湖南省联考2025届高三10月联考数学试卷及答案

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写

在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷(选择题)

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1.己知集合人={x|ln(x-1)20},集合B={x|x2-3x<0},则AUB=()

A.(0,2]B.[2,3)C.(0,+oo)D.[2,+oo)

2.已知i为虚数单位，复数z满足|z+l|=|z+i|=75,则|z|的值为()

A.1B.&C,&或2eD.1或0

3.已知向量a=(zo),b=(AY).若向量b--在向量台上的投影向,=G，O),则|5|=()

A.V3B.V7C.逗D.1

4.已知函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且在区间[1,+8)上单调递减.设a=f(-lnl.1),b=

04

f(2),C=f(log25),则()

A.a>b>CB.b>C>a

C.C>b>aD.b>a>C

5.已知圆锥的母线长为定值凡当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（）

A-7RB.在C.1RD.1R

6.已知函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x+l)f'(x)<0的解集为()

小

0|11\tz"

A.|-s,-1)U|；2|B.(-co,-1)U(2,+8)

C.(—1,1)U(3,+8)D.|—〃一))U(2.+s)

7.若正项等比数列｛an｝满足anan+1=22n(neN*),则数列｛an｝的前4项的和S4的值是()

A.15V2B.—C.8V2D.6/+6

4

8.已知小明射箭命中靶心的概率为g且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中

两次的概率是()

A.上B.-C.丝D.七

二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符

合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

9.如图，在直三棱柱ABC—AiBiCi中，AAi=2,AB=BC=1,ZABC=120°,侧面AAiJC

的对角线交点0,点E是侧棱BBi上的一个动点，下列结论正确的是()

A.直二棱柱的侧面积是4+2/3

B.直三棱柱的外接球表面积是4T

C.三棱锥E-AAiO的体积与点E的位置无关

D.AE+ECi的最小值为2/2

10.已知AABC的内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的有()

A.^a2tanB=b2tanA,则a=b

B.若cos2r-士.则此三角形为直角三角形

2

C.若a=3,b=4,B=三则解此三角形必有两解

D.若仆ABC是锐角三角形，则sinA+sinB>cosA+cosB

11.已知数列｛an｝的首项为a1=1,且9aen+i=an-4an+1,数列｛七｝、数列的匕代出小数

歹M黑」的前n项和分别为Sn、Rn、Tn，则()

A.包LL<[B.sn<111-4C.Rn<：D,Tn<

三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)

第n卷(非选择题)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

12.已知x>1,y>0,且x+二-乙则，+y的最小值是_____.

V，一1

13.已知函数f(x)=sin(2TWX)(w>0)在区间8]上有且仅有5个零点，则w的取值范围

是.

|x+m\,x<0,

14.设函数/(x)vi"_给出下列四个结论：

——yjx.x20.

①当m=。时，函数f(x)在(-8,+8)上单调递减；

②若函数f(x)有且仅有两个零点，则m>0；

③当m<0时，若存在实数a,b,使得f(a)=f(b),则|a-b|的取值范围为(2,+oo)；

④已知点p(-m,0),函数f(x)的图象上存在两点Qi(xi,y〔),Q2(X2,y点xi<x2<0),QiQ关

于坐标原点。的对称点也在函数f(x)的图象上.若|pQi|+|pQ2|=,则m=1.

其中所有正确结论的序号是—.

四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn，s5=62,s10=2046,数列瓦｝满足b〔+2b2+

…+也=---------

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)令d=，求[G]的前n项和兀.

16.(15分)如图，在三棱锥P—ABC中，A1，B1，C1分别是侧棱PA,PB,PC的中点，AB1BC,

AiC平面BBiCiB

⑴求证：平面AiBiC1平面AiBiCi；

(2)如果AiC=BiC,AB=BC=4,求二面角一BB1-C的余弦值.

17.(15分)近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A,B

两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.

⑴该校学生甲、乙、丙三人某周均从A,B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该

周选择A健身中心健身的概率分别为!求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身

的概率;

(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的

其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为L若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身

中心的概率为若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为求丁周日选择B健身

中心健身的概率;

(3)现用健身指数k(kC[0,10])来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低

于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1

分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，

则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n.若抽

取次数的期望值不超过23,求n的最大值.

参考数据：0.9829x0.557,O.9830~0,545,0.9831〜0.535.

18.(17分)已知椭圆C：三+三1①〉1〉0)的离心率为二过点M(l,0)的直线1交椭圆

C于点A,B,且当11x轴时，|AB|=V3.

⑴求椭圆C的方程；

(2)记椭圆C的左焦点为F,若过F,A,B三点的圆的圆心恰好在Y轴上，求直线1的斜率.

19.对于四个正数机、〃、p、q,若满足加彳<叩，则称有序数对(私〃)是(p,q)的"下位序列”.

(1)对于2、3、7、11,有序数对。,11)是(2,7)的“下位序列”吗？请简单说明理由；

⑵设a、b、c、d均为正数，且是(c,d)的“下位序列”，试判断1、:、'…之间

的大小关系；

(3)设正整数n满足条件：对集合｛相Q<m<2024,mEN)内的每个机，总存在正整数k,使

得(见2024)是低〃)的“下位序列”，且(匕〃)是(冽+1,2025)的“下位序列”，求正整数n的

最小值.

数学参考答案

1.【答案】C

【解析】由ln(x-1)>0可得：x>2,所以A=[2,+oo),

由x2-3x<0可得：0<x<3,所以B=(0,3),

所以AUB=(0,+8).

故选：c.

2.【答案】C

【解析】设z=a+bi,a,beR,贝！Jz+1=(a+1)+bi,z+i=a+(b+l)i,

因为|z+1|=|z+i|=V5,

所以-｛厂:或

(a2+(b+I)2=5b-1=-2

当a=b=1时，|z|=&；当a=b=-2时，|z|=2&.

故选：C

3.【答案】D

【解析】解：由已知可得，b-在a上的投影向量为普哈=言日="=(40),

又hr-在含上的投影向量C:(-,0),所以入=

所以间=/+(3=JU)+(3=乒=1,D正确.

故选：D.

4.【答案】D

【解析】由f(x)=f(2-x),得到对称轴为x=1,则a=f(-lnl.l)=f(2+lnl.1),

04

而1<2-<2+lnl.1<log25,又f(x)在［1,+8)上单调递减,

则葭2。4)>f(2+lnl.1)>f(log25),得b>a>C.

故选：D

5.【答案】B

【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,则d+h2=R2,

可得/=R2-h2,hG(0,R),

则圆锥的体积y(A)=：tr2h=、(屋一炉M=则VI=：it(R2一3川),

当0<h<：R时，Vlh)>0；当斗R<h<R时，▽⑺)<(I：

则V(h)在(0,二-R)上单调递增，在内单调递减，

可知当八二队即,三RIJ,圆锥的体积取到最大值.

a1

故选：B.

6.【答案】A

【解析】由函数f(x)的图象可得：

当xe(一8,§时，函数单调递增，则f'(x)>o,

当XW6,2)时，函数单调递减，则f'(x)<o.

当xG(2,+8)时，函数单调递增，则f'(x)>0,

由(x+l)f(x)<0=｛(X)>:①或(:②

X।_LjUX।_LU

解①得，X<-1,解②得，：<x<2,

综上，不等式(X+l)f'(x)<0的解集为(―8,-1)u；,2).

故选：A.

7.【答案】A

【解析】设正项等比数列｛a"的公比为q>0,

因为anan+i=22nr”、•)，所以上—一__=4=q2,

2n

解得q=2,所以a,x2=2(an>0),

所以an=2三\所以a1=2、1，

所第,=空好=15近，

所以数列｛an｝的前4项的和S4的值为15/2.

故选：A.

8.【答案】D

【解析】由已知命中的概率为3,不命中的概率为2,射击4次，命中两次,

故概和=武(Tx(92=芸

故选：D.

9.【答案】ACD

【解析】AAABC中，AC=4、iz-2xlx1x(一卜佰

所以直棱柱的侧面积为“+I+同X2=4+2匕，故A正确；

BAABC外接圆的半径r="-1.

所以直棱柱外接球的半径R=

则直三棱柱外接球的表面积S=4TR2=8t,故B错误；

C.因为BBJ/AAi，且BBiC平面AAiJC,AAiu平面AARiC,所以BBi〃平面AAiJC,

点E在BBi上，所以点E到平面AAiCiC的距离相等，为等腰三角形ABC底边的高为

且AAAiO的面积为！>2>——,

则三棱锥E-AAiO的体积为定值2x匚乂2_:，与点E的位置无关，故C正确;

D.将侧面展开为如图长方形，连结ACi,交BBi于点E,

此时AE+EC1最小，最小值为、厂二1M-入？，故D正确.

故选：ACD

10.【答案】BD

【解析】对于A：因为a2tanB=b2tanA,由正弦定理可得siMAtanB=sin2BtanA,

则7n；人、in，H7nA

又A,BG(O,TT),则sinA丰0,sinBHO,2A,2BC(0,2TT),

可得业1--整理得sin2A=sin2B,

又因为A+BG

可得2A=2B或2A+2B=TT,即人=B或A+B=-,

所以a=b或a?+b2=C2,故A错误；

对于B：因为上二二—>则2sinC+2cosAsinC=2sinB+2sinC,

22c2sinr

所以cosAsinC=sinB=sin[ir—(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC=0,

在三角形中，sinA>0,所以cosC=0,所以C=J

则此三角形为直角三角形，故B正确；

对于C：因为a=3,b=4,B=三，所以asinB=±,所以asinBVaVb,

a2

则解此三角形只有一解，故c错误；

对于D：因为AABC是锐角三角形，

所以0VC〈m所以《VA+B<n,

所以0、—B<A<-,所以sin(—8)(sinA,即cosB<sinA,

同理cosA<sinB,

则sinA+sinB>cosA+cosB,故D正确.

故选：BD.

11.【答案】BCD

【解析】若数列｛aQ中存在某项ak=0,由9anan+i=an-4an+i可推得ak-i=ak+i=0,

进而｛aQ所有项均为0,与a1=1矛盾，故数列｛aQ均为非零项.

由9anan+i=an-4an+i两边同时除以anan+i,可得9=--------

口・+1CU

所以」一+3=4|—+“二+3=4。0,

故数列｛£+3｝是以4为首项，公比为4的等比数列，所以2+3=4%即时=白，

对于A,因为an=—,可得口？=：，a3=',11>矛盾，所以A错误；

"it61a-»615

对于B,由Sn=(41_3)+(42—3)+…+(纳-3)='(纳一1)-3n=?二一：一3n<

所以鼠-4成立，所以B正确；

对干C,由=(.一；:…7=[-一号9

所以a=H(1-42%)+J'_43%)+…+QnZ_4n+1-3)]=J(1-/c)<；>所以C正

确；

对于D,因为悬=\又=：+热+?+…+£'贝心「=++盘+g+…+券

错位相减得三又=2+l+l+l...+±--l-=由卜。)-±

4"44上<♦4n14”.HAJ*4«4»»♦»

■

则品=g-*x(袅+^77)<[-；x(兀X+菰)=J成立，所以D正确，

故选：BCD

12.【答案】3+2五2日+3.

【解析】由x+3=2,得x-1+工=1,

VV

因为x>1,y>0,

所以x-1>0,y>0,

所以J_+y=(x-1(二+y)=3+(x-1)y+工>3+2V(x-1)y.-2=3+

,i-vA«I-'(x1)y/(x1)y

2V2,

当且仅当(x1)Y即x=V?,y=2+V"Ht,等号成立，

/(x-l)vJ

所以'_+y的最小值是3+272.

故答案为：3+2。2

13.【答案】Yw<

Q24.

【解析】因为f(x)=sin(2twx),所以函数f(x)的最小正周期r=三=占3>0).

因为f(x)在区间。18]上有5个零点，

所以2T<18<-T,即士<18<—,

可得1W3V-：

Q2K

故答案为：1<<1

QW

14.【答案】②

【解析】当m=0时，X20时，f(x)=0,故在(-8,+8)上不是单调递减，①错误；

对于②，当m=0显然不成立，故mW0,

当x20时，令f(xi=0，即一二：、二=0,得x=0,x<0,|x+m|=0=>x=-m,要使力ii

有且仅有两个零点，则-m<0,故m>0,②正确，

/-x-m.x<0,

对于③，当m<。时,fg,7...,,、，此时fW在［-8,0)单调递减，在［0,+8)单调递

--Vx.x20

若=由F==x=2,故|a-b|>2,所以|a-b|的取值范围为(2,+8)；

③正确

对于④，由①③可知：m40时，显然不成立，故m>0,

要使Qi(xi,yi),Q2(X2,y2)(xi<x2<0),Qi,Q2关于坐标原点。的对称点也在函数f(x)的图象上,

则只需要*>0/=-k-|11|的图象与*20,打工)一血、G有两个不同的交点，如图：

故xi<-m<X2<0,

IPQiI+IPQ21=-m-X]|+C|x2+m|=一Q(m+x»+「2(x2+m)=—=x2-x[=

3

2,

由对称可得f(—X。=—y/—X]——|—X|—m|=X]+m,

..___V2m____2_________J"m2

化间可得Xi+m+0一正五=0，故Q-Xi)----V-Xi-m=0=>V~xi=-------

f(—X2)=----,-X2=一|—X2-m|=_X2_m,化简得(，一x2)2+{—x?-m=0

v*5oi▲fi/一

-fI-TH*E

所以、F—------

VSR.,上一on▲11__...

41ft.J-4,401

由于—XI,—X2均大于0,所以□；=」_+-----,2丫---,

2

Witx2-X,=(，-xj-(7-xJ=

Vim1,,V111

=-T—二娥+4m=-+4m3

2J22J2

由于m>0,f(m)="m4+4m3为(0,+8)单调递增函数,且f(l)=

此时X2—Xi=4+4m，=g,因此m=1,④正确，

故答案为：②③④

=62

15.【解析】⑴由题意知，「承，即{「一.

(5,n=2046勺.2046

解得f：1；，所以an=aiqn-1=2,

由瓦+2b2+…-F(n-l)bn_x+nbn=F，,

-

得比+2b2+•••+(n-l)bn_!='」-(n>2),

两式相减，得nbn="W"F_r吗M7=n(2n-1),

所以仄-2n-1,

当n=1时，bi=1满足上式，

故，=2n-1.

2由1：知，an=2'bn=2n—1,所以Cn=上山一二=n•2n,

2.2.

123n1n

Tn=1.2+2.2+3.2+...+(n-1),2-+n.2,

234nn+1

2Tn=1.2+2.2+3.2+...+(n-1).2+n.2,

两式加减，

得一匚=21+22+23+...+2n-n.2n+1=-n,2n+1=fl-n).2n+1-2,

1—z

所以Tn=(n-1).2n+1+2.

16.【答案】(1)证明见解析,2带

【解析】(1)因为A「BrG分别是侧棱PA,PB,PC的中点，

所以A〔Bi〃AB,B〔G〃BC,

因为AB_LBC,所以AiBi_LB〔Ci，

因为AiC_L平面BBiGC,BiGC平面BBiGC,

所以AiC_LBiCi，

又A〔CnAiBi=Ai,AiC,A-|B-|C平面A〔BiC,

所以B1C1_L平面A1B1C,

又因为BiGC平面A1B1G，

所以平面A〔BiC_L平面A1B1C1；

(2)因为A〔C_L平面BBiGC,BC,BiCC平面BBiGC,

所以AiC_LBiCAC_LBC,

因为AB=BC=4,所以A1B1=BiG=2,

所以A1C=B1C=V2.

因为G平面A1B〔C,B1C〔//BC,

所以BC_L平面A1B1C,

又B〔CC平面A〔BiC所以BC_LBiC,

所以CAi,CB,CBi两两垂直，

如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，

则B(4,0,0),C(O,O,O),Ai(0,0,V2),B1(0,V2,0),

故砥=(0,y/2.-y/2),A^B=(4,0,-V2).

设平面A1BB1的法向量为n-T=(x,y,z),

则有忙色=6-9=°,可加I=(1,2〃2V2).

(n'AiB=4x-v2z=0

因为A〔C_L平面BBiGC,

所以7q可=(0,0,寸2)即为平面BBiJC的一条法向量，

故cos伍，可)=得翻|=城E=*

所以二面角A1-BBl-C的余弦值R一.

17.【解析】(1)由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率

p=X(1-X(1-.)+(1V)X，X(1-：)+(1，)X(1-：)X；=.

(2)记事件C：丁周六选择A健身中心，事件D：丁周日选择B健身中心，

则P(C)=P(C-)=P(D|C)=1-=>(D|C-)=1-=1,

由全概率公式得P(D)=P(C)P(D|C)+P(C-)P(D|C-)=1x2+1x1=12.

故丁周日选择B健身中心健身的概率为U.

(3)设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为p,贝巾=

0.02,

设抽取次数为X,则X的分布列为

X123n-1n

pp(1-P)P(1-P)2P(1-0-2P(1-PL

故E(X)=p+(1-p)px2+(1-p)2px3+...+(1-p)n—2Px(n-1)+(1-p)n—1xn,

又(1-p)E(X)=(1-p)p+(1-p)2px2+(1-p)3px3+...+(1-p)n-1px(n-1)+

(1-p)nXn,

两式相减得pE(x)=p+(1-p)p+(1-p)2p+...+(1-p)n-2p+(1-p)n—1p,

所以E(x)=1+(1-P)+(1-p)2+...+(1-p)n—2+(1-p)n-1

i-(l-p)"_l-Cl-