湖南省2024-2025学年高二年级上册期中联考数学试卷（解析版）

高二数学专版

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知2=(1-3。(“+。(碇11)为纯虚数，则。=()

C11

A.3B.—3C.—D.—

33

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数乘法求出z,再利用纯虚数的意义求解即得.

〃+3=0

【详解】依题意，z=(〃+3)+(l—3〃)i,由z是纯虚数，得＜。八，

1一3〃

所以〃=—3.

故选：B

2.在空间直角坐标系。孙z中，已知点A。,1,1),5(2,—1,0),若点P与点A关于。vz平面对称，则丽=

()

A.(-3,2,1)B,(-1,0,1)C.(-1,0,-1)D,(3,-2,-1)

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间坐标系的定义得对称点P的坐标，再求得向量坐标.

【详解】由点P与点A关于0V2平面对称，可得「(—1』/)，所以丽=(一3,2,1).

故选：A.

3.若过点(—1,1)的直线/的倾斜角为a，且cosa=好，贝心的方程为()

A.x-2y+3=0B.x-2y-3=G

C.2x-y+3=0D.2x-y-3=0

【答案】C

【解析】

【分析】根据同角三角函数恒等式，可求得tana的值，即为直线/的斜率，再由点斜式方程得到答案.

【详解】由。£［。㈤及cosa=，可得sina=Jl-cos2a=~~~，

所以/的斜率左=tana=2,

所以由点斜式方程得/的方程为：

y-l=2(x+l),即2x-y+3=0.

故选：C.

4.函数/(x)=log2(x2—2x—3)的单调递减区间为()

A.(L+s)B.(3,-KO)C.(-co,-l)D.(-°0,1)

【答案】C

【解析】

【分析】

求出函数y=/(x)的定义域，利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间.

【详解】对于函数/(x)=log2(尤2-2x-3),X2-2x-3>0)解得x<T或x>3.

2

所以，函数/(%)=log2(x-2x-3)的定义域为(7,—1)U(3,+8)，

内层函数〃=三—2%—3在区间(―吟—1)上单调递减，在区间(3,+8)上单调递增，

外层函数>=log2u为增函数，

由复合函数的单调性可知，函数/(%)=1082(/一2%-3)的单调递减区间为(—8,—1).

故选：C.

【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题.

5.6万多年一遇的紫金山一阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10

月12日最接近地球，在北半球可观测到•已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的

近日点(距太阳最近的点)距太阳中心0.6天文单位，远日点(距太阳最远的点)距太阳中心35天文单

位，且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是()

A.0.017B.0.25C.0.86D.0.97

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定的信息，结合椭圆的概念特征，离心率公式列式计算即得.

【详解】解析设该椭圆的半焦距为c(c>0),长半轴长为a(a>0),

根据题意有a—c=0.6,a+c=35,可得2a=35.6,2c=34.4,

2c344

所以离心率e=—=^pO.97.

2a35.6

故选：D.

6.已知双曲线C：?1r=1(。〉0,6〉0)的一个焦点到其渐近线的距离为2a,则。的渐近线的斜率为

()

A.土-B.+C.+2D.+A/5

2-5

【答案】A

【解析】

【分析】利用点到直线的距离公式可得双曲线C的上焦点(O,C)到其渐近线ax-力=。的距离为6,则

2a=b,再结合双曲线的渐近线方程即可得答案.

【详解】设C的半焦距为c(c>0),则02=^2+/,

根据对称性，可知C的上焦点(0,c)到其渐近线融-勿=0的距离为1d=b,

所以2a=)，所以C的渐近线的斜率为土@=±工.

b2

故选：A.

7.已知直线y=—X+2与抛物线C：y2=4%相交于AB两点，点。在y轴上，且外,座，则点。到

坐标原点距离为()

A.4B.2C.20+2D.2拒±2

【答案】D

【解析】

【分析】设4（石,%）,5（%2，%），直线方程代入抛物线方程（消去X）可得%+%，%%，把方小丽=0

用坐标表示后可求得。，从而得结论.

【详解】设4%1，%）1（*2，%），将y=—X+2与/=4x联立，得y2+4y—8=0,所以

%+%=-4,%%=-8.

设。（0）），因为ZM,QB,所以

22

22

DA-DB=xlx2+（yl-b）（y2-b）=^^+yly2-b（yl+y2）+b=4-8+4b+b=0,

lo

解得b=-2+2y/2＞故点。到坐标原点的距离为例=2夜±2.

故选：D.

8.已知正四面体A—BCD的棱长为3,点E在棱A。上，且。石=1，若点A3,C,E都在球。的球面

上，则球。的表面积为（）

3

A.—7iB.2兀C.9兀D.12兀

2

【答案】D

【解析】

【分析】取BC的中点b，连接DF,AF,在线段AF上取点G,使得AG=2GF,连接GB,GC,GE，点

G为等边VA3C的中心，同时可得点G即为球心。，进而可求表面积.

【详解】如图，取6c的中点E，连接。在线段”上取点G,使得AG=2GF,连接

GB,GC,GE.

在△ADF中，AD=3,AF=DF=空-.易知点、G为等边VABC的中心,

所以GA=GB=GC=^AF=6.

3

易知GE〃。/，所以GE=^DF.

3

所以G4=GB=GC=GE,点G即为球心。，球。的半径为若，

表面积为S=4兀(GT=12兀.

故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知直线/:丘+1+2左一y=0和圆。：炉+9=8,则()

A.直线/过定点(—2,1)

B.直线/与圆。有两个交点

C.存在直线/与直线，o：x—2y+2=0垂直

D.直线/被圆。截得的最短弦长为20

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直关

系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.

【详解】对A,由Ax—y+2左+1=。可得，左(x+2)-y+l=。，

令x+2=0,即x=—2,止匕时y=L所以直线/恒过定点(一2,1),A正确；

对B,因为定点(—2,1)到圆心的距离为/71=6<272,

所以定点(—2,1)在圆内，所以直线/与圆。相交，B正确；

对C,因为直线：x—2y+2=0的斜率为;，所以直线/的斜率为—2,即左=—2,

此时直线/与直线垂直，满足题意，C正确；

对D,因为直线/恒过定点A(-2,l),圆心到直线I的最大距离为|1=也，

此时直线/被圆。截得的弦长最短为2=2石，D错误;

故选：ABC.

10.如图，在直三棱柱ABC—DE尸中，AC=3C=AB=4,AD=2,M,N分别为棱AC,跖的中点，则

A.CNLBM

B.跖V〃平面AB£D

C.MN=242

点E到平面BMN的距离为好

D.

5

【答案】BC

【解析】

【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用向量法表示出线段的方向向量和平面的法向量，根据向量的数量

积判断线线垂直、线面平行，再利用向量方法计算点到平面的距离，依次判断选项正误.

详解】如图所示,

设。是棱AB的中点，连接OC,

因为AC=BC=AB=4,所以且OC=2百,

以。为原点，直线OC,08分别为苍丁轴，

过。作AD的平行线为z轴建立空间直角坐标系,

则3(0,2,0),2百,0,0),A(0,-2,0),

E(0,2,2),4—26,0,2),M卜省,—1,0),N(-73,1,2),

所以砒=(0,2,2),标=(63,0),国=(亚1,2),屉=(6,1,0),

AB=(0,4,0),BE=(0,0,2),

对于选项A,因为加.国=J5x6+3xl+0x2=6w0.

所以CN与8位不垂直，故A错误;

对于选项B,设平面ABEO的一个法向量为沅=(%,y,z),

m•AB=04y=0

则一，即《c八，所以取用=(1,0,0),

m-BE=02z=0

因为玩•MN=1X0+0X2+0X2=0,MN(Z平面ABED，

所以MN〃平面A5E。，故B正确;

对于选项C,=2&,故C正确;

对于选项D,设平面的法向量为元=(%,y,z),

n-MB=y/3x+3y=0(r\

则

n-MN=2y+2z=0v7

|屉•司l-VSx^+lxl-lxOl以尺

所以点E到平面BMN的距离为/1=笆,故D错误.

5

故选：BC.

22

11.已知椭圆C：W+方=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳，F2,上顶点为B(o,、历)，离心率为

正，M,N为C上关于原点对称的两点(与C的顶点不重合)，则()

2

22

A.C的方程为土+匕=1

42

14、5

B.---------1-------->——

|N周一2

C.△MNF2的面积随周长变大而变大

D.直线BM和BN的斜率乘积为定值---

2

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A,由椭圆的离心率求解；于B,由椭圆的对称性知：INERMEJ,从而

分析可得;对D:设则N（f,f）,，由点M（苞，%）在椭圆上，即可化得左BM•左BN的值.

【详解】由题易知6=0,£=正,2+°2=/,解得c=0,q=2,故椭圆方程为：工+工=1,故A

a242

正确；

y>

B

N、

连接MF[,MF2，NFI，NF2,由椭圆对称性知孙松为平行四边形,

\MF\+\NF^\MF\+\MF^2a^A

1414

----1----=-----1----

\MFX\|N£|\MFt\\MF2\

+■)(\MFi\+\MF2\)

4IMF；|\MF2\

\MF\!4|叫|

=-(1+4+2

4\MF}\\MF2\

>51J|MF2|4\MFi\_9

一44丫阿耳|\MF2\4

48

当且仅当151=1,|此|=3时等号成立，故B错误；

对选项C:由选项B可知：I"可+|N司=|阿|+|八*|=4,

设“（为其），则|0"商+才=4(1-”)+y；=44—3，

△MNF］的面积为25.。“吕=2义g义四|yj=四|'

由对称性，不妨设河在第一象限及龙,V正半轴上，

故10Ml随月的增大而减小，AMNF?的面积为2S-OMB随月的增大而增大,

即AMNK的面积随周长变大而变小，C错误;

对选项D：设"（苞，％）,则

"0,后,所以KBM.KBN=9^-^^=亚"，

X]一为%1

•.•点M（X],%）在椭圆上，结合选项C,

X；=4-2y；,

y.2-21

所以KBM.KBN=------=故D正确；

xf2

故选：AD.

【点睛】利用椭圆对称性及定义推导出"KNg为平行四边形是本题关键.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在VA3C中，内角A,8,C的对边分别为。力,c,已知A=上,8=生力=2亚，则。=

46

【答案】4

【解析】

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】因为4=亚,8=乌,。=2、/5,

46

2贬义？

力

所以由正弦定理可得a=-一=4.

sinB1

2

故答案为：4.

13.曲线/+丁2=2凶+2仅|的周长为,

【答案】4&兀

【解析】

【分析】曲线围成的图形关于x轴，y轴对称，结合圆的方程运算求解.

【详解】当了20,y2。时，方程三+丁2=2冈+2仅|可化为（x—Ip+（y—1）2=2,

此时，曲线是一个半径为0的半圆,

由对称性可得曲线三+丁=2国+2仅|在各个象限内都是半径为血半圆,

故曲线f=2冈+2M的周长是4个半径为血的半圆之和,

即4x兀x42=4&兀-

故答案为：4\回兀.

22

14.已知双曲线。：二一与=1（。＞0）〉0）的左焦点为尸，过产的直线/交圆好+丁=片于人，3两

CTb2

点，交C的右支于点Q,若|刚=|4/=忸9,则C的离心率为

【答案］叵

5

【解析】

1QxyQxy

【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出|Q刊=三,|。8|=半，结合双曲线定义得到方程,

求出离心率.

【详解】设C的半焦距为c（c＞0）,如图，设。为坐标原点，的中点为的右焦点为工，连接

因为|刚=|AB|=忸。|,所以"也是EQ的中点.设|E4|=|AB|=|位?=2机（加＞0）,

由双曲线的定义得|。盟—|QE|=2a,所以闾=6m—2a,QM=3相—a,

4/71R/7

在RtZXAOA/中，由〃2=（3加一a）?+疗，得m=彳，所以|0司=飞_=1_

2

18a8aj,得『手

在RSQ时中，由

故答案为：叵

5

【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法：（1）直接法：直接求出。，。，，求解e；（2）变用公式，整体

求出e；(3)利用题目中所给的几何关系或者条件得出”,4c的关系；(4)构造c的齐次式，解出e.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=2sin2x+2j§cos[g+x]cosx-l.

(1)求八％)的单调递减区间；

JT

⑵若/(%)在区间-,m上的值域为[—2,1],求实数机的取值范围.

兀5兀

【答案】(1)kitH—,kuH-----，左eZ.

一36_

5兀7兀

⑵­

66

【解析】

【分析】(1)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为

/(x)=2sin[2x-W]，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；

(2)要使得在上的值域为[—2,1],即在g,加上的值域为[—2,1],可得—=〈孝，

_2J12J266

从而可得结果.

【小问1详解】

因为/(%)=2sin2x+2gsinxcosx-1

=A/3sin2x-cos2x

=2sin^2x--^-J

jrjr3冗

令2E+一«2x----<2kn-\----,keZ,

262

jr

得E+一«九---，左£Z.

36

Jt57t

所以f(x)单调递减区间为kit+—,kTt+,keZ.

【小问2详解】

n,生吁二

当xe—,m时,2x--e,2

2666

jr

/(%)在区间上的值域为[—2,1],

£,.5兀1,1371

令/(x)=l,得sin(2x-巳有sin—sin----

26262

令/(x)=—2,得sin[2x—Wj=—l,有sin$=—l.

一一，，3兀一n13兀5兀7兀

所以一<2m---<----,得——<m<——,

26666

5TI7兀

即〃2的取值范围是—.

66

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是边长为2的正方形，且平面平面ABC。,

PD^AD.

P

(1)证明：6CL平面PC。；

(2)若E4=4,E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见详解

⑵叵

7

【解析】

【分析】(1)根据面面垂直的性质可得平面ABC。，进而可得？DLBC,CD±BC,结合线面垂

直的性质定理分析证明；

(2)建系标点，求平面ABE的法向量，利用空间向量求线面夹角.

【小问1详解】

因为平面上40,平面ABC。，PD±AD，

且平面R4Oc平面ABCD=AD，PDu平面丛D,

可得？平面A2CD，

由BCu平面ABC。，则？DJ_6C,

因为ABC。为正方形，则CDL5C,

且PDcCD=D,P£>,C£>u平面PCD,

所以平面PCD.

【小问2详解】

由(1)可知：平面ABC。，且ABC。为正方形，

以。为坐标原点，ZM,DC,DP分别为苍％z轴，建立空间直角坐标系，如图所示:

由题意可得：A（2,0,0）,JB（2,2,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2^/3）,E（0,1,73）,

则通=（一2,1,凡通=（0,2,0）,丽=（0,_2,2@,

,、n-AE=-2x+y+6z=0

设平面ABE的法向量为为=（x,y,z）,贝叫_,,

n-AB=2y=0

令x=6，则y=0,z=2,可得为=（6,0,2）,

且小/〃_°”曰n-CP=—4^/3=7〒21，

所以直线尸C与平面ABE所成角的正弦值为叵.

7

17.已知抛物线C：丁2=21(°>0)与椭圆及与+:=1,〉6〉0)一个交点为AQ2),且E的离

ab

、缶^/2

心率e=-----

2

(1)求抛物线。和椭圆片的方程；

(2)过点A作两条互相垂直的直线AP,AQ,与。的另一交点分别为尸，Q,求证：直线尸。过定点.

22

【答案】(1)/=4%，匕+土=1

63

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)将点AQ,2)坐标代入抛物线方程可求出P,从而可求出抛物线的方程，再将点AQ,2)的坐标

代入椭圆方程，结合e=正和a2=>2+c2,从而可求出椭圆方程；

2

(2)设直线产。为％=+PCX],%),。。2,方)，将直线方程代入抛物线方程，化简利用根与系数的

关系，表示出七p，七°，由得上M2=-1，化简后可得/=2m+5,代入%=役+，可

求得直线过的定点.

【小问1详解】

因为点A(l,2)在抛物线C：y2*4=2px(p>0)上，

所以2P=4,得夕=2,所以抛物线方程为/=4x,

,.2丫2历

因为点A(l,2)在椭圆及4+「=l(a〉6〉0)上，离心率e=旺,

a2b2')2

a=>J6

cyjl

所以一=下，解得《b=6,

a2

c=6

a2=b2+c1

22

所以椭圆方程为二+二=1

63

【小问2详解】

由题意可知直线P。的斜率不为零，所以设直线P。为1=役+方，尸(为,丹),。(々,当)，

2

,fy=4%,9

由《，得-4-my-4t-0,

x=my+t

由A=16m2+i6f>0，得机2+f>o，则%+%=4山,%%=一射，

由题意可知直线AP,AQ的斜率均存在且不为零，

k=必_2=必-2=4(%-2)=4=%-2=%-2=4(%-2)=4

所以"一一―1一5^一/，加_0.访一^7r.士，

----1----1

44

44

因为APLAQ,所以左转•第2=------=

%+2%+2

所以(%+2)(%+2)=-16,则％为+2(%+%)+20=0,

所以T1+8m+20=0,得/=2根+5,所以直线尸。为x=〃zy+2m+5,

所以(x—5)=机(y+2),所以直线尸。恒过定点(5,-2)

【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关

系，第(2)问解题的关键是设出直线尸。的方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，再结合

左心•七°=T化简求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.

22

18.已知椭圆E:j+2=l(a〉〃〉0)的左、右焦点分别为耳，耳，闺耳|=4,短轴长为2.

(1)求E的方程.

(2)若P为E上一点,求居•用的取值范围.

(3)判断E上是否存在不同的三点AB,C，使得线段08(。为坐标原点)的中点与AC的中点重合于

直线x=l上一点。.若存在，求出直线AC的方程；若不存在，请说明理由.

丫2

【答案】(1)—+/=1

5-

(2)[-3,1]

(3)4x+2好y-5=0或4尤-26y-5=0.

【解析】

【分析】(1)由己知求得。涉即可得；

r2

(2)设P(居y),得/=1—父,—正〈九《世，代入两•声耳后可求得取值范围;

（3）设直线AC的方程为丁=丘+私4（玉,乂）,。（9,%），。（1，%），直线方程代入椭圆方程整理后可得

石+々,石々，求出AC中点。的坐标，再求得3点坐标，代入椭圆方程得左,加的关系式，结合韦达定理

中七三=1，可求得左，相得直线方程.也可设点A（玉,乂）,。（9,%），。（1，%），得3（2,2%）,代入

椭圆方程求得为，从而得D点坐标，利用。是AC中点（把AC坐标代入椭圆方程相减）求得直线斜率

后可得直线方程.

【小问1详解】

因为闺闾=4,所以片―尸=4，

因为E的短轴长为2,所以6=1,/=5,

2

所以E的方程为土+/=1.

5-

【小问2详解】

22

设P（x,y）,则（+/=1,/=1-q,-6WxW百，

易知耳（—2,0）,舄（2,0）,

所以两•巫=（-2_苍_,>（2_羽_曰=%2_4+/

尤24

=x1—4+1-----=—x2—3.

55

LL4,

因为—<x<^5，所以—3<gx—3<1,

所以两•运的取值范围是［—35.

【小问3详解】

方法一：由题意得直线AC的斜率存在，设直线AC的方程为

了=丘+机,4（%,%）,。（42，%），。（1，为），

y=kx+m.

得(1+5左之)J+io^mx+5m2-5=0,

所以A=(lOfcm)2-4(1+5fc2)(5m2-5)>0,即5廿_根2+]>。，

10km5〃，-5

X,+X,=---------7,X.X=-------k

121+5421-71+542

%+%2_5km

因为AC的中点为。（1,%），所以=1,①

21+5左2

"；*^^k^xl+x2）+m=k+m=y0.

因为点。为线段08的中点，所以3（2,2左+2加）,

21

将点B的坐标代入土+丁=1,得（左+加）2=—,与①式联立,

520

,_2A/5

卜=丁不

解得《或＜L均满足5/—7/+1>0,

亚

m=-----,m=—,

22

所以直线AC的方程为y=26》一好或丁=一述X+好，

52-52

即4x-2&-5=0,或4x+2后-5=0.

方法二：设点A（玉则3（2,2%）,由题意知直线AC的斜率存在，所以

将3点坐标代入E的方程，得g+4y：=l,解得九=±普，所以。1,±

若AC与05的中点重合，则西+々=2,以+为=±g

X；，

—+^1=1,

由点在上，得＜;两式相减,得上江+yf=0,

A,CE小』，

,y.-y%,+x

整理可得k=2=_才_f2

AC石一95（必+%）

时小2非

k

当。点坐标为|1,时，AC=--1

即4x+2岛-5=0或4x-25-5=0.

【点睛】方法点睛：已知椭圆[+4=1的弦中点坐标（%,%）,设弦两端点坐标为（X1,%）,（%,%），代

ab

（22

%-1

晓屏

入椭圆方程有,，两式相减得：

X2,^2_1

官十记」

。+,华一+（%+%），「%）=0,石时，z==A=—空上1=—"，即为弦所在

"b\-x2。（另+%）ay0

直线斜率.

19.在平面直角坐标系中，定义d（A,&）=max{N-司，|%-%|}为两点4（%,必）,5仇，％）的“切比雪

夫距离”，又设点P及直线/上任意一点。，称d（P，Q）的最小值为点P到/的“切比雪夫距离”，记作

（1）已知点P（L1）和点R（—l,4）,直线/：%=—1