函数的概念及表示-2025高考数学一轮复习

第一早

D1ERZHANG函数

第1节函数的概念及表示

考试要求1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景

中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.

了解简单的分段函数，并能简单应用.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.函数的概念

一般地，设A,3是非空的实数集,如果对于集合A中的任

意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有

概念

唯一确定的数y和它对应,那么就称/：A-3为从集合A到

集合5的一个函数

对应关系

三要素定义域工的取值范围

值域与x对应的y的值的集合伏x)|xGA}

2.同一个函数

(1)前提条件：①定义域相同;②对应关系相同.

(2)结论：这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来

表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域

的并集.

［常用结论］

1.直线x=a(a是常数)与函数y=/(x)的图象至多有1个交点.

2.注意以下几种特殊函数的定义域：

(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

(3)次x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若人x)=x°,则定义域为{x|xWO}.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“♦”或“X”)

(1)函数y=l与y=x0是同一函数.()

(2)对于函数/：A-3,其值域是集合日()

(3)^A=R,B={x|x>0},/：x-y=|x|,其对应是从A到3的函数.()

(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

解析(1)错误.函数y=l的定义域为R,而y=x°的定义域为{x|xWO},其定义域

不同，故不是同一函数.

(2)错误.值域可以为3的子集.

(3)错误.集合A中的元素0在集合3中无元素与之对应.

(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函

数.

2.(必修一P66例3改编)下列函数中与函数是同一个函数的是()

A.y=(能yB.u=y/^

C.y=y/^D.m=~

答案B

ln2

解析函数y=(5)2与函数冽=?和V=x的定义域不同，则不是同一个函数，函

数y=4『=|x|与y=x的解析式不同，也不是同一个函数，故选B.

3.(必修一P65例2改编涵数段尸2x+3+士的定义域为.

JiI乙

答案［—3,—2)U(—2,1］

f—x2—2x+320,

解析由彳得一3WxV—2或一2V%W1.

1%+2W0,

4,已知函数氏x)=：'［八则等于________.

llog3X,X>0,VW7

答案2

解析vy^|^=iog3|<0,

•••状))=3喝总

考点突破•题型剖析

考点一函数的概念

例1(1)(多选)下列各组函数是同一函数的为()

22

A:/(x)=x—2x~19g(s)=s—2s—l

——1

B.J(x)=x—l,ga)=R7

x,%20,

C.J(x)=yp,g(x)=,

「％,x<0

D.J(x)=正看,g(x)=x\l。

答案AC

解析同一函数需满足：①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足.

(2)已知集合2={咪)・无W4},Q={M0WyW2},下列从P到。的各对应关系了不

是函数的是.(填序号)

112

①于:无；②于:%一丁=狞③于:x一丁=产®f-Ly=疝.

答案③

2

解析③中，/：x^y=^x,xG［O,4］时，

rg

()'J%,故不满足函数的定义.

感悟提升1.函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集3中有且

只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而3中有可能存

在与A中元素不对应的元素.

2.构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.

训练1（1）（多选）下列各图中，能表示函数的图象的是（）

答案ACD

解析选项B中图象，对于xWO的一个x值，有两个y值与之对应，故不是函数

图象；

选项A,C,D中图象，均满足函数定义，故是函数图象.

（2）（多选）下列对应关系是集合A到集合3的函数的为（）

A.A=R,B={y|y>0},f：

B.A=Z,B=Z,f：x^y=x2

C.A=Z,B=Z,f：x^y=\[x

D.A={-1,1},B={0},/：xfy=0

答案BD

解析对于A,A中有元素0,在对应关系下y=0,不在集合3中，不是函数；

对于B,符合函数的定义，是从A到5的函数；

对于C,A中元素x<0时，3中没有元素与之对应，不是函数；

对于D,A中任意元素，在对应关系下y=0,在集合3中，是从A到3的函数.

故选BD.

考点二函数的定义域

例2（1）（2023•烟台调考）函数的定义域为（）

A.[-2,2]B.(-L2]

c.(-l,0)u(0,2]D.(-l,1)U(1,2]

答案c

f4—尤W2,____.

解析由已知可得h+l>0，即｛x>一1,因此，函数丫4］：的

'In(x十1)

lln(x+1)WO,〔xWO,

定义域为(一1,0)U(0,2］.故选C.

(2)若函数五x)的定义域为［0,2］,则函数五x—1)的定义域为.

答案［1，3］

解析的定义域为［0,2］,

.♦.OWx—1W2,即1WXW3,

•••函数汽x—1)的定义域为［1,3］.

迁移将本例(2)改成“若函数/U+1)的定义域为［0,2］”，则函数五%一1)的定义

域为.

答案⑵4］

解析的定义域为［0,2］,

，0WxW2,：.l^x+1^3,

.K—1W3,.*.2WxW4,

.\A九一1)的定义域为［2,4］.

感悟提升1.求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式

子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应

使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法

⑴若已知函数兀0的定义域为［a,b］,则复合函数月g(x)］的定义域可由不等式

aWg(x)W6求出.

⑵若已知函数咒g(x)］的定义域为［a,b］,则Xx)的定义域为g(x)在加上的值

域.

训练2(1)函数八x)=d=的定义域是()

A.[l,2]B.[2,+°0)

C.[l,2)D.(l,2]

答案C

解析根据函数人x)的解析式，

C(%+2)(2—x)>0,

有卜>。，解得

llnx^O,

所以函数人处的定义域为[1,2).

(2)已知函数人x)的定义域是[—1,1],则函数g(x)=：(二丁的定义域为

111\1Ji/

答案(0，1)

解析由题意可知函数人X)的定义域为[—1,1],即一IWXWI,

令一lW2x—1W1,解得0W尤W1.

又由g(x)满足1—x>0且1—xWl,

解得x<l且x#0,

所以函数g(x)的定义域为(0,1).

考点三求函数的解析式

例3(1)(2023•哈尔滨模拟)已知上+l)=lgx,则危)的解析式为..

2

答案y(x)=ig—7(^>i)

22

解析令;=则％=二7，

xI1

2

所以五。=lg

2

所以火

x)=lgJ-i-jL-(x>l).

(2)已知丁=火幻是二次函数，若方程式%)=0有两个相等实根，且/(%)=2%+2,则

八%)=-

答案/+2元+1

解析设段)=a^+bx+c(aW0),

则f(x)=2cuc-\-b,2ax-\-b=2x+2,

则〃=1,b=2,=x*2+2x+c,

又火x)=0有两个相等实根，

即N+2x+c=0有两个相等实根，

.*.J=4—4c=0,则c=l.

故人X)=X2+2X+1.

(3)已知函数Hx)对任意的x都有段)一"；-x)=2x,则«v)=.

2

答案

解析V»-2/(-x)=2x,①

:.代—%)一2/(%)=-2x,②

2

由①+②义2得

感悟提升函数解析式的求法

(1)配凑法：由已知条件y(g(x))=R(x),可将R(X)改写成关于g(x)的表达式，然后

以X替代g(x)，便得五X)的表达式.

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.

(3)换元法：已知复合函数五g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值

范围.

(4)方程思想：已知关于五x)与娟或八一x)等的表达式，可根据已知条件再构造出

另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出五X).

训练3(1)已知五G+D=x—25，则火工)=.

答案x2—4x+3(x》l)

解析令/=5+1,则/三1,x=(?—I)2,

代入原式有=—I)2—2(/—1)=户一4/+3(/>1),

所以y(x)=x2—4x+3(x^1).

(2)已知五x)是一次函数，且肌2)—3火1)=5,肌0)一五-1)=1,则人助的解析式为

答案/x)=3x—2

解析..TCx)是一次函数，

...设兀0=履+。，左W0,

则人2)=2左+5,fil)=k+b,凡0)=6fi-l)=—k+b.

[if(2)-y(i)=5,

12f⑹一/(T)=1,

一(4左+2。)-(3左+3。)=5,

・<

'{2b-Q—k+b)=1,

解得左=3,b=~2,：.J[x)=3x-2.

(3)已知人x)满足;(x)—43=2X，则/(X)=_______-

至安—空

口木33%

解析V»-2/[j^=2x,①

以:代替①中的x,得/口一②

JL\A/A

4

①+②X2得一3八光)=2%+1

・“、2x4

•&)=1-春

考点四分段函数

角度1分段函数求值

flog2(6—x),x<L

例4⑴(2022•梅州二模)设函数段尸L〜则八一2)+/(log26)=

、2'，%/1

()

A.2B.6

C.8D.10

答案B

解析根据题意得五-2)=log28=3,/Clog26)=2W-1=3,

所以五一2)+五log26)=6.故选B.

'2%+],1v],

⑵(2023•山东省部分学校联考)已知函数外)={,,：、'、，则型)=()

j(.X3),x1,

A.2B.9

C.65D.513

答案A

解析人9)=汽9—3)=汽6)=火3)=/(0)=20+1=2.故选A.

角度2分段函数与方程、不等式

例5（1）（2023・唐山一模）设函数外）=（'一：’若地）=0，则。=________.

Jgx,x>0.

答案1

解析当aWO时，/+i》iwo（舍去）；

当a>0时，lga=O,a=l,故实数a的值为1.

x+1,尤WO,（i\

（2）设函数y（x）=Qn则满足於）+小一#1的X的取值范围是.

答案（一去+8）

解析由题意得，当x弓时，2，+2x—3>1恒成立，即X或满足题意；

当04只时，2叶卜一0+1>1恒成立，即0<%只满足题意；

当xWO时，x~\~1+^x—1）+l=2x+,>l,

x>—4,即一^<x^0.

综上，X的取值范围是（一（，+8）.

感悟提升1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，

其次选定相应的解析式代入求解.

2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式

分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值

范围.

提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.

训练4（1）（2023・湖南师大附中段考）已知函数五x）=（3）'则汽log212）

If（x—1）,x>2,

=（）

A.§B.—6

C.oTD.—3

答案A

解析因为log23G(1,2),则log212=2+log23G(3,4),

「N°g2311

所以川Og212)=H2+log23)=/Uog23)=团=2-log23=2log2-=_,故选A.

%v]

⑵已知函数.(x+2)：则不等式於+i)<i的解集为()

A.(l,7)B.(0,7)

C.(l,8)D.(—8,7)

答案B

解析当x+lWl,即xWO时,e2^+1)<l,

即eir<l,1—x<0,

又•."WO,无解.

当x+l>l,即x>0时，lg(x+l+2)<l,

.*.lg(x+3)<l,.*.0<x+3<10,

.*.-3<x<7,

又.\0<x<7,故选B.

厂函数的值域微点突破

求函数值域的一般方法

(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法;

(7)数形结合法；(8)导数法.

例求下列函数的值域：

2x+1

(l)y=x2-2x+3,xG[0,3)；(2)y=

x-3'

(3)y=2%-^/^1；(4)y=^/]i+T+^Z7l.

解(1)(配方法)y=%2—2x+3=(x—1>+2,

由x©[0,3),再结合函数的图象(如图①所示),

可得函数的值域为[2,6).

（2）（分离常数法）

2x+12(x—3)+77

丁x~3x~32x~39

,7

显然.•・yW2.

故函数的值域为（一8,2）U（2,+°°）.

（3）（换元法）设1,则冗=户+1,且/NO,

2

.“=2（»+1）—f=2（f—0+y-,

由/NO,再结合函数的图象（如图②所示），可得函数的值域为［/，+8

（4）（单调性法）函数的定义域为［1,+8）,

：丫=小+1与尸山一1在［1,+8）上均为增函数，

•'.尸山+1+也一1在［1,+8）上为单调递增函数，

•*.当X=1时，ymin=g,

即函数的值域为［啦，+8）.

2x—3

训练（1）函数丁=厂二的值域是

乙4ID

答案(一8,1)U(1,+°0)

短才片2L32x+3—6_6

斛析L2x+3—2x+3T—2x+3'

V2x+3#0,：A~2X+3^1,

.,.原函数的值域为(-8,1)U(1,+°°).

⑵(2023•长春检测涵数y=1+x—。1—2x的值域为.

答案"|_

____]_金

解析设q1—2x=t,则X——2—，

1—11

所以y=1+三—一，=/(一产一2，+3)=—2(^+1)2+2,

3

因为£>0,所以)<亍

所以函数y=l+x—2x的值域为(一8,|.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.(2022.揭阳期末)下列函数火X),g(x)表示相同函数的是()

x

A.f(x)=3,g(x)=log3xB./X)=|A|,g(x)=yp

r2

C.j(x)=x,g(x)=—D.y(x)=21gx,g(x)=lg(2x)

答案B

解析对于A,汽x),g(x)一个为指数函数、一个为对数函数，对应法则不同，因

此不是相同函数；

对于B,g(x)=[?=m=/(x),是相同函数；

对于C,函数xx)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x|xW0},因此不是相同函

数；

对于D,g(x)=lg(2x)=lg2+lgx与函数«t)=21gx对应法则不同，因此不是相同

函数.

2.(2023•重庆模拟涵数段)=正一的定义域是(

A.(0,3)B.(0,1)U(1,3)

C.(0,3]D.(0,1)U(1,3]

答案D

.___f3—

解析,•&)=*J,..J1gXWO,

lx>0,

解得0<x<1或

故函数的定义域为(0,1)U(1,3].

3.若函数y=/(x)的定义域为〃={x|—2WXW2},值域为N={M0WyW2},则函数

y=/(x)的图象可能是()

答案B

解析A中函数定义域不是[—2,2]；

C中图象不表示函数；

D中函数值域不是[0,2],只有B可能.

4.(多选)(2023•长沙调考)下列说法中正确的是()

A.式子1+、-x—1可表示自变量为X、因变量为y的函数

B.函数y=/(x)的图象与直线x=l的交点最多有1个

C.若人x)=|x—1|一国，则41))=1

D./(x)=x2—2%与g(/)=p—2/是同一函数

答案BCD

,------,---------fx-1?0,、_、

解析对于A,y=y]x—l+y[—x—l,有，解集为。，不能表示自变量

〔一X—13。，

为X,因变量为y的函数，故A错误；

对于B,当函数y=/(x)在x=l处无定义时，函数y=/(x)的图象与直线x=l无交

点，当函数y=/(x)在x=l处有定义时，函数y=/(x)的图象与直线x=l只有1个

交点，所以函数y=/(x)的图象与直线x=l的交点最多有1个，故B正确;

对于C,因为人x)=|x—1|一|x|,则，m=0,故«3))=/(0)=1,故C正确；

对于D,函数式X)=Y—2x与g(/)=F—2/的定义域均为R,且对应关系相同，故

汽x)=«—2x与g(t)=F—2/是同一函数，故D正确.故选BCD.

5.如图，点尸在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A—B

—C—M运动时，设点P经过的路程为x,ZVIPM的面积为y,则函数y=/(x)的

图象大致是()

答案A

ri

2^9OW%<1,

3x

解析由题意可得y=/(x)=1a—不lWx<2,

51015

、「斗2、龙可

画出函数«x)的大致图象，故选A.

g+ln2

6.已知函数外)=」'’则用024)=(

jCx3)，x〉O,

-2

A.eB.2e

229

C.—eD.2e

答案A

解析由3)得火x+3)=/(x),

2

因而人2024)=/(3X674+2)=/2)=fi2-3)=/(-l)=e-1+ln2=-.

7.(2023・扬州调研)已知g(x)=/(2x—1)+1,且g(x)的定义域为(1,4],值域为[3,

+8),设函数兀0的定义域为A,值域为8,则AnB=()

A.0B.[4,7]

「c51

C.[2,7]D.[2,2

答案C

解析因为g(x)=/(2x—1)+1,且g(x)的定义域为(1,4],值域为[3,+00),

所以1)的定义域为(1,4],值域为[2,+8).

由l〈xW4得lV2x—1W7,

所以_/(x)的定义域为(1,7],值域为[2,+8),

则A=(l,7],B=[2,+8),

所以An3=[2,7].故选C.

8.(2022.北京卷)函数+声*的定义域是.

•X

答案(—8,0)U(0,1]

解析要使函数兀X)有意义，则xWO且1—x>0,解得xG(—8,0)U(0,1].

9.(2022•泰州二调)设函数五x)=《2:一’

xI2xI4,JCW09

若用3))=4,则a=.

答案In2

解析由4(a))=4得火a)=0或/(a)=—2,而汽。)=0无解，所以a=ln2.

log”，x>l,

10.已知函数人x)=2,则火X)勺口+1)的解集为________.

19X1,

答案T，+8)

解析当xWO时，x+lWl,«x)勺(无+1)=N—1<(尤+1)2—1,

解得一；<xW0；

当0<xWl时，x+l>l,

此时兀0=/一IWO,X^+l)=log2(x+l)>0,

0<xC1时，恒有力X)勺(%+l)；

当%>1时，火工)勺(%+l)O10g2X<k)g2(x+l)恒成立，

综上可知，不等式於)勺口+1)的解集为(一;，+°°J

f3x+5,%WO,

n.已知函数於)的解析式为/(x)=，x+5,O<X<1,

〔一2%+8,x>l.

⑴求娘，码4—1)的值;

⑵画出这个函数的图象；

(3)求兀0的最大值.

解⑴.•.《1)=—2x|+8=5.

1P+5=吐

Jlj兀71

V-l<0,•,.^-1)=-3+5=2.

(2)这个函数的图象如图.

在函数五x)=3x+5的图象上截取xWO的部分,

在函数五x)=x+5的图象上截取OVxWl的部分，

在函数汽x)=-2x+8的图象上截取x>l的部分.

图中实线组成的图形就是函数人x)的图象.

(3)由函数图象可知，当x=l时，«¥)取最大值6.

12.(1)已知八%+1)=2寸一1+3,求人x).

(2)已知用(x))=4x+9,且五x)为一次函数，求火。

(3)已知函数人x)满足次x)+《3=心求1工).

解(1)令/=x+l,则无一一1,

.,.火/)=2«—I)2—(?—1)+3=2尸一4/+2—/+1+3=2产―5f+6.

.,.^X)=2X2-5X+6.

(2)•.7(x)为一次函数，

设/x)=kx+b(k^0),

•••用配))=fi.kx+b)=k(kx+b)-\-b=^x+kb+b=4x-\-9,

F=4,[k=2,\k=-2,

〈/•]或V

kb+b=9,〔6=3-〔6=—9,

・••火工)=2%+3或火工)=—2x—9.

◎)..•次x)+d|)=x,①

・.•*)+於)W•②

21

由①义2一②，得人x)=1x—£

【B级能力提升】

13.（2023•安徽十校联考）已知定义域为R的函数人x）满足火工+1）=3»,且当xG（0,

1]时，»=4x（x-l）,则当xG[—2,—1）时，五x）的最小值是（）

1

A.J