函数单调性的常考模型讲义-2025届高三数学一轮复习

函数中单调性的常见模型

一、知识讲解

1定义及判定方法

函数的

定义图象判定方法

性质

如果对于属于定义域I内某个区(1)利用定义

二)

间上的任意两个自变量的值y=f(>(2)利用已知函数

的单调性

Xp%,当石<々时，都有

2(3)利用函数图象

f(xj(在某个区间图

/(再)<〃芍)，那么就说/(x)

象上升为增)

X,x2X

在这个区间上是增酉数.(4)利用复合函数

函数的

如果对于属于定义域I内某个区

单调性(1)利用定义

间上的任意两个自变量的值(2)利用已知函数

Jy=f(x)

f(\的单调性

Xp%2,当X］<%2时，都有

(3)利用函数图象

一(在某个区间图

/(%1)>/(X),那么就说

2象下降为减)

0

X,x2X

/(X)在这个区间上是诚手裂.(4)利用复合函数

2在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减

函数减去一个增函数为减函数.

3对于复合函数y=/［g(x)］,令M=g(x),若、=/(〃)为增，〃=g(x)为增，则丁=为增；若、=/(«)

为减，〃=g(x)为减，则y=/［g(x)］为增；若y=f(u)为增，u=g(x)为减，则y=/［g(x)］为减；若y=/(«)

为减，〃=g(x)为增，则y=/［g(x)］为减。

4常见函数的单调性：

①一次函数/(%)=入+次左力0),定义域为R。

当左>0,/(%)随x的增大而增大；当左<0,/(x)随x的增大而减小。

②二次函数/(x)=a》2+6x+c(a彳0),定义域为R。

bh

当〃>0,/(X)在(―8,——］上单调递减，/(幻在［——,+00)上单调递增；

2a2a

bb

当a<0,/(x)在(―8,——］上单调递增，/(%)在［——,+8)上单调递减。

2a2a

③反比例函数于(x)=±(k大0),定义域为｛x\x丰0］。

当上>0,/(X)在(一8,0)上单调递减，/(X)在(0,+00)上单调递减;

当左<0,/(X)在(-CO,0)上单调递增，/(X)在(0,+8)上单调递增。

④指数函数/(x)=a\a〉0,且aw1),定义域为R。

当a>l,/(x)在H上单调递增；当0<a<l,/(x)在H上单调递减。

⑤对数函数/(x)=log.x(a>0,且aw1),定义域为(0,+oo)。

当a>l,/(x)在(0,+oo)上单调递增；当0<。<1,/(%)在(0,+Q0)上单调递减。

⑥正弦函数/(x)=sinx,定义域为火。

f(x)在12k兀—%,2k兀+9,(左eZ)上单调递增；

rr37r

/(x)在\lk7i+\,2左》+；］,(左£Z)上单调递减。

⑦余弦函数/(x)=cosx,定义域为R。

/(%)在［2左万一肛24万］，(keZ)上单调递增；/(%)在［2左肛2版■十万］,(左eZ)上单调递减。

⑧正切函数/(x)=tanx,定义域为｛x\x。匕r+与左£Z｝。

717T

f(x)在(左乃~—,k^+—),(keZ)上单调递增。

⑨已知函数/(x)=X5-6f+9x的单调性

解：/(x)=/—6f+9x的两个极值点分别为1,3,/(x)在(-8,1)和(3,+00)上单调递增；/(x)在(1,3)上单

调递减。

⑩已知函数/(%)=［log?x|的单调性

解：/(©qiogzX的定义域为(°，+°°)，/(X)在(0,1)上单调递减；/(X)在(L+8)上单调递增。

⑪绝对值函数/(%)=W，定义域为R,/(x)在(-8,0)上单调递减；/(%)在(0,+00)上单调递增。

二、例题精析

【考点一、定义法判断下列函数的单调性】

［例题I1下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是()

A-y=(y)B.y^2

2

C.y=lgxD.y=（尤-1）+l

【分析】根据指数函数性质可对A项判断；利用幕函数性质可对B项判断；利用对数函数性质可对C项判断;

利用二次函数性质可对。项判断，综合可得答案.

解析：根据题意，依次分析选项:

对于A：根据指数函数的单调性可知该函数在R上为单调减函数，故A项错误;

对于2：根据暴函数的性质可知该函数在（0,+8）上为单调递减函数，故B项错误;

对于C：根据对数函数的单调性可知该函数在（0,+8）上为单调递增函数，故C项正确;

对于根据二次函数的性质可知该函数在（0,+8）上不单调，故。项错误.故选：C.

【例题2】下列函数在定义域上为减函数的是（)

X/

A.f(x)—2x-1B.

X

X

C.f(x)=siiwD.

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案.

答案：D

解析：根据题意，依次分析选项:

对于A,f（x）=2尤-1在（-8,+OO）上是单调增函数，A错误;

对于8,f(x)=1,/(-1)=-1,/(1)=1,/(-1)<f(1),f(x)不是单调减函数，B错误;

X

对于C,f(x)=sinx,f(Q)=sin0=0,f(?)=sin?=1,f（x）不是单调减函数，C

错误;

对于。，f（x）=g广在R上单调递减，。正确.故选：D.

【例题3】下列函数中，在区间（0,+8）上单调递减的是（)

1

A.y—x-2xB.y=log2xc.y吗)田D.y=x-l

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案.

【答案】：c

解析：根据题意，依次分析选项:

对于A，y—x2-2x,在区间(1,+8）上为增函数，不符合题意;

对于修y=log2x,是对数函数,在（0,+8）上为增函数，不符合题意;

x》0

对于C,y=，在区间（0,+8）上单调递减，符合题意;

2

2X,x<0

对于。，y^x-1,函数尸尤和尸-工在区间（1,+8）上都是增函数，则尸尤在区间（1,+8）上

XXX

是增函数，不符合题意.故选：C.

【例题4】（多选题）下列函数中，在定义域内单调递增的为（）

lx

A.y=k>go.2xB.y—2C.y=x+AD.y—tanx,xG（-1,1）

x

【分析】掌握常见函数的单调性，根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案.

答案：BD

解析：A.y=logo.2r为对数函数，0.2<1,

所以函数y=logo»在定义域内单调递减，不符合题意；

B.>=22*=#,函数y=4,为指数函数，在定义域内单调递增，符合题意；

C.y=x+l,为对勾函数，在定义域内不具有单调性，不符合题意；

x

D.y=tanx,xG（-1,1）/为正切函数，在定义域内单调增，故选：BD.

【方法和总结】：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值国,々,当再<%时，都有

/（^）</（%2）,那么就说了（X）在这个区间上是增函数，当X］〈尤2时，都有/（不）>/（々），那么就说/（X）在

这个区间上是诚国教。.

【考点二、求函数的单调区间】

【例题5］已知函数/（无）=无以-H-2X的单调减区间为（）

A.［蒋，1］

C.D.口，1］

【分析】先化简函数解析式，作出函数的图象，结合函数图象即可求解.

答案：A

x(x-3),

解析：f（X）x\x-11-2x=<

-x(x+1),x<1

其大致图象如图所示，结合函数图象可知，函数的单调递减区间为［-工，1］.故选：A.

22

【例题7】y=2x+区的单调区间为

x

A.单增区间:［-2,+8）,单减区间：（-2,0）

B.单增区间：［2,+8）,单减区间：（0,2）

C.单增区间：（0,2）,单减区间：「2,0）

D.单增区间：（-2,0）,单减区间：［-2,+8）

【分析】由双勾函数的性质直接得出答案.

【答案】：B

解析：y=2（x4>由双勾函数的性质可知，函数y=2xA的单调增区间为（-8,-2）,（2,+8）,

XX

单调减区间为（-2,0）,（0,2）,故选：B.

【例题7】函数/（尤）=/+//«-3x的单调递减区间是（）

A.（0,B.（1,1）C.（1,+8）D.（-co,A）

【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解.

【答案1B

2

【解答】解：f（X）=2尤+工-3=23-3色=（2x-l）（X-1）,x>0,

XXX

当/时，f（X）〈°，/（X）单调递减.故选：B.

【例题8】函数/（%）=1生的单调递增区间是（）

x

A.（-8,£）B.（0,e）C.（―,+8）D.（e,+°°）

e

【分析】求出函数/（%）=亚的导数为y的解析式，令y>o求得1的范围，即可得到函数/co=卫史

XX

的单调递增区间.

【答案】：B

解析：由于函数/（%）=11区的导数为V=上空，令<>0可得lwc<\,解得OVxVe,

Y..2

故函数/(x)=1些的单调递增区间是(0,e),故选：B.

X

【方法和总结】：就是根据函数单调性的定义，来区分函数的单调区间。

【考点三、用函数的定义判断函数的单调性】

【例题9】下列函数中定义域为R,Vxi,X2GR,当时，都有了(XI)<f(X2)的是()

A.f(x)=3*B.f(x)=\[xC.f(x)=|x|D.f(x)=/

【分析】根据题意，依据题干给定的函数的单调性与定义域，逐项分析判断即可得解.

答案:A

解析：根据题意，因为Vxi,X2WR,当X1V%2时，都有/(xi)<f(X2),

所以对应的/(%)在R上单调递增，依次分析选项：

对于A,函数/(%)=3,是指数函数，在R上单调递增，故A正确；

对于'f(x)班的定义域为[。，+8),故B错误；

对于C,当x<0时,f(x)—\x\--x,则了(尤)在(-8,o)上单调递减，故C错误；

对于£),当尤<0时，二次函数/(无)=7在(-8,o)上单调递减，故。错误.故选：A.

【例题10】若定义在R上的函数/(尤)，则()

A.对Vxi,X2GR,X1WX2,都有,(XI)-f(X2)](X2-XI)<0,则/(X)是R上的减函数

B.对VxER,都有/(尤+1)=/(-%-1),则/(x)为偶函数

C.对VxeR,都有/(-x)=-f(x)且/(-无)=f3,则/(x)>0

D.对VxER,都有/(x+l)/(x)=2,则/(x+2)>f(x)

【分析】根据函数的单调性、奇偶性的定义依次分析选项，综合可得答案.

答案：B

解析：根据题意，依次分析选项：对于A,不妨设X1<X2,X2-XI>0,

由[f(XI)-f(X2)](尤2-Xl)<0得/(XI)-f(X2)<0,f(XI)<f(尤2),

所以/(x)是R上的增函数，所以A选项错误.

对于8,对VxCR,都有/(x+1)=/(-%-!)=/(-(x+1)),

所以/(尤)=/(-x),所以/(无)是偶函数，B选项正确.

对于C,对于函数/(x)=0,满足对VxCR,都有/(-X)=-/(%)且/(-无)=/(%),

所以C选项错误.

对于。，对于函数f(x)=&，对VxCR,都有/G+l)/(x)=2,

则尤+2)=/(%),所以。选项错误.故选：B.

【例题11]若函数/(X)的定义域为R,则下列说法正确的是()

A.若/(x)=-/(x),则无)=0

B.若对VxeR,f(x+1)+f(x)=1,则/(x+2)</(x)

C.若对Vxi,无2CR且X1#"X2,\f(xi)-于(xi)](xi-X2)>0,则/(x)是R上的增函数

D.若对V尤CR,|f(-x)|=|/'(x)I，则/(无)=0

【分析】对于A项，直接计算即可判定；对于B项，通过递推关系可判定/(x+2)=/(%)即可；对于C项，

利用函数单调性的定义即可判定；对于。项，举出反例即可判定.

答案：AC

解析：A选项中，因为/(无)=-于3,所以2/(x)=0,所以/(%)=0,故A正确；

8选项中，因为/(x+1)+f(x)=1,所以/(x+1)=1-f(x),

所以/(x+2)—1-f(x+1)—f(x),故B错误；

C选项中，不妨设无1<%2,则/(尤i)<f(X2),所以/(无)是R上的增函数，故C正确；

。选项中，若/(X)=/,满足，(-尤)|=，(x)但/(x)=0不成立，故。错误.

故选：AC.

【例题12】当时，函数值y随x的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当尤<-1时是增函数的

有()

A.y=-2x+lB.y=2xC.v=——D.丫上

x+1x

【分析】根据题意，由一次函数与反比例函数的增减性，逐一判断，即可得到结果.

答案：BC

解析：y=-2x+l,一次函数，/<0,函数值y随x的增大而减小，故A错误；

y=2x,一次函数，k>0,函数值y随x的增大而增大，故2正确；

丫二，反比例函数，/<0,在二四象限内，函数值y随尤的增大而增大，

X

将yj函数图像向左平移1个单位长度可得了=，_,

Xx+1

则当尤<7,丫=，一的函数值y随x的增大而增大，故C正确；

x+1

y上，反比例函数，上>0,在一三象限内，函数值y随尤的增大而减小，故O错误.故选：BC.

x

【方法和总结】：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值芯,々，当石<当时，都有

/(x1)</(^2),那么就说/(x)在这个区间上是增函数，当西〈龙2时，都有/>(X])>/"(%)，那么就说了。)在

这个区间上是诚手教。.

【考点四、复合函数的单调区间】

【例题13】函数f(x)W2X2-X-3的单调递增区间为()

A.(-8,AjB.(-8,-1]C.彦,+co)D.弓,-+CO

【分析】由题意，根据二次函数、偶次根式的性质，得出结论.

答案：C

解析：对于函数f(x)W2X2-X-3,应有2/-x-320,求得xW-1或x2亘,

2

故函数的定义域为(-8,-1]u[A,+8).

2

再根据二次函数y=2f-x-3的性质，可得函数/(x)的增区间为[旦,+8).故选：C.

2

【例题14】函数y=——的单调增区间为(

4+3x-x

(-1.1]

A.号,+CO)B.

C.4)和(4，+°°)D.(-8,-1)U(-1,

【分析】令f=-/+3X+4,根据二次函数的性质求出t的单调区间,再由复合函数的单调性即可得函数

y=——的单调增区间.

4+3X-X2

答案：C

解析：设r=-/+3尤+4,则有无#-1且xW4；正(-8,0)U(0,—],

4

所以函数了=-----_的定义域为：{尤|尤W-1且无力4},

4+3x-x2

由二次函数的性质可知r的单调递增区间为(-8,-1),(-1,2].单调递减区间为：[旦，4),(4,+8)；

22

又因为在正(-8,0)和(0,丝]上单调递减，

t4

由复合函数的单调性可知：函数y=——的单调增区间为：[旦，4)和(4,+8).故选：C.

4+3X-X22

【例题15】函数/(无)=m(/-2X-8)的单调递增区间是()

A.(-8,-2)B.(-8,-1)C.(1,+8)D.(4,+8)

【分析】由f-2x-8>0得：无e(-8,-2)U(4,+8),令/=/-2尤-8,则y—lnt,结合复合函数单

调性“同增异减”的原则，可得答案.

【答案】D

解：由x2-2x-8>0得：疣(-8,-2)U(4,+8),令r=x2-Zx-8,贝仃=/%

xE(-8,-2)时，t—x^-2x-8为减函数；

xE(4,+8)时，/=/-2尤-8为增函数；

"为增函数，故函数/(x)=/〃(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+8),故选：D.

【例题16】设函数/(无)=2»厂/在区间(0,1)单调递减，则。的取值范围是()

A.(-8,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+°°)

【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可.

【答案】：D

解析：设(x-a)—X1-ax,对称轴为％=包，抛物线开口向上，

2

是r的增函数，.•.要使/(x)在区间(0,1)单调递减，

贝卜=/-ax在区间(0,1)单调递减，即221,即aN2,故实数a的取值范围是[2,+-).

2

故选：D.

【方法和总结】：复合函数的单调性，对于复合函数y=力g(x)]，令"=g(x),若y=f(u)为增，"=g(x)为

增,则y=/[g(x)]为增；若y=/(〃)为减，〃=g(x)为减，则y=/[g(x)]为增；若y=/(a)为增，〃=g(x)

为减，则y=/[g(x)]为减；若y=/(〃)为减，〃=g(x)为增，则y=/[g(x)]为减。

【考点五、函数单调性中的图像问题】

【例题17】函数/(X)=smx+x在[--,用的图象大致为()

cosx+x”

【分析】由/(X)的解析式知/(X)为奇函数可排除A,然后计算/(n),判断正负即可排除8,C.

答案：D

解析：V/（X）=-±141&+八_,X&[-it,n],

cosx+x”

.V（-X）=-sinx-x=_sinx+x=_仆）,

，、工2工2

COS（-XJ+xcosx+x

为[-TT,n]上的奇函数，因此排除A；

兀

又如)=sin-+兀->0，因此排除5,C；故选：D.

9

CQS兀+兀-l+n

【例题18】已知函数/(x),x£[-5,5]的图像如图所示，则函数/(x)的单调递增增区间是

【分析】观察函数图象直接求解.

答案：[-5,-3],[1,4]

解析：通过图象可知，函数在区间[-5,-3]和[1,4]上是上升趋势，

所以函数的单调递增区间有[-5,-3],[1,4],故答案为：[-5,-3],[1,4].

答案：B

解析：f(x)=-/+Ce^-ex)sinr,

贝1J/(-无)=-(-x)2+(ex-/)sin(-x)=-7+(/-esiiu=/(尤)，故f(x)为偶函数，故AC

1

错误；/(1)=-1+(e-ebsinl>-1+(p^)sin-2L=—-1-故D错误，B正确.

e622e42e

故选：B.

【例题19】(多选题)函数s=/(力的图像如图所示(图像与f正半轴无限接近，但永远不相交)，则下列说法

正确的是()

A.函数s=/(f)的定义域为[-3,+8)

B.函数s=/G)的值域为(0,5]

C.当sRl,2]时，有两个不同的r值与之对应

D.当fl,t2&(0,1)(Z1#Z2)时，-----'--------—〉()

t1-t2

【分析】通过图象观察函数的定义域，值域，单调性即可得出答案.

答案：BD

解析：由图象可知，当生[-3,-1],se[l,5],当正[0,+8),S6(0,4],

故/(f)的定义域为[-3,-l]U[0,+8),故A选项错误.

/G)的值域为(0,5],故2选项正确.

当sHl,2]时，通过图象可以发现，当s=2时，有3个不同的/值与之对应，故C选项错误.

当纪(0,1)时，函数为增函数，故。选项正确.故选：BD.

【例题20】函数“X)=-/+(/-/x)sinx的区间[-2.8,2.8]的图像大致为()

【分析】先结合偶函数的性质，排除AC,再结合特殊值，即可求解.

答案：B

解析：f(%)=-/+(er-ex)sinx,

则/'(-无)=-(-x)2+(ex-，)sin(-x)=-/+(e*-ex)sinx=/(x),

故/(x)为偶函数，故AC错误；

1x

/(1)=-1+(e-e)sinl>-1+(P_A)sin--1->工-_L_>0,故D错误，B正确.

e622e42e

故选：B.

【方法和总结】：这类题型比较简单，通过看图来完成作答。

【考点六、用导数研究函数的单调性，求参数取值范围】

【例题21】已矢口函数f(x)』ax44x3-Lx2-x在+8)上单调递减，则〃的取值范围为(

\Ji,/JA3A2AA

A.[-1,+8)B.「——,400)C.(-°0,-1]D.f-co,--^—1

L27/k27J

【分析】求导数/(%)=/+%2_X_]W0,XE(1,+8),构造新函数g(/)=?+?-t,求导数得最值即可.

【答案】：D

解析：由函数f(x)=Lax44x3-Lx2-x在(1，+^)上单调递减，

432

求导数得/(x)=〃/+/-1-1W0,xE(1,+°°),则1

32T

xxA

令t」，te(0,1),函数g0=?+?-1,则g'⑺=(3z-1)(r+l).

x

当(o,])时，g'⑺<o,g⑺单调递减，当弓，1)时，g'⑺>o,g⑺单调递增,

至_,所以a€(_8,-_5_],故选：D.

则g(t)min=g

2727

【例题22】已知函数/(无)=lg(x2-4x-5)在(a,+°°)上单调递增，则a的取值范围是()

A.(2,+8)B.[2,+8)C.(5,+8)D.[5,+°°)

【分析】由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令f=/-4x-5,由外层函数y=/gf是其定义域内的增函

数，结合复合函数的单调性可知，要使函数/(x)=/g(/-4%-5)在(a,+8)上单调递增，需内层函数

/=/-4工-5在(a,+8)上单调递增且恒大于0,转化为(a,+°°)£(5,+°°),即可得到a的范围.

【答案】：D

解析：由/-4x-5>0,得x<-l或x>5.令f=/-4x-5,

♦.•外层函数y=/gf是其定义域内的增函数，

...要使函数/(无)=lg(x2-4x-5)在(a,+8)上单调递增，

则需内层函数-4x-5在(a,+8)上单调递增且恒大于0,

则(a,+°°)£(5,+8),即a\5.

的取值范围是[5,+8).故选：D.

【例题23]定义在(0,+8)上的单调函数/(%),对任意的尤e(0,+8)都有外(尤)-lnx]=l,若方程/(x)

呼(无)=加有两个不同的实数根，则实数机的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,1]C.(-8,j)D.(-8,1]

【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得*x)-10g”为定值，可以设f=/(x)-Inx,则/⑴=lnx+t,

又由/G)=1,即历r+f=l,解可得f的值，可得/(x)的解析式，对其求导可得，(%)；将/G)与，(x)

代入（x）=m,求出函数的最大值，即可得答案.

【答案】：A

解析：是定义在（0,+8）上的单调函数，j\f（x）-lnx]=l,

.,.f（x）-/nx为大于0的常数，设（尤）-live,则/（x）—hvc+t（?＞0）,

又由/'（/）=1,即/〃/+/=1,解得f=l,（x）=lnx+1,f（x）=—,

x

'.f（尤）•/'（无）=.l+lnx.=〃z,

x

设g（x）=1+1q,则屋（X）=-匹，

XX2

易得函数g（x）在（0,1）上单调递增，（1,+8）上单调递增，

；.尤=1时，函数g（无）取得最大值1,其大致图象如图所示，

:方程/（X）•/（X）=%有两个不同的实数根，，（）〈机＜1.故选：A.

【例题24】若函数/（无）=2ax-历x在（1,3）上不单调，则实数a的取值范围为（）

A.（2,6）B.（-8,2）U（6,+8）

C（卷，-y）D.（-8,卷）ug,-^30）

【分析】由题意得I（乂）=2@-工用工工，题意转化为了（%）在（1，3）上有极值点，分类讨论。=0得不

XX

符合题意，4W0得求解即可得出答案.

2a

【答案】：C

解析：由题意得/（x）=2a-Uax7,

XX

V/（x）在（1,3）上不单调，：.f（x）在（1,3）上有极值点，

.•.当a=0时，¥（x）=」＜0在（1，3）上恒成立，fCx）在（1,3）上单调递减，不满足题意；

当aWO时，由/(x)=0得x=-‘贝-<3,解得上<@<」•，

2a2a62

故实数。的取值范围为(工，1).故选：C.

62

【方法和总结】：用导数研究函数的单调性，导函数大于0,对应的区间上，原函数单调递增；导函数小于0,

对应的区间上，原函数单调递减。

【考点七、抽象函数单调性的应用】

【例题25]:已知函数/(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是()

A.y=一/(x)在R上是减函数By=--—在R上是减函数

'/(x)

C.y=[f(x)产在R上是增函数D.y=4(x)(a为实数)在R上是增函数

分析：根据已知函数的单调性，和特值法来判断。

答案：A

解析：设的<X2,因为函数尤)在R上是增函数，故必有了(XI)<f(X2).

所以一/(即)>—/(%2),A选项一定成立.

其余三项不一定成立，如当/(x)=x时，B、C不成立，当。<0时，D不成立.

【例题26)：函数>=/(%)对于任意羽y£R,有f(x+y)=f(x)+/(y)—1,当x>0时，f(x)>1,

且/(3)=4,贝U()

A/(x)在R上是减函数，且/(I)=3B.f(x)在R上是增函数，且/(I)=3

C.f(x)在R上是减函数，且/(I)=2D.f(x)在R上是增函数，且/(I)=2

分析：抽象函数，在定义域内，主要用函数单调性的定义来判断

【答案】D

解析：设任意xi,X2£R,X\<X2Jf(X2)—f(xi)—f((X2-Xl)+xi)~f(Xl)=f(X2-Xl)+f(Xl)—1—/

(Xl)=f(X2—X\)-1.

*/X2—Xl>0,又已知当x>0时，f(x)>1,

.*./(X2-Xl)>1.

.*./(X2)—f(xi)>0,即/(Xl)<f(X2).

：.f(x)在R上是增函数.

V/(3)=/(l+2)=/(l)+f(2)~l=f(1)+[f(1)+f(1)-1]-1=3/(1)-2=4,・"(1)=2.

【例题27]：已知函数/(x)对任意的实数x、y都有/(x+y)=/(X)+f(y)—1,且当x>0时，f(x)>1.

求证：函数/(%)在R上是增函数.

分析：根据函数定义域和单调性

答案：设XI,X2是实数集上的任意两个实数，且.令x+y=xi,y=X2,

则X=XI—XQ>0.

f(xi)—f(X2)=/(x+y)~f(y)=f(x)+f(y)—1—/(y)=f(x)—1.Vx>0,.*./(x)>1,f(x)—1>0,

(xi)—f(%2)>0,即/(xi)"(短).・•・函数/(x)在R上是增函数.

【例题28]：(多选)已知定义在{xER|xW0}上的函数/(x)满足：对任意％,yE{xER|%WO},f(xy)=f(x)

+f(y),当x>l时/(x)>0,则()

B

A/(-l)=。-f(log32)<f(2°-b

Cf(2)+f(1)=1D./(7T)>/(-4)

【分析】利用赋值法可判断AC；令y=7判断奇偶性，根据Xo=*・x/结合已知判断单调性，然后可判断

2X]1

BD.

【答案】：AB

解析：对于A,令％=y=l,得/(I)=0,令x=y=-l,得/(-1)=0,故A正确；

对于C,令了」，则f(x)+f3)=f(1)=0，故C错误；

xx

对于8。，令y=-l,得/(-x)=/(%),故/(%)为偶函数；

、xx

Vxi,X2E(0,+8),X1〈X2,贝1Jf(X[)-f(X2)=f(x[)-f(---9-wX1)=-f(----9-A

1/1Xj1X]

因为XI,X2E(0,+8),X1<X2,所以卫>1，所以f(岁2)〉0，

X1X1

所以/(XI)-f(X2)<0,所以/(%)在(0,+8)上单调递增，

1)

®^0<log32<l<2°-所以f(log32)<f(2°J),f(K)<f(4)=f(-4)-故B正确,D

错误.故选：AB.

【方法和总结】：根据题意，用函数单调性的定义来推导。

【考点八、分段函数中的单调性问题】

(3aT)x+4a,(x<l)

【例题29】已知函数f(x)=|a、在R上单调递减，则实数〃的取值范围为()

一，(x>l)

，C看，1)

A-[y>1)[04)[

【分析】根据各段函数的单调性和分段点处函数值的大小可得关于。的不等式组，求解得答案.

【答案】：D

3a-l<0

解析：・・V*(尤)在R上单调递减，・♦・]a>0,解得上4a<2.，实数。的取值范围为R，—)

6363

3aT+4a>a

故选：D.

-x'ax-L'>1,是R上的减函数，则实数。的取值范围是(

【例题30】设函数f(x)=)

2-(a+1)x,x<1

D

A.(-1,1]B・C，f)C.(-1,2]-[|.2]

【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得关于。的不等式，解可得答案.

【答案1A

r2+ax-l，x》l,是R上的减函数,

解：根据题意，函数f(x)=<

2-(a+l)x,x<l

且《1

则有<,解可得-l<aW旦，即a的取值范围为(-1,1].故选：A.

a+1〉022

2-(a+1)Xl>-l+aT

-2-2ax-a,x<0,在R上单调递增，则0取值的范围是(

【例题31]已知函数为/(x)=.x)

ex+ln(x+l),x>0

A.(-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+8)

【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可.

【答案】：B

-x2-2ax-a,x<0匚品、由士

解析：函数为/(