海南省海口市2024-2025学年高二年级上册数学期中考试预测卷（含答案）

海南省海口市2024-2025年高二数学期中考试预测卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.向量）=（12x7,2,4）,1（2,1-2/8）,若〃〃兀则（）

2.直线8x-y+4=0的倾斜角量（）

A.60。B.120°c,150°D,30。

3.经过42,-3）,3（-1,⑼两点的直线的一个方向向量为（1,-3）,则旭=（）

A.3B.4C.5D.6

4.已知直线/的倾斜角为120°,在V轴上的截距是3,则直线/的方程为（）

Ay=V3x+3By=-3y=—>/3x+3py=-3

5.已知圆°的方程是x2+V+4x-2”ll=0,则圆心c的坐标是（）

A.HDB.。,-1）C.（"ZD.（4厂2）

6.直线L办7+2025=0,£（3"2）x+ay-2a=0,若则实数。的值为

（）

A.0B.1C.0或1D.§或1

7.已知点“（2,3），B（-3,2）,若直线ax+N+l=°与线段力B相交，则.的取值范围是

（）

A口，2]B.（-8,-1）。[2,+8）

C卜2,1）D（-co,-2]u[l,+co）

8..已知点P（xj）为直线/办+夕+4=0上的动点，过尸点作圆C：/+3-1）2=1的切线尸力，

PB,切点为4巴则APNB周长的最小值为（)

4+警B.5+石C.4+^5D.4+2V5

A.

二、多选题

9.已知平面々与平面广平行，若云=（2,一4,8）是平面广的一个法向量，则平面a的法向量

可能为（）.

A1（-1,2,-4）B.（-I,2/）c.。，4,-8）D（-2,4,-8）

10.下列说法一定正确的是（）

A.过点（°，》的直线方程为了=息+1

B.直线xsin&_ycose+l=0的倾斜角为a

C.若g>0,6c<0,则直线ax+力+c=°不经过第三象限

D.过（X"%）,（*2，8）两点的直线方程为&_乂）卜2_*）=（》_%）（％一乂）

11.已知实数三〉满足方程（、-2）2+。-1）2=1,则下列说法正确的是（）

V222

A.直线了=龙被圆截得的弦长为亍B./+/的最大值石+1

y1

C.X的最大值为§D.V+X的最大值为3+收

三、填空题

12.直线6》+8k2=0与3x+4k3=0间的距离为

巫

13.若直线4皿7+1=°与直线/2：6x-2y-〃=0平行，且4与4间的距离为〒，则

m—n=

14.在棱长为2的正方体"BCD-44G2中，点瓦/分别为棱月的中点.点P为正

方体表面上的动点，满足其尸,匹.给出下列四个结论：

①线段吊尸长度的最大值为2g；

②存在点尸，使得DP〃EF；

③存在点尸，使得用尸=OP；

④A£P尸是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是.

四、解答题

15.根据下列条件，分别求出直线的一般式方程：

⑴经过点/(2H),平行于直线/：3x-y+l=0；

(2)倾斜角是135。，截距是4；

(3)经过点“(2,4),点B(T，1)；

(4)经过点/(28)，且在两坐标轴上截距的和为5.

16.直线/的方程为(”+1)X7-3"1=0,FLER

(1)若直线/在两坐标轴上的截距相等，求’的方程；

⑵若直线/分别交x轴、了轴的正半轴于点4巴点。是坐标原点.

(i)若的面积为16,求a的值；

(ii)当△/OB的面积最小时，求直线/的方程.

17.如图所示，在棱长为1的正方体中，点E是棱43上的动点.

⑴求证：DA'1ED';

AE1

⑵当万一5时，求直线£%与平面CE'成角的大小.

18.已知圆°的圆心在直线7上，且过点/(3，°),2(2,T)

⑴求圆C的方程；

⑵若直线/：4x-3y+9=°与圆c交于£、尸两点，求线段环的长度.

19.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将

四个面都为直角三角形的四面体称为鳖席.如图，已知阳马尸一428中，侧棱尸。，底面

4BCD；且PD=CD,在尸4尸昆尸C的中点中选择一个记为点后，使得四面体E-8C〃为

(1)确定点E的位置，并证明四面体£-88为鳖腌；

(2)若底面/BCD是边长为1的正方形，求平面尸4g与平面夹角的余弦值.

参考答案:

题号12345678910

答案CADCACDAADCD

题号11

答案CD

1.C

【知识点】由向量共线（平行）求参数

【分析】根据向量共线关系建立等式12x7=2"2=2（1-2J）；4=8A,即可求解.

【详解】因为"〃人所以

由题意可得1=（1212,4）=4（2,1-2%8）,

所以，则12x7=2"2=4（1-2y）,4=82,

,113

/L=—X=—V=----

则2,6,2.

故选：C.

2.A

【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析

【分析】先根据直线方程求出直线的斜率，再得出直线的倾斜角.

【详解】直线国一》+4=°的斜率为又倾斜角的范围在。°〜180。之间，

所以直线6x7+4=。的倾斜角是60。.

故选：A.

3.D

【知识点】直线方向向量的概念及辨析

【分析】根据直线方向向量的定义即可求解.

m+3_-3

【详解】由条件可得T-2-1,解得机=6.

故选：D.

4.C

【知识点】直线的斜截式方程及辨析

【分析】根据倾斜角求出直线斜率，然后用斜截式方程即可得解.

【详解】因为直线/的倾斜角为120°,所以直线/的斜率为左=tan120。=-g.

又直线i在y轴上的截距是3，代入截距式方程得了=+3.

故选：C

5.A

【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化

【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标.

【详解】圆C的方程可化为（x+2）2+（yT）2=16,圆心。的坐标是

故选：A.

6.C

【知识点】已知直线垂直求参数

【分析】根据两直线垂直的公式44+4&=°求解即可.

【详解】因为勺*7+2025=0,£（3"2）x+即-2tz=0垂直，

所以。（3"2）+（-1州=0,

解得"0或"1,

将。=0,。=1代入方程，均满足题意，

所以当。=0或。=1时，LM.

故选：c.

7.D

【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围

【分析】由已知可得直线°x+N+l=°过定点P（°，T）,求得如8,kpA,数形结合可求a的取

值范围.

【详解】由直线方程以+>1=°,可知直线以+>1=°过定点尸（°，T）,

作出示意图如图所示：直线"+y+l=°与线段N8相交,

则可得一"W噎=T或-。2%=2,解得a4一2或a21,

所以〃的取值范围是（-°°_2]U[l,+s）.

故选：D.

8.A

【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值

【分析】先求出圆心到直线的距离，确定动点尸到圆心°的最短距离，从而得出切线长

尸4必，进而求出AP/2的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值.

【详解】设圆心C（°」）到直线"+>+4=°的动点P®V）的距离为尸C,

|叶

根据点到直线距离公式,

所以|尸/|=|尸同=厂1（其中"I尸C|N行）.

因为"，必是圆C的切线,

2

H=K|-1；即回=-I

又因为AP/C是直角三角形,由勾股定理可得

“P4B的周长为PA+\PB\+\AB\

因为是圆C的弦，且AP/C和△PBC全等，所以=

AB\

SP.c=-\pAxr=-|PC|x

根据三角形面积公式，“21211F（其中〃是圆的半径）,

\AB\_4F-[

可得2-t，所以

2=2+2、2病

则AP/B的周长tVt

2」

因为>=2厂1与'V产均在[右，+s）上单调递增,

2小巫=4+在

所以当》=逐时，周长取得最小值.最小值为逐5.

故选：A.

9.AD

【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量共线的判定

【分析】由已知可得平面a的法向量与向量为=（2厂48）共线且为非零向量，结合共线向量

关系可得结论.

【详解】设平面。的法向量为病，

因为平面口与平面〃平行，万=（2厂4,8）是平面〃的一个法向量，

所以送/不，且加

所以平面a的法向量可能为（T2，f,（一2,4,-8）,

故选：AD.

10.CD

【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、直线截距

式方程及辨析

【分析】举反例排除AB,将直线方程化为斜截式，结合其斜率与截距判断C,利用直线的

两点式判断D,从而得解.

【详解】对于A,当过点（°，1）的直线斜率不存在时，其方程为x=0,故A错误；

对于B,因为直线的倾斜角范围为口兀），

c兀

a—27iH—

显然当3时，不满足题意，故B错误；

Q八0八

——<0,——>0

对于C,因为浦>0,6c<0,所以6b,

ac

v=—JC—

而直线G+力+c=°可化为bb,即其斜率小于o,>轴上的截距大于0,

所以直线"+如+。=°不经过第三象限，故C正确；

对于D,过（％匕），（*2，/2）两点的直线方程为&一乂）62-为）=G-%）（％-乂），

满足过两点的直线方程的要求，故D正确.

故选：CD.

11.CD

【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦

22

【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将X+V表示

y

为圆上的点到原点的距离的平方，X、X+V分别表示直线'=依、x+V=°与圆有公共点,

结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解.

【详解】A：实数满足方程（x-2y+3-1）:1,

所以把G，X）看作是以（2，1）为圆心，以1为半径的圆上点，

d=IM=V1

由点到直线的距离公式得圆心到直线V=x的距离2

于是弦长2万二庐=四,故A错误;

B：原点到圆心的距离为"=石，所以圆上的点到原点的距离的范围为[石一1'囱+1]

所以df+y?<V5+1,gpx2+j；2<6+2A/5,

所以,+r的最大值为6+2后，故B错误.

''<1

c：令广s,则直线与圆有公共点，所以,正+1

4y4

0<k<-上=左

解得3,所以x的最大值为3.故C正确;

|2+l-a|

<1

D：令x+>=°,则直线与圆有公共点，所以6

解得3-亚W“V3+行，所以x+V的最大值为3+板.故D正确.

故选：CD.

2

12.5/0.4

【知识点】求平行线间的距离

【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可.

【详解】将直线直线6x+8>-2=°化为3x+4y-l=°,

♦二（咒-2

所以两直线的距离

2

故答案为：5.

13.15或一5

【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离

【分析】先由“4求出机，接着由两条平行线的距离公式可求出〃，进而得解.

mx（-2）-（-l）x6=0

<

【详解】由题可知所以〔Tx（f）Tx（一2）*°,解得加=3且"-2,

所以4：3x—+l=O,可表示为弘一了一万一。，

1n

i+2_VW

则/"2间的距离为出〜12,解得〃=-12或8,

所以比-〃=15或-5.

故答案为：15或3.

14.①③④

【知识点】空间位置关系的向量证明、空间线段点的存在性问题、空间向量垂直的坐标表

示

【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断①，找出平行直线再由坐标判断是

否垂直可判断B,设点的坐标根据条件列出方程组②，探求是否存在符合条件的解判断

③④

【详解】如图，建立空间直角坐标系，

则4（2,0,2）,E（1,0,0）,F（2,2,l）,C（0,2,0）,。（0,0,0）,耳（2,2,2）,

对①，由正方体性质知当尸在C时，线段4尸长度的最大值为26,

此时乖=(-2,2,-2),而=(1,2,1),布.而=-2+4-2=0

所以即满足4尸,跖，故①正确；

对②，取正方形88。。的中心连接易知MF〃DE,MF=DE,

所以四边形。MFE为平行四边形，所以DM//EF,故尸运动到M处时，DPI/EF,

此时尸(1,2,1),不=(一1,2,一1),乖而=-1+4-1=2叫即不满足4-斯，

综上不存在点P,使得DP/但尸,故②错误；

对③，设尸(W，则乖=(x-2,y,z-2),而=(1,2,1),若存在，

x—2+2y+z—2=0

由4P尸，4P工EF可得方程组[-2)2+(y-2)2+(z-2)2=4+/+\

[x+2)+z=4

化简可得b+y+z=3,解得x+z=2,y=lt

显然当苫=0/=2/=1时满足题意，

即存在点尸，使得用尸=°尸，故③正确；

对④,设尸(x，％z),若PE=PF,

贝!j+/+z2=^(x-2)+(^-2)+(z-l),化简可得x+2y+z=4,

由③知4尸,访时可得》+2了+2=4,所以不妨取x=0,y=l,z=2,

此时P(°，l，2)在正方体表面上，满足题意，故④正确.

故答案为：①③④

【点睛】关键点点睛：本题的关键之处在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算建立方程,

探求是否存在满足条件的点，运算比较复杂，属于难题.

15.⑴3x——=0

(2)%+>-4=0

(3)%-V+2=0

(4)3x+2y-6=0

【知识点】直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式

之间的互化、由两条直线平行求方程

【分析】(1)由直线平行可知斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式；

（2）截距为4分为在x轴上截距为4和在V轴上的截距为4,根据条件写出直线方程；

（3）写出直线的两点式方程，化为一般式；

（4）分析直线在x轴、》轴上的截距，写出直线的截距式方程，化为一般式.

【详解】⑴由题可知，所求直线斜率为3,故方程为W4=3（X-2）,整理得3x-”2=0

（2）由直线倾斜角是135。得直线斜率为T,

当直线在x上截距是4,即过点（4，°）时，直线方程为^=-0-4）,整理得x+y-4=0,

当直线在歹上截距是4时，直线方程为＞=-x+4,整理得x+y-4=0,

综上得，直线方程为x+y-4=°.

y-4_x-2

（3）由条件得直线的两点式方程为：1-4~-1-2,整理得x-y+2=0.

（4）由题意得，直线在x轴上的截距为2,故在》轴上的截距为3,

宰=1

所以直线的截距式方程为23,整理得3x+2y-6=0

16.⑴x+"5=0或2x-3y=0.

a1-1----

（2）（i）。=-3或9（ii）2x+3y-12=0.

【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的一般式方程及辨析

【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令》=°,N=°列式求解即可；

S.（3a+.

（2）分别求出直线在x轴、V轴的截距，代入三角形面积公式可得2（a+l）,直接解

一元二次方程求解（i）,换元令一（"+1）=’，结合基本不等式判断（ii）即可求解.

【详解】（1）当。+1=0即。=-1时，直线/的方程为＞=2,不满足题意；

JQ--3-a--+--1

当a+]w0,即awT时，令x=0得了=_3q_l,令y=0,得一a+l,

3（2+11

------=—3a-1a=——

由截距相等得。+1，解得〃=-2或3,

a=—1

当。=-2时，直线/的方程为x+y-5=0,当3,直线/的方程为2x-3y=0,

故综上所述，所求直线/的方程为x+V-5=0或2x-3y=0.

3a+l

（2）由题意知，a+lwO,-3"lw0,且/在x轴，、轴上的截距分别为KT,

-3a-1

3a+1八

------->0

<a+\

所以〔-3"l>0,解得"T,

S=1产+［（3a1）=（30+l）2

所以ZUOB的面积2（a+lJ2（a+l）

一竽4=16fl__U

（i）由题意知，化简得9/+38a+ll=0,解得。=-3或9,均满足条

件,

_11

所以4=-3或0-9.

（34+1）2/

S=-S^（"T）

/..、2（a+l）v令一（°+1）=’，则”0,且。=一17,

（nJ、7

__5

9z-i「2

当且仅当f,即3,“-I时，”0B的面积取最小值12,

此时直线的方程为2》+3了-12=0.

17.（1）证明见解析；

（2）2；

【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法

【分析】（1）连接“2,通过证明DA'1平面AED',则可证明DA'1ED'.

AE

（2）建立空间直角坐标系，根据的值，计算平面CE"的法向量，结合点到面的距离

公式即可得出答案.

【详解】（1）如图所示：连接

因为N8JL平面u平面所以48J_Z)4,所以

又因为四边形4°A4为正方形，所以42工04,

且AEnAD{=AADX,AEu平面/

所以平面"即，Su平面NE2,所以。4，叫

小0,1,0)

(2)以。为原点，建立如图空间直角坐标系如图所示：I2)

设平面一个法向量为日=«%Z),

又D(0,0,0),4(1,0,l),C(0,l,0),Dt(0,0,1),

西=(1,0,1),而=O,西=(O,T,l)

所以I2J,

CE-n=0x——y=0

<______,一，j2

因为修.〃一0［一…,所以取x=l,所以法向量五=。22)

1+2V2

V2.3-2

所以所以向量夹角为45°,所以线面夹角为45。.

18.⑴（x-l）2+（yT）2=5

⑵2.

【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离

【分析】（1）因为圆心在直线〉=x上，设C（a,a）,根据|/0|=|8口="即可求得圆心和

半径；

（2）利用垂径定理可得线段跖的长.

【详解】（1）设圆心为°（出”），因为圆过点43，°）,8（2「1）,则

^/（a-3）2+a~=J（a-2）2+（a+l）",解得：a=],

则半径r=/C=J（l-3）2+12=。,

则圆c