湖南省岳阳市云溪区2025届高三年级上册11月期中考试数学试题

湖南省岳阳市云溪区2025届高三上学期11月期中考试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合人小心2},8=卜五＜9},则加2=（）

A・{x|ln2<x<3}|x|ln2<x<81j

C.{x|e2<x<81|

D.|x|x>0}

2.复数z=色叫的共辗复数在复平面上对应的点位于（）

3-4i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张n月I日运动了2分钟，从第二天开始，每

天运动的时长比前一天多2分钟，则从II月1日到11月15日，小张运动的总时长为（

)

A.3.5小时B.246分钟

C.4小时D.250分钟

4.已知同一平面内的单位向量々，员工满足0+至+£=o,则卜（）

2

A.旦B.6C.6

2

5.已知函数/（x）的定义域为R，设/（%）的导函数是f'(x),量/(x).1(x)+x>0恒

成立，则（）

A，/0)</(-1)B-/(1)>/(-1)

试卷第11页，共33页

c-|/(1)|>|/(-1)|D-|/(1)|<|/(-1)|

6.将函数y=cos(x+0)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数

y=〃x)的图象.若y=/(x)的图象关于点对称，则M的最小值为()

A.-B.—C.-D.—

3366

7.已知/(x)的定义域为R,y=/(2x-l)为奇函数，y=/(x+l)为偶函数，若当xe(-1,1)

时，f(x)=ex>则/(194)=()

A.-B.0C.1D.e

e

8.己知可导函数〃x)的定义域为R，/(x-1)为奇函数，设g(x)是/(x)的导函

1、12024=

数，若g(x+l)为奇函数，且g⑼,，则之起(2左)()

2k=i

A.-1012B.-506

C.506D,1012

二、多选题

9.若〃x)与g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数力(x)=/(x)g(x)的部

分图象可能为()

试卷第21页，共33页

9119

10.已知正数〃，+b>-+~,贝！J()

abab

A2

-ab>3B.(a+/,)>12

C.1+1>2A/3D.1+1<^

ab3ab

A-NB*=%

试卷第31页，共33页

C.仇和为互余D.34和2。3互补

12.如图，在V/2C中，48=NC=3，8c=2，点ITG分别边/C，2C上，点£，F

均在边48上，设DG=x，矩形。EFG的面积为S,且S关于x的函数为$（力，贝U（）

A.V3内切圆的半径为卓B.5(1)=^

c.s3先增后减D.$（尤）的最大值为亚

三、填空题

13.已知％可阊，sina+C3唳*3=0,贝产-一

14.已知圆c：/+（）,_4）2=1，点P在直线/：/=2x上运动，以线段PC为直径的圆

。与圆C相交于A,B两点，则直线A8过定点—.

15.将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30。角的三角板（N8。）的长直角边与含45。角

的三角板（/CZ））的斜边恰好重合・AC与BD相交于点。.若/c=24）'则AO='

试卷第41页，共33页

16.某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为3.若该同学下

4

午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为2.已知该同

3

学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为.

四、解答题

17.锐角VABC的二个内角是A,BC＜，两足cos2?l-cos25=2sinC(siriS-sinC)T

MABC的外接圆的圆心为O，半径是1.

⑴求角A的大小及OB，OC的值；

(2)求04.2s的取值范围.

18.设数列｛(｝的前〃项和为s“，％=8，Sn+1-4Sn=8-

⑴求｛七｝的通项公式；

⑵若bn=-------------,求数列抄"｝的前〃项和.

log2a„-log2a„+1

19.甲同学现参加一项答题活动，其每轮答题答对的概率均为工，且每轮答题结果相互独

3

立.若每轮答题答对得5分，答错得0分，记第，•轮答题后甲同学的总得分为乜，其中

z=1,2,

(1)求矶居,)；

试卷第51页，共33页

7

(2)若乙同学也参加该答题活动，其每轮答题答对的概率均为;，并选择另一种答题方式答

题：从第1轮答题开始，若本轮答对，则得20分，并继续答题；若本轮答错，则得0分，

并终止答题，记乙同学的总得分为工证明：当i>24时，

Cnxic

20.已知椭圆。的中心在原点U，焦点在轴上，离心率为上，以的四个顶

2

点为顶点的平行四边形的面积为4百，直线/与椭圆C交于A,B两点(4B不

与椭圆的顶点重合).

(1)求c的标准方程；

/1o

⑵若以AB为直径的圆经过原点，求证：直线与圆O:X2+/=y相切；

(3)若动直线/过点M(4,0)，点3关于无轴的对称点为。，直线AD与x

轴的交点为E，求dBE面积的最大值.

21.若存在有限个/，使得=且/(x)不是偶函数，则称为“缺陷偶

函数”，X。称为了卜)的偶点•

⑴证明：6(x)=x+x5为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.

(2)对任意x,yeR,函数g(x)都满足/(x)+/(y)+g(x)-2g(y)=/+y•

①若y=是“缺陷偶函数”，证明：函数/(x)=xg(x)有2个极值点.

X

②若g⑶=2,证明：当”>1时，g(x)>；［n(x2_l).

试卷第61页，共33页

In小Mx2236

参考数据:«0.481*

2

试卷第71页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案BDCDCACDACABD

题号1112

答案CDACD

1.B

【分析】根据指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.

【详解】=2={X［0£K<81}，故NcB={x|ln2cx<81}•

故选：B

2.D

【分析】利用复数的模长公式和复数的除法化简复数z，利用复数的几何意义可得出结论.

【详解】因为z」3Ti|=_2_=5（3+4i）=3+&,则［=3一di,

3-4i3-4i（3-4i）（3+4i）5555

因此，复数z的共辗复数在复平面对应的点位于第四象限.

故选：D.

3.C

【分析】根据等差数列求和公式计算可得结果.

【详解】依题意可得，小张从11月।日开始，第1天、第2天.....第15天的运动时长依

次成等差数列，

且首项为2,公差为2,所以从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为

15x2+^^x2=240分钟=4小时.

2

故选：C

4.D

【分析】根据题意得到］=_（a+q，两边平方后得到a4=-g,从而求出归-彳，得到答

答案第11页，共22页

案・

【详解】因为£+5+2=0,所以£=一心+讣

两边平方得"++矶2=H2鼠>

-7■*1一一，一一7

因为见仇。均为单位向量，所以—=1+1+2〃・6,解得[2二-不,

48

Jrrr、2rrrr(7-15

故|2=z(4-6)=a2-2aJb+b2=1-2x1--1+1=—,

所以小」卜孚.

故选：D

5.C

【分析】根据题设不等式特点，设g(x)=/2(x)+x2,判断g(x)的单调性,利用函数的单

调性，可得g(l)>g(-l),即得尸(1)>尸(-1),即可判断.

【详解】设g(x)=/2(x)+x2,则g1x)=2/(x)/(x)+2x>0，

故jHgjx®在定义域上是增函数，

于是g(l)>g(-l)即/2(1)+1>/2(-1)+1'

即有尸⑴>尸(-1)，故得|/(1)|>|/(-1)|■

故选:C.

6.A

【分析】根据函数图象的平移可得/(X)=cos]gx+“，即可根据对称得。=?~+配上eZ

求解.

答案第21页，共22页

【详解】由题意可得〃x)=cos(gx+夕

由于>="X)的图象关于点,,0J对称，故/(一卷4cos1一--+(p^=0，

古攵----F9=-----F左71,左£Z，角牟得1(P------FAjl,左£Z,

623

取'=一1|同=］为最小值，

故选：A

7.C

【分析】根据函数的奇偶性可以求出函数的周期，利用周期运用代入法进行求解即可.

【详解】y=〃2x-l)为奇函数,即〃2x-l)+/(-2x-l)=0，

所以/(x)关于(-1,0)中心对称，则/(x)=-/(-2-x)，

y=/(x+l)为偶函数，即/■(x+l)=/(-x+l)=>/(2_x)=/(x)，

所以“2-X)=-/(-2-x)=f(x+2)=-f(x-2)=>f(x+4)=-/W，

故/(x+8)f(x+4)=/(x),即/(x)是周期为8的周期函数,

所以〃194)=〃8x24+2)=〃2)=〃0)=l，

故选：C

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的奇偶性求出函数的周期.

8.D

【分析】由为奇函数得出=然后求导得出

g(x-l)=g(_x-l),得出g(x)对称轴.为奇函数得出对称中心，取X=1求

答案第31页，共22页

出g(2)的值，结合前面两个等量关系得到g(x+4)=-g(x)，取特殊值求出g(4),g⑹的值，

再由关系是推出g(x)周期为8,求出g(84+2)=g(84+4),g(8左+6)=g(8兀+8)的值，通

2024

过规律即可求出之奴(2左)的值.

k=l

【详解】•；/gxTl为奇函数，，/卜_1)=-；•两边求导得

1)，

=可知g(x)关于直线x=-l对称，

又,:gfxHlO)为奇函数，则g(x+l)+g(_x+l)=O，可知g(x)关于点对称，

令x=l,可得g(2)+g(0)=0,即g⑵=_g(o)=_；,

由g(x-l)=g(-x-l)可得g(x)=g(-x-2)>

由g(x+l)+g(-x+l)=0，可得g(x)=g(-x+2)=0，即g(x)=-g(-x+2)，可得

g(-x-2)=g-(-x+2)'即g(x+4)=_g(x)，

令x-°,可得g(4)=_g(O)=—；；

令x-2,可得g(6)=-g⑵=g；

且g(x+8)=-g(x+4)==g(x”可知8为g(x)的周期,

可知g(8左+2)=g(8左+4)=_；,g(8《+6)=g(8k+8)=；,,

答案第41页，共22页

所以

2024「]]"1「]]-

£馆(24)=一一(1+2)+-(3+4)+——(5+6)+-(7+8)+•••+一一(2021+2022)+-(2023+2024)=2x506=lC

k=i22_2222

故选:D

【点睛】方法点睛：本题利用函数的奇偶性得到对称性，然后对函数自变量进行转化，求

2024

出几个特殊点(偶数)的函数值，利用周期性得到规律，然后求出£饭(2左)的值.

k=l

9.AC

【分析】利用函数奇偶性的定义可得结论.

【详解】因为〃X)与g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，

所以M-x)=/(-x)g(-x)=-/(x)g(x)=-//(x)，

所以函数〃(x)=/(x)g(x)为奇函数，所以MM的图象关于原点对称.

故选：AC.

10.ABD

【分析】根据给定条件，求出湖的范围并结合均值不等式判断AB；举例说明判断C；利

用不等式性质推理判断D作答.

【详解】由b>-+~,得a+6z3+3,即a+623•"，而则

abababab

ab>3fA正确；

显然a+622而，当且仅当。=6时取等号，则①+6)2z(2而尸212，B正确；

取"=2,b=2,则满足心2+』，b>L+l,止匕时J_+L1<拽，C错误；

ababab3

答案第51页，共22页

由+得a>2,即正，于是!<变，同理J_<e,则工+工〈后，D正确.

abaa2b2ab

故选：ABD

11.CD

【分析】根据题目所给条件可在空间直角坐标系中研究问题，利用线面角公式可取各个平

面的一个法向量，计算其余各角的大小.

【详解】设空间直角坐标系中，直线心'对应的方向向量分别为

[0(1,0,0),£H(0,l,0),^0(0,0,1)，平面%,用，的法向量分别为

nl=(xl,yl,zl),n2^(x2,y2,z2),n3^(xi,yi,z3)-

不妨设直线方向向量与法向量的夹角6由题意得,

2

.兀1兀2/---

Sin—=008^^,^

两式相除得必=&再，可取*=(1，①1),同理可取第=(0,行』"=(1,0,1),

=21,sina=cos词考

所以sinq=cose3，〃i=1,sin02=cose2,«2

所以4=胃2=1。3=屋

故选：CD.

【点睛】思路点睛：本题考查空间向量解决线面角问题，具体思路如下：

(1)根据所给条件把直线和平面放在空间直角坐标系中，设直线的方向向量和平面的法向

量.

(2)利用题目中的已知角结合线面角公式可取各个平面的一个法向量.

(3)根据所取法向量和直线的方向向量求其他线面角的大小.

答案第61页，共22页

12.ACD

【分析】对于A,利用等面积法可求出v/BC内切圆的半径；对于B、C、D,由

△0DG~C/8得到cw=返，进而可求出板的长，所以可求出矩形。四°的面积为

9

S,进而判断B、C、D.

【详解】对于A,取Be的中点N，连接ZN，

则”3C,且/N=E=20,所以V的的面积为RX2屋2日

\/Ari

假设内切圆的半径为，贝|了（/8+5。+/0/=凡'4，

所以、8xr=2后，解得厂出2,故A正确；

22

对于B、C、D,过c作垂足为设C”与。G交于点

由等面积法可得1/不。〃=2板，则CH=S2.

23

由生=空，得CM=0HDG=^

CHABAB9

则MH=CH一CM=当一牛

答案第71页，共22页

2

MHS(X)=DG.DE=DG.MH=^~4后

x-|I+向0<x<3”

则S⑴=亨，则S3在0,|］上单调递增，在上3单调递减,

2

所以5（尤）的最大值为亚，故B错误，C,D均正确.

故选：ACD.

44

【分析】已知等式利用倍角公式求得sin2a=丁则cos2Q=cos2p-sin2夕=］，又

营”五夕=1,可求出tai?%由公（呜）得

【详解】由sina+cosa=3后，两边平方得1+sin2a=2,所以cos2/?=sin2a=3,

555

故cosZQ-sii?0=3,因为cos2£+sin2p=l,所以辿丘包为二一^二士，

5cos2/?+sin2^1+tan2/?5

解得tan?Q=；,又因为所以tan£=：.

故答案为：

14-■

【分析】设点尸S，2a），表示出以PC为直径的圆的方程，与圆。方程相减可得两圆公共弦

答案第81页，共22页

AB所在直线方程，以此计算直线48所过定点.

【详解】

由题意得,C(0,4).设点尸g,2a),则圆。的方程为x(x-a)+(y_4)(y-2a)=0，

即x?+y2-ax-(2a+4)y+8a=0,

圆C的方程可化为/+/_8了+15=0,两圆方程相减，

得直线AB的方程为ox+(2a-4)y+15-8a=0，

直线48的方程化为a(x+2y-8)-4y+15=0-

由(x+2y-8=0,得.Hl,

［-4y+15=042

所以直线,8过定点@,三

故答案为：g，力

15-6-273

［分析］根据三角板的内角以及边长利用三角恒等变换和等面积法即可得AO=6-2^-

答案第91页，共22页

【详解】由题可知AD=V6,AB=4,sin/Z）/B=sin（300+45°）=--------

由S“Do+S.ABO=S“BD可倚：

-AD・AOsinZDAO+-AB-AOsinZBAO=-AD-ABsinZDAB,

222

贝1」病/0.£4./0，=限4义逅建，

224

解得/。=6-26

故答案为：6.273

16.—

11

【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解即可.

ADa

【详解】设下午打篮球为事件，晚上跑步为事件，易知P（4）=P（/5）=；,

2

P（B\A

3

...尸伊）=尸（/为+尸（彳町=尸（/）+P（N）-P（8H）=：+|X：=£,

9

TT

a

故答案为：、

17.（1）^=-；OBOC=--

32

答案第101页，共22页

(2)[-2,一£|

【分析】(1)先用二倍角的余弦值进行化简，进而结合正弦定理角化边利用余弦定理可求

角A值，从由圆周角定理可得/goc=2/，从而利用平面向量的数量即可求解；

⑵由需=砺-5可得乱与=刀汨一而=cos2c-1'进而根据题意求2c的取值

范围，从而由cos2CT的取值范围可得结果.

【详解】(1)⑴由cos2^!-cos25=2sinC(sin5-sinC)J

得1-2sin2^4-1+2sin25=2sinCsin5-2sin2C，

sin25+sin2C-sin2^=siaSsinC；

由正弦定理得回+02_"=仁—+。2--=j_,

2bc2

即cos/=；,又锐角V/8C中，，

「兀

A——,

3

由圆周角定理可得，ZBOC=2A=—,

3

又OB=OC=I，

:.OBOC=Io5|locicosZBOC=--.

-----►/►►\►►►2

(2)OAAB=OA(OB-OAJ=OAOB-OA

答案第111页，共22页

=cos/AOB-1=cos2C-1.

♦.，AABC是锐角三角形,

0<C<-

2兀兀「

=>—<C<—

62

—<C+A<n

12

y=cosx(f、

.-.7yr<2ff<,又在?兀上单调递减,

所以一l<cos2c<1，BP-2<cos2C-l<---

22

18.⑴4=22*neN*

£N

)3(2"+3)’

【分析】⑴由S“「4S“=8得S“_4S,i=8("N2)，相减可得递推公式，进而判断｛叫

为等比数列，从而可得等比数列的通项公式；

(2)根据题意计算可得数列辆”,的通项公式，进而通过裂项相消法可得前〃项和.

答案第121页，共22页

【详解】（1）由s“+]_4S“=8，得S,_4S,I=8（〃22），

两式相减得“"+「4%=°,即嗅=4（〃22）.

因为％所以（％+%）-4%=8,得"=32,满足”=心

所以｛%｝是首项为8,公比为4的等比数列，4=8X4〃T22"+1，neN,•

⑵因为%=22角，

n

3(2M+3)

19.(1)165

(2)证明见解析

【分析】（1）根据二项分布的数学期望公式进行求解即可;

（2）根据积事件的概率公式，结合错位相减法进行求解即可.

【详解】（1）设Z,=*，故Z,〜

:.E(Xj=5E(Zj],

故£(X99)=5X99X；=165；

（2）由（1）知E（X,）=t，记乙同学的答题次数为“且〈的所有可能取值为I*'…

答案第131页，共22页

且P(《=l)=l一：=尸借=2)=：x：=[,…，尸傍=〃)=27

33JJy

/

-£(r)=(l-l)x20x1+(2-l)x20x|+...+(w-l)x20x^r'i

)X3

且|矶y)=(l_l)x20x,+…+(〃-2)x20221

X|xJ+(H-1)X20Xx—

33

222n-\2

£(Y)=20x—+i+...+-(w-l)x20x

3

40-(20〃+40)x<40

,当，>24时，E(X,)>40>E(y)一

20.(l)^+£=i

43

(2)证明见解析

⑶这

4

【分析】(1)根据面积和离心率得2仍=43和£=工，即可求解,

a2

(2)联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据次,赤=o,得石%+乂%=0,代入化简可

得加2=/(1+后2),根据点到直线距离公式即可求证，

(3)联立直线与椭圆方程得到韦达定理，根据三点共线可得舄£=&E,即

答案第141页，共22页

=二^，化简可得E（L°）为定点，即可利用三角形面积关系得表达式，结合基

项-x0x2-XQ

本不等式求解最值.

【详解】（1）设椭圆c的长半轴长为«，短半轴长为b，半焦距为C.

由已知，—，即c=+，又b2+c2=a2,：.,b2=—a2b=-a,

a2242

由2a6=4>/J可倚，6a2=4也,:.,Q=2b=6'

X

因为C的焦点在轴上，所以C的标准方程是上J+匕,,2=1

43

（2）当直线有斜率时，设直线I的方程为y=kx+m，

以4B为直径的圆经过原点，即，

O2,OB=0

设/£修，以0，8打，例，所以注+弘%=0，

y=kx+m（3+4左2）12+8痴％+4加2—12=0&0>3+4左2>加?

联立方程YV,得，即

---1---=1

143

8km4m2-12

X1+X2=_374F,X,X2=574F-

XxX2+yxy2=/%2+（村+冽）（履2+加）=（1+左2卜科2+而（芭+12）+初2=0，

化简得加2=5（1+左2）,

设°到直线1距离为d,则/=£=上

\+k27

1io

所以直线与圆。：/+/="相切.

7

答案第151页，共22页

X=t2,2（，2\

当直线无斜率时，设直线方程为，与椭圆方程上v+匕=1联立可得，/=31-L,

由于4B为直径的圆经过原点，故〃=3（1.

故圆0:x2+/=£的圆心到直线的距离”=g=r,故直线,与圆相切.

/io

综上，直线与圆相切.

⑶设直线I的方程为x=3+4（”0），代入椭圆方程，得3伽+4）2+4/=12

即（3产+4）俨+24什+36=0.设点4於,％0,5九，必。

„24f36

则n“+%=一犷盲』％=门•

因为点B,D关于x轴对称,则-%）,设点£（%,0），

A，E，D

因为三点共线，则,即=,

演-xQx2-XQ

即必（z-%）=-%（占一天），即必马+为%=%（%+%），得

X,川+%网二M（仇+4）+%侬+4）_2卬必+4（必+%）

%+为M+力%

2ty.y.2/x36.,

=）22+4=----------+4=1.

%2〃

答案第161页，共22页

所以点£（1,0）为定点,忸叫=3,

S.ABE=\S.AME-g.|乂一刃=।1（必+升）2-4%力

3\(24/Y4x36187^2-4

可13/+4)-3尸+4-3—+4

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令'贝।===~

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当且仅当彳=迪时取等号，所以^ABE的面积的最大值为述.

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【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式