广西柳州某中学2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试卷

广西柳州高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/=｛%|log2(x+l)<1},5=1x|x-5x+4>(|，则()

A.{x|x<l}B.{x|x<l}

C.{x|x<l^x>4}D.{x|-l<x<l}

2.已知i为虚数单位，23+i?3的虚部为（)

A.—iB.iC.-1D.1

l,x<2

3.已知函数/（%）=<x-l,2<x<3,且=则与=()

x2-7,x>3

A.1B.2C.3D.6

4.已知数列｛%｝对于任意p,qeN*,都有若％=也，则%=（）

A.2B.72C.4D.472

5.己知平面向量刃满足『=2,可=1,且3在£上的投影向量为-则£与书的夹角

为（）

71271…3兀c5兀

A.-B.—C.—D.—

3386

6.已知S”为等差数列｛%｝的前〃项和，若2%+3即=20,则几=（）

A.39B.52C.65D.78

7.在平面直角坐标系中，点P为圆。工+（了+2）2=1上一动点，点P至I」直线加x+y-2=0的

距离记为4,当机变化时，则d的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

222

8.点耳，匕为椭圆£:0+4=1（〃>6>0）的左、右焦点，过准线x=上与无轴的交点尸作

abc

直线/交椭圆于42两点.若四边形/明鸟为梯形，且对角线四,8鸟满足|/用-|朋卜|）闾

试卷第1页，共4页

则离心率e为（）

1百1D.号

A.-B.—C.一

332

二、多选题

9.已知函数/（x）=Gsin2x-2cos2x,则下列结论正确的是（）

A.“X）是周期为71的奇函数B.“X）的图象关于点对称

57r47r

C.“X）在?，一上单调递增D./（X）的值域是[-3,1]

63

10.等差数列{。“}中，G>0,则下列命题正确的是（）

A.若%+%=4,则5=18

B.若4+%=5,々3+。4=9,贝ij%+。8=17

C.若儿>0，$25<0，则

D.若品=%，则%>0

11.对于V尤eR,⑶表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3,[-2.7]=-3,记x=[x]+{x},

从而有04{X}<1,以下是真命题的有（）

A.{-2.3}=0.3

B.Vx/eR,若[刃=[川，则

C.不等式-320的解集为工«-叫0川[2,+8）

D.设〃eN*,则对VxeR有凶=口]

nJ\_n]

三、填空题

12.已知{与}是单调递增的等比数列，%+生=24,4&=128,则公比q的值是.

22

13.椭圆E:]+%=l（a>6>0）的上下顶点记为4，B2,在x轴上取一点P,记直线

3

交椭圆E的另外一点为点0,若直线4户，/睡的斜率K，色，有/能=-1,则离心率e的

试卷第2页，共4页

值是.

14.为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行

问卷调查，得到这5个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为再,3,巧,匕，%(具体数据

丢失)但已知这5个数据的方差为4,平均数为丁丁+丁二一1的最小值(其中尤+了=:，

3x+3y3［xy5

x/>0)且这5个数互不相同，则其最大值为，数据的极差为.

四、解答题

15.世界杯足球赛备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的

喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本,并将这100人按年龄分组:第1组

［20,30),第2组［30,40),第3组［40,50),第4组［50,60),第5组［60,70］,得到频率分布直

方图如图所示.

(1)估计样本数据的上四分位数(也称第三四分位数，第75百分位数)

⑵若将频率视为概率，现在要从［20,30)和［60,70］两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从

这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在［20,30)组的概率.

16.在数列｛"｝中，=1,6“=2一(〃^2〃eN"),数列｛叫满足”eN".

(1)证明数列｛%,｝是等差数列并求出通项公式.

(2)数列｛4｝的前〃项和为S“，问$“是否存在最大值?若存在，求S“的最大值及取得最大值

时〃的值；若不存在，请说明理由.

17.在V/8C中角48,C分别对应边长记为a,6,c,AB=AC,8C=6,取蔡=(26+c,-cosC),

〃=(a,cosZ),已知力/；.

试卷第3页，共4页

⑴求/N.

(2)在边BC上取一点。，使为锐角且有与V/BC的外接圆半径之比为木，设

点E为△/£0的内心，求的面积.

18.如图，V/3C和△D8C所在平面垂直，且AB=BC=BD,NCBA=NDBC=120°,求:

(y)AD1BC-,

⑵直线AD与平面BCD所成角的大小；

(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.

19.双曲线£的实轴两端点记为4卜板,0)，4(0',0),以右焦点尸为圆心，半径为近的

圆与渐近线相切.

⑴求双曲线E的方程.

⑵过点尸任意作直线4交曲线£于同支两点记为43.点O为坐标原点，求V/O3面积的

最小值.

(3)过点尸作直线4交曲线E于异支两点记为C，D设直线X、分别与直线％x轴相交于点

M,T问：在实轴44上是否存在定点T使|小但。卜明口”^恒成立，若存在，则求出对

应定直线x=f,若不存在，则说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DCCCBBBBCDABD

题号11

答案BCD

1.D

【分析】根据对数不等式以及一元二次不等式求集合45,进而可求交集.

【详解】由log2(x+l)4l可得0<x+lW2,解得可得N=｛x|-l<x41｝；

由一一5芯+4>0,解得x>4或尤<1,可得5=｛x|x〉4或x<l｝；

所以/|"|2=｛刈-1<》<1｝.

故选：D.

2.C

【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简23+i23,即可判断其虚部.

【详解1因为23+i23=23+i4x5+3=23+(i4)5Xi3=23+i3=23-i,

所以23+i?3的虚部为-1.

故选：C

3.C

【分析】根据分段函数解析式分段讨论得到方程(不等式)组，解得即可.

l,x<2

【详解】因为/(x)=x-l,2Wx<3,且〃x0)=2,

x2-7,x>3

2</<3吓x0>3

则x°-l=2或.7=2,解得

故选：C

4.C

【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即得.

【详解】由数列｛4｝对于任意“qeN*,都有<+4=4%

取p=q=i，则。2=%y=&x亚=2,

取P=q=2,则为=出，"2=2x2=4,则为=4.

答案第1页，共14页

故选：c

5.B

【分析】根据投影向量公式，与题中给出的投影向量比较，可求出方石=-1,

用公式cos，5=加求出7与B夹角余弦值，确定夹角大小.

a-b.1_

【详解】因为5在4上的投影向量为1瓦”=」7°，

1«14

a-b_1

则a*b=—11

一atb1

cosci.br=—

2,

耶I

所以&与B的夹角为手.

故选：B.

6.B

【分析】由2%+3知=20可得%=4,后由等差数列性质结合前〃项和公式可得答案.

【详解】设｛%｝公差为d,由2%+3%=20,则

24+34]=54+30d=20=>a[+6d=4n%=4.

则几=I%"”）=受产=13%=52.

故选：B

7.B

【分析】根据直线过定点以及圆上点到直线距离的最值计算可得结果.

【详解】易知。：/+（夕+2）2=1的圆心为（0,-2）,半径为"1；

且直线mx+y-2=0过定点（0,2）,

当圆心与定点的连线与直线加无+y-2=0垂直时，圆心到直线距离最大为4,

因此可知圆。上的点P到直线距离的最大值为4+1=5.

故选：B

8.B

【分析】由椭圆的定义，结合三角形相似成比例，列出等式求解即可.

答案第2页，共14页

【详解】

由椭圆定义可得：|“周+|/阊=2。，IBFJ+|BF2|=2a,

又|/公卜仍巴卜馆耳，联立可得：忸用=2|/阊，

又四边形/8式再为梯形，可知/巴||

j.

斤以附|阿|

2

一1

所以V—二彳，解得：/=302,

a2

——+c

c

所以/°二1,

所以e二^^，

3

故选：B

9.CD

【分析】先化简,/(x)=2sin(2x-胃-1,A选项利用奇函数若％=0,则/(。)=0,验证；B

JT7TTVJT

选项令2x——=左兀，求出/(%)对称点坐标；C选项通过令——+2/CTI<2x——<—+2kjr,求出

6262

/(%)的增区间，再判断是否正确；D选项通过2sin(2x-34-2,2],确定/(%)的值域.

【详解】/(x)=A/3sin2^-2cos2sin2x-cos2x-l=2si{2x()-,

A选项：/(%)周期为%J(O)=-2不是奇函数，A错误；

B选项：令2%—二=而，左EZ,解得：x=—+—,A;GZ,

6122

当上=0时，x=—,

12

所以y=2sin(2x-j关于11,oj对称，人久)关于"|,-11寸称，B错误；

答案第3页，共14页

JTJTITTTTT

C选项：令——+2kji<2x——<—+2kji,keZ,解得:—kit<x<—+kTi,

26263

兀71

所以f(x)增区间为--+k7i,-+k7i,左eZ,

o3

57r47r

当k=l时，则xe?，芋，C正确；

D选项：XER,则2sine[-2,2],/(x)e[-3,l],D正确.

故选：CD.

10.ABD

【分析】利用等差数列的性质，对于A,$9（%+%）=9（/+%）,计算即可；对于B,

922

由已知计算数列公差，再求值即可；

对于C,结合数列单调性比大小；对于D,由%>0,%。=0,得际=11（"；%）=］嵯〉0.

【详解】等差数列｛%｝中，4>0,设公差为〃，

若%+%=4,则$9（%+佝）=93+%）=］8,A正确；

22

若%+生=5,%+=9,贝!)(生+2)—(4+“2)=9—5—4d,得d=1,

%+例=+g+1勿=5+12=17,B正确;

若几=15（a；%5）=i5%>0,%=25（。/）=2%<0,所以公差］<0,

当。9>0时,有?>'>0，则有ai>«9>

当为<0时，有%+。9=2%>0,得出>一。9>0，

所以4>-。9>°，则有4；>嫉，C错误；

若S9=Si。,贝!Ja10=0f

因为4>0,所以际=D正确.

故选：ABD.

11.BCD

【分析】利用定义计算可得｛-2.3｝=0.7,即A错误；由卜］=［川易知阳〉之间的差值小于1,

可得B正确；解不等式可得［x］2；或［司4-1；再结合定义可知C正确，依据定义可证明D

正确.

答案第4页，共14页

【详解】根据x=[x]+{x}可得-2.3=[-2.3]+{-2.3}=-3+{-2.3},因此{-2.3}=3-2.3=0.7,

可得A错误；

由[司表示不超过x的最大整数可得当[x]=[y]=zeZ,则x”(z,z+l),

因此可得x-夕e(T,l),即B正确；

易知不等式2[x『-[x]-3>0可分解为([x]+l)(2[x]-3)>0,解得[x]'或[x]<-1；

结合国的定义可得x«y,0)U[2,+«),即C正确；

xxxxx

由x=卜+,则X="+n

nnnnn

x

即[x]=,+n,两边同时”并取整可得

n

M=x1I由于xX1X

+<1,可得n〈几，一n<1;

nnnnnnn

x

所以-n=0,

nn

X

即M,即D正确.

n=n

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数[x]的定义，得出国与区+1至少相差L,

nnn

可得出结论[区]

n\n

12.2

【分析】根据等比数列的定义与性质求解.

1。4+4=24仿4=8[a.=16

【详解】由等比数列性质知。q=%。5,联立，解得“或。

=12y=16=8

因为{%}是单调递增的等比数列，所以[?[：6,即4=£=2.

故答案为：2

答案第5页，共14页

13.—/0.5

2

【分析】设尸亿0川/0）,则直线4尸为y=-，x+6,联立直线与椭圆方程，求出。点坐标,

3A23

即可表示出心h,由即可得到再由禺心率公式计算可得

【详解】设尸&0）120）,又用（0涉），（0,-/7）,则直线8f为y=-；x+6,

尸-纥+6

22?

由＜消去y整理得=+1-±x=o,

/+/―1att

解得▼熹bt2-a2b

a2+t2

22

bt-ab衣bt2—a2b+a2b+12b

2h+b

所以匕=-?h,号=七£—/+/_2t2b_tb

c2“2

t2at2a2t2ata

/+»a2+t2

.3btb3b3

因为左i.左2=一:，即—x-■=一_7，即F=一，

4ta24a24

所以椭圆的禺心率e=—

a2

【分析】先得到平均数为9,然后使用方差的定义推出数据的值，即可得到答案.

【详解】对x+y=g,x/>0,有

222422

----+—^-1<-----+------1=------1=--1=9

3x+3y3jxy3x+3y3x+3yx+y£

5

i22

且当工二'=定时，有+T7=T=9,所以％1，%2，％3户4，毛的平均数为9.

103x+3y3Vxy一

由于这5个数据的方差为4，故(芭-9)2+(%2-9)2+(工3-9)2+(%4-9/+(%5-9y=20.

答案第6页，共14页

由于这5个数据两两不同，所以只可能有{再-9凡-9户3-9,尤4-9此-9}={0,-1,1,-3,3}.

从而{玉户2，退户4，尤5}={6,8,9/0,12},这就得到最大数据为12,极差为12-6=6.

故答案为：12,6.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用方差的定义以及数据互不相等作为关键条件推

出数据.

15.（1）58.75

⑵］

【分析】（1）根据频率和为1可求得年龄在［50,60）对应的频率；根据百分位数的估计方法直

接求解即可得到结果；

（2）根据分层抽样的原则可确定每组中抽取的人数，采用列举法可求得结果.

【详解】（1）设年龄在［50,60）对应的频率为a,贝I］（0.01x2+0.02x2）x10+。=1,解得：。=0.4,

­■•年龄在［20,50）对应的频率为（0.01x2+0.02）x10=0.4,

年龄在［20,60）对应的频率为0.4+0.4=0.8,

样本数据的上四分位数位于［50,60）,设其为x,

则0.4+（x-50）x*=0.75,解得：x=58.75,即样本数据的上四分位数为58.75.

（2）•••年龄在［20,30）和［60,70］对应的频率之比为0.01:0.02=1:2,

，抽取的6人中，年龄在［20,30）的有6、!=2人，记为见"；

年龄在［60,70］的有6*：=4人，记为4SC,。；

从抽取的6人中，随机抽取2人，则有（加,〃），（n,B）,

（«,C）,（〃,D）,（4C）,（A,D）,（B,C）,（B,D）,（C,D）,共15个基本事件；

其中满足至少有1人的年龄在［20,30）组的有：

（n,C）,（n,D）,共9个基本事件；

93

•••抽取的2人中至少有1人的年龄在［20,30）组的概率P=—=--

16.⑴证明见解析，a“=12-2”

答案第7页，共14页

⑵s“存在最大值，最大值为30,此时〃=5或〃=6

【分析】（1）证明出相邻两项的差为常数，即可得到结果;

（2）根据数列的单调性以及最值可求得结果.

['11177

【详解】（1）因为“=2-二，所以1一年=1一2--

MIbn-l）如

22%22=2如

则

1-601-儿_]1-6“12

42

因为4==,所以「7=1。，

51-仇

2〜

又％=-、—~T>所以0"一%=-2,q=10,

1一久

所以｛%｝是以首项%=10,公差"=-2的等差数列,

所以〃〃=%+(〃-l)d=10+(H-1)X(-2)=12-2H；

（2）根据等差数列的前〃项和公式可得S.=〃（4+%）=〃（10+12-29=1]“-九

22

1111一

对于二次函数y=-x,+llx,其对称轴为尤=-2x（—1）=5=5.5，

因为〃eN*,当〃=5或〃=6时，S,、取得最大值,

当”=5时，$5=11x5-52=30,当〃=6时，$6=11x6-62=30,

所以S"存在最大值，最大值为30,此时〃=5或〃=6.

2兀

17.（Dy

⑵百

【分析】（1）先根据两向量平行得到一个等式，再根据正弦定理以及三角形内角和为兀可求

得结果；

（2）先根据外接圆半径比例得到各自的外接圆，从而得到的长，再根据三角形面积公

式得到内切圆的半径，最后利用三角形面积之间的关系得到结果.

【详解】⑴丽=（22+c,-cosC）,n=（a,cosA）,/〃；,

所以（26+c）cosA--acosC,

根据正弦定理可变形为：2sin3cos4+sinCcosA=-sinAcosC,

移项可得：2sin5cos4+sinCeos/+sin/cosC=0,

答案第8页，共14页

根据两角和的正弦公式可得：2sinBcosN+sin(C+/)=0,

因为4+8+。=兀，所以2sinBcos/+sinB=0,

因为sinBwO,所以2cos4+1=0,BPcosA=一一,

2

所以乙4=学2兀

(2)设V48C外接圆的半径为《，△48。的外接圆半径为鸟,

R,1

所以兄=耳

根据外接圆半径公式用=十二，

2smz

在V/BC中，a=BC=6,sinA=sin—=—

32

则K=2G,R2=2,

271

71--------

在V45。中,

ZB=ZC=——工，

26

所以/5=/C=2百，SAABC=^AB-ACsin^=3^/5",

AT)

在△/AD中，--------=2凡，则4D=2,

sinNABD

4B?+BD2-心

cosZB=―,解得3。=2或=4,

2ABBD2

因为N/D8为锐角，所以50=4,

因为点E为△48。的内心，设△4RD的内切圆半径为r,如图所示:

根据三角形面积公式S.ABD=^AB+BD+AD)r,

又3=%皿历2瓦

解得尸=-1,

'△AEC=SAABC-S"BE-SBCE=3G--AB-r-*Cr=

22

所以的面积为G.

18.⑴见解析

答案第9页，共14页

(2)45°

【分析】（1）建立空间直角坐标系利用空间向量法求出异面直线所成的角；

（2）利用空间向量法求出线面角；

（3）分别求出两个平面的法向量，法向量夹角的余弦值即为两个平面夹角的余弦值.

【详解】（1）设48=1,作于点O,连接

因为VABC和LDBC所在平面垂直，平面4BCPI平面DBC=OC,

所以ZO_LOC,AOVOD,

因为N3=BC=BD,ZCBA=ZDBC=120°,

所以。O_LOC,

以点。为原点，8,OC,Q4的方向分别为x轴，V轴，z轴方向，建立空间直角坐标系如图

AI5BC=O,

所以4D1BC；

（2）设直线工。与平面BCD所成角的大小为6,

由（1）可得而=,显然或=（0,0,1）是平面BCD的一个法向量,

1—2,u,----2--J

6

sin。=

所以直线4D与平面3CD所成角的大小为45。；

答案第10页，共14页

(3)由(1)可得

设平面ABD的法向量为%=(x/，z),

令Z=l,则％=1/=6，则及2=(1,6,1),|%|=,俨+]2=«,

所以々"MOXI+OX百+1x1=1,

COS々，几2

所以平面和平面8DC的夹角的余弦值口.

(2)272

⑶7(1,0),x=1

【分析】(1)根据圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，列出等式得出6,c即可

求解；

(2)对直线4斜率进行讨论，通过弦长公式法算出和点到直线的距离公式算出坐标原

点O到直线4的距离即可求解；

(3)设直线4的方程，与双曲线的方程联立，由等式成立，可得7M为7c的角平分线,

可得直线TC,ZD的斜率之和为0,求出直线7C,77)的斜率之和的代数式，利用韦达定理整

理可得参数的值.

22

【详解】(1)设双曲线E的标准方程为・-彳=1(°>0,6>0),焦点尸(c,0),

则以右焦点尸为圆心，半径为近的圆的方程为(尤-4+/=2,

双曲线E的渐近线方程为y=+-x,

根据圆与渐近线相切得,

答案第11页，共14页

a

焦点尸（G0）到渐近线的距离d=,V2,得b=6,c=2,

22

所以双曲线£的标准方程为上-匕=1.

22

（2）由（1）知尸（2,0）

22

代入、一?=1中得y=±亚,即|/同=2行,

所以以