函数的概念及其表示-2025年高考数学一轮复习（天津专用）

第04讲函数的概念及其表示

（7类核心考点精讲精练）

考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

函数与方程的综合应用根据函数零点的个数求参数范围

2024年天津卷，第15题,5分

已知方程求双曲线的渐近线

2023年天津卷，第15题,5分根据函数零点的个数求参数范围

2021年天津卷，第9题,5分根据函数零点的个数求参数范围

2020年天津卷，第9题,5分根据函数零点的个数求参数范围函数与方程的综合应用

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分及以上

【备考策略】1.理解、掌握函数的概念，能够判断相同函数

2.能掌握函数解析式的就发以及分段函数的求值与不等式等问题

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像，分析最值与值域问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式，要求函数值与取值范围等.

「机考点梳理，

考点一、函数关系的判断

考点二、相同函数的判断

考点三、函数解析式的求法

、分段函数求值

、分段函数的应用

、分段函数不等式

、分段函数的值域与最值

知识讲解

1

知识点一.函数的概念

1.定义

函数

两集合/、B设43是两个非空数集

如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,

对应关系f：4-B

在集合一中都有唯一确定的数f(x)和它对应

名称称f：4-5为从集合A到集合6的一个函数

记法y=F(x),丫£力

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域:

在函数y=f(x),xe/中，x叫做自变量，x的取值范围/叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合"(x)|xG/｝叫做函数的值域.

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域.

(3)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

知识点二.分段函数的定义

定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，函数有不同的解析式，这样的函数通常叫做分

段函数.分段函数因其特点可以分成两个或多个区间及其相应的解析式，分段函数是一个函数.

分段函数的定义域是各段X取值集合的并集

考点一、函数关系的判断

典例引领

1.(2024高三•全国•专题练习)若函数y=f(x)的定义域为力=(x|o<尤W2},值域为B={y|l<y<2],

则函数y=(Q)的图象可能是()

bK

A.0i…B.A

2

【答案】D

【分析】由函数定义判断即可得.

【详解】由函数定义可排除C,由值域为8={例1WyW2}可排除A、B,

只有D选项为定义域为力={%|0WxW2},值域为B={y\l<y<2}的函数的图象.

故选：D.

2.(23-24高三上•河南新乡•阶段练习)已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其

边界顺时针匀速运动一周.设点P运动的时间为x,线段力P的长度为y,表示y与x的函数关系的图象大致

如图所示，则该封闭图形可能是()

【答案】B

【分析】根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断.

【详解】根据函数图象可知：函数图象具有对称性，故C错误；

对于A：由等边三角形可知：线段2P的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误；

对于D：由圆可知：线段4P的长度不会是线性变化，故D错误；

对于C：由正方形可知：线段4P的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确;

故选:B.

即时检测

1.(22-23高三•全国•对口高考)已知函数/(乃/€尸,那么集合{(x,y)|y=/(x),xeF}D{Q,y)|x=1}

中所含元素的个数有—.

【答案】0或1.

【分析】根据题意转化为久=1与y=/(%),%eF的图象的交点个数，结合函数的定义，即可求解.

【详解】由集合{(x,y)|y=f(x),xeF]n{(x,y)|x=1}中所含元素的个数，

即为直线％=1与y=f(x),xeF的图象的交点个数，

3

当leF时，此时，两个函数的图象有且仅有一个交点；

当1SF时，此时，两个函数的图象没有公共点，

所以集合{(x,y)|y=/(%),%GF}n{(%,y)\x=1}中所含元素的个数为0个或1个.

故答案为：0或1.

2.(湖南•高考真题)给定keN*,设函数f:N*一N*满足：对于任意大于k的正整数n,/(n)=n-k.

(1)设k=1,则其中一个函数/在n=1处的函数值为一；

(2)设k=4,且当几W4时，23,则不同的函数/的个数为—.

【答案】正整数16

【分析】(l)n=k=l,题中给出的条件“大于k的正整数九”不适合，但函数值必须是一个正整数，故/(I)

的值是一个正整数；

(2)k=4,且n44,与条件“大于k的正整数九”不适合，故/(n)的值在2、3中任选其一，求出所有可能的

组合数即可得不同函数的个数.

【详解】(0・.•函数/：7*一N*,；.其值域为正整数，故函数f在九=1处的函数值为正整数；

⑵・••函数/：N*-N*,.•.其值域为正整数，

又nW4时，2Wf(n)W3,

故nW4时，f(n)e{213},

即f⑴、f⑵、f⑶、f(4)的取值可能是2或3,

则共2X2X2X2=24=16种组合，

二不同的函数/的个数为16.

故答案为：正整数；16.

3.(23-24高三上•上海闵行•期中)设曲线C与函数/(久)=^|x3(0<x<t)的图像关于直线y=百x对称,

设曲线C仍然是某函数的图像，则实数t的取值范围是.

【答案】(0,第

【分析】设】是八式)=泵3(0<万.)在点用&*3)处的切线，进而根据题意得直线2关于y=岳对称后

的直线方程必为％=圆曲线C才能是某函数的图像，进而得/的方程为Z：y=,x-t)+祟3(0<xwt),再

3Z4

联立方程即可得£=竽，进而得答案.

【详解】设Z是/⑺=■光3(o<x<。在点处的切线，

因为曲线C与函数=5^3(0<^<。的图像关于直线y=Wx对称，

24

所以直线/关于y=Bx对称后的直线方程必为％=a,曲线C才能是某函数的图像，

如图所示直线y=Wx与x=a的角为？，所以I的倾斜角为：，

66

4

y——Qx—t)+—t3

故联立方程得3L24,即一日——=0,

y=—V3尸Q

-’24

则(％—t)(x2+xt+t2-8)=0,即％2+xt+t2-8=0与久—t=0同解,

所以"管

所以t的取值范围为(0,孚］.

故答案为：(0,竽］

4.(22-23高三上•上海静安•期中)已知函数y=/(久)的定义域为｛a,b,c｝,值域为｛-2,—1,0,1,2｝的子集,

则满足f(a)+f(b)+/(c)=0的函数y=f(x)的个数为(

A.16B.17C.18D.19

【答案】D

【分析】对f(a)、f(b)、«c)的取值进行分类讨论，计算出不同情况下函数y=/(x)的个数，即可得解.

【详解】解：分以下几种情况讨论：

①当「⑷、f⑹、/(c)全为0时，只有1种；

②当f(a)、f⑻、f(c)中有两个为—1,一个为2时，有3种；

③当下⑷、加)、f(c)中有两个为1,一个为—2时，有3种；

④当打办/⑸、f(c)三者都不相等时，可分别取值为一1、0、1,有3x2xl=6种;

⑤当/'(a)、f⑻、f(c)三者都不相等时，可分别取值为一2、0、2,有3x2x1=6种.

综上所述,满足条件的函数y=fO)的个数为1+3+3+6+6=19个.

故选：D.

考点二、相同函数的判断

典例引领

1.(全国•高考真题)与函数y=久有相同图象的一个函数是()

5

,—2

A.y=\x2B.y=x-

loga%x

C.y=a,其中a>0,aWID.y=\ogaa,其中a>0,aWl

【答案】D

【分析】选项A图象为折线判断错误；选项B图象上无原点(0,0)判断错误；选项图象为无端点射线判断错

误；选项D可化为y=%与函数y=%有相同图象判断正确.

【详解】选项A：y^y^=\x\,图象为折线.判断错误；

选项B：y=+=x(xK0),图象上无原点(0,0).判断错误；

选项C：y=alo^x=x(x>0),图象为无端点射线.判断错误；

x

选项D：y=logaa=x,与函数y=%有相同图象.判断正确.

故选：D

2.(23-24高三上•河南濮阳•阶段练习)下列函数中，与函数/(久)=%是同一函数的是()

A./(x)=(OB.

c.f(x)=D.f(t)=y

【答案】c

【分析】由同一函数的定义依次判断选项即可.

【详解】解：函数/(x)=x,定义域为R.

选项A中/'(%)=(O=",定义域为［0,+8),故A错误；

选项B中/'(x)=J衣=|%］,定义域为R,故B错误；

选项C中/'(久)=］彳=x,定义域为R,故C正确；

选项D中/'(t)=F=3定义域为｛HtK0｝，故D错误.

故选：C.

♦即时检测

1.(2020•天津•模拟预测)下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.y=x+1与丫=芋B.f(x)=^5■与g(x)=%

C./(x)=|幻与g(x)=Vx"D./(x)=x与g(t)=loga。'

【答案】D

【分析】对于A：由定义域不同，即可判断；

对于B：由定义域不同，即可判断；

对于C：由对应关系不同，即可判断；

对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数.

6

【详解】对于A：y=x+l的定义域为R,3/=中的定义域为(—8,0)1；(0,+8),定义域不同，所以A错

误；

对于B：/(%)=总7的定义域为(0,+8),g(x)=x的定义域为R,定义域不同，所以B错误；

对于C：/(%)=|%|,对于g(x)=，对应关系不同，故C错误；

IX,九为奇数

对于D：/(为=乂定义域为兄g(t)=log。/=3定义域为R,二者对应关系相同，定义域相同，为同一函

数.

故选：D

2.(23-24高三上•黑龙江哈尔滨•开学考试)下列选项中表示同一函数的是()

A./(%)=与g(x)=1

B./(x)=x与9(%)=孑

C./(%)=J0-2023人与g(久)=%_2023

D,的=｛1>真°0与心)=仁""°

JLx<0(1,%=0

【答案】D

【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有一个不相同，函数即不是同一函数，

由此一一判断各选项，即得答案.

【详解】对于A,f(x)=的定义域为｛x[x丰0),而g(x)=1定义域为R,

故二者不是同一函数；

对于B,f(x)=久的定义域为R,与g(x)==的定义域为｛久|x片0),

故二者不是同一函数；

对于C,/(%)=J(x-2023)2=氏-2023|与g(%)=x—2023对应关系不同，

故二者不是同一函数；

xxrJ,X>0

对于D,g(x)=百*°-1：%=0=[1；””与用)=[1；”17的定义域以及对应关系、值域都

(1,%=0(一1,%<0-Lx<。

相同，

故二者为同一函数，

故选：D

3.(2023高三•全国•专题练习)下列每组中的函数是同一个函数的是()

A.f(x)=|x|,g(x)=(小¥B.=或龙)=疡

C.f(x)=C一2久3,g(x)=V—2xD.f(x)=9(K)=%+3

【答案】B

7

【分析】根据相同函数的定义进行逐，一判断即可.

【详解】对于A,函数/0)的定义域为R,函数g(x)的定义域为［0,+8),所以这两个函数不是同一个函数;

对于B,因为g(x)=疡=㈤，且/'(t),。(久)的定义域均为R,所以这两个函数是同一个函数；

对于C,f(%)=V-2x3=-%V-2x,f(x)和g(x)的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；

对于D,函数/(x)的定义域为{x|xeR,且XK3},函数g(x)的定义域为R,

所以这两个函数不是同一个函数.

故选：B.

4.(22-23高三•全国•课后作业)以下四个命题：

①当？1=0时，函数y=x71的图象是一条直线；

②函数y=必和y=e"?为同一个函数；

③若定义域为R的函数y=f。)是奇函数，则f(0)=0；

④己知函数y=f(x)在区间［a,句上的图象是一段连续曲线，若人。)"(b)>0,则函数/(久)在(a,b)上没有零

点.

其中，真命题的个数为().

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】判断几=0是函数y=#的图象形状，判断①；根据函数丫=/和丫=eg》的定义域可判断②；根

据奇函数的定义和性质可判断③；举反例可判断④.

【详解】当n=0时，函数y=x°,定义于为{xGR|x力0},

故此时函数图象为直线y=1上挖去点(0,1),①错误；

函数y=/的定义域为R,函数y=ein”定义域为{xGR|x#0},

故函数丫=/和丫=6叱2不是同一个函数，②错误；

若定义域为R的函数y=f(x)是奇函数，则f(一0)=—/(0)，则f(0)=0,③是真命题；

函数y=/(x)在区间［a,回上的图象是一段连续曲线，若f(a)"(6)>0,

不妨取f(x)=X2-3x+2,区间为［0,3］,满足/(0)"(3)>0,

当/(*)=x2-3x+2在［0,3］内有零点1和2,故④错误，

故真命题的个数为1,

故选：A

考点三、函数解析式的求法

典例引领

1.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(近+1)=%-4,则/(%)二.

【答案】%2—2%—3(%>1)

8

【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得/(%).

【详解】令y+1=t(t>1),则％=(t-l)2(t>1),

于是有/(t)=(t—1)2—4=t2-2t-3(t>1),所以/(x)=/-2%—3(久21).

故答案为：—lx-3(x>1)

2.(2024高三•全国•专题练习)已知/O)满足2f(x)+/(-%)=3x,求/(切的解析式.

【答案】/(x)=3%

【分析】列方程组法求函数的解析式.

【详解】对于任意的x都有2f(久)+/(-%)=3%,

所以将x替换为一心得2/(-X)+/(%)=—3x,

联立方程组：檄黑个^^二，消去打-久)，可得f3=3工

1.(2024高三•全国•专题练习)已知f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)—f(x)=4x+2,则

f(x)=-

【答案】x2-x+3

【分析】根据条件设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a丰0),代入条件求解即可.

【详解】设/'(x)=ax2+bx+c(a*0),

1•,/(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,

・•・f(x+2)—/(%)=4ax+4a+2b=4%+2,

(4a=4fa=1

<4a+2b=2lb=—1'

又/(0)=3=c=3,

/(%)=%2—%+3.

故答案为：x2-x+3

2.(23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习)若函数f(cos%)=cosx+cos2x,贝"/(/(；))=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】由二倍角公式结合换元法求出函数解析式即可求解.

【详解】因为/(COSK)=COSX+COS2%=COSX+2cos2%—1

所以/(%)=%+2x2-1,(-1<%<1),

财®/+2x：l=。，

所以/(/6))=/(0)=-1.

故选：B.

9

3.(安徽•高考真题)若/(sin%)=2—cos2x,贝!J/(cos%)=()

A.2—sin2xB.2+sin2xC.2—cos2xD.2+cos2x

【答案】D

【分析】首先利用二倍角公式化简求出/(%),再利用二倍角变形即可求得了(cos%).

【详解】v/(sinx)=2—cos2x=2—[1—2(sinx)2]=2—1+2(sinx)2=1+2(sin%)2

・•./(%)=1+2x2,.，/(cos%)=1+2(cos%)2—1+1=2+cos2x

故选：D

4.(湖北•高考真题)已知f(M)=静，则/(%)的解析式为()

A./(x)=备B./(%)=一言

一(%)=合D"(x)f

【答案】C

【解析】令?=匕即可用换元法求函数解析式.

1+x

【详解】令==3

1+x

得乂=+

1-(l^)22r

・・•4)="$

•••/(久)——2-

八)1+X2

故选：C.

【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.

5.(2024•四川•模拟预测)已知/(%)为定义在R上的单调函数,且对V%eR,7(/(%)-ex)=2+ln2,则

/(ln3)=()

A.31n2B.3+ln2

C.3—ln2D.In3

【答案】B

【分析】根据题意，设/(%)-根=，用求t的值，进而可得/(%)的解析式,从而可得f(ln3).

【详解】设/(%)-ex=t,则/(久)=ex+t,

所以/(t)=ef+t=2+ln2,即e*+lnef=2+ln2,

设9(%)=%+lnx(x>0),易知gG)在(0,+8)上单调递增,

所以e"=2,即t=ln2,

xln3

故f(x)=e+ln2,所以f(ln3)=e+ln2=3+ln2.

故选：B.

6.(23-24高三下•重庆•阶段练习)设/(%)是定义在R上的单调增函数，且满足/(一1一汽)+/(%)=—7,

10

若对于任意非零实数x都有/'，(x)+总花-x-|+2]=-4,贝!If(2024)=.

【答案】2021

【分析】利用赋值法求解，令[=/(>)+——x-工+2,则/(。=—4,再令x=t,结合题意中条件求得

3可求得/(久)，进而可得结果.

【详解】令七=/(久)+77^77-％-工+2,则=-4,

令％=3则t=/⑴+/(：+3-七-：+2=-4-1-t-：+2,解得力=-1或一；.

而/'(-1-x)+/(久)=_7,则/'(_1_(一号)+/=_7,故/(_■!)=_}因此t=_l.

则T=/(")+焉一”V+2,

即““)+3+4…”“久)+37=「高=黑奇

因此/(%)+3-%=0或%(/(久)+3)=1,

当x(/(x)+3)=1时，/(x)=1-3,在(0,+s)上单调递减，不满足题意，舍去；

当/'(x)=x-3时，满足题意.

贝好(2024)=2021.

故答案为：2021

【点睛】方法点睛：求解抽象函数解析式问题的方法：

(1)若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解；

(2)若无法推知函数模型，一般结合赋值法，通过解方程(组)法求解.其中，方程或者是已知的，或者

是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的.

考点四、分段函数求值

.典例引领

—1YV2

10g3(x2：1))x>2，则f(f(2))的值为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据分段函数的解析式，先计算-2)的值，再根据其大小范围代入相应的解析式中求得答案.

【详解】/(2)=10g3(22-1)=1,

故f(f(2))=f(l)=2eiT=2,

故选：C

2.(2024•上海•高考真题)已知,0)={f；；；，则f(3)=.

11

【答案】V3

【分析】利用分段函数的形式可求f(3).

【详解】因为八%)={¥；；；，故汽3)=V3,

故答案为：V3.

即0^(

,-%2+2,x<1,/八、\

1.(2022•浙江•高考真题)已知函数-%)=i_则4/=_______；若当xe[a,句时，1W

XI-1,X>1,\/

x

/(%)<3,贝出一。的最大值是.

【答案】I3+V3/V3+3

【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.

【详解】由已知/6)=-()+2=3%)="：1=桑

所以八先)]=条

当％工1时，由1W/(%)43可得14一/+243,所以一14%41,

当%>1时，由1W/(%)<3可得1<%+：-1W3,所以IV%42+百，

1</(X)<3等价于一1<%<2+V3,所以[见句c[-i/2+V3],

所以b—。的最大值为3+V3.

故答案为：3+V3.

Zo

2.(2021•浙江•高考真题)已知aGR,函数/(久)=ff若丹f(逐)]=3,则a=_______.

V|X31十CLfX&乙f

【答案】2

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.

【详解】/[/(V6)]=f(6-4)=/(2)=|2-3|+a=3,故a=2,

故答案为：2.

3.(23-24高三下•辽宁丹东•开学考试)已知函数/(久)=-u,贝次(2020)=______________.

1/(%—3),%>0

【答案】^/0.8

【分析】根据分段函数解析式计算可得.

【详解】因为/(>)=(再？久,

17(%—3),x>0

所以/(2020)=以673X3+1)=f⑴=/(I—3)=f(-2)=焉=1

故答案为：，

12

(2Xx<0

4.(2024•江苏南通•模拟预测)已知函数/(%)=*in(2]；三),1>0'则//(/)]=-

【答案】y

【分析】判断所在区间，再代入计算即得.

【详解】依题意，f(；)=sin(2x；+£)=-[

LZoZ

所以/[/(?)]=/(_1)=2U=条

故答案为：

5.(23-24高三上•北京海淀•阶段练习)已知函数人久)则代鱼)+/(-1)=.

【答案】0

【分析】根据分段函数解析式进行求值.

【详解】依题意，工

所以f(V^)+/(—I)=log2,\/2+2-1—1

工111

=log22z+--l=-+--l=0.

故答案为：0

6.(22-23高三上•上海浦东新•阶段练习)已知函数/(%)=f竽(;二：1，则

/(-2)+/(log312)=.

【答案】6

【分析】根据分段函数的解析式，代入自变量，化简求值.

【详解】/(-2)=log33=1,/(log312)=f(l+log34)=1+31+gg34T=1+4=5,

所以/"(—2)+/(log312)=6.

故答案为：6

7.(23-24高三上•天津南开•阶段练习)设fO)='+1),久<o，且门2)=4,则a=,

/(-2)=.

【答案】23

【分析】根据/⑵=4求出a=2,从而f(x)=kA；；4)x<0,由此能求出/<一2)的值.

a%%>0

(log(%2+a2)x<0f且/⑵=4'/(2)=a2=4,解得"=2'/(%)=

X

(2;%>0

2

Uog2(%+4),%<0'

・•・/(-2)=log28=3.

故答案为：2,3.

13

考点五、分段函数的应用

中典例引领

sin3T%,x<|

/(x+|)A<xW2,贝,(2024)=()

{f(x-2),x>2

A.-1B.0C.与.1

2

【答案】D

【分析】结合函数的周期性和正弦函数值解出即可.

【详解】由题意知/2024)=/(2)=/g)=/g)=/(3)=/(I)==siny=1.

故选：D.

2.(2022•北京•高考真题)设函数若/Xx)存在最小值，则a的一个取值

为;a的最大值为.

【答案】0(答案不唯一)1

【分析】根据分段函数中的函数y=-ax+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a<0不符

合条件，a>0时函数y=-ax+1没有最小值，故/'(久)的最小值只能取y=(%-2下的最小值，根据定义域

讨论可知一a?+120或一a?+12(a-2)2,解得0<aS1.

【详解】解：若a=。时，/'(W={(x，2)2‘：：；，’/(WminMO；

若a<0时，当》<a时，/(%)=-a%+1单调递增，当％->-8时，/(%)7—8,故/(久)没有最小值，不符

合题目要求；

若Q>0时，

当％<a时，/(x)=—ax+1单调递减，/(x)>/(a)=—a2+1,

当x>a时，/(x)min={(a-2)2(a>2)

2

/.—a?+120或—a?+12(a-2),

解得0<aW1,

综上可得0WaW1；

故答案为：0(答案不唯一)，1

即阻性测L

1.(2018•浙江•高考真题)已知入GR,函数f(x)=当入=2时，不等式4)〈。的解

14

集是.若函数f(x)恰有2个零点，则A的取值范围是.

【答案】(1,4)(1,3］U(4,+8)

【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法,

再对应确定二次函数零点的取法，即得参数义的取值范围.

详解：由题意得f"孑C或L，所以2<久<4或即1<%<4,不等式f(x)<0

的解集是(1,4),

当;1>4时，/(%)=%-4>0,此时人>)=/-4尤+3=0,刀=1,3,即在(一8,%)上有两个零点；当；I<4

时，/(%)=%-4=0,x=4,由〃>)=/一4x+3在(一8,4)上只能有一个零点得1<433.综上，2的取

值范围为(1,3］U(4,+8).

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

+ax<a

2.(2024•天津•二模)设aCR,函数(Q)=\x-a+i\'.若/(x)在区间［0,+8)

x2—2(a+l)x+2a2—a+l,x>a

内恰有2个零点，则a的取值范围是.

【答案】(0,萼］u性口，竽)u{3}

【分析】对不同情况下的a分类，然后分别讨论f(x)相应的零点分布，即可得到a的取值范围.

【详解】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”，

即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个.

当a40时，只要％Wa+1,就有%2—2(a+l)x+2a2—a+l=(x—a—l)2+a2—3a>—3a>0,

故/(%)在［a,+8)上至多可能有1个零点，从而在［0,+8)上至多可能有1个零点，不满足条件；

当a>3时，有%2—2(a+l)x+2a2—a+1=(x—a—l)2+a2—3a>a2-3a=a(a—3)>0,

所以/(%)在［a,+8)上没有零点.

而若建;+］+a=°,则只可能％-，一1，所以/(%)在(-8,a)上至多可能有1个零点.

故/(%)在R上至多可能有1个零点，从而在［0,+8)上至多可能有1个零点，不满足条件；

当0<aV3时，解------Fa=0可得到％=a---1,且由a>0知a---1<a,

x—a+laa

从而％=Q--1确为/(%)在(一8,Q)上的一个零点.

再解方程式2—2(a+l)x+2a2—a+l=0,即(汽—ct—1)2+/—3a=0,

可得两个不同的实数根％=a+1±Ja(3-a).

而/(a)=4-2(a+1)Q+2a2—a+1=/—3a+1,a+1+Ja(3—a)>a+1>a.

故％=a+1+Ja(3-a)确为/(%)在［a,+8)上的一个零点,

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而当且仅当次一3。+120时，另一根％=a+1-是/(%)在［a,+8)上的一个零点.

条件为f(x)在区间［0,+8)内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：1a~a~1-°或1a—£一1<0.

la2—3a+1<0la2—3a+1>0

解得ae(o,等］u［等,萼)；

当a=3时，验证知f(x)恰有两个零点，和4,满足条件.

综上，a的取值范围是(0,等］U［等,竽)U{3}.

故答案为：(0,守u［",苧)U{3}

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于需要分较多的情况讨论，不重不漏、细致讨论方可得解.

3.(2024•北京西城•二模)已知函数/(久)=/+2招比〈-2或*>1,或w=,⑶一a,其中aeR.

IV12-3%2,-2<x<1

①若函数g(%)无零点，则a的一个取值为；

②若函数g(%)有4个零点勺(i=1,2,3,4),则％i+到+%3+%4=.

【答案】-1一2

【分析】①结合函数/(%)的图象，函数9(%)无零点，即丫=/(%)与丫=。的图象无交点，所以可得到。的一

个取值；②由图象对称，即可算出％1+%2+%3+%4的值.

【详解】画函数/(久)=广2久,“<-2或”>1的图象如下：

IV12-3x2,-2<x<l

①函数g(%)=/(%)-a无零点，即/(%)-a=0无解，

即y=/(%)与y=。的图象无交点，所以a<0，可取。=一1；

②函数g(%)有4个零点，BP/(x)-a=0有4个根，

即y=/(%)与y=a的图象有4个交点，

由％1、S关于％=-1对称，所以％1+%4=-2,

久2、％3关于％=0对称，所以％2+%3=0，

所以％1+&+%3+%4=-2.

故答案为：-1；—2.

4.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=1,若第1<%2，且/(%i)=/(%2)，则%2-％1的最

lex—2,%>0

小值为.

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【答案】21n2+1

【分析】设=/(工2)=如可得％2=ln«+2),构造函数久2-％1==ln(t+2)+},根

据导数判断函数的单调性与最值.

【详解】设f(%i)=/(及)=如即一工=e%2-2=t,<0,冷之°，贝1k>0,

所以％1=——,%2=ln(t+2),则冷一X、=ln(t+2)+),

令g(t)—ln(t+2)+[(t>0),

则。⑴=磊-力茨(t-2)(t+l)

t2(t+2)：

所以当tG(0,2)时，g'(t)<0,函数g(t)单调递减;

当tc(2,+8)时，g'(t)>0,函数g(t)单调递增，

所以当t=2时，g(t)取得最小值，为g(2)=21n2+T，

即冷一/取得最小值，为21n2+,,

故答案为：21n2+1.

(1V<A

5.(22-23高三上•河北衡水•阶段练习)已知函数f(x)="则方程八1-%2)=f(x)所有的解

1%十_L,%NU

构成的集合是.

【答案】{尤|x=当匚或％<-1}

【分析】根据题意,先将f(l-/)分类讨论求出解析式.后直接解出来即可.

r洋初、2、f1,%<-1或久>1p门、(l,x<0

【详解】/(I-xz)=<，又/(%)={

((1-%2)2+1,-1<%<11%2+l,x>0

当x<-1时,/(I-%2)=f(x)=1,解得x<-1；

当一14久<0时，1=(1一%2)2+1,解得x=-1；

当X>1时,/+1=1,无解；

当0W尤W1时,-+1=(1-x2)2+1,解得久=当士

所以方程f(l-%2)=所有的解构成的集合是{x|x=亨或X<-1}.

故答案为：[x\x=4i或久<-lj.

考点六、分段函数不等式

典例引领

1.(2。24.江西南昌•二模)已知〃)=,则不等式"X)<2的解集是()

A.(-oo,2)B.(-00,3)C.[0,3)D.(3,+8)

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【答案】B

【分析】分别在％<0,%>0条件下化简不等式求其解可得结论.

【详解】当x<0时，不等式/(x)<2可化为一/一2x<2,

所以/+2X+2>0,可得X<0；

当x20时，不等式/(久)<2可化为log?。+1)<2,

所以x+l<4,且x+l〉O,

所以0Wx<3,

所以不等式f(x)<2的解集是(-8,3),

故选：B.

2.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(X)1,若/62+2)<2/(3-。则a的取值范围是

()

A.(一牌)B.(三”廿

C.(F)D.—玛

【答案】A

【分析】首先将不等式化为,/(。2+2)</(3-9,然后将?/(。2+2)转化为f[2+2-目，最后利用单调

性解不等式f(a2+|)</(3-9即可.

【详解】由题意，得函数/(%)在R上单调递增.由/(。2+2)<2/(3—习，

得:/(a?+2)</(3—号，注意到a?+221,

所以](a?+2)=gx4(/+2)=4*x4啰+2)=4侬+2V)=/(02+2一》

从而不等式转化为/'(。2+1)</(3—9,

所以。2+|<3—方解得—|<a<l.

故选:A.

忙即时检测

1.(2024•全国•模拟预测)己知函数/(x)=cosx+》，xW°，则不等式/(久)21的解集为()

.%3+3x2—3,x>0

A.{0}U[1,+oo)B.(—oo,0]U[2,+oo)

C.[0,1]D.(—00,0]U[1,+00)

【答案】D

【分析】根据给定条件，借助导数判断函数单调性，并分段求解不等式即得.