1,”)单调递增，

所以由复合函数的单调性可知函数"X)=log2仁+2尤+5)在［0,1］上单调递增,

因此，“X)在［0』上的最大值为〃1)=1幅(『+2><1+5)=1暇8=3.

(2)函数y=//(x)具有"尸(2)性质〃，则Mx+2)=/i(r),

当时,/z(x)=|x-4|,所以当x<l时，/z(x)=/z(-x+2)=|x+2|,

x-4,x>l

于是Mx)=<

x+2，x<\

如下图所示:

若炉⑺T./z(x)+f=O有8个不同的实数解，令/=//(%),

则1-优+/=0有两个不等的实数根%,%，且。<%<3,0<«2<3,

A=?-4?>0

r>0

9

所以,2-3f+f>0，所以《〈，〈耳.

0<-<3

2

所以f的取值范围为

【点睛】思路点睛：第一问，利用/(X)是偶函数，求出Ax)的解析式，再根据复合函数单调

性求出最值；第二问，函数y=/z(x)具有"尸(2)性质"，即得图象关于x=l对称，求出

〃(力的解析式，后(x)―/(x)+/=0有8个不同的实数解，令〃=力卜)，转化为方程

“2一切+1=0有两个不等的实数根%,n2,且0<%<3,0<%<3,根据实根分布求解.

6.(2023上•山东青岛,高一青岛市即墨区第一中学校考阶段练习)对于定义在R上的函数

〃x)和正实数T若对任意xeR,有〃x+T)—〃x)=T,则为T-阶梯函数.

(1)分别判断下列函数是否为1-阶梯函数(直接写出结论)：

①〃x)=x\

②/(x)=x+l.

⑵若〃x)=x+sinx为T-阶梯函数，求T的所有可能取值;

⑶己知〃工)为T-阶梯函数，满足："X)在1,T上单调递减，且对任意xeR,有

-/(x)=T-2x.若函数*x)=〃x)-分-6有无穷多个零点，记其中正的零点从小

到大依次为网,飞，W，…；若”=1时，证明：存在6eR,使得尸(x)在［0,20237］上有4046个

零点，且乙一芯=三一%=",=尤4046一了4045.

【答案】①①否；②是

(2)T=2kn,左GN*

⑶证明见解析

【分析】(1)利用T-阶梯函数的定义进行检验即可判断；

(2)利用T-阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；