湖南省衡阳市衡阳县某中学2024-2025学年高三年级上册11月期中考试数学试题（含解析）

衡阳县一中2025届高三上学期期中考试

学

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.已知集合用={%|小工0},（2={%6刈|%|工2},则MClQ=（）

A.{-1,0,1}B.[0,1]C.（-2,1]D.{0,1}

2.已知复数2=H，则万表示的点所在象限是（）

N十1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知命题p：V%ER,ax2—ax+1>0；q：BxER,/一%+a=0,均为真命

题，贝Ua的取值范围是（）

A.（—8,4）B.[0,4）

C.（0,i]D.[0,1]

4.已知同=1,|讨=",且五一行与2垂直，则石与石的夹角为（）

A.60°B.30°C.135°D.45°

5.椭圆^■+[=!.,若椭圆上存在不同的两点M,N关于直线y=3久+m对称，则

实数m的取值范围（）

A.（―竽,孚）B.（一竽，竽）C.（一日，竽）D.（一字，岁）

6.某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙

省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的

景区都有的概率是（）

AB.3C.|D.1

7.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计

时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙

子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6,沙子体积占该沙漏容积的《，则沙

子堆积成的圆台的高（）

R/—4

A.1B.-C.73D.-

8.已知函数/（%）=sin%%+cos4^%—焉在（0,号上有且仅有两个零点，则3的取

值范围是（）

A.亭|]B.g.1）C.（|-]D.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）

9.造型，可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐

标原点。，且C上的点满足横坐标大于一1,到点F（l,0）的距离与到定直线久=a

（a<0）的距离之积为1,则（）

A.CL=-1

B.点（湍,0）在C上

c.C在第一象限点的纵坐标的可以为]

D.当点（%o，y（））在C上时，yo>（Xo+

10.如图，边长为1的正方形4BCD所在平面与正方形2BEF在平面互相垂直，动

点M,N分别在正方形对角线2C和BF上移动，且CM=BN=a（0<a<M）,则下

列结论中正确的有（）

A.BaG（0,72）,使丽=痴

B.线段MN存在最小值，最小值为净

C.直线MN与平面2BEF所成的角恒为45。

D.Vae（O,"）,都存在过MN且与平面BEC平行的平面

11.设正项等比数列的公比为q,前〃项和为%,前〃项积为Tn,则下列选

项正确的是（）

A.S9=S4+q4s5

B.若72025=72020，则。2023=1

C.若£1逆9=4,则当遍+a看取得最小值时,西="

D.若（a催+1）">7。则的<1

第n卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

31

12.已知2a+b=l（a〉0,b>0）,则R+时■的最小值为.

13.已知某三棱台的高为2小，上、下底面分别为边长为4群和6烈的正三角形,

若该三棱台的各顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为.

14.已知/（%）=｛野'葭*；，若M，c互不相等，且/⑷=/㈤=/©，则a+

2

b+J的范围是.

四、解答题(本题共5小题，共77分)

-1

15.(13分)已知数列｛a＞和等比数列出下,斯=1+亚行，若｛a〈的最大项和

最小项分别是｛g｝中的人2-1和/一9的值.

⑴求数列｛既｝的通项公式；

(2)若/=-1--b,求数列｛”｝的前〃项和.

un,n

16.(15分)如图，在四棱锥P—4BCD中，平面P4D1平面ZBCD,PA1PD,AB

LAD,PA=PD,AB=1,AD=2,AC=CD=木.

(1)求证：PD1平面P4B.

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

(3)在棱R4上是否存在点M,使得BM//平面PCD?若存在，求出黑的值若不存在,

请说明理由.

17.(15分)在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就

餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1：1,现

将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为，喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生

认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20

人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.

男生女生合计

喜欢食堂就餐

不喜欢食堂就餐10

合计100

(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值a=0.001的独立性检验，分析学

生喜欢食堂就餐是否与性别有关；

(2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号

两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套

餐的概率为小若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求

甲同学星期四选择②号套餐的概率.

参考公式：%2=9+以；黑渣装+砌，其中律=a+b+c+d.

a0.10.050.010.0050.001

XQC2.7063.8416.6357.87910.828

18.(17分)如图，已知椭圆C:，+，=l(a>5>0)过点P(3,l),焦距为4也，

斜率为一£的直线，与椭圆C相交于异于点P的M,N两点，且直线PM,PN均不与%轴

垂直.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若用可=①，求MN的方程；

(3)记直线PM的斜率为七，直线PN的斜率为七，证明:七B为定值.

19.(17分)已知函数/'(%)=知一3m%+m2.

(1)当1时，求/(%)在点(0/(0))处的切线方程；

(2)讨论/•(%)的单调性;

(3)若/(%)有三个不相等的零点巧,%2,%3，且/(%)在点(//(修))处切线的斜率为自

111

(、i=1,2,/3),求TH的取值范围及7+/v，2+n7-3的值.

数学(答案)

1.【答案】D

【解析】由51工0,可得产解得一2<光<1,

••.M={久|—2<%W1},又Q={0,1,2},

所以MCIQ={0,1},

故选：D.

2.【答案】A

1-i（1-i）（2-j）2-i-2i-l13

【解析】Z=2+i=（2+i）（2-i）---------5---------1'

所以万=9+右，所以万表示的点所在象限是第一象限，

故选：A

3.【答案】D

【解析】a/一0%+1>0恒成立，

当a=0时，1>0,满足要求，

当aw0时，需满足{△=2ita<0,解得°<a<4,

故p为真命题，需满足0Wa<4,

1

3xER,x2—x+a=0则△=!_—。之解得。工了,

940,4

i

故q为真命题，需满足。工“

综上，a的取值范围为[0,4)n(—8用=[0月

故选：D

4.【答案】D

【解析】由题设（五—b>）-a=a2—a-b=On五•6=a2=1,

所以cosQl）乎,而0。W（五,初W180。,

''\cL\\b\2

所以@而=45°.

故选：D

5.【答案】B

【解析】椭圆方+,=1,即：5/+9y2—45=0,

设椭圆上两点4（巧,、1）,8（久2少2）关于直线）/=3%+m对称，中点为M（%o，yo）,

则5妊+9资-45=0,5胫+9羽-45=0,

所以5（巧+%2）（%i一久2）+9（yi+y2）（yi-y2）=。，

yi—y2XpP所以、0=|久0,

欠1—欠2yo

代入直线方程y=3%+zn得%.=—等，yo=—早，即M（—羊，—答），

因为（祝仪））在椭圆内部，所以5X得+9x瑞＜45,

解得一竽＜旭〈字，

故选：B.

6.【答案】B

【解析】设样本空间为Q,则n（Q）=c[=126,

设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件4

则n（4）=C4C3C2+C4C3C2+C4C3C2=72,

故选：B.

7.【答案】B

【解析】设沙漏下半部分的圆锥的容积为匕沙子堆成的圆台体积为七，

该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为，2=展匕由题意可知言=看，即2=

则■=、则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的

高为圆锥高的一半，即圆台的高为|.

故选：B

8.【答案】B

【解析】因为/(%)=sin为久+cos4o)x—|=(sin2a)x+cos2a)x)2—2sin2a)xcos2

11111

令4o）%=€（0⑷兀],则y=R4-ost+三0,令R4,ost+三o=0,得到cost=一入Z

所以t=申+2k兀,kGZ或t=5+2在九,汰GZ,令k=0,得到t=夸或t=段,令k

=1,得到"号或t=等，

又/（%）在（0,用上有且仅有两个零点，所以y=[cost+5在（0,3出上有且仅有两个

零点，

所以当工3兀＜争得到3e[D

故选：B.

9.【答案】ABC

【解析】对于A,因为。在曲线上，所以。到£=。的距离为一a,而=所

以有—展1=1,故a=—1,故A正确，

对于B,因为曲线的方程为（久+1）”（%—1尸+产=1,代入（艰/））知满足方程;

故B正确，

对于C,由（％+lW（%—l）2+y2=i,将（if代入方程满足，故（1,习在曲线上,

故C正确，

对于D,曲线的方程为（％+1WG—1）2+—=1,可化为（％一1）2+y2=（，）2,

,X+1

即V=（*）2—（%—I）?，因为羽=（三if-（%。一$（三TV，故D错

X-r1XQ十1XQ十1

误，

故选：ABC.

10.【答案】AD

【解析】因为四边形ZBCD正方形，故CB14B,

而平面2BCD1平面4BEF,平面ABC。n平面4BEF=AB,

CB^^^ABCD,故CB1平面4BEF,而BEu平面2BEF,

故CB1BE.

设标=2则丽=2而，其中2=定6（0,1）,

由题设可得标=标+4+前=XAC+CB+XBF,

=A（BC-BA）+~CB+A（BA+函=（2-1）BC+ABE,

对于A,当2=[即a=子时，MW=-|BC+|BE=|CE,故A正确；

对于B,而2=（入-I）2+M=2M-22+1=2（A-|）2+1，

故|丽|2字当且仅当"押a=争寸等号成立，故I丽京=中，故B错误;

对于C,由B的分析可得标=（4—1）阮+2族，

而平面4BEF的法向量为近且丽•阮=（2—1）前,=2一1,

____»___,2_1

故cos（MN,BC）”二…，此值不是常数，

故直线MN与平面2BEF所成的角不恒为定值，故C错误；

对于D,由B的分析可得标=（入—1）阮+入雇，故而，阮，靛为共面向量，

而MNC平面BCE,故MN//平面BCE,故D正确；

故选：AD

11.【答案】AB

【解析】因为数列｛时｝为正项等比数列,则的>0q>0,7\>0,

对于选项A:因为S9=+。2+。3+。4+。5+。6+。7+。8+。9

—S4+q4（（2]+CL2+（I3++。5）=S4+04s5,

所以S9=S4+q4s5,故A正确;

、72025

对于选项B：若72025=72020，则元嬴=。2021.。2022,。2023,。2024,。2025=

a2023=1'

所以G2023=1,故B正确；

对于选项C：因为的的=a4a6=4,则成+凝之2G较6=8,

当且仅当。4=曲=2时，等号成立，

若瑞+成取得最小值,则。4=@6=得

艮噫或步3解得｛3;3故C错误；

对于选项D：例如ai=l,q=2,

n（n—1）

172—11+2+,，+n—1

则册=2九—1,Tn=必做…册=2°x2X---X2=2,=2-2-,

rc/n（n—1）、2

可得（册+1尸=（2n）n=2n浅=（2^丁）=2n-n,

因为nCN*,B'Jn2>n2-n,可得2后>2/—"，即（即+1）">7'

符合题意，但ai=l,故D错误;

故选：AB.

12.【答案】宁塞

4

【解析】占+占=；(-^+，)(2a+2+b+l)=；[7+^^+^^]

a+lb+1412a+2b+1八74L2a+2b+1」

、7+2/

--4-'

当且仅当竽著=*,即6(5+17=(2a+2产，

即当a=上手山="q二方寸等号成立.

故答案为：与立

4

13.【答案】144兀

【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台ABC—4B£i，如图，

上底面正△4B£外接圆的半径是。遇1=|X9X4价=4,3为正△4B£

外接圆圆心，

下底面正△4BC外接圆的半径是。2人=|X^X6A/3=6,外为正△4BC外接

圆圆心，

由正三棱台的性质知，其外接球的球心。在直线。1。2上，令该球半径为R,

于是_42+通2_62=2且或通2_42_"2_62=2且解得R?=36,

所以球。的表面积是S=4兀炉=4兀x36=14471.

故答案为：144兀

1

14.【答案】(3,2e+2

'—lnx,0<%<1

【解析】函数/(%)=，ln%,l<%We在(0,1],(e,+8)上单调递减，在(1,可上单

、2—In%,%>e

调递增，/(e2)=0,/(1)=0，

画出/(%)=［喂忆e的图象,如图,

1

2

令a<b<c,由/(a)=/(b)=/(c),得l<b<e,e<c<e>

由|lna|=|lnb|,得lna+lnb=O,即ab=l,由In匕=2—Inc,^bc=Q2,

于是a+b+^=^+b+:=：+2匕，由对勾函数性质知，y=：+2b在(l,e)上递

增，则3<w+2b<2e+-，

。e

21

所以a+b的范围是(3,2e+-).

故答案为：(3,2e+；)

15.【解析】(1)由题意，an=l+缶』(neN*),

结合函数/(%)=1+五三的单调性，

可知。5>。6>。7>…>。九>1>>@2>。3>。4(几6N*),

所以数列｛&J中的最大项为的=2,最小项为。4=。，

所以力2—1=2力3—9=0,即匕2=3力3=9,

n2n-1

所以等比数列出九｝的公比q=£=3,所以砥=b2-q~=3

i

⑵4=K4=(2n-9).3f

n—

Sn=t?i+。2+。3T—+C/t=(—7)x30+(一5)xH—+(2n—11)x3

+(2n-9)x3nt,

12n

3Sn=(-7)x3+(-5)x3+•••+(2n-ll)x3计1+(2n-9)x3,

123n

两式相减得：-2Sn=-7+2x(3+3+3+•••+3"一1)-(2n-9)X3

=-7+2x3(1^^-(2n-9)x3n=-10+3n(10-2n),

故%=5+3/律—5).

16.【解析】(1)•.•平面PAD1平面4BCD,且平面PADCl平面ZBCD=4。，

S.ABLAD,ZBu平面ABC。，

"Bl平面PAD,

,?PDu平面PAD,I.AB1PD,

又PD1P4且panZB=4P42BU平面P4B,

.•.PD1平面PZB；

(2)取2。中点为。，连接CO,P。，

又；PA=PD,：.P01AD.则49=P0=L

,:CD=AC=y^,：.CO1AD,则CO=44c2_0_2=$_1=2,

以。为坐标原点，分别以沆，就，而所在直线为X,y,z轴建立如图所示的空间直角坐

标系。一xyz,

则P(0,0,l),5(1,1,0),0(0,-1,0),C(2,0,0),

则而=(1,1,一1),PD=(0,-1,-1),PC=(2,0,-1)-CD=(-2,-l,0),

设元=(%,y,z)为平面PCD的一个法向量，

则喉蒙。得以二M2,令z=l，则元=&-I」).

设PB与平面PCD的夹角为仇

则sin。=|cos伍，丽,P8

\n\\PB\Ji+1+1X^/3

(3)假设在棱P4上存在点M点,使得BM//平面PCD

设俞=入丽，Ae[0,1],

由(2)知，2(0,1,0),5(1,1,0),P(0,0,l),则而=(0,—1,1),B2=(-1,0,0),

~BM=~BA+AM=~BAA-AAP=(-1,0,0)+(0,-A,A)=(-1,-A,A),

由(2)知平面PCD的一个法向量五=g,—1,1).

若BM〃平面PCD,则BM,元=-3+2+4=24—g=0,

解得2=又BMC平面PCD,

故在棱P4上存在点M点，使得BM//平面PCD,止匕时若=；.

/ir4

17•【解析】(1)喜欢食堂就餐的人数为吟生=60,则不喜欢的人数为

60—20=40人，

则不喜欢食堂就餐的女生为40-10=30人，因为男女生人数比为1：1,

则男女生各50人，则喜欢堂食就餐的女生为50-30=20人，

喜欢堂食就餐的男生为50-10=40人，

则列联表见图，

男生女生合计

喜欢食堂就餐402060

不喜欢食堂就餐103040

合计5050100

零假设”0：假设食堂就餐与性别无关,

由列联表可得％*=联寂哉学,16,667>10.828,

根据小概率a=0.001的独立性检验推断“°不成立，

即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关.

(2)记事件4小林同学星期二选择了①号套餐，

_-141

事件B：小林同学星期四选择了②号套餐,P(4)=P(Z)=5，P(BM)=1#(B

—12

⑷=1-w=w，

—111213

由全概率公式可得尸(B)=尸(力),尸(引力)+尸Q4),P(B\A)=-x-+-x-=—

91_

r—।——1i.a=2A/3

b2

18.【解析】(1)由题意得'2c』4"解得b=2

a2=b2+c2[c=

故椭圆C的方程为5+1.

1Z4

(2)设直线2的方程为y=—/+m,M(x1,y1),N(x2,y2)

y=--lx+Im

2y2得4/—6THX+9租2—36=0,

—x+—=1

f124

由A=(6m)2—144(m2—4)>0,得——!一<m<,

则+x=—=97n2—36

24

\MN\=Jl+1•+%2)2—4%I%2=邛--716-3m2=710,

解得TH=2或TH=—2

当m=2时，直线Ly=—9+2经过点尸(3,1),不符合题意，舍去;

当Tn=—2时，直线［的方程为y=—%—2.

(3)直线尸M,PN均不与％轴垂直，所以巧。3,3,则mW0且mW2,

所以的3=至|丫2—1(一+m—1)(—■1%2+m—1)

犯—3(%1-3)(%2-3)