函数的零点、隐零点、极值点偏移问题（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第14讲函数的零点、隐零点、极值点偏移问题

（6类核心考点精讲精练）

I他.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第20题,16利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲

分线上一点处的切线方程（斜率）函数的最值（含参）

2023年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用导数证明不等式利用导数研究

分不等式恒成立问题

2022年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用导数研究不等式恒成立问题利

分用导数研究函数的零

2021年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

分利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析

2020年天津卷，第20题,16

利用导数证明不等式

分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分

【备考策略】L理解、掌握函数零点与方程的关系

2.能掌握函数零点的求解方法

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像的交点解决函数的零点问题

4.会解隐零点与极值点偏移问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式解决函数的零点相关问题。

12•考点梳理•

如、n上B岫帝4人加门日再j考点一、函数零点个数问题

「知I八点一.函数零点I数问感j考点二、数形结合法研究零点问题

考点三、含参分类讨论确定零点问题

｛考点四、已知零点个数求参数问题

考点五、隐零点问题

知识点三.隐零点问题

考点六、极值点偏移问题

知识讲解

知识点一.函数零点个数问题

用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断;另一方面，也可将零

点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决，对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或

最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围，从图象的最高点、最低点、分析函数的最值、极值;从

图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等。但需注意探求与论

证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.

知识点二.零点存在性赋值理论

1.确定零点是否存在或函数有几个零点，作为客观题常转化为图象交点问题，作为解答题一般不提倡利用图

象求解，而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点，赋值之所以“热”，是因

为它涉及到函数领域的方方面面:讨论函数零点的个数(包括零点的存在性，唯一性);求含参函数的极值或最

值;证明一类超越不等式;求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等，零点赋

值基本模式是已知f(a)的符号，探求赋值点m(假定m<a)使得f(m)与f(a)异号，则在(m,a)上存在零点

2.赋值点遴选要领:讲选赋值点须做到三个确保:确保参数能取到它的一切值；确保赋值点xo落在规定区间

内;确保运算可行

三个优先：(1)优先常数赋值点;(2)优先借助已有极值求赋值点;(3)优先简单运算.

知识点三.隐零点问题

1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”;另一类是能够判

断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”

2.利用导数求函数的最值或单调区间，常常会把品值问题转化为求导函数的零点问题、若导数零点存在，但

无法求出，我们可以设其为尤。,再利用导函数单调性确定殉所在区间，最后根据f，(x0)=0,研究f(x0),我们

把这类问题称为隐零点问题.注意若f(x)中含有参数a,关系式f(x0)=0是关于通户的关系式，确定曲的合适

范围，往往和a的范围有关.

考点一、函数零点个数问题

.典例引领

1.（2024・四川凉山・二模）若/'（x）=Ksinx+cos久一1,%€卜］,兀卜则函数f（久）的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024高三・全国・专题练习）函数f（x）=x—sinx的零点个数为.

即时检测

1.（2024高三・全国・专题练习）已知函数f（x）=x3—x—1.

⑴求证：函数f（x）在区间（1,2）内恰有一个零点；

⑵将（1）中的零点记为a,且aeg,?），求自然数n的值.

2.（2024・山西晋中•模拟预测）已知函数/'（x）=Inx+sinx+sin余

（1）求函数/（久）在区间［l,e］上的最小值；

（2）判断函数/（久）的零点个数，并证明.

考点二、数形结合法研究零点问题

典例引领

1.（2023・四川甘孜•一模）设定义在R上的函数/（比）是偶函数，且/（%+兀）=/（x—兀），（。）是/（X）的导函数，

当汽G［0,兀］时，0</（%）<1；当久E（0,兀）且第W1时,（%—；）/'（%）>0，则函数y=/（%）—sin%在［—2兀,2兀］

上的零点个数为（）

A.2B.4C.5D.8

2.（2024高三下•全国・专题练习）已知/（%）是定义在R上的奇函数，当％>0时，/（%）=e3-31n%,则函数/（%）

的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

1.（24-25高三上•广东•开学考试）若函数f（%）=sinx—cosx+ax+l（a>0）,x6［0,2兀］的图象与直线％=

0,x=7i,y=0所围成的封闭图形的面积为/兀2+兀+2.

（1）求a的值；

⑵求函数/（%）单调区间及最值；

（3）求函数g（%）=f（x）一TH在区间％e［0,2兀］上的零点个数.

2.（2024•浙江•模拟预测）已知函数/（久）=a（ex+sinx）-x-1.

⑴当a=|时，求f(x)的单调区间;

(2)当a=1时，判断/(久)的零点个数.

3.(22-23高三上•全国•阶段练习)已知函数/(X)=-2小尤2+2,其中血20.

(1)若/。)的极小值为-286,求/(x)单调增区间；

(2)讨论/(%)的零点个数.

考点三、含参分类讨论确定零点问题

典例引领

1.(2024•山东聊城•一模)已知函数/(%)=xe*—1,g(x)-In%—mx,</?(%)~qX

⑴求/(%)的单调递增区间；

(2)求@(%)的最小值；

(3)设九(%)=/(%)-g(%),讨论函数九(%)的零点个数.

2.(2024•湖南•二模)已函数f(%)=必++b%+c(q,瓦cER),其图象的对称中心为(1,-2).

(1)求a-b-c的值；

⑵判断函数/(久)的零点个数.

即时检测

1.(2024•河南郑州•三模)已知函数/(%)=eax—x.

(1)若a=2,求/(%)在处的切线方程；

(2)讨论/(%)的零点个数.

2.(2024・湖北•模拟预测)函数f(%)=ae%—%—l(aER).

(1)当。=1时，证明：/(x)>0；

(2)讨论函数f(%)的零点个数.

3.(23-24高三上•河北邢台•阶段练习)已知函数/(%)=2炉一3%2―12%+5.

⑴求/(%)的极值；

(2)讨论函数g(%)=/(%)-租的零点个数.

4.(23-24高三上•陕西•阶段练习)已知函数f(%)=31nx+|%2—4%+1.

(1)求f(%)的图象在久=2处的切线方程；

(2)讨论函数g(%)=/(x)-他的零点个数.

考点四、已知零点个数求参数问题

I___典例_引_领_

,若函数g(%)=/(%)-％+m(znER)恰有一个零点，

巴％<0

则m的取值范围是.

2.(2018•全国•高考真题)已知函数/(%)=e%-a%2.

(1)若a=l,证明：当%K)时,/(%)>1；

(2)若f(%)在(0,+8)只有一个零点，求。的值.

即

1.(2017•全国•高考真题)已知函数/(久)=ae?”+(a—2)e*—x

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若/(x)有两个零点，求a的取值范围.

2.(2024•内蒙古包头•三模)设函数f(x)=lnx+?—a.

(1)当a=1时，求的最小值；

(2)若/O)恰有两个零点，求a的取值范围.

考点五、隐零点问题

典例引领

1.22-23高三上•河南洛阳•开学考试)(1)证明不等式：e-2>也久(第一问必须用隐零点解决，否则不给分)；

(2)已知函数f(x)=(%-2)e，+a(x-有两个零点.求a的取值范围.(第二问必须用分段讨论解决，否

则不给分)

2.(23-24高三上.海南省直辖县级单位.阶段练习)已知函数(O)=——ainx(aeR).

(1)判断函数f(x)的单调性；

(2)设g(x)=/2(久)一/0)-21nfO),证明：当a=2时，函数g(x)有三个零点.

♦♦眼举w

1.(22-23高三上•河北•期中)已知函数/(%)=2ex+a(x2—In%)+x.

(1)若a=-2e-l,求f(%)的单调区间;

(2)记函数g(%)=-qin(%+1)+%+4,若/(%+1)之g(%)恒成立，试求实数a的取值范围.

2.(23-24高三下•广东广州•阶段练习)已知函数/(%)=铲-2%.

(1)求函数/(%)的极值；

(2)讨论函数g(%)=/(%)-sin%在R上的零点个数.(参考数据：sinl«0.84,cosl«0.54)

3.(2024・山东•模拟预测)已知函数/(%)=-

(1)求曲线y=/(久)在点(1)(1))处的切线/在y轴上的截距；

⑵探究/(久)的零点个数.

4.(23-24高三上•福建莆田•阶段练习)己知函数f(x)=M—sin久.

(1)求/(x)在(OJ(O))处的切线方程；

(2)求证：当xe(-兀,+8)时，函数/O)有且仅有2个零点.

考点六、极值点偏移问题

典例引领

1.(2024高三・全国・专题练习)设函数/(%)=e%—权/—1(%一i)3+三,%£©+8).

⑴判断函数/(%)的单调性；

(2)若久1W型，且/(%i)+/(%2)=6e,求证：%1+冷<2.

2.(22-23高三上•黑龙江哈尔滨•期末)已知函数/(%)=ax2,g(x)=x(l—In%).

(1)若对于任意久€(0,+8),都有/(%)Vg(%),求实数a的取值范围；

(2)若函数y=g(%)-7n有两个零点式L%2，求证：—+—>2.

X1X2

♦♦即时啊

1.(23-24高三上•江苏连云港•阶段练习)已知函数/(%)=Inx4-|ax2—(a+l)x(aeR).

(1)当a=l时，求函数y=/(%)的零点个数.

(2)若关于％的方程f(%)=1a/有两个不同实根%I，%2,求实数a的取值范围并证明％1•%2>?2.

2.(22-23高三上•河北唐山•阶段练习)已知函数/(%)=(x—l)lnx—%2+ax(aER).

(1)若函数y=/'(%)有两个零点，求a的取值范围；

(2)设%i，%2是函数/(%)的两个极值点，证明：xr+x2>2.

3.(21-22高三上•广东清远•期末)已知函数/(%)=靖-1—以％-1).

⑴讨论/(%)的零点个数.

(2)若f(%)有两个不同的零点%1，%2，证明：Xr+x2>4.

4.(21-22高三上•北京昌平・期末)已知函数/(%)=三％3—2。%+81n%.

(1)若函数f(%)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若函数/(%)存在两个极值点%1，久2，求证：％1+%2>4.

IN.好题冲关

基础过关

1.(22-23高三上•天津和平・期末)设函数/(x)=［工厂)/N°,若函数g(x)=f(x)-aM合有两个

I——2x—4,x<0

零点，则实数a的取值范围为()

A.(0,2］B.(0,2)C.(2,+oo)D.{2}

2.(2020・重庆•一模)已知/(久)为R上的可导函数，当x70时，/(x)+竽>0,若F(X)=(0)+3则函

数/(无)的零点个数为()

A.0B.1C.2D.0或2

3.(21-22高三上•天津河北•期中)已知函数/(久)=对nx-1,则/(久)的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

4.(2024高三.全国.专题练习)函数f(x)=2x+x—2的零点个数是()

A.0B.1

C.2D.3

6.(23-24高三下.重庆.阶段练习)已知函数/(%)=(/+Hi%+九)e%,若函数/(')有两个不同零点，则/(久)

极值点的个数为.

7.(23-24高三上.天津滨海新•阶段练习)已知函数/(久)=［炉—产+i.

(1)求曲线y=/(x)在点(1)(1))处的切线方程；

(2)求函数八%)在［-2,刀上的单调区间、最值.

(3)设g(%)=/(x)-a在［-2,2］上有两个零点，求。的范围.

能力提升

1.(23-24高三上.天津南开•阶段练习)若函数f(x)=|a，+/一久ina—前一2,(a>0且a71)有两个零

点，则m的取值范围()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(3,+oo)D.(-oo,-l)

11nxIYQ

'若函数g(x)=f(x)-b有两个零点，

{ex(x+1),x<0,

则实数b的取值范围是()

A.(一1，0)B.(二1，0］

11

C.(7O]U(1,+oo)D.(?1)

—_x〉Q且％-j~]

3.(2023•吉林・一模)已知函数/(%)二%T''若函数g(%)=/2(x)一m/(x)-e4有4个

、—f(—%),x<0且％H—1,

零点.则实数m的取值范围是.

4.(2023•天津河北•一模)设k€R,函数/(行=’5：)；；；；。，若/(%)恰有两个零点，则k的取值范

围是.

5.(23-24高三上•天津河北•期中)已知函数f