广东某中学2024年高二11月期中考试数学试题（含答案）

广东实验中学2024—2025学年（上）高二级期中考试

数学

命题：高二数学备课组校对：高二数学备课组

本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改

液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

第一部分选择题（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.己知(l+i)2=1+3。则复数z的虚部为()

A.1B.—iC.-1D.i

2.一组数据23,11,31,14,16,17,19,27的百分之七十五分位数是()

A.14B.15C.23D.25

3.在四面体。ABC中，瓦？=方，痂=后,而=己6为三角形48。的重心,。在。6上,且灰=［而,

则都为()

2-1-8_1-K八8-1-2.1-1_

AA.——a+—b+—cnB.—a——b——cC.——a+—b+—cnD.—a——b——c

999999999999

4.已知随机事件4和B互斥，且P(4UB)=O,6,P(B)=0,3,则P(Z)等于()

A.0.8B.0.7C.0.5D.0.2

5.已知直线2过定点力(2,3,1),且方向向量为3=(0,1,1),则点P(4,3,2)到/的距离为

()

高二数学第1页，共5页

6.双曲线C与椭圆皆+*=1有相同的焦点，一条渐近线的方程为x-2y=。，则双曲线C

的标准方程为（）

A——2=1B^―———\c-——\2

A.4PV936G936-D—4—x%=l

22

7.已知椭圆E：0+g=l（a>6〉O）的右焦点为F（3,0）,过点尸的直线交椭圆E于48两点,

若4B的中点坐标为（1,—1）,则椭圆E的方程为（）

A

-"=1D.---1---=i

2718才I?"

,2

8.椭圆C:=1（。>6>0）的左、右焦点分别是鼻,尸2,斜率为1的直线1过左焦点%，

V2V2-

交C于4,B两点，且△ABF2的内切圆的面积是兀，若椭圆C的离心率的取值范围为

L63J

则线段4B的长度的取值范围是（）

A[6V2,12V2|B.[6,12]C.[4,8]D.[4V2,8V2|

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.在棱长为1的正方体4BCD—&B1C1/中，E,F分别是AB,BC中点，则（）

A.BQ〃平面&DE

B.直线BC】与平面BBiAD所成的角为45°

C.平面4遇F1平面BiDE

D.点E到平面4小尸的距离为避

4

22

10.已知点P是左、右焦点为F1，尸2的椭圆C：=1上的动点，则（）

A.若4尸/尸2=90。，则△FIP4的面积为4企

B.使为直角三角形的点尸有6个

C.4片|—2-巳1的最大值为6—2企

D.若加（1,£）,则IPF1I+|PM|的最大、最小值分别为4遮+塔和4遮一号

高二数学第2页，共5页

11.如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点F1(—2,0)与到点/2(2,0)的距离之

积为4,据此判断，下列结论正确的是()

A.点。(2鱼,0)在曲线C上

B.点M(x,l)(x>0)在C上，则|M%|=2V2

C.点Q在椭圆工+r=1上，若F1QIF2Q，则Qec

62

D.过F2作％轴的垂线交c于4B两点，贝!11aBl<2

第二部分非选择题(共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

sin(2。一兀)

12.已知点P(2,l)在角6的终边上，则i+sin(71—%)--

2v—1

13.若/(x)=(x+a)•In亍•为偶函数，则。=________

乙X-L

X2v?X?v?

14.如图，椭圆彳■+方■=1(。〉6〉0)与双曲线一2--2—1(加>0，〃>0)

4^LxAZ

有公共焦点Fi(—c,0),92(。，0)(c>0)，椭圆的离心率为双曲线的离心率为02,点P

为两曲线的一个公共点，且4止尸2=60°，/为△FfFz的内心，Fi，LG三点共线,

且正•7?=0,久轴上点4B满足万=万万，BG=fiGP,则0送2的最小值

为5%+“2的最小值为

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

15.(13分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线x-y+1=0上，且与直线

2x+j=0相切于坐标原点.

(1)求圆M的标准方程;

(2)经过点4(0,2)的直线，被圆M截得的弦长为3企,求直线，的方程.

(15分)已知三角形ABC的内角45c所对的边分别为a,he，若佛喀士枭=亮三

16.

Siri71_ismDc

且a=2.

7T

(1)若5=g-,求C；

(2)点。在边BC上且力。平分ABAC,若4D=百，求三角形力BC的周长.

丫2v2且离心率为P，F为椭圆的右焦点,

17.(15分)椭圆C；]+方=1(。>6>0)过点P(V3,1)

过F的直线交椭圆C于M,N两点,定点力(一4,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若aAMN面积为3b，求直线MN的方程.

18.(17分)在四棱锥尸-45CQ中，底面ZBCD为直角梯形，AD//BC,ADLAB,侧面尸

底面ABC。，PA=PB=AD=；BC=2,且£,尸分别为尸C,C。的中点，

(1)证明：DE〃平面P4B；

(2)若直线PF与平面PH8所成的角为60°，

①求平面P4B与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

②平面4DE将四棱锥P-4BCD分成上、下两部分，求平面/庞

以下部分几何体的体积.

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22j

19.（17分）已知双曲线C：]一方=1（。>0,6>0）的实轴长为4,渐近线方程为y=±]x.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）双曲线的左、右顶点分别为4,^2,过点8（3,0）作与x轴不重合的直线2与C交于P,Q

两点,直线AXP与A2Q交于点S,直线A{Q与A2P交于点工

G）设直线AF的斜率为左，直线A2Q的斜率为内，若勺=环，求为的值；

（讥）求△4ST的面积的取值范围.

高二数学第5页，共5页

广东实验中学2024—2025学年(上)高二级期中考试・数学

参考答案

l.C2.D3.C4.B5.A6.A7.A8.B

9.【答案】ACD10.【答案】BCD11.【答案】ACD

12.tan6=-13.a=014.渔；2+西

222

9.【答案】ACD【解析】在棱长为1的正方体4BCD-4/1的小中，建立如图所示的空间直

角坐标系,

贝必(1,0,0),B(l,1,0),41(1,0,1),M(0,1,1),Di(0,0,l),0),F6,1,0),

对于A,西=(—1,0,1),砺=(11,0),西=(0，,1),显然西=画一屁,

即可平行于平面用。£,而8Go平面为DE,因此BC"/平面耳DE,A正确;

对于B,D1F=(1,1,-1),D1F-DE=1xl+lx|=1^0,即有。尸不垂直于DE,

而DEu平面片因此。尸不垂直于平面耳B错误;

对于C,=0),24；-(0,0,1),而诙=(1,；,0),显然诙.菊=0,

诙•方=lx(-g)+gxl=0,即DE1AA^DE1AF,AA1C4F=A,AAVAFu平面

于是。E1平面力而DEu平面BiDE,因此平面力遇尸1平面/DE,C正确；

____.1_____

对于D,。尸=(//,—1),。遇；=(L。,。),设平面的一个法向量元=(%,y,z),

万•A4=x=0

A一一►1

则_——►1令y=l,得〃=(0,1,1),又4E=(0,I，T)，

n-DXF=—x+y-z=0

高二上数学期中考试答案第1页，共8页

所以点£到平面仲产的距离d=内a="/ix"=,D正确.

|n|V24

故选：ACD

22

10.【答案】BCD【详解】A选项：由椭圆方程土+匕=1，所以/=8，/=4,所以

84

°2=/_〃=4,所以ARPF?的面积为S=心tan",=4,故A错误；

B选项：当尸公,片名或尸£，片鸟时△片尸鸟为直角三角形，这样的点尸有4个，

设椭圆的上下顶点分别为S,T,则闺见=4,|0S|=2,.-.\0S\=曰四8|,同理|。7|=|■⑶名|，

知/4S£=N片*=90。，所以当尸位于椭圆的上、下顶点时△耳隼也为直角三角形，

其他位置不满足，满足条件的点尸有6个，故B正确；

C选项：由于|尸片卜2|尸闾=2"归周—2|P周=4忘—3次

所以当怛闾最小即|尸词="c=2亚—2时，忸团―21Pgi取得最大值6—2行，故C正

确；

D选项：因为|「用+\PM\=2a-\PF2\+\PM\=4逝+\PM卜耽|,

又忸叫-|尸尸2卜根用=手，则PGI+PM的最大、最小值分别为40+?和

472--.当点P位于直线版与椭圆的交点时取等号，故D正确.故选：BCD

2-

11.【答案】ACD

【解析】对选项A,因为|。刷|。用=（2亚+2）（2血-2）=4,由定义知DeC,故A正确;

对选项B,点M（x,l）（x>0）在C上，则|Aff；I%|=+2）2+1][（x-2）2+1]=4,化简

高二上数学期中考试答案第2页，共8页

得xJ6/+9=0,所以工=追，|岫|=百+2-+1R2斯,B错误；对选项C,椭圆

22

土+匕=1上的焦点坐标恰好为耳（-2,0）与F2（2,0）,

62

则寓0|+月0|=2",又片。，名。,所以阳球+上碟=］6,故

由9.优@=（闺。"优◎）一（怩域+优硝=4，所以。6C,C正确;对选项D,设/（2/）,

4

则M同=2可，因为4eC,则I/值加,又|4月『=16+『,

所以孩=16+必，化简得_/+16/-16=0,故/=4百-8,所以/_1=4石-9＜0,

故回＜1,所以|/邳＜2,故D正确，故选ACD.

12.【详解】由点P（2,l）在角，的终边上可得，tanO=；,

sin（26—兀）-sin2^-2sincossin。_1

_____1_____L——_______________________-.......——tan0—

则.（7il+cos282cos之。cos。2.

1+sin——20

（2J

13.［解析］设g（%）=ln咎，易知9（久）的定义域为（-8,一3）“；，+8）,且

乙人-1-.L\乙，\4/

_7y_17_|_1?Y—1

g（-x）=In=lnnr—7=一In厂丁=一g（x）,所以g。）为奇函数.若/（久）=

—zx+l2x—i2x+l

2Y—1

（久+a）ln忘三为偶函数，则y=久+a也应为奇函数，所以a=0,（在公共定义域内：

奇士奇=奇，偶土偶=偶，奇义奇=偶，偶＞＜偶=偶,奇*偶=奇）

14.解：①由题意得椭圆与双曲线的焦距为㈤川=2c,椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长

为2勿，不妨设点尸在双曲线的右支上，由双曲线的定义：|%|-|伍|=2而，由椭圆的定义：

\PFi\+\PF2\=2a,可得：|用|=/»+a,|用|=a-R,又N£掰=60。，由余弦定理得:

2222

\PF1\+\PF2\-|冏|・|掰|=出用2=4。2,即（研a）+（a-a）-（研a）•（a-m）

=4c2,整理得：aW=4c2,所以：即W+W=4三2LLX^=-^~,

c2c2ef£相egele2

可得e、e2昱,当且仅当时等号成立.

p22

2ele2

②：/为4打桃的内心，所以空为/明月的角平分线，则有JPF.1!=llf_L,同理：

|AFi|AI

高二上数学期中考试答案第3页，共8页

匹1IP.|PF1I_I•|IP||PFt|+|PF2|_2a_1

IPF2IIP

左

|AF2|"AI-|AF1||AF2|"AI|"|AII'|AFi|+|AF2|G

即•；AI=AIP.IIAI|="故|人|=d，为△£你的内心,

%I,G三点共线，即为/杼的角平分线，进而是角杼避的平分线，则有.GB

|BF|_IBFJIB?!|-|BF|

2又I班|w|班l，GB2区=%gplBGI

|PFrlpFil

2rc|PF12m

I-|PF2I

=e2\GP|，*.*BG=HGP,IBGl=IuIIGPl，AIuI=e2,

所以5"+r=5ei2+e221（5ei2+e22）（a+号）］（8+等+高）238+2后）=2+乎，当且仅

当e22=VBei2时，等号成立.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15（13分）解析：（1）1•圆〃的圆心在直线x—y+l=O上，设加+1）,贝（J

5x（—2）=—1,解得加=—2,即的-2,-1）,......2分

m

：.圆的半径为中1=逐，.......3分

圆版的标准方程为（x+2『+（y+l）2=5;.......5分

⑵经过点A（0,2）的直线1被圆〃截得的弦长为372,

当直线1的斜率不存在时,直线1的方程为x=0,

此时直线1被圆〃截得的弦长为2J7Z=2,不符,舍去；.......7分

当直线1的斜率存在时,设直线1的方程为^=丘+2,即Ax-y+2=0,.......8分

5,卜……。分

17

解得左=1或左=号，直线/的方程为x—y+2=0或17x—7y+14=0.13分

（说明：这里少一种结果扣2分）

高二上数学期中考试答案第4页，共8页

16.（15分）解析：（1）由正弦定理可知，_=_2_=_J,

siib4sinBsinC

sin（4+C）_sin（兀-5）siiiSb_a-c

siiL4+sinCsiivl+sinCsirvl+sinCa+cb-c.........2分

伍—c）=（a+c）（a—c）•〃一儿=/一°2即〃+/一/=A。........3分

,b2+c2-a21

COS/i—__________—_

由余弦定理知—2bc~2,.......4分

JT

A&（O,nV-.A=-

又'’3........5分（不写范围扣1分）

由2=巴,8=巴知C=兀—四一巴=4.又△/Be为直角三角形，

36362'

..a2故4也.......7分

/.SIIL4=———二一'暇。=----•/万

c2c3

⑵点〃在边上且平分/胡。，所以S^Bc=SaB°+S》s，.......8分

即,28•ZC•Siih4=-AB-AD-sinZBAD+-ACAD-smZCAD，.......9分

222

-Z）csin60°=-c-V3sin300+-b-^sin30°>即6c=6+c•①.......1。分

222

又由于/+/-a?=儿，即62+，一4=6°，即（b+c）2=4+3bc•②.......11分

①代入②得到（6+cP—3仅+c）—4=0，

所以6+c=4或6+c=_］（舍去），.......14分

所以△48。的周长为a+6+C=2+4=6-......15分

(说明：解答过程中从头到尾不写“正弦定理、余弦定理”扣1分)

17.

cV6

e=—=——

a3

311

(1)由已知可得＜1分解得6=收，........3分

«2b2'

c=2

a2=b2+c2

22

所以，椭圆C的标准方程为土+匕=1.......4分

高二上数学期中考试答案第5页，共8页

（2）当直线MM与x轴重合时，不符合题意,5分

设直线MV的方程为》=叩+2,...............6分

联立可得W+3W+4町-2=。，.......7分

A=16m2+8（m2+3）=24（m2+l）＞0,..............8分

4勿22

设由韦达定理可得/+“=一中，/％=一门，.......9分

则I"一刃=〔（乂+3）2-4“%=11分

m2+3

则黑…上爪-乃曰义两卫=3百，.......12分

解得加=±1,...............14分所以直线跖V的方程为y=±（尤-2）..................15分

（说明：这里少一种结果扣2分）

ME=~BC

18•【解答】（1）取P8中点M,连接/M,EM,•••£为尸C的中点，.-.ME//BC,2

又「AD〃:BC,AD=^BC,:.ME//AD,ME=4D,二四边形4DEW为平行四边形，

:.DEHAM,•.•DEU平面尸42,Wu平面尸.1DE〃平面RIB；...............4分

（2）平面尸48_L平面/BCD,平面E43c平面/2CD=/8,3CU平面/BCD,

BC1AB,BC1PAB,................6分

取中点G,连接尸G,则尸G//3C,.•.尸G,平面上”，

1O

ZGPF=60°,GF=-（AD+BC）=3,tan60°=—,:.PG=73,又

2PG

PA=PB=2,:.AG=GB=14-3=l,AB=1,

①如图以G为坐标原点，GB为无轴，G尸为N轴，G尸为z轴建立空间直角坐标系，…8分

高二上数学期中考试答案第6页，共8页

二定=(1,4,一百)，丽=(-2,-2,0),设平面PGD的一个法向量，或=(x,y,z),

n,-PC=x+4y-A/§Z=0—(\

贝|J」一,取了=1,则%=-M,若r，.....io分

nl-CD=-2x-2y=0''

平面上43的一个法向量可取元=(0,1,0),............11分

设平面尸与平面PCD所成锐二面角为。，，cosO=普雪=；=£,

网同5

所以平面尸48与平面PCD所成锐二面角的余弦值Y5............12分

5

②如图，BC〃AD,从而AD垂直于AM,四边形AMED为矩形