湖南省郴州市2025届高三10月第一次教学质量监测（郴州一模）数学试卷及答案

郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷

.，、忆

数学

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)

1.设集合/=nI(x—IXx-6)<0},B|,则/Cl8=()

A.(6,+oo)B.(-3,1)C.(-3,6)D.(1,3)

1-i

2.设复数二=2.*.,则二的共辗复数彳在复平面内对应点的坐标为()

A.(0,1)B.(1,0)

C.(-1,0)D.(0,-1)

3.设x£R,向量。=(v,—1),b-=(x,4)，则x=-2是。JJ)的()

A必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3

4.已知sina+cos£=—，cos(7=sin/?则sin(a-〃)=(

1111

A.-B.-C.-D.—

24816

第1页/共4页

x2-2ax+a,x<0

6.已知函数/(x)=I1c在R上单调递减，则a的取值范围是()

一一ln(x+l),jr>0

e'

A.(YO,0]B,[-1,0]

C.[-1,1]D.[l,+oo)

7.已知正方体48。-4名。|。|中，点E、尸满足丽=2瓯，3了=2丽，则平面ZE尸截正方体

488—4与0。1形成的截面图形为()

A.六边形B.五边形

C.四边形D.三角形

8.已知/(x)=rnemx—\nx(m>0),若/(x)有两个零点，则实数加的取值范围为()

(n(1>

A.o,-B.o-

kejIeJ

C、「11

C.-,+°°D.-y,+℃

<e)Le*)

二、多项选择题(本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.下列命题中正确的是()

A.已知随机变量X〜83,g),则E(2X+1)=4

B.已知随机变量X〜N；1,；),/(x<0)-/(JC>2)

C.数据1,3,4,5,7,8,10的第80百分位数是8

D.样本甲中有万件样品，其方差为为，样本乙中有〃件样品，其方差为西，则由甲乙组成的总体样本的

mn

方差为------S；2H--------最2

10.已知曲线C:炉cosd+Vsin8=1,0E.(0,7t),则下列说法正确的是()

A.若cos8=0,则曲线。表示两条直线

B.若cos6>0,则曲线。是椭圆

C.若cos8<0,则曲线。是双曲线

第2页/共4页

D若cos6=-sin。，则曲线C的离心率为.B

11.在正三棱台/3C-OE厂中，AB=6,DE=2,且等腰梯形所在的侧面与底面Z8C所成夹角的正切

值均为2,则下列结论正确的有（）

A.正三棱台/3C-OE尸的高为4J3

52

B.正三棱台N8C-OE尸的体积为

C.40与平面N5C所成角的正切值为1

D.正三棱台N8C-OEF外接球的表面积为电电

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知£为等差数列｛4｝的前〃项和，若83+67=24,则19处+/1=

13.从数字1,2,3,4中随机取一个数字，第一次取到的数字为叩=1,2,3,4）.再从数字1，d,i中随

机取一个数字，则第二次取到数字为3的概率是.

14.已知抛物线了2=4X,从抛物线内一点4（2,•历）发出平行于x轴的光线经过推物线上点8反射后交抛

物线于点C,贝UVZ8c的面积为.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

/?

15.若锐角V48c中，A、B、。所对的边分别为。、b、c,且VZ8C的面积为首（片+。2一/）

（1）求B；

（2）求£的取值范围.

16如图在四面体N-8CD中AD=BD=「3AC=BC=2AD±DB±_CAD=30oM是4D

的中点，尸是8M的中点，点0在线段NC上，且Z0=30C.

C

第3页/共4页

(1)证明：尸。//平面BCD；

(2)求二面角/-PC-M的余弦值.

17.已知椭圆E的离心率为也，椭圆£上一点P到左焦点的距离的最小值为-1.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知直线/与椭圆E交于M、N两点，且OA/_LON,求ACMW面积的取值范围.

18.已知函数/(x)=+Jx?-(a+2)x,其中。为常数.

(1)当。>0时，试讨论/(x)的单调性；

(2)若函数/(x)有两个不相等的零点工，x2,

(i)求。的取值范围；

(ii)证明：%1+x2>4

19.已知数列4,：以心(7?22,"GN)是正整数1,2,3,...,〃的一个全排列，若对每个左G{2,3,…"}

都有-殁1=2或3,则称4,为“数列

(1)列出所有H数列4的情形；

(2)写出一个满足％t=5k(k=1,2,...,405)的“数列出⑵的通项公式；

(3)在H数列出025中，记d=a5k(k=1,2,...,405),若数列{仇}是公差为1的等差数列，求证：d=5

或d二-5.

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郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷

数学

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)

1.设集合/={xI(X-1)(Y-6)<0},3={x|f<9},则/n8=()

A.(6,+00)B.(-3,1)C.(-3,6)D.(1,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合解不等式求出取值范围，再根据交集求公共部分求得结果.

【详解】集合/={xI(x-l)(x-6)<0},则4={x|1<x<6),

集合3={xIx<9),则3={x13<x<3},

AC\5={x11<x<3),

故选：D.

1-i

2.设复数二=.2024：.，则二的共趣复数彳在复平面内对应点的坐标为()

A.(0,1)B.(1,0)

C.(-1,0)D.(0,-1)

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用复数的乘法及除法运算求出z,再求出其共拆复数对应点的坐标.

1-i(l-i)(l-i)-2i

【详解】依题意,z=___—__________—___1,

l+i-(l+i)(l-i)-2

所以噎=i在复平面内对应点的坐标为(0,1).

故选：A

3.设xER，向量a=(x,-l),b-=(x,4)>则》=-2是f/h的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

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【解析】

【分析】利用是否推出关系来判断充要关系即可.

【详解】当x=-2时，向量a=(x,-1)=(-2,-1),b-=(x,4)=(-2,4),

此时有。-力-=(-2,-1).(-2,4)=-2*(-2)-1*4=0,所以屋"，故是充分条件;

当晨石时，a.b-=(X,-1).(X,4)=X2-4=0,解得x=±2,故不是必要条件；

所以x=-2是f4的充分不必要条件,

故选：B.

3

4.已知sina+cos0=—,cosa=sin£贝ijsin(a-£)=()

1111

A.-B.-C.-D.——

24816

【答案】C

【解析】

3

【分析】sina+cos6二不与cos。-sin£=0分别平方相加,得到答案.

3Q

2

【详解】sinCX+cos/3-万两边平方得sir?a+2sinCCcos/3+cos0二一①,

4

又cosa=sin/?,故cosa-sin尸二0,两边平方得

cos2CX-2cosCTsin队sin2f3-0②,

/、9

式子①+②得，2+2(sin6Tcos0-cos6TsinP)~~

、9

故2sin(a一夕)=w-2=［故sin(a-夕)=、.

故选：C

ex4-e-x

函数/(、)二一

5(Jx：+1-x的图象大致为()

In

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【解析】

【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在(0,+8)上函数值符号，即可得确定图象.

【详解】由解析式，知/'(X)的定义域为(-8,0)11(0,+8),

、。+e臼e-,+e'e-'+e'"、

f(-x)=，，二

ln(J(r)2+1+x)In+l+x)In|vx2+1-xj

所以为奇函数，

当x>0时，炉+e-x>0,0<J』+11

-尸「—<1,

\lx24-1+x

则ln(Jx2+1-x)<0,

所以，在(0,+OO)上｛X)<0,

结合各项函数图象，知：C选项满足要求.

故选：C

r-2ax-\-a.x<0

6.已知函数/(x)=41八

在R上单调递减，则a的取值范围是()

---ln(x4-1),AT>0

le

A.(-oo90]B.[-1,0]

C.[-1,1]D.[l,+oo)

【答案】D

【解析】

第3页/共19页

【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数

值，从而得到不等式，求出答案.

【详解】显然y=I-ln（x+l）在xe［0,+8）上单调递减,

x2-2ax+a,x<0

要想/(x)=<1八在R上单调递减,

---ln(x+l),x>0

ex

x=a>0

则1-Ini,解得<2—1.

0-0+a>—

故选：D

7.已知正方体48CD中，点£、尸满足丽=2函，*=2两则平面4E尸截正方体

48CD-48G。］形成的截面图形为（）

A.六边形B.五边形

C.四边形D.三角形

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，点E是线段AS】上靠近的三等分点，点尸是线段Ci。1上靠近。1的三等分点，作出截

面图形可得结论.

因为点£、F满足BE=2EB[«F=2FDX,

点E是线段AS1上靠近吕的三等分点，点歹是线段Ci。1上靠近。i的三等分点,

延长月区4昂与交于点G,连接尸G交当G于〃，

延长GENpD］交于点K,连接/K交于/,连接IF,HE,

第4页/共19页

则五边形/团"7为所求截面图形.

故选：B.

8.已知力>)=memx-lnx(m>0),若/(x)有两个零点，则实数加的取值范围为()

rnriA

A.0,—B.0,—j-

lejIeJ

(\\「1、

C.~,+0°D.~r,+00

ke/-eJ

【答案】A

【解析】

【分析】由同构的思想可知，若/(x)有两个零点，则mxemx-xlnx=0(x>0)有两个解，即mx=Inx有

两解，分离变量求导即可

【详解】解：由题意可知，若/(x)有两个零点，则感x)=memx-Inx=0有两个解,

等价于mxe,nx-xlnx=0(x>0)有两个解，

令g(7)=由1，,原式等价于g(机x)=g(lnx)有两个解,

即=lnx(x>0)emx=x有两个大于零的解.

解mx-Inx,可得冽二=——(^>0),

XX

则。=~,当0<x<e时，瓦［外>0,当X>e时，<0,

所以hx()在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，且/z(e)=L图像如图:

e

所以当0<加<1时，加=叵有两个交点，即/(X)有两个零点.

【点睛】方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成

自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解.

二、多项选择题(本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

第5页洪19页

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.下列命题中正确的是()

A.已知随机变量X〜则E(2X+1)=4

B.已知随机变量X〜/(x40)=/(xN2)

I4J

C数据1,3,4,5,7,8,10的第80百分位数是8

D.样本甲中有冽件样品，其方差为其，样本乙中有"件样品，其方差为y，则由甲乙组成的总体样本的

十至%m〃

方差为------S12+,------------52

n14-nm-kn2~

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用二项分布的期望公式及期望性质可判断A,利用正态曲线的对称性可判断B,根据百分位数的

求法可判断C,利用两组数据方差的特征可判断D.

【详解】对于A,因为X〜所以£(X)=3x：=]

所以£(2X+1)=2£(刈+1=4,故A正确；

对于B,因为随机变量X〜所以<、40)=/522),故B正确；

对于C,因为7X80%=5.6,所以数据1,3,4,5,7,8,10的第80百分位数是8,故C正确;

对于D,记样本甲，乙的平均数分别为x,y,由甲乙组成的总体样本的平均数为W,

则甲乙组成的总体样本的方差为‘?―，s；+(亍-万丫+/一•「¥+（》一同1,

"7+〃Ltn-\-nLJ

故D不正确.

故选：ABC.

10.已知曲线。cosd+ysind=1,8W(0,7T),则下列说法正确的是()

A.若cos6=0,则曲线C表示两条直线

B.若cos6>0,则曲线C是椭圆

C.若cos6<0,则曲线C是双曲线

D.若cosd=-sind,则曲线。的离心率为.、用

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【答案】ACD

【解析】

【分析】根据cos。、sin副取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可.

【详解】由题意，曲线Cifcos6+>21,8e（0,兀），

若cos8=0,则sin8=l,此时曲线C:y二±1,表示两条直线，故A正确;

若cos8>0,又如（0,n）,则sin6>0,

『I丁=]

曲线。：工2cosB+Fsin6=1,可化为11，

cos8sin8

当cos8=sin6时，则曲线。表示圆，

当cos®/sin6h寸，则曲线。表示椭圆，故B错误；

若cos8<0,又8£（0,兀），则sin6>0,则曲线C表示双曲线，故C正确;

若cos8=-sin6,又Be（0,兀），

所以cosS=,

?9

22

贝ij曲线c为y厂——^2=1，

则曲线。为等轴双曲线，离心率为.、？，故D正确.

故选：ACD.

11.在正三棱台N3C-OE尸中，AB=6,DE=2,且等腰梯形所在的侧面与底面N8C所成夹角的正切

值均为2,则下列结论正确的有（）

A.正三棱台Z5C-DE尸的高为4J行

52

B.正三棱台4BC-DE尸的体积为

C.与平面45C所成角的正切值为1

D.正三棱台N3C-DE/外接球的表面积为屿曳

【答案】BCD

【解析】

【分析】将正棱台补全为一个正棱锥尸-N8C,结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧棱

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与底面夹角正切值，由确定棱台外接球球心位置，建立等量关系求半径，进而求外接球表面积.

【详解】将正棱台补全为一个正棱锥P-/8C，如下图示，

其中Oi,分别为上下底面的中心，G,H为EF,BC的中点，

易知PH1.BC,AH_LBC,则上尸为等腰梯形所在的侧面与底面48c所成夹角，

所以匕114为=警=2,而"O=」4〃=_Lx6x正=G，则2。2=2行，

H0,'??7

根据棱台上下底面相似，知PO"]=FDE=；1,即尸01=乂，故=24r~_至2-723=竺4石巴，A错;

PO、AB3a，彳

2

由SQ“=，X22X——=yji»SABC=—X6X—>=9也

所以VABC-DEF=、逑x（G+3石+9扬=",B对；

2aa

tan加公.=1

A0

由图知：上以"为与平面48c所成角，则22X6XV3,c对；

a7

若。为正三棱台ABC-DEF外接球的球心，则其半径0A=0D,即。1。2+Q02=。2/+3。2,

令。Q=X，则弓）2+f=（2后+（孚-X）：可得X=26

所以。/2=刍+]2=竺，故外接球表面积为47tx竺=3羽，D对.

3333

故选：BCD

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知S"为等差数列W的前〃项和，若$3+$7=24,则19a3+=

【答案】48

第8页/共19页

【解析】

【分析】由等差数列前,项和的性质以及基本量的运算转化S3+S7，再用表示19%+%1，借助于两

者之间的关系计算结果.

【详解】解：由数列前〃项和的性质可知：S3+Sy=3%+7。4=10%+24]=24,即5%+12d=12,

则19a3+a”=20al+48d=4（5%+12t/）=48.

故答案为：48

13.从数字1,2,3,4中随机取一个数字，第一次取到的数字为D=1,2,3,4），再从数字1，d,i中随

机取一个数字，则第二次取到数字为3的概率是.

【答案】—

4X

【解析】

【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可.

【详解】记事件4为“第一次取到数字『‘，i=1,2,3,4,

事件8为“第二次取到的数字为3”，

由题意知4/2,4,4是两两互斥的事件，且4U4U4U4=。（样本空间），

P⑻=P（BA「iBA^）BA3.）BA.）=P{BA^）+P{BA^+P（BA3）+P（M）

=p（4）尸34）+尸（氏）尸（B儿）+尸（a）尸（84）+P（4）尸（34）

=-LxO+—x0+—X—+-Lx—=-Z_

444?4444

7

故答案为：■—.

48

14.已知抛物线俨=4x,从抛物线内一点/（2,・]2）发出平行于x轴的光线经过推物线上点5反射后交抛

物线于点C,则V/5C的面积为.

【答案】也

4

【解析】

【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可.

【详解】由抛物线的光学性质知，直线8C与x轴的交点为抛物线的焦点，

俨=4x的焦点为（1,0）,故与x轴的交点横坐标为1,

第9页/共19页

根据题意，画出草图，如下图所示,

令y=及得x—解得,又3C过焦点,

7)(2J

所以8c方程为：7'°一卜一1),

---1

2

V=—2y/~2x+25/2

即＞=-2\i2x+2s2,联立，

y2=4x

得2X2-5x+2=0，解得x=2或x=:,所以。仅,一2&)

：.NABC的边上的高为及一(一26)=36，

=2-1=1

又

22

所以S〃BC

224

故答案为:迪

4

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分了解抛物线的光学性质，从而得解.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.若锐角V48C中，A、B、。所对的边分别为。、b、c,且V45c的面积为+

121

(1)求8；

(2)求£的取值范围.

【答案】(1):

第10页/共19页

、

/也2后

,-

TT7

【解析】

【分析】（1）由余弦定理结合三角形面积公式可得答案;

（2）由题可得工＜4＜4，后由正弦定理可得£=一1一+—1后由正切函数单调性可得答案.

彳2n7tanA7

【小问1详解】

由余弦定理，a2+c2-b2=2accos5，又三角形面积为S='acsinB,

7

则41(j+02二XZ.2QCCOS5二LzcsinB-tanB=,又由题BE0,g,则B=g

1?v71??2I2J6

【小问2详解】

由（1）,A+C——二＞C----A，又VABC为锐角三角形,

66

兀

0C<,J<—

n/7i

则《2=>—<A<—

-5兀，兀32

0<------A<—

62

.(571/

sin------A

由正弦定理：csinC16人i।6

asin/sinA2tanA2

因y=tanx在XG（I,E四）I上单调递增，则（上色］时,tanA>J_3—0<।<G

（，（）

?’213'2tanAA

则旦，+文述,即葭评，毕］

22tan423a123J

16.如图，在四面体Z-BCD中，40=AD=s,AC=BC=2tADA_DBt±_CAD=30o，/是40

的中点，尸是8朋r的中点，点。在线段/C上，且20=3。。.

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(1)证明：尸。//平面BCD；

(2)求二面角Z—PC—M的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵他

【解析】

【分析】(1)由线面垂直的判定定理可证40_1_平面BCD,即可建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐

标运算代入计算，即可证明；

(2)由二面角的向量求法，代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

因为4c=、厂3/C=2,且上C4D=30°,

由余弦定理可得CD2=幺。2+Z。2—24C.ZD.cos30O，

即CD2=方+(71)2-2x26x(3=i，即CD=1,

所以AD?+CD2=AC2，即AD_1_CD,又4D_LDB,

且5£>nC£>=£),BZ),CZ)u平面5C7),所以4D平面BCD,

又BC=2,BD=.J3,则CD2+BD2=BC1,即CZ>,

以。为原点，分别以方.皮.应为x,hz轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则。(0,0,0)M(0,0,8),B(6,0,0),c(0,1,0),

又M是/。的中点，则M0,0,^,尸是8〃的中点，则P-^-,0,^

第12页/共19页

&AQ=3QC,则牙厂=4r1=2(o,!一、Q)=Wo,t-2A),则°(|0±在)

4'(44i(44,1

所以所=一日,1,0，因为ZO-L平面8C。，取二为平面BCD的一个法向量,

且D7=(0,0/.13),因为丽.67:0,所以西1成1

则尸。//平面BCD.

【小问2详解】

设平面4PC的法向量为m-T=(x,y,Z),

K-石।3』二0

PA-m=——xd---—[?丫=?_

则24,:，取z=2,则y=2?x=3,

后-G工Jz=o[y=6二

PC-m=------x+y---------乙i

2,4

则平面4PC的一个法向量为丽=(3,273,2),

设平面尸CM的法向量为H=(a,b,C),

_V3,Gn

PC-n=-------a+b--------c=0(j

则24解得「一“取q=l,则方=.QC=2,

__G石'\b=N%

PM-n=-—a+—c=0

(24

则平面PCM的一个法向量为方=(1,\i3,2),

设二面角z一尸C—M为e,显然e为锐角,

则cos头眄伍矶=盘=蓑爰=蒜1372

20

13-pj

所以二面角4一尸C-M的余弦值为一1

20

17.已知椭圆E的离心率为,椭圆£上一点尸到左焦点的距离的最小值为V2一二L

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知直线/与椭圆E交于M、N两点，且(Wj_0N,求A/W面积的取值范围.

第13页/共19页

J2

【答案】(1)二+“=1;

?

⑵冷当

【解析】

【分析】(1)设出椭圆£的标准方程，由离心率及最小距离求出见仇c即可.

(2)按直线O河是否垂直于坐标轴分类，求出|OM|,|ON|,进而表示出三角形面积，再借助二次函数求

出范围即可.

【小问1详解】

X~y*

依题意,设椭圆E的标准方程为。+一\(a>b>0).半焦距为c,

a2b2

由椭圆E的离心率为也，得£=W-匚=,则°=J-2c,b=

2aa2

2

设尸(xo,%),则后二b——Xg-a<xQ<a椭圆月的左焦点厂(一c,0),

22+a2

则|PC|=J(Xo+c)2+y：=Jxg+2cx0+c+b-^-xl=J(^o)=^x0+a>a-c

当且仅当/=-a时取等号，因此口一。=.历一1,解得b=c=、a=，、5，

所以椭圆£的标准方程为土+，=1.

7

【小问2详解】

当直线0M不垂直于坐标轴时，直线。河的斜率存在且不为0,设其方程为y=kx(k±0),

y=kx,2广---r

由x、2v=2消去,得'=赤？贝"。

1kz+1M+1

则的的面积22严町。蚌

J2(F+1)-1J(公+1)+1

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eW乌

,1________.)s1

L1、21令/=士€(0,1),小°入'+2卜VT32

F+FTI+2储+I

当直线0M垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令\0M\=—2,|ON|=1,S^OMN=1，

所以ACW面积的取值范围是［彳,。卜

：32—(4+2%，其中。为常数.

(1)当a>0时，试讨论了(X)的单调性；

(2)若函数y(x)有两个不相等的零点X1,%2

(i)求a的取值范围;

(ii)证明：+x2>4.

【答案】(1)答案见解析；

12)(i)——<a<0；(ii：证明见解析.

In2-1

【解析】

【分析】(1)利用导数并讨论参数。的范围研究导数的符号，即可判断单调性：

(2)G)结合(1)的单调性判断人2)、大。)的符号，排除a20,再在a<0的情况下研究/(x)的单调

性和最值，根据零点的个数求参数范围；

(ii)由(i)有0<再<2<为，分析法将问题化为证明｛4一xj</(%!),进而构造〃(X)=八4-x)一/(x)

并利用导数研究其符号，即可证结论.

【小问1详解】

x2a+2x+2a

由题设r(x)=^+x-(a+2)=-()=a-2)(…)且XG(0,+oo)

当0<a<2时，在(0,。)上/(x)>0,在(a,2)±/(%)<0,在(2,+8)上f,(x)>0,

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所以，在(0,a)、(2,+oo)上/(x)单调递增，在(a,2)上/(x)单调递减；

当a=2时，在(0,+oo)上/(x)>0恒成立，故/(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>2时，在(0,2)±f(x)>0,在(2,a)±/(x)<0,在(“,+°°)±/(x)>0,

所以，在(0,2)、(氏+8)上/&)单调递增，在(2,a)上/(x)单调递减.

【小问2详解】

(i)由人2)=2aIn2+—x22—(a+2)x2=2(aln2-a-l)<0,

1)a

若a>0时，/(〃)二2aIna+—a,'一(a+2)a=y(41na-(7-4),

44—a

令y=41na—。-4且Q>0,贝Uy'=——1=-----,

aa

所以0<Q<4时y>0,«>4<o,

故y二41口。一。一4在(0,4)上递增，在(4,+8)上递减，则稣皿二81口2-8<0,

所以火〃)<0,

结合(1)中/(x)的单调性，易知。>0不可能出现两个不相等的零点，

又。=0时，<X)=/2—2x在(0,+8)上只有一个零点，不满足，

所以a<0,此时，在(0,2)上/(X)<0,在(2,+OO)上/(x)>0,

故在(0,2)上/(x)单调递减，在(2,+8)上/(x)单调递增，则｛工)而„=人2)=2(aln2—a—1),

又x趋向于0或负无穷时，/(x)趋向正无穷，只需g(a)=a(ln2—1)—1<0成立，

显然8(。)在(一8,0)上递减，且当a=——?——时乩。)=0

In7-1

所以，一1-1<。<0时g(a)<0恒成立，即所求范围为一?一<a<0；

ln2In?-1

(ii)由(i),在-1-1<a<0时，/(x)存在两个不相等的零点七户2,

ln2

不妨令0<<2<x2,要证+x2>4,即证%>4-%1,而4一匹£(2,4),

由(i)知：在(2,+8)±/(x)单调递增，只需证人4—为)〈/(9)=/(xi)二0，

由2aIn%1-(〃+2兑=0,则x；—42="%—2InxJ

令//(%)=<4—x)一共X),且0cx<2,

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117

贝ij〃x=la-x+不(-A:-(a+2)4-x-2anx-—~+(4+2)/

=2aln(4—x)—2a\nx-4a+2ax,

(Y-2)2,、

所以，在(0,2)上”(幻=一2〃.'——L>o,即以外在(0,2)上递增，

x(4-x)

所以/z(x)<〃(2)=2〃ln2-2〃ln2—4Q+4Q=0,即火4一匹)<人，)=XX2)成立，

所以匹+x2>4,得证.

【点睛】关键点点睛：第二问，首先利用第一问及其零点个数将参数范围限定在0,进而利用导数研究

其最值求范围，再令0<Xi<2<x2,将问题转化为证人4一天)是关键.

19.已知数列4:G>2,"EN.)是正整数1,2,3,...,〃的一个全排列，若对每个左e{2,3,...〃}

都有|应一秋』=2或3,则称4为“数列

(1)列出所有H数列%的情形；

(2)写出一个满足%t=5k(k=1,2,…,405)的H数列出你的通项公式；

(3)在H数列“2025中，记4=a5k(k=1,2,…,405),若数列{瓦}是公差为d的等差数列，求证：d=5或

d=-5.

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析；